2024学年江苏某中学高二数学上学期第一次模拟考试试卷（附答案解析）

2024学年江苏如东中学高二数学上学期第一次模拟考试卷

时长：120分钟满分：150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是

正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

2元

1.若直线/：x=tang的倾斜角为a,则。=().

A.0B.—C.一D.不存在

52

2.已知直角梯形A5C。，且A(L1),8(3,1),C(3,3),D(2,3),则过其中三点的圆的方程可以为()

A.(x-2)2+y2=3B.(x-2)2+y2=2

C.(x-2)2+(y-2)2=2D.(x-3)2+(y-2)2=2

3.已知直线/："ix+y+3=0和直线"：3m2x+(m-2)y+1=0,则=是"/〃""的()

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知圆C的方程为尤2+,2_2的+4阳+5疗一3m+3=0,若点(1,-2附在圆外，则机的取值范围是()

A.(-oo,l)U(4,+<»)B.(!,+<»)C.(1,4)D.(4,+℃)

5.设点A(-2,3),3(3,2),若直线"+>+2=0与线段AB有交点，则。的取值范围是()

4554

B.C.

3；2253

6.已知直线乙：如+>+4=0与直线小x-冲-6-4〃?=0交于点pQo/o),则+的最大值为()

A.4B.8C.32D.64

7.已知直线x+yM=0(左>0)与圆炉+「=4交于不同的两点AB,O是坐标原点，且有

|西+屈,百|通则实数4的取值范围是()

A.(瓜㈣B.[五，")C.[76,272)D.[V6,2A/3)

8.数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线C：%2+/=1+忖》就是其中之一(如图)，给出下列

三个结论:

1

①曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3

②曲线C恰好经过8个整点（即横、纵坐标均为整数的点）

③曲线C上任意一点到原点的距离都不超过血

其中，所有正确结论的序号是（

A.①②B.①③D.①

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.

9.对于直线4：依+2丁+3。=0,4：3尤+（。一l）y+3—。=0.以下说法正确的有（）

2

A.4〃4的充要条件是。=3B.当a=g时，/,1/2

C.直线《一定经过点M（3,0）D.点尸（1,3）到直线4的距离的最大值为5

10.设圆C:（xTy+（y-l）2=3,直线/:x+y+l=0,尸为/上的动点，过点尸作圆C的两条切线上4、PB,

切点分别为A、B,则下列说法中正确的有（）

A.四的取值范围为[坐,+/B.四边形E4CB面积的最小值为逆

11L2）2

C.存在点P使NAPB=120°D.直线48过定点（0,0）

11.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴

距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点%）,8（%,%）的曼哈顿距离

d（AB）=小-司+小一%则下列结论正确的是（）

A.若点尸（2,4）,。（-2,1）,则d（P,Q）=7

B.若点M（—l,0）,N（l,0）,则在天轴上存在点尸，使得d（P,M）+d（P,N）=l

C.若点M（2,l）,点p在直线x-2y+6=0上，则〃（尸,“）的最小值是3

D.若点M在y=f上，点N在直线2尤7+8=。上，则"（MN）的值可能是4

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.圆C]:（X-1）2+/=1与圆C2:（X-4）2+（y-4）2=9的位置关系为.

13.经过两条直线3x+y-5=0与尤-2y+3=0的交点,且在y轴上的截距是关轴上的3倍的直线方程

2

为.

14.已知圆。：/+丁=1圆C&：(尤-左y+(y-J3左产=4,则下列结论正确的是.

①无论左取何值，圆心「始终在直线、=氐上；

13

②若圆。与圆C有公共点，则实数左的取值范围为片,学；

③若圆。与圆Ck的公共弦长为姮，则左=±1或4=土2；

④与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线，如果两个圆在公切线的同侧，则这条公切线叫做这两

个圆的外公切线，当人=±；时，两圆的外公切线长为20.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.根据下列条件，分别求满足条件的直线或圆的方程：

(1)已知以点2(—1,2)为圆心的圆与直线4：x+2y+7=O相切，过点川-2,0)的动直线/与圆A相交于

M,N,当|"叫=2晒时，求直线/的方程.

(2)以C(4,-3)为圆心的圆与圆V+V=4相切，求圆C的方程.

16.已知直线/:(a-l)y=(2a-3)x+l.

(1)求证：直线/过定点；

(2)若直线/不经过第二象限，求实数。的取值范围；

(3)若直线/与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求/的方程.

17.已知以点为圆心的圆经过原点。，且与x轴交于点A,与>轴交于点3,A、B异于原

点

(1)求证：VAO8的面积为定值.

⑵设直线2尤+y-4=0与圆C交于点M,N,若|OM|=|ON|,求圆C的方程.

(3)在(2)的条件下，设P,。分别是直线/"+>+2=。和圆C上的动点，求|E5|+|P0的最小值及此时

点尸的坐标.

18.已知圆C过点P(1,D,且与圆M:(x+2)2+(y+2)2=/8>0)关于直线x+y+2=0对称.

⑴判断圆C与圆M的位置关系，并说明理由；

(2)过点尸作两条相异直线分别与。C相交于A,B.

3

①若直线Bl和直线PB互相垂直，求R4+P3的最大值；

②若直线P4和直线PB与x轴分别交于点G、H,且NPGH=NPHG,。为坐标原点，试判断直线。尸

和是否平行？请说明理由.

19.某校兴趣小组在如图所示的矩形区域A8C。内举行机器人拦截挑战赛，在E处按正方向释放机器人

甲，同时在A处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q处成功拦截机器人甲.若点Q在矩形区域ABCD

内(包含边界)，则挑战成功，否则挑战失败.

已知AB=24米，E为A8中点，比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进，记而与丽的夹角为6.

(1)若。=45°,足够长，机器人乙的速度是机器人甲的速度的拉倍，则如何设置机器人乙的释放角

度才能挑战成功？

(2)若机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，应如何设计矩形区域ABC。的宽AD的长度，才能确保

无论6的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域A8CD内成功拦截机器

AEB

2.C

【分析】直接将点的坐标代入检验即可逐一判断各个选项.

【详解】对于A,3(3,1)的坐标都不满足圆的方程(x-2『+y2=3,

即圆(彳-2)2+/=3不可能过四个点中的三个点，故A不符合题意；

对于B,C(3,3),。(2,3)的坐标都不满足圆的方程(％-2)2+丁=2,

即圆(x-2)2+/=2不可能过四个点中的三个点，故B不符合题意；

对于C,8(3,1),C(3,3)的坐标都满足圆的方程(尤-2)2+(y-2)2=2,

。(2,3)的坐标不满足圆的方程(无一2『+(y-2『=2,

即圆(x-2『+(y-2)2=2过四个点中的三个点，故C符合题意；

对于D,4(1,1),矶3,1)的坐标都不满足圆的方程(尤-3y+(y-2)2=2,

4

即圆(X-3)2+3-2)2=2不可能过四个点中的三个点，故D不符合题意.

故选：C.

3.B

4.D

【分析】先将圆。的一般化为标准方程，再结合点在圆外，得到关于加的不等式组，解之即可得解.

【详解】由题意得，圆C的标准方程为(％-加)2+e+2祖)2=3加-3,

故3吐3>0,又点(1,一2峭在圆外，所以(1一my+(-2根+2机产>3根一3,

m2-5m+4>0,所以根的取值范围为(4+8).故选：D.

5.A

544

【分析】求得直线的斜率为左=-。，且恒过定点尸(0,-2),求得即A=—|/PB=§,结合题意，求得QW-§

a£a>i，即可求解.x4

[详角军]由直线依+y+2=0,可得y=_ax_2,

54YD

可得直线的斜率为左=-。，且恒过定点尸(。,-2),则七-*心B=g,次

如图所示，要使得直线办+>+2=0与线段有交点，贝或5-a、4，

45(4]「5、

可得aV-4或aN],即实数上的取值范围为卜双一耳u-,+<»].

故选：A.

6.D

【分析】首先根据已知条件得到直线4恒过定点BQ4),直线恒过定点A(6,T),且4,根据交点

PQo,小)得到点P在以A3为直径的圆上，再利用点与圆的位置关系即可得到最值.

【详解】由题知：直线(：，收+'+4=。恒过定点B(0,T).

直线4：x-my-6-4m=0化简为：x-m(y+4)-6=0,当y=-4时，%=6,直线恒过点46,-4).

当〃?=0时，直线4的斜率不存在，直线乙的斜率勺=0,贝必，几

当加N0时，kx=-m,k2=~,勺？左2-1，则

综上：直线”亘过定点3(0,Y),直线力恒过定点A(6,T),

因为直线4与直线k交于点尸(M，%),

5

所以点尸在以A3为直径的圆上，线段A3的中点坐标为C（3,Y）,

且|AB|=6,则其轨迹方程为（x-3）2+（y+4）2=9（除点（0,-4）外），圆的半径r=3,

因为+表示圆上的点到原点距离的平方，设4=1君+天,

则4mx=厂+|。。=8,所以尤;+y：的最大值为64.

故选：D.

7.C

【分析】设AB中点为C,由条件得出网与国的关系结合点到直线的距离解不等式即可.

【详解】设中点为C,则。CLAB,

♦.•国+词网，力祝上词西一•.网《竽河

•••|oc|2+J祠2=4n||oc|2>4,gp|oc|2>3,

又•.•直线x+y-左=。化>0）与圆V+y2=4交于不同的两点43,••.口邛<4,故4>p可N3,则

,1tk>0,.,.A/6<k<2A/2.

故选：C.

8.B

【分析】①根据曲线特征，分别令x=o,y=o,分x轴上方，x轴下方，转化为

与矩形和等腰三角形的面积比较；②将X换成-X,由方程不变，得到图形关于y

轴对称，先得到x=0,尤>0时，曲线经过的点即可；③由x>0时，利用基本不

等式求解.

【解析】①由方程Y+y2=l+Wy,令x=0,得丫=±1,令y=0,得了=±1,

如图所示：

由图象可知：x轴上方，曲线C所围成的面积大于矩形A8CD的面积,

S=lx2=2,

无轴下方，曲线C所围成的面积大于等腰三角形A8E的面积，

S=-xlx2=l,

2

所以曲线。所围成的“心形”区域的面积大于2+2=3,故正确；

6

②由方程r+Vnl+Wy,将X换成-x,方程不变，所以图形关于y轴对称，

令尤=0,得丫=土1,即曲线C经过(0,1),(0,—1),

当尤>0时，方程变为y?—xy+/一1=0,由△=J—4(x?-1)20,解得0<xW2f,

所以x=l,此时丁7=0,解得y=o或y=l,则曲线经过(1,0),(1,1),

再由对称性知，曲线经过所以曲线一共经过6个整点，故错误；

③当x>0时，方程为Y+y2一1=孙4三上，贝I］尤2+^42,即产不<0(当且仅当时等号

成立)，

所以曲线C上任意一点到原点的距离都不超过0,故正确.故选：B

9.BD

2

【分析】求出4〃4的充要条件即可判断A;验证a=(时，两直线斜率之积是否为-1,判断B;求出直线乙

经过的定点即可判断C;判断何种情况下点P。,3)到直线乙的距离最大，并求出最大值，可判断D.

【详解】当时，a(a-l)-6=0解得“=3或。=一2,

当。=一2时，两直线为x-y+3=0,x-y+g=0,符合题意；

当。=3时，两直线为3x+2y+9=0,3x+2y=0,符合题意，故A错误；

21

当〃=—时，两直线为x+5,+3=0,15%一3,+13=0,k,-k,=一一x5=-l,

5125

所以/1上/2,故B正确；

直线(：ax+2y+3a=。即直线a(x+3)+2y=0,故直线过定点(—3,0),C错误;

因为直线4：依+2y+3。=。过定点(-3,0),当直线4：ax+2y+3a=。与点*1,3)和(-3,0)的连线垂直时,

P。,3)到直线《的距离最大，最大值为J(l+3)2+(3-0>=5,

故D正确，故选：BD.

10.ABD

【分析】根据切线长公式即可求解A,B,C,设出点P的坐标，求出以|PC|为直

径的圆的方程，利用两圆的方程相减得到公共弦4B的方程，将代入直线A3的方

程恒成立，可得答案.

7

【详解】圆心c(l,l)到直线/:%+>+1=0的距离为/="^=£1,

V22

所以|PC|2d=昔，因为圆的半径为一道，根据切线长公式可得1PH=J|PC「-尸2K^=亭，

当尸C，/时取等号，所以|，科的取值范围为］当,+8),所以A正确；

因为2，AC,所以四边形R4cB面积等于2xGe=|尸$*“上阴川2gx半=孚，四边形R4cB

面积的最小值为述，故B正确；

2

AC。百,,

因为乙4尸3=120°,所以NAPC=60°,在直角三角形APC中，—=sin60=彳,所以|苗=2,设

P(a-a-I),因为|CP|=J(a_l)2+(F_2)2=2,整理得2a?+2“+1=0,方程无解，所以不存在点尸使

ZAPS=120°,故C不正确；

对于D,设尸(%,%),贝一尤0,P(x0,-l-x0),以|pc|为直径的圆的圆心为(铝，土产)半

径为J&x。一1了+(-无。-2)2,所以以|PC|为直径的圆的方程为

人一空)=2片+：。+5,化简得/=所以A3为圆C与以|PC|

为直径的圆的公共弦，

联立可得N：T),+U-D=3,两式相减可得：x-x/+/y+2y=0,即直线A8的方程为

x+y-xox-x-xoy=1

x-xox+xoy+2y=O,即x(l_/)+y(,+2)=0,故直线AB过定点(0,0),故D正确;

故选：ABD

ll.ACD

【分析】利用“曼哈顿距离”的定义计算判断AD；结合绝对值的意义判断B；作出图形，借助几何意义求

解判断C.

【详解】对于A,由曼哈顿距离的定义知d(P,Q)=|2+2W4-l|=7,A正确；

对于B,设尸(x,0),则以P,M)+d(尸,N)=|x+l|+|x-l,2,B错误；

对于C,作AffiLx轴，交直线尤-2y+6=0于E,过尸作尸“，腔，垂足为H,

8

如图①所示:

由曼哈顿距离的定义可知〃仍,"）=|尸"|+|河叫，而点£（2,4）,

当尸不与E重合时，由直线尤-2了+6=。的斜率为:，^\PH\>\EH\,

则I尸司当尸与E重合时，\PH\=\EH\=O,

于是|PH|Z|E引，因此闫EM+|MH|2|ME|=3,C正确.

对于D,如图②所示，取“（0,0）,N（TO）,则d（MN）=4,D正确.

故选：ACD

12.外离

13.2x-y=0或3x+y-5=0

14.①③④

【分析】求出圆Gi的圆心坐标即可判断①；根据两圆有公共点的条件求出上的范围即可判断②；求出公

共弦所在直线方程，结合公共弦长和垂径定理求出上的值即可判断③；根据左的值求出圆C*的半径，利

用两圆的半径求出外公切线长即可判断④.

【详解】对于①，圆C*的圆心坐标为（左,瓜），在直线y=&上，①正确；

对于②，若圆o与圆C*有公共点，贝”|。&区3,即iwjF+3%243,解得一会心心或各女噎

②错误；

对于③，将圆。与圆G的方程作差可得公共弦所在直线的方程为

2fcc+2限y-4/+3=0,

则圆心。到该直线的距离d=卜则

|-4^2+3|_13

解得人士1或IL③正确;

J(2k)2+(2&)24

3_____

对于④，当左=±3时，圆心距为3,圆。与圆外切，半径差为1,则外公切线长为在二（F=20，④

正确.

故答案为：①③④

15.1）易知力（一1,2）到直线x+2y+7=0的距离为圆A半径r,

9

|-lxl+2x2+7|

所以厂==2出,则圆A方程为(x+l)2+(y-2)2=20

A/12+22

过A做AQ，MN,由垂径定理可知NMQA=90。，且|MQ|=/回,

在RuAMQ中由勾股定理易知\AQ\=='20l

当动直线/斜率不存在时，设直线/的方程为x=-2,

经检验圆心到直线/的距离为1,且根据勾股定理可知|MN|=2晒,

显然*=-2合题意,

当动直线/斜率存在时，/过点3(-2,。)，设/方程为：y=%(x+2),

\-k+2k-2\3

由力(一1,2)至1]/距离为1知=1得兀方

J1+/

代入解之可得3尤-4y+6=0,

所以3x—4y+6=0或尤=—2为所求/方程.

(2)两圆的圆心之间的距离为,4?+(-3)2=5.

当两圆外切时，圆C的半径为5-2=3；

当两圆内切时，圆C的半径为5+2=7.

圆C的方程为(x-4『+(y+3)2=9或(iy+(y+3)2=49.

故答案为：(x-4y+(y+3)2=9或(iy+(y+3)2=49.

16.(1)由/:(〃一l)y=(23)%+1,即Q(2X—y)—3x+y+l=。,

2x—y=0x=l

则,解得伍2

—3x+y+l=0

所以直线过定点(1,2)；

(2)如图所示，结合图像可知,

当4=1时，直线斜率不存在，方程为X=l,不经过第二象限，成立;

当中1时，直线斜率存在，方程为丁:彩^+士,

a—1a-1

出=>0

:

又直线不经过第二象限，贝"丁，解得。<1;

——<0

、。一1

综上所述"KI;

10

(3)已知直线/：(a—l)y=(2〃—3)x+l,且由题意知awl,

令1=0,得y=~^—>0,得。>1,

a—1

13

令y=°,得％=---->0,得〃<一,

3—2。2

o11___1_________1_________1

则2a—13—2a—4〃+10〃_6(5丫],

-4a——+—

I4J4

所以当a=g时，S取最大值，

4

止匕时直线/的方程为一31x+l,即2x+y—4=0.

17.

【详解】(1)由题意可得圆的方程为：=〃+:，

4

化简可得力之-2tx+y2—y=0,

t

与坐标轴的交点分别为：A⑵,0),«。，力，

，1四=32小：=4为定值.

(2)如图所示，••,|OM|=|ON|,.•.原点。在线段"N的垂直平分线上,

设线段的中点为则C,H,。三点共线,

又OC的斜率左=j,.•.(1■卜(-2)=-1,解得~±2,又/>0,所以/=2,可得圆心C(2,l),.•.圆C的

方程为：(x-2)2+(y-l)2=5；

(3)如图所示，由(2)可知：圆心C(2,l),半径厂=6，3(0,2),

设点8关于直线x+y+2=。的对称点为？(x,y),

则39中点为，,g21

，(T)=T=T

且)，解得即？(-4,-2),

二+出+2=。b=-2

[22

则|PB|+|PQ|=|尸团+|PQ闫？。,

11

又点B'到圆上点Q的最短距离为忸⑵-r=J(2+盯+(1+3)2一亚=2非，

则|P3|+|P0的最小值为20，此时直线9C的方程为：y=(

点P为直线EC与直线/的交点，

(f4

则,解得即点尸一可,一公.

x+y+2=0y=~31

18.

一+匕+2=0

,Jz,解得Q=0

【详解】(1)由题可得圆“圆心为(-2,-2),设圆心CQ力,则＜

p+21b=。,则

------=I

、。+2

圆C的方程为V+y2=产，将点p的坐标代入得产=2,故圆c的方程为V+y2=2,.CM=2^2,又两

半径之和为2及，，圆M与圆C外切.

(2)方法一：令晨乙即丛，尸3为过尸点的两条弦,

设4、乙被圆C所截得弦的中点分别为E