锐角的三角函数重难点题型专训（7大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年沪教版九年级上册重难点专练（解析版）

专题01锐角的三角函数重难点题型专训(7大题型+15道拓展培优)

©题型目录

题型一正弦、余弦与正切的概念辨析

题型二求角的正弦值

题型三已知正弦值求边长

题型四求角的余弦值

题型五已知余弦值求边长

题型六求角的正切值

题型七已知正切值求边长

或知识梳理

知识点1：正切与余切

1.正切

直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切(tangent).锐角A的正切记作tanA.

“锐角碘对边BCa

一锐角)勺邻边一前一丁

2.余切

直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切(cotangent).锐角A的余切记作cotA.

.锐角加勺邻边ACb

一锐角和勺对边一工一".

知识点2：正弦与余弦

1.正弦

直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦(sine).锐角A的正弦记作sinA.

锐角屋I勺对边BC_a

sinA=

AB~c

2.余弦

直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦(cosine).锐角A的余弦记作cosA.

锐角朋邻边_AC_b

cosA=

斜边ABc

0-经典例题

41经典例题一正弦、余弦与正切的概念辨析】

【例1】（23-24九年级上.山东青岛.阶段练习）在VABC中，ZC=90°,a,b,c分别是ZB,ZC

的对边，有下列关系式：①6=c-cos3；②6=a-tanB；③a=c-sinA；@a=btanB,其中正确的有（

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】本题考查锐角的三角函数的定义,解题的关键是根据锐角的三角函数的定义分别表示出cos3、tan2、

sinA,从而逐一判断即可得.

【详解】解：如图,

丁cosB=-,

c

a=c-cosB,故①错误;

b

VtanB=-

a

b=a-tanB,故②正确、④错误;

*.*sinA=—,

c

a=c-sinA,故③正确,

•••正确的有2个.

故选：B.

A

区变式训练

1.（2。23•浙江杭州•一模）在"BC中’/C=9。。，2二|,贝U（）

A.cosA=-B.sinB=—C.tanA=—D.tanB=—

5533

【答案】D

【分析】设A3=5a,BC=3a,则AC=4a,然后根据三角函数的定义逐项排查即可.

【详解】解：设AB=5a,BC=3a,贝l|AC=4a,

AC4a4

则=故A错误；

AB5a5

BC_4Q4

sinB==|,故B错误;

AB5a

BC3Q3

tanA==-,故。错误;

AC4a4

AC4k4

tanB==；,故。正确

BC3k3

故选：D.

【点睛】本题主要考查了三角函数的定义和勾股定理，掌握并灵活运用三角函数的定义成为解答本题的关

键.

2.（22-23九年级上•全国•单元测试）当44+/3=90。时，sinA=cosB.在凡ABC中，CD是斜边力B上的

高，那么与C胃D的值相等的锐角三角函数是一•

【答案】sin/A,cosZACD,sin/BCD,cosZB

【分析】根据题意作出相应图形，然后利用正弦和余弦函数的定义即可求解.

【详解】解：如图所示，

B

\D

\A

C

・・・是斜边AB上的高，

.・・/A+/ACD=90。，

CD

：.sin/A=cos^ACD=——,

AC

NBCD+NACD=90°,

；・NBCD=NA,

sin/A=sin^BCD,

9

：^BCD+^B=90°f

sin^BCD=cos/B,

CD

sin/A=cos/ACD=sin^BCD=cos/5=,

AC

故答案为：sin/A,cos/ACD,sin^BCD,cos^B.

【点睛】题目主要考查正弦函数和余弦函数的定义，理解三角函数的基本定义是解题关键.

3.（23-24九年级下•全国•课后作业）如图，在锐角VA3C中，探究上ny,三h,c之间的关系.（提

sinAsinBsinC

示：分别作A8和BC边上的高.）

【分析】分别作垂足分别为2E,根据正弦的定义，在4个直角三角形中分别表示出

CE,AD,进而将等式变形,即可求得号=工

sinAsinBsinC

【详解】解：如图，分别作AD，BC,CE_LA3,垂足分别为D,E,

£

.„ADAD

在MVA4B。中，sin5=——=——,

ABc

:.AD=csinB,

4nAn

在RtADC中，sinC=—八"

ACb

..AD=bsinC,

/.csinB=Z?sinC,

c_b

sinCsin3'

EC

在RtAEC中，sinA=----,

b

EC=sinA-b,

EC

在Rt^BEC中，sinB=——,

a

•#-EC=sinB•a,

.\sinAb=sinBa,

a_b

••—9

sinAsinB

a_b_c

sinAsinBsinC

【点睛】本题考查了正弦的定义，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键.

,4【经典例题二求角的正弦值】

【例2】（23-24九年级下•全国・单元测试）在及ABC中，NC=90。，若将各边长度都扩大为原来的2倍,

则NA的正弦值（）

A

A.扩大2倍B.缩小;C.扩大4倍D.不变

【答案】D

【分析】根据三角函数的定义解答即可.

【详解】解：ABC中，ZC=90°,将各边长度都扩大为原来的2倍，其比值不变,

的正弦值不变.

故选：D.

【点睛】本题考查了三角函数的表示以及求值，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键.

区变式训练

1.(22-23九年级下•江苏泰州•期中)如图，点A,民C在正方形网格的格点上，贝iJsin/R4C=()

A屈RV6rV26nA/26

1361326

【答案】D

【分析】如图，取格点。、E,连接CD、BE交于H,则设:BH=a,贝i」AH=5a,利用勾股定

理求出A8,可得结论.

【详解】解：如图，取格点E,连接CD、BE交于H,则A、C、。三点共线，且即

设BH=a,则AH=5a，

在RtAABW中，AB=y]BH2+AH2=7a2+(5a)2=区a,

V26

sinZBAC=—

AB

故选D.

【点睛】本题考查求角的正弦值、勾股定理与网格问题，根据网格构造直角三角形是解题的关键.

2.（2024•浙江杭州•一模）如图，在4x5的网格中，每个小正方形的边长均为1.若VA2C的顶点都在格点

上，则sinC的值为

【答案】普

【分析】本题主要考查了求角的正切值，勾股定理及其逆定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的

关键.连接格点3、。，根据勾股定理的逆定理证明△ABD是直角三角形，得到NA7M=90。，NBDC=90。，

再根据三角函数的定义即可求解.

【详解】解：连接格点B、D.

由题图知：AB=Vl2+32=A/10，BC=A/12+52=A/26-BD=yl22+22=2^2>AD=Vl2+12=A/2•

AD2+B£)2=2+8=10,AB2=10,

AD2+BD2=AB2.

△AB。是直角三角形.

ZADB=9Q°.

ZBDC=9Q)°.

.「BD2近2V13

在Rt如C中,

BCV2613

3.（23-24九年级上・上海青浦•阶段练习）如图，在VABC中，AC=4,。为边3C上一点，且CD=2,若△ADC

与△ABD的面积比为1：3.

（1）求证：AADCs△痴C；

（2）当AB=8时，求sinB.

【答案】（1）见解析

（2）姮

8

【分析】（1）根据已知得出BD=3DC=6,BC=BD+CD=8,进而可得3C:AC=AC:CD=2,根据两组

对应边成比例，夹角相等，证明△WCs^BAC；

（2）根据相似三角形的性质得出AD=4,过点A作于点E,进而勾股定理求得AE,根据正弦的

定义，即可求解.

【详解】（1）证明：：8=2,且△ADC与的面积比为1:3.

BD=3DC=6,

BC=BD+CD=S,

.•.在VA5c与.ACO中，BC:AC=AC:CD=2,ZBCA^ZACD.

：.AADCABAC.

（2）解：VAADCABAC,

.ADDC

••一，

BAAC

又•「AB=8,AC=4,CD=2.

"=竽=4.

・•・AD=AC=4,

如图所示，过点A作AELOC于点E,

2

在RtADE中，AE^yjAD2-DE2=742-l2>

・人强=出=姮

AB8

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求正弦，熟练掌握相似三角形的性质与判定，求正弦是解

题的关键.

A【经典例题三已知正弦值求边长】

【例3】（22-23九年级上•吉林长春•阶段练习）如图，ZAO3=45。，点C在射线02上.若0C=3应，则

点C到。4的距离等于（)

A.3B.3&C.3岳D.6

【答案】A

【分析】构造直角三角形，利用锐角三角函数的定义，即可得答案.

【详解】解：如图，过点C作CDLQ4,垂足为。，

B

c

在RtCOD中，ZCOD=45°,OC二3屈,

:・CD=二OC=3,

2

即点。到Q4的距离为3,

故选：A.

【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解决本题的关键是能根据锐角三角函数求得线段的长度.

X变式训练

1.（23-24九年级上•浙江宁波・期末）如图是一段索道的示意图.若45=100米，NBAC=a,则缆车从A

点到8点上升的高度8c的长为（）

A.lOOOsina米B.100°米

C.lOOOcosa米

C0S6Z

【答案】A

【分析】在凡ABC中，ZACB=9Q°,斜边A3是已知边，/B4C是已知角，而要求的是2R4C的对边BC

的长，所以选择一BAC的正弦，即可求出结果.

【详解】解：如图，在放ABC中，ZACB=90°,ZBAC=af

,.BC

・・sm。=,

AB

BC=AB-sincr,

TAB=1000米,

5C=1000sine米.

故选：A.

【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确掌握锐角三角函数的定义，选择适当的锐角

三角函数模型.

4

2.（23-24九年级上•上海金山・期末）如果。是直角三角形的一个锐角，sina=那么tana=.

【答案】|/1|

【分析】本题主要考查了正弦和正切的知识，熟练掌握正弦和正切的定义是解题关键.由题意可知,

/74

五…二丁可设……弘，则人女,然后根据正切的定义求解即可.

Q4

由题意可知，sina,

c5

设。=4左,。=5左，贝!=，。2_片=3左,

.Q4左4

••tanOL——=—=一.

b3k3

4

故答案为：y.

3.（23-24九年级上.上海闵行•期中）如图，已知点。、E分别在△A8C中的边A4、CA的延长线上，且。E

//BC.

(1)如果A£>=3,BD=9,DE=4,求BC的长;

⑵如果看弓.=4,过点。作垂足为点忆求成的长.

【答案】（1）8

(2)275

【分析】（1）根据。E〃8C可得△ADES&4BC,进而可得=代入数值进行计算即可求解;

BCAB

AF）FA好，即可求得。尸的长.

（2）由（1）可得——=—,求得BD=10,在放ABDP中,根据sinB：

BDEC5

【详解】3•:DE//BC,

AADE^AABC

.DEAD

••一，

BCAB

・.・AD=\BD=9,

：.AB=BD-AD=6

•:DE=4,

BC~~6

：.BC=S

(2)'：DE//BC,

AADE^AABC

.ADEA

•・BD~EC'

..CA_3

•CE-5

.AD_2

•・丽—丁

4)=4,

.4_2

••茄M

：.BD=10

•：BF±BC,垂足为点尸，

NDFB=90°,

在RtABDF中,sinB=—,

BD5

即变=立，

105

DF=275

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，已知正弦求边长，掌握相似三角形的性质与判定是解题的

关键.

4【经典例题四求角的余弦值】

【例4】（2024•广东汕头•模拟预测）中，若NC=90。，BC=3,AC=4,则cosA的值为（）

A.劣B.1C.』D.1

4355

【答案】D

【分析】本题考查了锐角三角函数的定义、勾股定理等知识点，熟练掌握余弦定义和勾股定理是解题的关

键.

先利用勾股定理计算出AB,然后利用余弦的定义求解即可.

【详解】解：ZC=90°,BC=3,AC=4,

AB=VAC2+BC2=j32+42=5,

“AC4

/.cosA=----=—.

AB5

故选：D.

区变式训练

1.（2024九年级•全国・竞赛）在VA5C中，3AB=2BC,ZA=60°,贝!Jcos3=（）.

A3±\/6口3—y/603±A/6八3—^6

A.-----D.-----------u.--------u.--------

2266

【答案】D

【分析】本题考查了求一个角的余弦值，正确作出辅助线是解题的关键，过点。作CDLAB于点。，根据

勾股定理列式计算，得d+3（2左-X）2=9/，解得x=怎再根据cos2=gg代入数值计算化简，即可

作答.

【详解】解：过点C作CDLAB于点

设AB=2左>0,BC=3k,BD=x>0,

贝UAD=2左一x>0,CZ>=G(2A:—x),

由g+m=叱，

得d+3（2左一X）2=9〃,

解得X=主区％,

2

AD=2k-x>Q,

x<2k,

.“=如住人舍去，

2

故选：D

2.（2024・上海・中考真题）在平行四边形9CD中，/ASC是锐角，将C。沿直线/翻折至43所在直线，对

应点分别为C',Df,若AC':AB:3c=1:3:7,贝UcosNABC=.

【答案】；2或4?/自4或:2

7777

【分析】本题考查了平行四边形的翻折，求余弦值，等腰三角形的判定及性质，解题的关键是利用分类讨

论的思想进行求解.

【详解】解：当C'在A3之间时，作下图，

根据AC':AB:3c=1:3:7,不妨设AC'=1,AB=3,8C=7,

由翻折的性质知：ZFCD=NFC'D,

8沿直线/翻折至A3所在直线，

ZBC'F+Z.FCD'=NFCD+ZFBA,

NBC'F=ZFBA。

7

CF=BF=C'F=-,

过/作A3的垂线交于E,

:.BE=-BC'=1,

2

:.cosZABC=-=^-=-

BFL7，

2

当C'在54的延长线上时，作下图,

根据AC:AB:3c=1:3:7,不妨设AC'=1,AB=3,3C=7,

7

同理知：CF=BF=CfF=-,

过尸作A8的垂线交于£,

:.BE=-BC=2,

2

…厂BE24

cosNA5c==-=—

BFL7，

2

故答案为：92或4

3.(22-23九年级上•全国・单元测试)如图，在中，ZACB=90,BC=5,AC=12,

试求:

(l)sinA的值;

(2)cosNACD的值;

(3)。的值.

【答案】⑴]

⑵9

13

60

(3)—

13

【分析】题目主要考查正弦函数及余弦函数，熟练掌握二者的定义是解题关键.

（1）根据勾股定理得出钻=13,再由正弦函数求解即可；

（2）根据同角的余角得出NB=NACD,再求余弦值即可；

（3）根据正弦函数求解即可.

【详解】（1）解：：NACB=90,BC=5,AC=12,

:.AB=13,

•.A_BC_5

>•siiiA-——；

AB13

（2）解：・・・。0_146于0,NACB=90,

AZA+ZB=90,ZA+ZACD=90,

ZB=ZACD,

5

cosZACD=cosZB=

AB13

(3)解：VAC=12,sinA=—,

sinA=0CD5

ACTT-13

3竺

13

4【经典例题五已知余弦值求边长】

【例5】（2023•上海长宁•一模）在RSABC中，ZC=90°,如果cosB=g,BC=a,那么AC的长是（）

A.2\f2aB.3aC.y/10aD.

4

【答案】A

【分析】依据cosB=；,BC=a,即可得到AB=3a,再根据勾股定理，即可得到AC的长.

【详解】如图，

Bz

VcosB=-,BC=a,

3

.\AB=3a,

•：ZC=90°,

/.RtAABC中,AC=dAB。-BC?=小（3a#-a2=2亚a,

故选A.

【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理.在直角三角形中，锐角A的邻边b与斜边c的比叫

做NA的余弦，记作cosA.

区变式训练

1.（23-24九年级下•安徽淮南•阶段练习）已知在心A3c中，ZC=90°,NA=tz,AC=m,那么4B的长

为（）

.cm41n

A4.msmaB.mcosaC.-------D.--------

COS6Zsina

【答案】c

【分析】本题主要考查锐角的三角函数，结合图形根据余弦函数的定义求解可得，熟练掌握余弦函数的定

义是解题的关键.

【详解】如图，

cosA=,tipcostz=,

ABAB

：.AB=-^—,

cosa

故选：C.

4

2.（23-24九年级下•上海宝山.期中）如图，菱形ABC。的边长为5,cosB=~,E是边C£＞上一点（不与点

C、。重合），把△4DE沿着直线AE翻折，如果点。落在菱形一条边的延长线上，那么CE的长为.

【分析】本题主要考查菱形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，由折叠得==过点A作

AHL3C于点H,过点E作EGLb于点G,得8"=HF=4,CF=3,由菱形的性质得NOCF=/8,可得

冠CG=49,设CG=4y,则CE=5y,由勾股定理得EG=3y,由折叠得所=DE=5-5y,而

CE5

FG=FC—CG=3—4y,在Rt△所G中由勾股定理得(3-4»+(3»=(5-54，解方程求出V的值即可解

决问题

【详解】解：过点A作于点H,过点E作EGLCF于点G,点。与点尸重合，如图,

由折叠得，AF=AD=AB=5,

：.BH=AH,

:.BH=4,

BF=2BH=8,

・•.FC=AF-AC=8-5=3,

・・•四边形ABC。是菱形，

CD//AB,

：./DCF=/B,

4CG

cos/DCF=cosZB=—=,

5CE

设CG=4y,贝1_]0石=5'，FG=CF-CG=3-4y,

由折叠得，EF=DE=5-5y,

在中，由勾股定理得，EG=A/CE2-CG2=3y,

在RrVFEG中，由勾股定理得，EG1+FG1=EF\

•••（3y），（3-4y）2=（5-5y）2,

Q

解得，y哈

CE=5x—=—,

1313

40

故答案为：—

2

3.（23-24九年级上.上海宝山•期中）如图，RtAABC中，ZC=90°,cosA=1,。是边AC的中点，连结8。.

(1)已知BC=石，求A8的长;

⑵求cotNASD的值.

【答案】⑴AB=3；

7J5

(2)cotZABD=-1-.

【分析】本题考查了解直角三角形，掌握三角函数的定义是解题的关键.

（1）根据题意设AC=2a,则AB=3a,利用勾股定理列式计算求得。=1,据此求解即可；

2

（2）作于求得A£>=1,利用余弦函数求得AE=§,再利用勾股定理和余切函数的定义求解

即可.

【详解】（1）解：・・・NC=90。，cosA=—=-,

AB3

.••设AC=2Q,贝ljAB=3a,

BC2=AB2-AC2,即（3。）2一（2〃『=（6）,

解得〃=1,

AB=3；

（2）解：作。石/于E,

c

由⑴得AC=2,

・・・。是边AC的中点,

AD=-AC=1,

2

2

*.*cosA=—

3

・AE-2

，9~AD~3

AE=—

3

***BE=AB—AE=3—=-,DE=VAD2—AE2=,

333

7

'.-ABD啮=友=咚

3

A【经典例题六求角的正切值】

【例6】（23-24九年级上.上海静安・期末）如果直线丫=》与无轴正半轴的夹角为锐角a,那么下列各式正

确的是（）

A.sina~~B.cosa—\/2C.tancr=1D.cota=

，2

【答案】C

【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.将图像画出，

设点A是直线上的点，设点A（也㈤，过点A作AHLx轴于点H,则A"=〃z,OH=m,即可求解.

【详解】解：设点A是直线上的点，设点4（加,附，过点A作轴于点则==

/.OA=A2+/—y[2m

.AHmV2

sina=-----

OAyflm2

OHmA/2

cosa=-----

OAV2m2

AHm

tana=----

OHm

OHm

cota=-----

AHm

故选c.

区变式训练

1.（2023・上海嘉定•一模）在平面直角坐标系X。》中，已知点P（l,3）,点P与原点。的连线与X轴的正半轴

的夹角为。（0°＜。＜90°）,那么tan以的值是（）

A,巫B.-C,D,3

10310

【答案】D

【分析】如图，过P作PALx轴于A,根据尸（1,3）,得至！］OA=1,PA=3,由NPOA=a,利用角的正切值等

于对边比邻边求出答案.

【详解】如图，过P作PALx轴于A,

VP（L3）,

/.OA=1,PA=3,

在RtAOPA中,ZPOA=«,

PA

tana=tanZPOA==3,

OA

故选：D.

【点睛】此题考查直角坐标系中点到坐标轴的距离，锐角三角函数值的计算，正确掌握正切值计算公式是

解题的关键.

2.(2024•上海奉贤•二模)如图，正方形ABC。的边长为1,点P在AD延长线上(PD<CD),连接P&PC,

如果△口>?与相似，那么tanZBPA=.

【答案】叵【

2

r)pCD

【分析】本题考查了相似三角形的性质，三角函数，设。P=x,利用相似三角形的性质可得£==,即

ABPA

：=工，求出X,得到。尸=避上1,再根据正切的定义计算即可求解，利用相似三角形的性质求得OP是

1X+12

解题的关键.

【详解】解：设=则尸4=元+1

VPD<CD,尸与相似,

.DPCD

"AB"PA）

.x_1

••——,

1x+1

••X2+%—1=0,

解得h=告叵，%2=Z1_^（不合，舍去）,

5P=zl±^+i=^±l,

22

1

tanNBPA=----=

PA75+1

2

故答案为：与

3.（22-23九年级•上海•假期作业）在RtAABC中，ZC=90°,AB=13,3C=12,AC=5,求sinA、cosA、tanA

和cotA.

19

【答案】sinA唁,8sA=上，tanA=U,8tA=9

13512

【分析】根据三角函数的定义直接计算即可.

【详解】VZC=90°,AB=13,BC=12,AC=5,

s„M=+=乜，cosA=^=9，tanA=^12cotA=^5

AB13AB13ACyBC12

嚓巴…丝％tan,二缥笑2缥挈,

【点睛】考查锐角的三角函数的定义即sina=

斜边斜边。的邻边a的对边

熟练掌握定义是解题的关键.

,41经典例题七已知正切值求边长】

【例7】（2023•上海徐汇・一模）在Rt^ABC中，ZC=90°,如果ZA=40。，AC=b,那么8C等于（）

A.Z?sin40°B./JCOS40°C.仇an40°D.Z?cot40o

【答案】C

【分析】根据解直角三角形即可求解.

【详解】解:如图:

,•在RtAABC中，ZC=90°,ZA=40°,AC=b,

BC=AC-tanZA=btan40°,

故选：C.

【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正

切为对边比邻边.

区变式训练

1.（2023•吉林长春•二模）如图所示一座楼梯的示意图，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为"现

要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=6米，楼梯宽度4米，则地毯的面积至少需要（）

A.3米2B.超-米2C.(24+用1米2D,(24+24tane)米2

sin。cos。Itan。J

【答案】D

【分析】在即母48。中，利用锐角三角函数求出BC,然后根据平移的性质可得在楼梯上铺的地毯长，从而

求出地毯的面积.

【详解】解：在MAABC中，AC=6,ZBAC=0,

；.tanQ族,

AC

BC=ACt2Ln0=6tan3（米）,

二・在楼梯上铺的地毯长=5C+AC=（6+6tan6）米，

二・地毯的面积=4（6+6tan。）=（24+24tan。）平方米，

故选：D.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的计算是解题的关键.

2.（23-24九年级上•上海黄浦・期中）如图已知在VABC中，ZC=90°,AB=5,cotB=1,正方形OEFG的

顶点G、厂分别在边AC、上，点D、E在斜边A8上，那么正方形DEfG的边长为.

【答案】y

【分析】由正方形DEFG,设DE=DG=EF=x,由NA+NAGO=90°=NA+N3,可得NAGD=/fi,则

cotZAGD=cotB=—,即==^=g^=J_,解得，AD=2x,BE=—x,根据

2ADEF2ADx22

AB=AD+DE+BE=5,代值计算求解即可.

【详解】解：・・•正方形OE尸G,

\ZADG=ZBEF=9009DE=DG=EF,

^DE=DG=EF=x,

：ZA+ZAGD=90°=ZA+ZBf

•・ZAGD=ZB,

*.cotNAGD=cotB=—BP——=——=—,

2fADEF2

---=---=—>解得，AD=2x,BE=­x,

ADx22

：AB=AD+DE+BE=5,

*.2x+x+—x=5,解得，x=—

27

故答案为：-y

【点睛】本题考查了正方形的性质，余切，一元一次方程的应用.解题的关键在于正确表示余切，确定线

段之间的数量关系.

3.(23-24九年级上.上海.阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，已知BA分别是y=-%+4与x轴，、轴

的交点.

(2)在第一问的条件下，求tanNOB的值;

（3）若。在直线4B上，tan，OD3=；,求。的坐标.

【答案】⑴C（L3）

⑵2

⑶（3,1）或（6,-2）

【分析】本题考查一次函数的综合；熟练掌握一次函数的图象及性质，平行线分线段成比例定理，正切函

数的定义是关键.

（1）过点C作S_Ly轴于根据平行线分线段成比例定理可得出AH,OH,的长,即可得C的坐标;

（2）连接OC,过点。作在RtOCE中，根据正切函数的定义即可求解；

（3）设O（x,f+4）,进而求出tanNBODJ一）；旬=g,求出x的值即可得。的坐标.

"AO~AB~OB'

..ACl

'BC~3'

•AC_1

••一，

AB4

.AHACHC

"AO~AB~OB~4"

•・・B,A分另|是丁=一九+4与％轴，y轴的交点.

当x=0时，y=4；当y=0时，x=4,

AA(0,4),5(4,0),

•*-OA=4,05=4,=J42+42=40，

・.・AH丁一H丁C一_"1

：.AH=1,HC=1,

OH=OA—AH=4—1=3,

C(l,3)；

(2)解：连接OC,过点。作OELAB

在RtOCE中，tanZOCB=—=2；

(3)解：如图，过点。作DE_Lx轴于E,

设。（用一%+4）,

tanZBOD=|"A'+41=

x3

解得x=3或6.

.•.0（3,1）或（6,-2）,

综上所述：。的坐标为（3,1）或（6,-2）.

提优训练

1.（23-24九年级上•山东泰安•阶段练习）在△ABC中，ZC=90°,若tanA=；,贝UsinB=（）

A.好B.好C.述D.亚

5253

【答案】C

【分析】根据三角函数的定义，知tanA=§J=:，设2。=无，AC=2x,根据勾股定理可求得A3,再根据三

ACL

角函数的定义就可以求出sin3的值.

【详解】解：在AABC中，ZC=90°,

.•.设BC=x,AC=2x,

AB=A/BC2+AC2=次+（2x）2=显,

2x2A/5

:.sinB=—--=-

ABy/5x5

故选：C.

【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，一个锐角的正弦值为对边比斜边，余

弦值为邻边比斜边，正切值为对边比邻边.

2.（2023•江苏扬州•中考真题）在VABC中，ZB=60°,AB=4,若VABC是锐角三角形，则满足条件的8C

长可以是（）

A.1B.2C.6D.8

【答案】C

【分析】如图，作AD_L9,则ZADB=90°,ZBAE=90°,BD=ABcosZB=2,BE=---------=8,

cosAB

由VA5c是锐角三角形，可得BD<BC<BE,即2<3C<8,然后作答即可.

【详解】解：如图，作AD_L3C,AE±AB,交的延长线于点E

A5

ABD=ABcosZB=2BE=---------=8,

fcos/B

YVABC是锐角三角形，

ABD<BC<BE,即2<3C<8,

满足条件的2C长可以是6,

故选：C.

【点睛】本题考查了余弦，锐角三角形.解题的关键在于确定8C的取值范围.

3.（22-23九年级上•山东青岛・期末）如图，ABC的顶点分别在单位长度为1的正方形网格的格点上，则

sin/BAC的值为（）

A.V5B.好C.-D.正

523

【答案】B

【分析】过8作60J_AC于点。，根据勾股定理得出AB,AC的值，再利用面积公式求出BD的值，由

sinNBAC=婴可得角的正弦值.

【详解】解：如图，过8作于点。

根据勾股定理得：AB=732+42=5,AC=^32+62=345

：.S...=-AC-Br>=4x6--x3xl--x3x4--x6x3=—,

由Rr22222

/.BD=y/5

•■”AR_BD下

••sin/CAB-二—

AB5

故选：B.

【点睛】本题考查了正弦值，勾股定理与网格，三角形的面积等知识点，解题的关键在于构造直角三角形.

4.（2024九年级下•全国・专题练习）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为/e,叙述正确的是（）

.a

A.sina的值越大，梯子越陡

B.cosa的值越大，梯子越陡

C.tana的值越小，梯子越陡

D.陡缓程度与的函数值无关

【答案】A

【分析】根据三角函数定义与性质，sina值越大越大；cosa值越小/夕越大；tana值越大/夕越大，

从而判断出答案.

本题考查三角函数定义与性质，熟记“sine值越大越大；cose值越小/以越大；tan。值越大Na越大”

是解决问题的关键.

【详解】解：A、sina的值越大，梯子越陡，故A符合题意；

B、cosa的值越小，梯子越陡，故B不符合题意；

C、tana的值越大，梯子越陡，故C不符合题意；

D、陡缓程度与的三角函数值有关，故D不符合题意.

故选：A.

5.（2023•安徽蚌埠•二模）如图①，在RtAABC中，ZA=45°,点N分别从点C,A出发，以每秒1个

单位长度的速度向A,8移动，当点M到达点A时，点N也停止移动，CMN的面积y随时间x的变化情

况如图②所示，则AC的长为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】过点"作人不，4?于点R得出AN=x,CM=x,根据三角函数得出NF=ANxsin45o=也x,

2

求出>=走/,把>=四代入得也/=0，得出彳=2,即可求出AC的长.

44

【详解】解：过点N作于点尸，如图所示:

A

①

则NA7W=90。，

・・,点M,N分别从点C,A出发，以每秒1个单位长度的速度向A,3移动，

:.AN=x,CM=x,

VZA=45°,

NF=ANxsin45°=x>

2

•*-y=-CMxNF=工彳.^^尤=^^尤2，

'2224

把>=近代入得变尤2=8,

4

解得：*=2或犬=-0'（舍去），

:.点、M仄C运动到A所用的时间为2秒，

AC=2,故B正确.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形，三角形面积的计算，已知函数值求自变量，解题的关键是数形结

合，根据函数图象求出点/从C运动到A所用的时间为2秒.

6.（23-24九年级.全国.单元测试）若坡面与水平面的夹角为a,则坡度i与坡角a之间的关系是.

【答案】i=tana

【分析】坡面与水平面的夹角a叫做坡角，坡度i与坡角a之间的关系为：i=tana.

【详解】解:如图所示:i=tana.

【点睛】本题考查了坡度与坡角的关系，属于简单题，熟悉正切三角函数的定义是解题关键.

7.（22-23九年级上•全国•单元测试）已知等腰三角形两边长分别为5和8,则底角的余弦值为

【答案】

【分析】本题考查了解直角三角形，等腰三角形边的讨论是解题的关键

分两种情况：当A8=AC=5,3C=8时，当AB=AC=8,8C=5时，根据等腰三角形的性质及余弦函数的

定义求解即可

【详解】解：如图，在A5C中，AB=AC,过A作于Z）,

当AB=AC=5,BC=8时,

贝。=4,

CD4

在&ACD中，cos/C=——=-

5

当AB=AC=8,BC=5时，贝|CD=2.5,

在HAC。中，cos/C=*CD=二25=25

AC816

故答案为：或g

165

8.（2024九年级•全国•竞赛）已知VABC为直