2024年中考数学试题分类训练：圆的有关位置关系

专题23圆的有关位置关系（36题）

一、单选题

1.（2024・福建・中考真题）如图，已知点A8在。。上，ZAOB=72°,直线初V与。。相切，切点为C,

且C为的中点，则NACW等于（）

A.18°B.30°C.36°D.72°

【答案】A

【分析】本题考查了切线的性质，三角形内角和以及等腰三角形的性质，根据C为嬴的中点，三角形内

角和可求出/。。4=9（180。-36。）=72。,再根据切线的性质即可求解.

【解析】VZAOB=12°,C为AB的中点，•••NAOC=36o；Q4=OC：./0。4=；*（180。-36。）=72。;•直

线肱V与。。相切，/.ZOCM=90°,；./4。11=/0。加-/0。1=18。故选，A.

2.（2024.上海.中考真题）在AABC中，AC=3,BC=4,AB=5,点尸在AABC内，分别以A、B、尸为

圆心画，圆A半径为1,圆B半径为2,圆尸半径为3,圆A与圆尸内切，圆尸与圆8的关系是（）

A.内含B.相交C.外切D.相离

【答案】B

【分析】本题考查圆的位置关系，涉及勾股定理，根据题意，作出图形，数形结合，即可得到答案，熟记

圆的位置关系是解决问题的关键.

【解析】•••圆A半径为1,圆尸半径为3,圆A与圆P内切，，圆A含在圆尸内，即24=3-1=2,

尸在以A为圆心、2为半径的圆与AABC边相交形成的弧上运动，如图所示：

;当到P位置时，圆尸与圆8圆心距离PB最大，为炉彳

V17<3+2=5,，圆尸与圆8相交，故选，B.

3.（2024・河南•中考真题）如图，。。是边长为的等边三角形A3C的外接圆，点。是8C的中点，连

接8£）,CD.以点。为圆心，2。的长为半径在。。内画弧，则阴影部分的面积为（）

B.4兀D.16K

【答案】C

【分析】过。作。5c于E,利用圆内接四边形的性质，等边三角形的性质求出/或心=120。，利用弧、

弦的关系证明3D=CD,利用三线合一性质求出BE=L3C=2>/^,/BDE=工/BDC=60°,在RtaBDE

22

中，利用正弦定义求出80,最后利用扇形面积公式求解即可.

【解析】解：过。作于E,OO是边长为473的等边三角形ABC的外接圆,

BC=4A/3-ZA=60。，ZSDC+ZA=180°,AZBDC^120°,:点。是8c的中点，；•BD=CD，；•

BD=CD,：.BE=^BC=2y/3,NBDE=工NBDC=60°,：.BD=———=2G=4,

22sinZBDEsin60°

1207r416万丹旺

S阴影=-病—=—T'故选，C-

Jou3

4.(2024.四川泸州.中考真题)如图，EA,即是OO的切线，切点为A,D,点、B,C在O。上，若

ZBAE+ZBCD^236°,则NE=()

(5JD

(T-

A.56°B.60°C.68°D.70°

【答案】C

【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，切线长定理，等腰三角形的性质等知识点，正确作辅助线是

解题关键.

根据圆的内接四边形的性质得NB4r>+N3CD=180。，由N54E+N3CD=236。得NE4D=56。，由切线长

定理得E4=KD,即可求得结果.

【解析】如图，连接AD,:四边形ABCO是。。的内接四边形，/NAD+N8Cr>=180。，：

ZBAE+ZBCD=236°,：.ZBAE+ZBCD-（ZBAD+ZBCD）=236°-180°,即/3AE-/3AD=56°,/.

Z£W=56°,,：EA,ED是。。的切线，根据切线长定理得，E4=即，.../皿>=/£ZM=56。，；.

ZE=180°-ZEAD-ZEDA=180°-56°-56°=68°.故选，C.

二、填空题

5.（2024•浙江•中考真题）如图，A3是。。的直径，AC与。。相切，A为切点，连接BC.已知NACB=5O°,

则NB的度数为

【答案】40。/40度

【分析】本题考查切线的性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键.

【解析】：AC与。。相切，AABAC=90°,又：ZACB=5O°,/3=90。一/。=90。-50。=40。，故答

案为：40°.

6.（2024.内蒙古包头.中考真题）如图，四边形ABC。是。O的内接四边形，点。在四边形ABC。内部，过

点C作。O的切线交AB的延长线于点尸，连接OAO2.若/AO3=140。，4cp=35。,则—ADC的度数

为.

【答案】105。/105度

【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质等知识，连接0C,利用等边

对等角得出/。3=/。氏4=20。，ZOCB=ZOBC,利用切线的性质可求出NOBC=NOCB=55。，然后利

用圆内接四边形的性质求解即可.

【解析】连接0C,'：OA^OB^OC,ZAO3=140。，AOAB=AOBA=1(180°-ZAOB)=20°,

ZOCB=ZOBC,：CP是切线，：.NOCP=90。,BPZOCB+ZBCP=90°,,：ZBCP=35°,：.

ZOBC=ZOCB=55°,:.ZABC=ZABO+NOBC=75。,二•四边形A5CD是O。的内接四边形，，

NADC=180。—NABC=105。，故答案为：105。.

7.(2024.天津.中考真题)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,F,G均在格点上.

(D线段AG的长为；

(2)点E在水平网格线上，过点A,E,尸作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与AE,"的

延长线相交于点B,C,AASC中，点M在边上，点N在边上，点P在边AC上.请用无刻度的直

尺，在如图所示的网格中，画出点M,N,P,使反!"/?的周长最短，并简要说明点M,N,尸的位置

是如何找到的(不要求证明).

【答案】V2图见解析，说明见解析

【分析】此题考查了勾股定理、切线的性质等知识，根据题意正确作图是解题的关键.

(1)利用勾股定理即可求解；

(2)作点M关于A3、AC的对称点M|、M2,连接MM】、MXM2,分别与A3、AC相交于点E、P,

△肱VP的周长等于的长，等腰三角形4/1加2的腰长为AM，当AM的值最小时，的值最小,

此时M是切点，由此作图即可.

【解析】(1)由勾股定理可知，AG=EF=0"，故答案为：V2

(2)如图，根据题意，切点为M；连接ME并延长，与网格线相交于点A/1；取圆与网格线的交点£)和格

点H,连接。〃并延长，与网格线相交于点加2；连接得知2,分别与48,AC相交于点N,P,则点

8.(2024•江苏扬州•中考真题)如图，已知两条平行线4、L点A是《上的定点，于点8,点C、

。分别是4、4上的动点，且满足AC=3D,连接C£＞交线段AB于点E,BHLCD于点H,则当N54H最

大时，sinZfi4H的值为.

【分析】证明AACE丝ABDE(ASA),得出BE=AE=(A8,根据B"_LCD,得出N3HE=90。，说明点H

在以8E为直径的圆上运动，取线段BE的中点。，以点。为圆心，为半径画圆，则点”在。。上运动,

说明当■与。。相切时NBA”最大，得出根据AO=AE+OE=3OE,利用

"即嚼=粽《即可求出结果.

【解析】：两条平行线4、，2,点A是4上的定点，于点8，•..点B为定点，A3的长度为定值,

lA//l2,：.ZACE=ZBDE,ZCAE=ZDBE,VAC=BD,；.AACE丝ASDE（ASA），,BE=AE=3AB,

•..瓦/LCD,.•./B〃E=90。，...点//在以BE为直径的圆上运动，如图，取线段8E的中点0,以点。为

圆心，05为半径画圆，

则点H在OO上运动，・••当与OO相切时44H最大，AOHYAH,•:AE=OB=2OE,：.

CH/1Z7i1

AO=AE+OE=3OE,'：OH=OE,：.sinZBAH=—,故答案为：一.

AOiOE33

9.（2024・四川凉山•中考真题）如图，0M的圆心为〃（4,0）,半径为2,尸是直线＞=x+4上的一个动点,

过点P作。M的切线，切点为Q,则尸。的最小值为

【答案】2币

【分析】记直线y=x+4与X,y轴分别交于点A,K,连接。“，PM,KM.由直线解析式可求得点4K

的坐标，从而得△OAK,△OKM均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得：PQ=dPM2-QM2,由

QM=2,则当P"最小时，PQ最小，点尸与点K重合，此时PM最小值为由勾股定理求得PM的

最小值，从而求得结果.

【解析】记直线y=x+4与X,y轴分别交于点A,K,连接QM，PM,KM,

当x=0,y=4,当y=。，即x+4=0,解得：x=T,即K(0,4),A(—4,0)；而M(4,0),OA—OK—OM—4,

△OAK,AOKM均是等腰直角三角形，二ZAKO=NMKO=45°，＜ZAKM=90°,=QP与。/相切,

ZPQM=90°,:.PQ=1PM2—QM2,：。河=2,.•.当PQ最小时即PM最小，，当9_LAK时，取

得最小值，即点尸与点K重合，此时PM最小值为KM,在RIAOKM中，由勾股定理得：

KM=ylOM2+OK2=4A/2>•,•尸。="32-4=26,；.PQ最小值为2近.

10.（2024・山东烟台・中考真题）如图，在YABC。中，ZC=120°,AB=8,BC=10.E为边CO的中点，

F为边AO上的一动点，将ADEF沿EF翻折得AD,EF连接AD'，BD',则△板/面积的最小值为.

【答案】20A/3-16/-16+20A/3

【分析】根据平行四边形的性质得到CD=AS=8,AB//CD,NABC=60。，由折叠性质得到ED=DE=4,

进而得到点D0在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作曰0LA5交A5延长线于交圆E

于以，此时£>0到边4B的距离最短，最小值为ZXM■的长，即此时△ABZ7面积的最小，过C作。V_LAB于

N,根据平行线间的距离处处相等得到=故只需利用锐角三角函数求得CN=5g即可求解.

【解析】•••在YABCD中，ZBCD=120°,AB=8,：.CD=AB=8,AB//CD,贝。

Z4BC=180。一N3CD=60°,：E为边CD的中点，=CE=；CO=4,：ADEF沿所翻折得，

/.ED'=DE=4,

...点0C在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过£作交A3延长线于交圆E于。C,

此时到边AB的距离最短，最小值为DM的长,即面积的最小，过C作CTV,AB于M：AB〃CD,

:.EM=CN,在RtABCN中，BC=10,ZCBN=60°,：.CW=BC-sin60°=10x—=573,

2

DM=ME-£ir=5g-4,△ABD面积的最小值为gx8x（5若-4）=20右-16,故答案为：2073-16.

B

三、解答题

11.（2024・广东・中考真题）如图，在AABC中，ZC=90°.

（1）实践与操作：用尺规作图法作-A的平分线AD交于点。；（保留作图痕迹，不要求写作法）

⑵应用与证明：在（1）的条件下，以点。为圆心，0c长为半径作。D.求证：与0。相切.

【分析】本题考查了尺规作角平分线，角平分线的性质定理，切线的判定等知识.熟练上述知识是解题的

关键.

（1）利用尺规作角平分线的方法解答即可；

（2）如图2,作于E,由角平分线的性质定理可得DE=DC,由是半径，可证

与。。相切.

解：（1）如图1,AD即为所作；

（2）证明：如图2,作于E,

：是/CAD的平分线，DC±AC,DEJ.AB,

：.DE=DC,

是半径，DE.LAB,

A3与。。相切.

12.（2024.内蒙古赤峰.中考真题）如图，“IBC中，ZACB=90°,AC=BC,。。经过8,C两点，与斜

边A3交于点E,连接CO并延长交A3于点交。O于点。，过点E作EF〃8,交AC于点R

⑴求证：所是。。的切线；

⑵若BM=40，tanABCD=1,求的长.

【分析X1）连接0E,延长E。，交。。于点尸，连接PD,也），根据直径所对的圆周角是直角求出NDBE=45°,

得ZDPE=45。,ZDOE=90°,由EF〃CD可得NEEE>=NDOE=90。，从而可证明所是。。的切线；

/八〜/八「八1/1=.DB1DB1、十皿,BMDMDB1,

（2）由tan/BCD=-^7，n即n=彳，证明小DBM^^ACM,佝ZF-.=-=――=%,由BM=4^2

2nC2AC2AJvLCMAC2

得AM=80，故可得AB=12V2，由勾股定理求出AC=BC=12,得DB=6,由勾股定理求出CD=645,

CO=DO=3^/5,根据”■=?求出。加=2右，进一步求出OM=O。一OM=3行一26=6

CM2

解：（1）证明：连接。£,延长E。，交。。于点P，连接PR50,如图，

•/AB=BC,ZACB=90°,

•••△ABC是等腰直角三角形，

ZABC=45°,

•18是。。的直径，

・・.ZCBD=90°,

：.ZDBE=ZCBD-ZABC=90°-45°=45°,

.・./EPD=/DBE=45。,

：.NDOE=2ZDPE=2x45°=90°,

•.・EF//CD,

：./FEO=/DOE=90°,即OE_LEF,

OE是。。的半径，

・・・石产是。0的切线；

(2)VZDBC=9Q°,tanZBCD=-,

2

•.D•B_1—―，

BC2

・.・BC=AC,

.DB1

••=一，

AC2

ZDMB=ZCMA,ZA=ZDBM,

：.ADBMSAACM,

.BMDMDB_1

,,AM-CM-AC-2，

BM=472，

:.AM=2BM=8。

A8=AM+BM=8夜+4&=12逝，

在等腰直角三角形ABC中，AC2+BC2=AB2,

•*.AC2+AC2=AB2=(12A/2)2,

解得，AC—12,

...AC=BC=12,

：.DB=-BC=6,

2

在戊&8£＞。中，CD=4BC。+DB?=J12?+62=6区

/.CO=DO=345,

XCM2,

CM=2DM,

：.2DM+DM=CD=6技

/.DM=2A/5

/.OM=OD-DM=3A/5-2A/5=A/5

13.（2024・四川内江・中考真题）如图，A3是。。的直径，C是80的中点，过点C作AO的垂线，垂足为

点E.

(2)求证：CE是。O的切线；

⑶若AD=2CE,OA=42,求阴影部分的面积.

【分析】+(1)分别证明ZACB=N4£C,ZBAC=NEAC,从而可得结论；

(2)连接。C,证明/E4C=/ACO,可得OC〃AE,再进一步可得结论；

(3)连接、。。，证明四边形DECF是矩形,可得。斤=EC,再证明AD=,可得ZDAB=ZDBA=45°,

可得Z.DOA=2NDBA=90°,利用S阴影部分=S扇形水加一^AAOD可得答案.

解：(1)证明：是。。的直径

NACB=90°,

又•:CE1AD,

：.ZAEC=90°,

ZACB=ZAEC,

C是BZ)的中点，

BC=DC，

：.ZBAC=ZEAC,

二AACE^AABC；

ZCAO=ZACO,

"?ZBAC^ZEAC,

：.ZEAC=ZACO,

：.OC//AE.

*：CE±ADf

：.CEYOC,

,/OC是OO的半径,

・・・C£是。。的切线；

・.•A3是的直径，

.・・ZADB=90°,

•：ZAEC=NECO=90。,

J四边形DECb是矩形，

/.DF=EC,

TOC是半径，C是瓦)的中点，

：.DF=FB,OC±DB,

即DB=2DF=2EC,

,:AD=2CEf

AD=DB,

：.ZDAB=ZDBA=45°,

：.ZDOA=2ZDBA=90°,

90°7TX(V2)2

S阴影部分=s扇形A。。-S^--x^/2x^/2=—7i-l

A0D36022

14.（2024.江苏盐城・中考真题）如图，点。在以AB为直径的。。上，过点。作。。的切线/，过点A作AD，/,

垂足为。，连接AC、BC.

(1)求证：△ABCsAACD；

(2)若AC=5,CD=4,求。。的半径.

【分析】题目主要考查切线的性质，相似三角形的判定和性质及勾股定理解三角形，作出辅助线，综合运

用这些知识点是解题关键.

(1)连接OC,根据题意得NOCD=NOC4+NACD=90。，ZACB=ZACO+ZOCB=90°,利用等量

代换确定/ACD=/ABC,再由相似三角形的判定即可证明；

(2)先由勾股定理确定AD=3,然后利用相似三角形的性质求解即可.

解：(1)证明：连接OC,如图所示：

•••<?。是。。的切线，点（7在以46为直径的0。上，

NOCD=/OCA+/ACD=90。，/ACB=ZACO+NOCB=90°,

/ACD=/OCB,

'：OC^OB,

：./OBC=/OCB,

：.ZACD^ZABC,

'：ADll,

：./ADC=90。，

:.NADC=NACB,

：.AABC^AACD；

（2）VAC=5,CD=4,

A。=452-42=3,

由（1）得AABCs"CD,

,ABACAB5

••=艮nn=一，

ACAD53

/.。。的半径2为5=2§5

36

15.（2024・四川凉山•中考真题）如图，A3是。。的直径，点C在。。上，A£＞平分NBAC交。。于点。,

过点。的直线OE人AC,交AC的延长线于点E,交A3的延长线于点

⑴求证：所是。。的切线;

（2）连接E。并延长，分别交。。于M,N两点，交AD于点G,若。O的半径为2,一尸=30。，求GM-GN的

值.

【分析】（1）连接。。，根据等腰三角形的性质及角平分线得到OD//AC,根据平行线的性质得NOD尸=90。,

即可证明;

（2）连接MD,AN,先解求得。尸=4,。尸=26，贝。AF=6,AE=3,可证明AO=£）尸=2后,

由的。RGE,得符矍$故DGqmAG=|A，证明4GM即可得到

72

GM-GN=GD-GA=——

25

解：（1）连接OD,

N

•：OA=OD9

：.N2=N3,

・・・AD平分NBAC,

・・・N1=N2,

N1=N3,

OD//AC,

：.ZODF=ZAED

9：DEIAC,

：.ZAED=9Q0,

ZODF=90°,

BP0D1EF,

TOD是。O的半径

・・・石产是。0的切线；

(2)连接MD,AN,

E

N

*.•4=30。,

・••在RtzXOD尸中，O产=28=4,

由勾股定理得：DF=Jo月2—O£)2=2百

・•・AF=2+4=6,

•・•在Rt^A£F中，ZF=30°,

AE=—AF=3,

2

VZF=30°,OD1EF

：.ZDOF=60°=Z2+Z3,而/2=/3,

・•・Z2=30°,

AZ2=ZF,

AD=DF=26，

■:OD//AE,

:“DGQs小AGE,

.DGOP_2

**AG-AE-3'

23

DG=-AD,AG=-AD,

AM=AM9

：.ZANG=ZMDG,

,:ZMGD=ZAGN,

：.AMGDS^AGN，

.MGGD

•・布一嬴’

oazr2D

：.GMGN=GDGA=-AD-AD=—AD2=—x（2扃=—.

552525,’25

16.（2024・山东烟台・中考真题）如图，A3是。O的直径，AABC内接于。。，点/为AABC的内心，连接C/

并延长交。于点。，E是BC上任意一点，连接AD，BD,BE,CE.

⑴若NABC=25。，求NCEB的度数；

（2）找出图中所有与相等的线段，并证明；

⑶若C/=2血，DI=个垃,求AABC的周长.

【分析】（1）利用圆周角定理得到NACB=90。，再根据三角形的内角和定理求NCAB=65。，然后利用圆

内接四边形的对角互补求解即可；

（2）连接加，由三角形的内心性质得到内心，ACAI=ABAI,ZACI=NBCI,然后利用圆周角定理得

至|JNDAB=NDCB=NAC/,AD=BD,禾U用三角形的外角性质证得=然后利用等角对等边

可得结论；

（3）过/分别作/QJ_A8,IFLAC,IPYBC,垂足分别为。、F、P,根据内切圆的性质和和切线长定

理得到=CF=CP,BQ=BP,利用解直角三角形求得C尸=2=CP,AB=13,进而可求解.

解：（1）;AB是。。的直径，

ZADB=ZACB=90°,又ZABC=25°,

：./C4B=90。—25°=65°,

:四边形ABEC是。O内接四边形，

ZCEB+ZCAB=180°,

ZCEB=180°-ZG4B=115°；

(2)DI=AD=BD,

证明：连接A/,

:点/为AA6C的内心，

/.ZCAI=Z.BA1，ZACI=ZBCI=-ZACB=45°,

2

•*,AD=BD，

/.ZDAB=ZDCB=ZACI,AD=BD,

ZDAI=^DAB+^BAI,ZDIA=AACI+Z.CAI,

ZDAI=ZDIA,

***DI=AD=BD；

(3)过/分别作/。，AB,IFVAC,IPLBC,垂足分别为Q、F、P,

:点/为AABC的内心，即为AABC的内切圆的圆心.

：.Q.F、P分别为该内切圆与AABC三边的切点，

AQ=AF,CF=CP,BQ=BP,

,:CI=2应,ZZFC=90°,ZAC7=45°,

CF=CI-cos45°=2=CP,

1Q

VDI=AD=BD,DI=—6,ZADB=9Q0,

2

Z.AB=^AD2+BD2=V2x—V2=13,

2

AABC的周长为AB+AC+BC

=AB+AF+CF+CP+BP

=AB+AQ+BQ+2CF

=2AB+2CF

=2x13+2x2

=30.

17.（2024.甘肃.中考真题）如图，AB是。。的直径，BC=5D，点£在AD的延长线上，且NADC=NA£B.

⑴求证：的是。。的切线；

⑵当。。的半径为2,BC=3时，求的值.

【分析】（1）连接80,OC,OD,证明。3垂直平分CO,得出NA7Z>=90。，证明得出

ZABE=ZAFD=90°,说明即可证明结论；

（2）根据A3是。。的直径，得出/ACB=90。，根据勾股定理求出AC=J^^=^=々，根

据三角函数定义求出tan/ABC=4G=Y7,证明NAEB=NABC,得出tan/AE3=tan/ABC=Y7即可.

BC33

解：（1）证明：连接BD,OC,OD,如图所示:

,**BC=BD，

：.BC=BD,

OC=OD,

・••点0、B在的垂直平分线上,

・•・。5垂直平分8,

・•・ZAFD=90°,

ZADC=ZAEB,

：.CD//BE,

：.ZABE=ZAFD=90°f

；・AB±BE,

*/AB是。。的直径，

8E是。。的切线；

(2);。。的半径为2,

***AS=2x2=4,

・.•AB是的直径，

・•・ZACB=90°,

,?BC=3,

AC=y/AB2-BC2=742-32=不，

tanZABC,

BC3

;AC=AC'

：.ZADC^ZABC,

"：ZAEB=ZADC,

：.ZAEB=ZABC,

tanNAEB=tan/ABC=.

3

18.(2024•山东威海•中考真题)如图，已知AB是。。的直径，点C,。在。。上，且BC=CD.点E是线

段A3延长线上一点，连接EC并延长交射线AD于点尸.NFEG的平分线E”交射线AC于点”,/H=45。.

⑵若3E=2,CE=4,求AF的长.

【分析】本题考查切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，根据角平分线的定义

得到ZF=90°是解题的关键.

(1)连接OC,根据圆周角定理得到NZMC=NG42=1/DAB,即可得到OC〃仞，然后根据角平分线

的定义得到ZF=ZFEG-ZFAE2ZH=2x45。=90。，然后得到NOCE=NF=90。即可证明切线；

(2)设。。的半径为r,根据。。2+0片=。炉，可以求出r,然后根据AECOSAEE4,即可得到结果.

解：(1)证明：连接OC,

则NO4c=NOC4,

又：BC=CD,

；•BC=CD，

：.ADAC=ZCAB=-ZDAB,

2

ZDAC^ZOCA,

：.OC//AD,

：.ZOCE=ZF,

'：EH平分NFEG,

：./FEG=2ZHEG,

：.NF=ZFEG-ZFAE=2NHEG-2ZCAB=2(NHEG-ZCAB)=2ZH=2x45°=90°,

ZOCE=ZF=90°,

又,:0c是半径，

所是。。的切线；

(2)设OO的半径为厂，则OE=C®+3E=r+2,

OC2+CE2=OE2,即/+42=(r+2『,

解得厂=3,

£A=AB+3E=2r+2=8,OE=5,

又：OC\\AD,

；.AECAAEFA,

24

:.且=竺,即江”解得=g

OEOC53

19.（2024•陕西・中考真题）如图，直线/与。。相切于点A,A8是。。的直径，点C,。在/上，且位于

点A两侧，连接BGBD,分别与OO交于点E,F,连接EF,AF.

B

(1)求证：ZBAF=/CDB；

(2)若。O的半径r=6,AD=9,AC=12,求石厂的长.

【分析】(1)利用切线和直径的性质求得NBA0=N5E4=9。。，再利用等角的余角相等即可证明

ZBAF=ZCDB；

(2)先求得A6=12=AC,BD=15,证明和△钻石是等腰直角三角形，求得AE的长，再证明

ABEFSBDC,据此求解即可.

解：(1)证明：・・,直线/与。。相切于点A,

・•.ZBAD=90°,

ZBDA+ZABD=90。,

〈AB是的直径，

：.ZBFA=90°,

：.ZBAF-^ZABD=90°,

：.ZBAF=ZCDB；

(2)•:r=6,

・・AB—2r=12=AC,BD=VAB2+AD2=V122+92=15，

•・,直线/与OO相切于点A,

：.ABAC=90°,

「•△ABC是等腰直角三角形，

・•・ZABC=ZACB=45°,

丁AB是的直径，

AZSEA=90°,

・・・后也是等腰直角三角形，

•*-AE=BE=AB-cos45°=672，

;BF=BF，

：.ZBEF=ZBAF,

•:/BAF=/CDB,

：.ZBEF=ZBDC,

；•^BEFs^BDC,

.BE_EF6A/2EF

••一,--=-----,

BDCD1512+9

.门口4272

5

20.（2024・湖北・中考真题）Rt^ABC中，NACB=90。，点。在AC上，以0c为半径的圆交4B于点。,

交AC于点E.且加＞=3C.

⑴求证：48是OO的切线.

（2）连接交O。于点若AD=6,AE=1,求弧CF的长.

【分析】（1）利用SSS证明△03。丝△OBC,推出NOD8=NOCB=90。，据此即可证明结论成立；

（2）设OO的半径为x,在Rt^AOD中，利用勾股定理列式计算求得x=l,求得NAOD=60。，再求得

NCO/=60。，利用弧长公式求解即可.

解：（1）证明：连接。。，

在AQ?。和△OBC中，\OB=OB,

OD=OC

/AO3C（SSS）,

ZODB=NOCB=90°,

为。O的半径，

•*.43是的切线；

(2)V=90°,

ZODA=90°,

设。。的半径为x,

在RtAAOD中，AO2=OD2+AD-,即（x+l『=炉+（右）

解得x=l,

OD=OC=1,OA=2,cos^.AOD-=—

OA2

NAOD=60°,

*.•AOBD^AOBC,

21.(2024.贵州•中考真题)如图，A8为半圆O的直径，点尸在半圆上，点P在A3的延长线上，PC与半

圆相切于点C,与。咒的延长线相交于点，AC与。尸相交于点E,DC=DE.

AOBP

(1)写出图中一个与/DEC相等的角：；

(2)求证：OD±AB；

(3)若。4=2OE,DF=2,求P3的长.

【分析】(1)利用等边对等角可得出〃CE=N£)£C,即可求解；

(2)连接。C,利用切线的性质可得出/OCE+/ACO=90。，利用等边对等角和对顶角的性质可得出

ZAOE=ZDCE,等量代换得出ZA£O+NC4O=90。，然后利用三角形内角和定理求出NAOE=90。，即可得

证；

(3)设OE=2,贝lj可求AO=O尸=8O=2x,EF=x,OD=2x+2,DC=DE=2+x,在RtZ\ODC中，禾!J

用勾股定理得出(2+2元y=(尤+2『+(2x『，求出尤的值，利用函八韬;若可求出0尸，即可求解.

解：⑴•；DC=DE,

：.NDCE=NDEC,

故答案为：NDCE(答案不唯一);

(2)证明：连接。C,

,/PC是切线,

/.OC±CD,即NOCE+ZACO=90。，

*：OA=OC9

：.ZOAC=ZACO,

VZDCE=ZDEC,ZAEO=ZDEC,

：.ZAEO+ZCAO=90°,

・・・ZAOE=90。，

OD±AB；

(3)设。石=x,贝!JAO=。b=50=2%,

：.EF=OF-OE=x,OD=OF+DF=2x+2,

：.DC=DE=DF+EF=2+x,

在RtAkQDC中，OD2=CD2+OC2,

A(2+2X)2=(X+2)2+(2X)2,

解得外=4,9=0（舍去）

AOD=10,CD=6,OC=8,

•••tan小丝="

ODCD

,OP8

••=一，

106

解得。尸=40£，

：.BP=OP-OB=—

3

22.（2024・青海・中考真题）如图，直线AB经过点C,且。4=OB,CA=CB.

(1)求证：直线48是。。的切线；

(2)若圆的半径为4,々=30。，求阴影部分的面积.

【分析】本题考查了切线的判定和性质、直角三角形的性质和勾股定理、扇形面积的计算等知识，解题的

关键是掌握切线的判定与性质.

(1)利用等腰三角形的性质证得利用切线的判定定理即可得到答案；

(2)在RtAOCB中，利用直角三角形的性质和勾股定理求得QB=8,BC=4抠,再根据

S阴影=SQCB~S扇形。8，计算即可求解.

解：(1)证明：连接OC,

•.•在A04B中，OA=OB,CA=CB,

：.OC±AB,

又：OC是。。的半径，

.••直线是。o的切线；

(2)由(1)知NOCB=90。，

ZB=30°,

ZCOB=90°-30°=60°,

.c_60兀-42_8"

扇形。8

在Rt^OCB中，ZB=30°,OC=4,

08=8,

BC=y]OB2-OC2=A/82-42=4A/3，

S.=—BC-OC4A/38下＞,

△onCcFgI2=—2x,x4=

S阴影=SqcB—S扇形os=8』--.

23.(2024・天津・中考真题)已知"LOB中，NABO=30。,A3为。O的弦，直线与相切于点C.

EA

MCNMC

图①图②

(1)如图①，若AB〃M直径CE与AB相交于点D,求ZAOB和NBCE的大小；

(2)如图②，若OB〃MN,CGLAB,垂足为G,CG与08相交于点不。4=3,求线段OF的长.

【分析】本题考查等腰三角形的性质，切线的性质，解直角三角形，灵活运用相关性质定理是解答本题的

关键.

(1)根据等边对等角得到NA=NABO,然后利用三角形的内角和得到NAOB=18(T-2ZABO=120。，然

后利用平行线的性质结合圆周角定理解题即可；

(2)连接。C,求出/CR9=/3尸G=60。，再在Rt^CO尸中运用三角函数解题即可.

解：(1)•.•他为。。的弦，

得NA=NABO.

中，ZA+ZABO+ZAOB=180°,

又ZABO=30°,

ZAOB=180°-2ZABO=120°.

1••直线MN与。。相切于点C,CE为QO的直径,

:.CE±MN.即/ECM=90°.

又AB〃MN,

：.ZCDB=ZECM=90°.

在RMODB中，/BOE=90°-ZABO=60°.

ZBCE=-ZBOE,

2

:"BCE=30°.

(2)如图，连接。C.

A

MCN

,/直线MN与QO相切于点C,

・•.ZOCM=90°

・.,OC\\MN

：.ZOCM=ZCOB=90°.

vCGIAB,得NFGB=900.

「•在用△厂G5中，由NABO=30。，

得ZBFG=90°-ZABO=60°.

:./CFO=/BFG=6U°.

OC

在尸中，tan/Cb。=——,OC=OA=3,

OF

3

OF=——=A/3.

tan/CFOtan60°

24.（2024.四川乐山.中考真题）如图，是△ABC的外接圆，为直径，过点。作。。的切线8交54

延长线于点。，点E为CB上一点，且AC=CE.

(1)求证：DC//AE-,

⑵若EF垂直平分。8,DA=3,求阴影部分的面积.

【分析】(1)如图1,连接OC.则NOCD=90。，即“C4+NOC4=90。.由A3为直径，可得NACB=90。，

即/1+/OG4=90。.则/OC4=N1.由OC=O3,可得Zl=/2.由AC=CE，可得22=N3.贝U

ZDCA=Z3.进而可证DC〃AE.

(2)如图2,连接OE、BE.由E尸垂直平分02,可得OE=BE.贝LOEB为等边三角形.ZBOE^60°,

ZAOE=120°.由OA=OE,可得N(ME=NO£4=30。.由DC〃AE,可得/£>=NtME=30。.ZDOC=60°.vE

明AAOC为等边三角形.则NOC4=60。，OA^OC^AC."6=30。.则

123

ZD=ZDC4.ZM=AC=(M=OC=OE=3.EF=OEsin60°.S^0AE=^AO-EF.S^OAE=^,

再根据S阴影=S扇形OAE—S^OAE,计算求解即可.

解：（1）证明：如图1,连接OC.

ZOCD=90°,即ZDCA+ZOCA=90°.

又TAB为直径，

・・・NACB=90。，即N1+NOC4=90。.

・•・ZDCA=Z1.

OC=OB,

AZ1=Z2.

AC=CE，

：.N2=N3.

：.ZDCA=Z3.

：.DC//AE.

石广垂直平分03,

：.OE=BE.

又•：OE=OB,

•••△OES为等边三角形.

AZBOE=60°,ZAOE=120°.

'：OA=OE,

：.ZOAE=ZOEA=30°.

■:DC//AE,

：.ZD=ZOAE=30°.

又「NOCD=90。,

：.ZDOC=60°.

,：OA=OC,

・・・“。。为等边三角形.

AZOCA=60°fOA=OC=AC.

：.ZDCA=30°.

:.ND=/DCA.

：.DA=AC=OA=OC=OE=3.

3J3

AEF=OEsin60°=-^-.

2

•C_1S班

,,S^OAE=-AO-EF=—•

▽_120TTX32

乂•S扇形-———-3兀，

•&9>

**D阴影―3扇形04七一1\^。4£1—n兀",

••・阴影部分的面积为3兀

4

25.（2024•江苏苏州・中考真题）如图，/RC中，=40，。为中点，NBAC=NBCD,cosZADC=2,

。0是AACD的外接圆.

(1)求BC的长；

(2)求。。的半径.

【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，解直角三角形，圆周角定理.

(1)易证ABACSABCD,得到一=-即可解答；

BDBC

(2)过点A作AELCD,垂足为E,连接CO,并延长交。。于尸，连接Ab,在RtA4ED中，通过解直

角三角形得到DE—1,AE=S',由3cZ)得至lj——==^/2.设CD=x，则AC=VZx，CE—x—1,

CDBC

在Rt^ACE中，根据勾股定理构造方程，求得CD=2,AC=2框,由NAFC=NADC得到

sinNAFC=sin/ADC,根据正弦的定义即可求解.

解：⑴•;NBAC=/BCD,ZB=ZB,

:.ABACS^BCD.

里4即

BDBC

；AB=4夜，。为AB中点,

BD=AD=-AB=2y[2,

2

BC2=AB-BD=4^/2-2y/2=16

:.BC=4.

（2）过点A作AELCD,垂足为E,连接CO,并延长交。。于凡连接AR,

■■■在RtAAED中，cosZCDA=—=—

AD4

：.DE=1.

二在RtzXAED中，AE=yjAD2-DE2=y/l-

LBACSABCD,

CDBC

设CD=x,则4。=缶，CE=CD-DE=x—l.

,：在Rt^ACE中，AC2=CE2+AE2,

后『=(尤一1『+(6『，即》2+2X一8=0,

解得为=2,X2=-4（舍去）.

:.CD=2,AC=2V2.

AC=