广东省肇庆市2023-2024学年高二年级下册期末考试数学试卷（含答案解析）

广东省肇庆市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.若函数/（x）=e-x-1（e为自然对数的底数），则（（0）=（）

A.-1B.0C.1D.2

n(ad-be)?

2.已知某独立性检验中，由/=n=a+b+c+d计算出/②,

(a+6)(c+d)(a+c)(6+d)'

若将2x2列联表中的数据分别变成2a,26,2c,2d,计算出的/=竭，则（）

A.若=/；B.*=2%；C.力；=2对D.若=4%；

3.求整数的正整数因数时可将其改写成若干个质数的乘积，例如12=3^22,12的正整数因

数只需分别从｛3°,31,｛2°,2,22｝中各选一个元素相乘即可，则500的正整数因数的个数为（

A.12B.15C.16D.18

4.已知函数/(x)=sinx+cosx-2x,若a=/1卜=/(ln3),c=,则a,6,c的大

小关系为()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a

a

5.已知随机变量X3(4,p),若方差r»(x)=j则p(x=2)的值为()

3927-27

A.----B.-----C.-----D.

128256256128

6.直线y=2x+a与曲线/(%)=加+x-21nx相切于点(2J(2)),则必的值为()

A.-B.-21n2C.-In2D.2-ln2

2

7.若(1—2x)2°24=%+〃]%+的，H-----F〃2024%2024,则--1。2024|=()

A.4048B.22024C.1D.32024

8.已知函数/(x)=2a=e?m>。，且awl,e为自然对数的底数)恰有两个极值点毛，

々GV%），则实数〃的取值范围是（）

A.B.C.(e,+co)

二、多选题

9.下列关于一元线性回归的叙述正确的有（）

A.若相关系数厂=-0.98,则V与x的相关程度很强

B.残差图中的残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内,

说明选用模型比较合适

C.决定系数R2越大，模型的拟合效果越差

D.经验回归直线y=6尤+a经过所有样本点（x,,X）

io.已知士,%，w是互不相等的正数，随机变量x,y的分布列如下表所示,

XAx2元3

PabC

再+%X+%3x+x

Y2x3

222

Pabc

若a,6,C既成等差数列也成等比数列，X,y的期望和方差分别为矶X）,E⑺和o（x）,D（y）,

则（）

A.E（X）=E（y）B.E（X）＞E（Y）C.D（X）＜D（Y）D.D（X）＞D（Y）

11.微分方程（由导函数求原函数）是微积分的重要分支，例如根据导函数，=虫竺，逆用

X

复合函数的求导法则得y=（hix）2+。（a为常数）.已知函数的导函数/'⑺满足

xf\x）+f（x）=—,且〃e）=L则下列说法正确的有（）

xe

A.r（e）=0

B.若g（x）=4（x）,则g，（x）=1如4+c］为常数）

C.%=e是函数的极值点

D.函数/'（x）在（0,+e）上单调递减

试卷第2页，共4页

三、填空题

12.设随机变量X服从正态分布N(5,〃)，且尸(X<2)=0.1,贝”(2WX48)=.

13.用模型>=公/拟合一组数据，令z=lny,将模型转化为经验回归方程z=O.lx+3,则

a-k-,.

14.抛掷一校质地均匀的正四面体骰子(四个面上分别标有数字1,2,3,4),底面的点数

为1记为事件A,抛掷〃次后事件A发生奇数次的概率记为与，则［=,.

四、解答题

15.已知函数/(x)=l+alnr-eR).

⑴当a=2时，求的极值；

⑵讨论“X)的单调性.

16.小华同学设置手机密码的六位数字时，准备将兀(兀。3.14159)的前6位数字(1,1,

3,4,5,9)按照一定的顺序进行设置.

⑴记事件A：相同的数字相邻，求事件A发生的概率尸(A)；

(2)记事件3：相同的数字不相邻，求事件3发生的概率P(B)；

(3)记事件C：相同数字不相邻，且相同数字之间只有一个数字，求在事件8发生的条件下，

事件C发生的概率P(C⑻.

17.如图，在正方体ABCD-ASG2的顶点处各挂一盏灯笼，每秒有且只有一个顶点处的

灯笼被点亮，下一秒被点亮的灯笼必须与上一个顶点相邻(在同一条棱上)，且每个相邻顶

点的灯笼被点亮的概率相同，下一盏灯笼被点亮上一盏自动熄灭.若初始亮灯点(〃=。)位

于点A处，第〃秒亮灯点在底面ABCZ)上的概率为

⑴求A和鸟的值;

(2)推测月与夕中的关系，并求出匕的表达式.

18.已知函数/(x)=V—ae”(a»2,e是自然对数的底数).

⑴设直线/为曲线y=〃尤)的切线，记直线/的斜率的最大值为g(a),求g(q)的最大值；

(2)已知ln2=0.693,设

M=，y=/'(x),xe,n：,111：)小="}=尸(",_¥€「11"|,111：)},求证：NM.

19.某省高考自2024年起数学考试多选题(题号9~11)的计分标准是：每道题满分6分,

全部选对得6分，部分选对得部分分(若某道题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3

分；若某道题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分)，错

选或不选得。分.每道多选题共4个选项，正确答案是选两项或选三项.统计规律显示：多

选题正确答案是“选两项”的概率是二,没有同学选四项.甲、乙两个同学参加了考前模拟测

试，已知两同学第9题选的全对，第10~11题还不确定对错.

(1)假设甲同学第10题随机选了两个选项，第11题随机选了一个选项，求甲同学这三道多

选题(满分18分)所有可能总得分的中位数；

(2)假设第10题正确答案是“选两项”，若乙同学不知道是“选两项”，随机选该题的选项(既

没空选也没选四项，所有选法等可能)，求乙第10题得0分的概率4；

(3)第11题甲同学采用“随机猜一个选项”的答题策略，乙同学采用“随机猜两个选项”的答题

策略，记甲同学该题的得分为X,乙同学该题的得分为匕试比较两同学得分的平均值

E(x),E(y)的大小.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案BBABDCDDABAD

题号11

答案ABD

1.B

【分析】求出函数/'(x)的导数，再赋值求得结果.

【详解】函数/(x)=e，-x—l,求导得/'(x)=e'-l,所以/'(0)=0.

故选：B

2.B

【分析】根据卡方公式代入计算可得.

【详解】因为蜻=7

22n(2a义2d—2b义2)2n^ad-bc^2

“2(2Q+2Z?)(2C+2d)(2〃+2c)(2/?+2d)(〃+Z?)(c+d)(Q+c)优+d)%

故选：B

3.A

【分析】因为500=22x53,结合题意分析求解即可.

【详解】因为500=22x53,

由题意可知：500的正整数因数只需分别从{2°,*22},{5°5,5153}中各选一个元素相乘即可,

所以500的正整数因数的个数为3*4=12.

故选：A.

4.B

【分析】利用导数研究函数的单调性，根据对数函数的性质比较自变量的大小，再根据/(X)

的单调性即可求解.

【详解】尸(x)=cosx-sinx-2=0cos1+：卜2<0,

所以/(x)在R上单调递减.

因为坨；(。1113〉1116=1,(-1)°=1,

答案第1页，共11页

所以lgg<（T）°<ln3,所以，lg£|>/（（T）°）>〃ln3）,即a>c>6.

故选：B.

5.D

【分析】根据给定条件，利用二项分布的方差公式求出P,再求出P（X=2）的值.

317

【详解】由X6（4,77）,得O（X）=4p（l—p）=j解得p=1或p="

所以尸（X=2）=Cx（/1x（3>=?7

44IZo

故选：D

6.C

【分析】求出函数的导函数，依题意/'（2）=2即可求出6,再根据"2）=4+。求出。，即

可得解.

【详解】因为/任）=区2+*一2皿，所以广⑺=26无+1-：,

依题意/'（2）=46+1—1=2,解得6=

/（2）=4/7+2—21n2=4+a,解得a=—2In2,

所以aZ?=-In2.

故选：C

7.D

【分析】通过赋值法令％=-1即可求解.

【详解】（1-24产4的展开式的通项公式为J=G020・（-2»&=0,1,2,,2024）,

台*（1-2%）=CLQ+ClyX+U-^X,+•••+〃2024%，知。”2023均为负值，

.,.同+同+同T--1%024|=。0-6+%—%+'+%022—%023+%0249

X——1j3_CIQ—q+Cl2—〃3++〃2022—“2023+々2024，

故|%|+同+|%卜=32024,

故选：D.

8.D

【分析】求出函数的导函数，依题意可得方程优lna="有两个不相等的实数根，令

答案第2页，共11页

g(x)="lna,则g(x)="lna的图象与直线产ex有两个不同的交点，设g(x)=£lna过

原点的切线的切点为(1,％),利用导数的几何意义表示出切线法方程，从而得到

%=「=log〃e,即可得到切线斜率左=e(ln“)2,再分。>1、0<。<1两种情况讨论，分别

Ini

求出。的取值范围.

【详解】因为/(x)=2优-erz,所以/©)=2优山0-2ex,因为函数恰有两个极值点

4、%，

所以/'⑺=2优ln«-2ex有两个变号零点,

即方程优Ina=ex有两个不相等的实数根，

令g(x)=a，lna,则g(x)=a'lna的图象与直线有两个不同的交点，

因为g'(x)=a，(lna)2,设g(x)=a*lna过原点的切线的切点为(%为),

x2

则切线方程为丫一。而lna=a°(ina)(x-%0),

1

贝iJO—a"lna=a"(Ina)9(=一/)，所以gpx=--=loge,

0Inaa

所以切线斜率左=a%(Ina)?=(lna『=匕但域，

当a>1时左<e,则(ina)?<i,解得1<〃<e；

i

当Ovavl时左<e,贝U(ln〃9)<1,角星得一<〃<1

综上可得实数a的取值范围是

故选：D

【点睛】关键点点睛：本题关键是转化为g(x)=a*Ina的图象与直线，="有两个不同的交

点，求出g(x)=a"na过原点的切线方程，从而得到关于”的不等式，解得即可.

9.AB

【分析】利用相关系数、残差图、决定系数、经验回归直线的意义逐项判断即得.

【详解】对于A,1日越接近于1,相关性越强，A正确；

对于B,残差图中的残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，

拟合效果较好，选用模型比较合适，B正确；

答案第3页，共11页

对于C,决定系数R2越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，c错误;

对于D,样本点(4%)分布在经验回归直线y=6x+a附近，D错误.

故选：AB

10.AD

【分析】由题意先推理得到。=b=c=g,再分别运用随机变量的数学期望、方差公式计算

化简，比较即得矶X)=E(y),D(X)>D(Y).

A=£±£①

【详解】因a,6,C既成等差数列也成等比数列，则有2',

b1=ac,②

将①代入②中，化简整理得，m-4=0,则有〃=

回代入①，可得〃=〃，由分布列可知Q+)+C=1,故得，a=b=c=^.

依题意，E(X)=g(X[+%+%)，=+三；/+%；.)=；(&+(+=),

故E(Y)=E(X),故A正确，B错误；

2

£＞（X）=|{［x1-E（X）］+X-E（X）f+®-颐X）f}

11,1,12

=

~{［%|一~（芭+%+%）］+［%2—§（“1+%2+退）］+［%3—§（玉+%2+%）］}

=［（2%!—%—电I+（2%2—玉一七+（2&-X?一芭）2］,

而w）=|-E（y）f+-£（y）］2+［A±^_E（Y^}

=g{［占；；（无］+々$+［七；W_g（占+4+电）『+_；（%+%+£）/}

—5yX—［（2彳3—无2—工1）~+（2X,一无］-Xj+（2X］—X,—尤3）21

可得，D(X)=4D(Y)>0,则得。(X)>O(y),故D正确，C错误.

故选：AD.

11.ABD

【分析】代入计算判断A；利用复合函数求导法则求导判断B；求出函数f(x)。利用导数

探讨单调性判断CD.

【详解】对于A,由矿口)+〃村=蛆，当X=e时，咪(e)+〃e)=L而〃e)=L则

xee

r(e)=0,A正确；

答案第4页，共11页

对于B,g,(x)=V，W+/W=—,且=—(C为常数)，B正确;

X

对于CD,由选项B知，货(x)=0n；)+c,又〃e)=，，则c=；,

/炽)=火立土1,求导得了'(%)=T1n1)240,当且仅当'二e时取等号,

2x2x

因此函数/(X)在(0,+⑹上单调递减，无极值点，C错误，D正确.

故选：ABD

【点睛】关键点点睛：复合函数求导的关键是分清函数的结构形式.由外向内逐层求导，其

导数为两层导数之积.

12.0.8/4^

【分析】根据题意结合正态分布的对称性分析求解.

【详解】因为X服从正态分布N(5Q2),且尸(X<2)=0.1,

则〃=5,且辞=5,

所以*24X48)=1—2尸(X<2)=0.8.

故答案为：0.8.

13.O.le3

【分析】将/两边取自然对数，再结合题意得到左=0.1,lna=3,即可求出心

【详解】因为y=GeT两边取自然对数可得lny=ln(a-eM)=辰+lna,

令z=lny,可得z=Ax+ln〃，又z=0.1x+3,

所以左=0.1,ln〃=3,所以

所以心左=0.加3.

故答案为：O.le3

14.-/0.25

4

【分析】根据〃次独立重复实验事件A发生的概率为(，构造二项式应用赋值法分别计算即

可.

【详解】抛掷1次后事件A发生奇数次，只能是发生1次，《=；；

答案第5页，共11页

抛掷W次后事件A发生1,3,5,7

抛掷n次后事件A发生奇数次的概率记为P„

当〃为偶数时,

当〃为奇数时,

31

令x=l,1—+—

44

+C；打

2025

因为“=2024,所以

故答案为：—

【点睛】方法点睛：根据题干得出匕的表达式，再构造二项式应用赋值法分别计算即可.

15.⑴/⑺的极大值为〃2)=21n2T,无极小值

(2)答案见详解

答案第6页，共11页

【分析】（1）当。=2时，则〃x）=l+21nx-x,利用导数求〃x）的单调性和极值;

（2）求导，分和。>0两种情况，利用导数求函数单调性.

【详解】（1）当a=2时，则〃x）=l+21nr-x,

可知“X）的定义域为（。,+8）,且尸⑺=47-1=~7—r,

XX

令（（同>0,解得0<x<2；令/（x）<0,解得x>2；

可知/（x）在（0,2）内单调递增，在（2,y）内单调递减，

所以“X）的极大值为〃2）=21n2-l,无极小值.

（2）由题意可知：〃尤）的定义域为（。,+孙且「（无）=「=『

若aWO,则/'（尤）=?<0,可知在（。,+a）内单调递减；

若〃>0,令尸（x）>0,解得0<x<a；令/（x）<0,解得…；

可知在（0,“）内单调递增，在（。,+向内单调递减；

综上所述：若aWO,在（。,+8）内单调递减；

若°>0,“X）在（0M）内单调递增，在（。,+向内单调递减.

【分析】（1）采用“捆绑法”处理元素相邻问题即得；

（2）采用“插空法”处理元素不相邻问题即得；

（3）先在3,4,5,9中选出一个数字放在两个1之间，再“捆绑”后与另外三个数字全排，

即得排法，最后运用条件概率公式计算即得.

【详解】（1）依题意，在事件A中，要求两个1需相邻，故只需要将其看成一个元素与另外

四个数字全排即可，

答案第7页，共11页

1

有A；120种方法，由古典概型概率公式可得：P（A）=R%=£；

C6A43

（2）在事件B中，要求两个1不能相邻，故只需先将这两个1对另外4个数字产生的5个

空中进行插空，

再对这四个数字进行全排即可，有C；A：种方法，由古典概型概率公式可得：

C；A：=2

P（B）=

CX-3；

（3）在事件C中，要求相同数字不相邻，且相同数字之间只有一个数字，

故只需先在3,4,5,9中选出1个数字放在两个1之间，再看成1个元素，与另外3个元

素共4个元素全排即可，

C闺4

有C：A：种方法，由古典概型概率公式可得：P（BC）=

15

4

由条件概率公式可得，p（C忸）=4^=导="

3

25

17.⑴P2=~

1111<1丫T

⑵…户<匕=5+$W

【分析】（1）根据古典概型的概率求出4,根据相互事件及互斥事件的概率公式求出8；

（2）依题意可得心=冢+。1-匕）=宗+［即可得到=从而得到

,月-11是以‘，公比为:的等比数列，即可求出P..

【详解】（1）依题意第一秒灯点等可能的在顶点3、D、A处，其中在底面ABCZ）上的顶

点为B、D,

2

所以《=§，

224

第一秒灯点在顶点为8、。处（概率为勺=不），第二秒灯点在底面ABC。上的概率为§片=§；

第一秒灯点在顶点为A处（概率为1-q=；）,第二秒灯点在底面A3。上的概率为

答案第8页，共11页

1（1-幻」；

3V179

415

所以第二秒灯点在底面A5CD上的概率心=§+'='；

（2）第〃秒亮灯点在底面ABCD上的概率为匕，

在底面AAGA上的概率为1-匕，

7111

所以治=耳匕+”-£）=/,+“

所以勺+「；=；（月一1］，所以］匕一1］是以4一4=〈，公比为:的等比数歹!J，

乙3、乙）〔ZJ2O3

所以，则•

18.⑴—2

（2）证明见详解

【分析】（1）求导，令〃（x）=/'（x）,利用导数求Mx）的单调性和最值，即可得g（。），进

而可得最值；

（2）根据（1）中的单调性求集合M,N,进而分析包含关系即可证明.

【详解】（1）由题意可知：“X）的定义域为R,且/'（x）=2x-ae工，

令/?（%）=（⑴，则/《X）的定义域为R,且/x）=2-泡，

因为“22,令〃（力＞0,解得尤＜ln,；令〃（力＜0,解得尤＞ln,；

可知g）在［-*ln1］内单调递增，在卜nj+二|内单调递减，

则的最大值为彳ln£|=21nj-2=-21na+21n2-2,

可知g（a）=-2In。+21x12—2,122,且g（。）在［2,+8）内单调递减，

所以g（。）的最大值为g（2）=-2.

124

（2）由已知〃之2,则In—＜In—vln—,

aaa

由⑴可知：（（无）在（inglnZ］内单调递增，

VaaJ

J./'［ln-V|=-41na--./,|In-|=-21na+21n2-2,

kalaVa）

答案第9页，共11页

^］"矢口M=1_4Inci—,_2In〃+21n2—2j；

又因为广(X)在(ln2,lnW］内单调递减，且，lnU=-21na+41n2-4,

\aa)\aj

口J矢口N—(—2Ina+4In2—4,—2Ina+2In2—2)；

且一(-21n〃+41n2-4)=-2In-4In2+4,

令/(a)=—21na—4一41n2+4,〃22,贝1J/(〃)=—2+3=1Z|£((),

aaaa

7

可知尸(a)在［2,+s)内单调递减，贝”(〃)4/2)=5-611127-0