2025年高考数学复习之常用逻辑用语

2025年高考数学复习热搜题速递之常用逻辑用语（2024年7月）

选择题（共10小题）

1.设函数/⑴=cos（x+电，则下列结论错误的是（）

A.f（x）的一个周期为-2H

B.尸八无）的图象关于直线尤=詈对称

C.f（X+Tt）的一个零点为尤=1

7T

D.f（无）在（一，TT）单调递减

2

2.设a€R,则“a>l”是“/>/，的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3.设x6R,则“/-5尤<0”是“|x-1|<1"的（）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.设命题0：3M£N,/>2",则-'p为（）

A.VHGN,"2>2〃B.3/iGN,MW2”

C.VM£N,D.HnGN,n2=2w

5.设p：实数x,y满足x>l且y>l,q：实数x,y满足x+y>2,则p是q的（)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

6.若。>0,b>0,贝ij“a+6W4”是“abW4”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

7.设aeR,贝lj"a>l”是"/>/，的（）

A.充分非必要条件

B.必要非充分条件

C.充要条件

D.既非充分也非必要条件

8.设X6R,则“丁>8”是“|x|>2"的（）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

9.设Q,b是向量，则a\a\=\b\"是a\a+b\=\a-bf的（）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

10.已知直线/_!_平面a,直线根u平面0,给出下列命题

①a〃0=/_Lm；

②aJ_0=>/〃m；

③/〃m=>a_Lp；

④p.

其中正确命题的序号是（）

A.①②③B.②③④C.①③D.②④

二.填空题（共5小题）

11.a,0是两个平面，m,〃是两条直线，有下列四个命题：

①如果M_L〃，m±a,几〃0,那么a_L0.

②如果m_La,n//a,那么m_L〃.

③如果a〃dmca,那么机〃0.

④如果机〃%a〃由那么m与a所成的角和〃与0所成的角相等.

其中正确的命题是(填序号)

1

12.若“八€邑2],使得2X2-XA+KO成立”是假命题，则实数A的取值范围为.

13.关于函数/(x)=sinx+焉^有如下四个命题：

①/(x)的图象关于y轴对称.

②于3的图象关于原点对称.

@/(x)的图象关于直线对称.

@f(%)的最小值为2.

其中所有真命题的序号是.

14.设有下列四个命题：

pi:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.

P2:过空间中任意三点有且仅有一个平面.

0：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.

P4：若直线/u平面a,直线根_L平面a,则m_L/.

则下述命题中所有真命题的序号是.

®pi/\p4

②’1Ap2

③[p2vp3

④-'P3V-'p4

15.命题：3xER,/一%+1=0的否定是.

三.解答题(共5小题)

16.设p：实数%满足％2-4以+3〃2<0,q-实数x满足|元-31Vl.

(1)若。=1,且pAq为真，求实数x的取值范围；

(2)若〃>0且「p是「夕的充分不必要条件，求实数〃的取值范围.

17.已知集合AMIHX2-2x-3V0},B={x|(x-m+1)(x-m-1)20}.

(1)当m=0时，求AG5；

(2)若p：x2-2x-3<0,q：(x-m+1)(x-m-1)20,且q是p的必要不充分条件，求实数m的

取值范围.

18.(I)命题FxoCR,刈2_3QXO+9V0"为假命题，求实数〃的取值范围;

(II)若u?+2x-8<0"是"x-m>0"的充分不必要条件，求实数机的取值范围.

19.已知命题p：XI和X2是方程X1-mx-2=0的两个实根，不等式a2-5a-32|xi-x2|对任意实数mE[-

1,1]恒成立；命题0不等式办2+2%-1>0有解，若命题p是真命题，命题q是假命题，求〃的取值

范围.

20.已知〃：x2-7x+10<0,q：x2-4mx+3m2<0,其中机>0.

(1)若机=4,且pAq为真，求工的取值范围；

(2)若「q是「p的充分不必要条件，求实数机的取值范围.

2025年高考数学复习热搜题速递之常用逻辑用语(2024年7月)

参考答案与试题解析

一.选择题(共10小题)

1.设函数无)=cos(x+|),则下列结论错误的是()

A.f(x)的一个周期为-2TT

B.y=f(x)的图象关于直线％=等对称

C.f(x+n)的一个零点为％=看

71

D.f(尤)在(3，Tt)单调递减

【考点】命题的真假判断与应用；余弦函数的图象.

【专题】函数思想；定义法；三角函数的图象与性质.

【答案】D

【分析】根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可.

【解答】解：A.函数的周期为2E,当人=7时，周期T=-2m故A正确，

B.当％=母时，cos(x+5)=cos(―+—)=cos/-=cos3n=-1为最小值，此时y=/(x)的图象

关于直线x=^对称，故8正确，

。当x=看时，f(―+TC)=cos(―+n+^)=cos—=0,则/(1+ir)的一个零点为冗=?故C正确，

D.当囚VvVn时，—<x+^<^,此时函数/(%)不是单调函数，故。错误，

2603

故选：D.

【点评】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，根据三角函数的图象和性质是解决本题的关

键.

2.设aeR,则aa>r是“a2〉a”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【考点】充分条件与必要条件.

【专题】计算题；对应思想；定义法；简易逻辑；逻辑推理.

【答案】A

【分析】解得。的范围，即可判断出结论.

【解答】解：由/>°,解得。<0或。>1,

故。>1”是“4a”的充分不必要条件，

故选：A.

【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

3.设xeR,则“/-5x<0”是“|x-1|<1"的（）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【考点】充分条件与必要条件.

【专题】转化思想；定义法；简易逻辑；逻辑推理.

【答案】B

【分析】充分、必要条件的定义结合不等式的解法可推结果

【解答】解：：f-5x<0,；.0<尤<5,

VU-1|<1,.\0<x<2,

V0<x<5推不出0cx<2,

0<x<2=>0<x<5,

.-.0<x<5是0<x<2的必要不充分条件，

即/-5x<0是|x-1|<1的必要不充分条件.

故选：B.

【点评】本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题.

4.设命题p：3»eN,tr>2n,则-'p为（）

A.VnGN,rr>2nB.3/ieN,

C.VnGN,rr^2nD.3?JGN,*=2"

【考点】存在量词命题的否定.

【专题】简易逻辑.

【答案】C

【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论.

【解答】解：命题的否定是：v”eN,〃2忘2”,

故选：C.

【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础.

5.设p：实数x,y满足了>1且y>l,q：实数无，y满足x+y>2,则p是q的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【考点】充分条件与必要条件.

【专题】转化思想；不等式的解法及应用；简易逻辑.

【答案】A

【分析】由x>l且y>l,可得：x+y>2,反之不成立，例如取x=3,1.

【解答】解：由尤>1且y>l,可得：x+y>2,反之不成立：例如取x=3,y=/

:.p是q的充分不必要条件.

故选：A.

【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

6.若a>0,b>0,则“a+6W4”是“abW4”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【考点】充分条件与必要条件.

【专题】转化思想；综合法；简易逻辑；逻辑推理.

【答案】A

【分析】充分条件和必要条件的定义结合均值不等式、特值法可得结果

【解答】解：：a>0,b>0,：.4^a+b^2y[ab,

.,.2>Vab>ab^4,即

1

右〃=4,b=7,贝IJ〃Z?=1W4,

1

但〃+/?=4+彳>4,

即abW4推不出a+bW4,

a+b^4是abW4的充分不必要条件

故选：A.

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，均值不等式，考查了推理能力与计算能力.

7.设aeR,则“a>l”是“/>1”的()

A.充分非必要条件

B.必要非充分条件

C.充要条件

D.既非充分也非必要条件

【考点】充分条件与必要条件.

【专题】转化思想；定义法；简易逻辑.

【答案】A

【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【解答】解：由/>1得。>1或-1,

即“心1”是“洽>i”的充分不必要条件，

故选：A.

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义

是解决本题的关键，比较基础.

8.设x€R,则“城>8”是“国>2”的()

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【考点】充分条件与必要条件.

【专题】对应思想；数学模型法；简易逻辑.

【答案】A

【分析】由/>8得到|尤|>2,由国>2不一定得到尤3>8,然后结合查充分条件、必要条件的判定方法

得答案.

【解答】解：由小>8,得尤>2,则|x|>2,

反之，由|x|>2,得x<-2或无>2,

贝ijx3<-8或尤3>8.

即“小>8”是“|x|>2"的充分不必要条件.

故选：A.

【点评】本题考查充分条件、必要条件及其判定方法，是基础题.

9.设a,匕是向量,则“|。|=网”是9a+b|=|a-b|"的()

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【考点】充分条件与必要条件；平面向量的概念与平面向量的模.

【专题】转化思想；平面向量及应用；矩阵和变换.

【答案】D

【分析】根据向量模相等的几何意义，结合充要条件的定义，可得答案.

TTT—

【解答】解：若“回=网”，则以a,b为邻边的平行四边形是菱形；

—TTT—

若“|a+b|=|a-勿”，则以a,b为邻边的平行四边形是矩形；

T—TTT-

故“@=网”是“|a+b|=|a—b|"的既不充分也不必要条件；

故选：D.

【点评】本题考查的知识点是充要条件，向量的模，分析出“而=向”与“而+&=向-加,表示的几

何意义，是解答的关键.

10.己知直线/_L平面a,直线“zu平面0,给出下列命题

①a〃0=/J_%；

m-,

③/〃机=>aJ_0；

④/J_〃z=>a〃p.

其中正确命题的序号是()

A.①②③B.②③④C.①③D.②④

【考点】命题的真假判断与应用.

【专题】综合题.

【答案】c

【分析】由两平行平面中的一个和直线垂直，另一个也和平面垂直得直线平面p,再利用面面垂直

的判定可得①为真命题；

当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，故②为假命题；

由两平行线中的一条和平面垂直，另一条也和平面垂直得直线机，平面a,再利用面面垂直的判定可得

③为真命题；

当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，如果直线机在平面a内，

则有a和0相交于m,故④为假命题.

【解答】解：平面a且a〃0可以得到直线八平面0,又由直线”仁平面0,所以有L机；即①为

真命题；

因为直线平面a且a,0可得直线I平行于平面P或在平面P内，又由直线平面0,所以/与加，

可以平行，相交，异面；故②为假命题；

因为直线/_L平面a且/〃机可得直线平面a,又由直线“zu平面0可得a_L0；即③为真命题；

由直线平面a以及机可得直线m平行于平面a或在平面a内，又由直线mu平面0得a与0可

以平行也可以相交，即④为假命题.

所以真命题为①③.

故选：C.

【点评】本题是对空间中直线和平面以及直线和直线位置关系的综合考查.重点考查课本上的公理，定

理以及推论，所以一定要对课本知识掌握熟练，对公理，定理以及推论理解透彻，并会用.

二.填空题（共5小题）

11.a,0是两个平面，m,“是两条直线，有下列四个命题：

①如果机_1_”，机_La,九〃0,那么a_L0.

②如果n//a,那么

③如果a〃0,"zua,那么加〃0.

④如果机〃ma〃0,那么相与a所成的角和”与0所成的角相等.

其中正确的命题是②③④（填序号）

【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关

系.

【专题】探究型；空间位置关系与距离；立体几何.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据空间直线与平面的位置关系的判定方法及几何特征,分析判断各个结论的真假,可得答案.

【解答】解：①如果机_1_",m±a,w〃仇不能得出a_LB，故错误；

②如果"〃a,则存在直线/ua,使/〃/,由可得m那么〃z_L〃.故正确；

③如果a〃B，〃?ua,那么与0无公共点，则ni〃B.故正确

④如果机〃“a//P，那么机，”与a所成的角和机，〃与0所成的角均相等.故正确；

故答案为：②③④

【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了空间直线与平面的位置关系，难度中档.

1

12.若“mxeg,2],使得2：-右+1<0成立”是假命题，则实数人的取值范围为（-8,2a1.

【考点】存在量词和存在量词命题.

【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据“八€与，2],不等式zW-Xx+lCO成立”是假命题，求出“勤[5,2],使得]>2x+《成

立”是假命题时A的最小值，即可求出实数人的取值范围.

1

【解答】解：若"八日,2],使得2/-右+1<0成立”是假命题，

即“八曰=,2],使得入>2x+/成立”是假命题，

21

由成62],当x=¥时，函数y=2x+r2Hm=2夜，当且仅当2x=即户苧时取“=”，

所以y的最小值为2/；

所以实数）的取值范围为（-8,2V2].

故答案为：（-8,2V2].

【点评】本题考查了特称命题，不等式恒成立问题以及函数的图象和性质的应用问题，是中档题.

1

13.关于函数/（x）=sinx+茄法有如下四个命题：

&/Cx）的图象关于y轴对称.

②于3的图象关于原点对称.

③/（X）的图象关于直线x=*对称.

@f（x）的最小值为2.

其中所有真命题的序号是②③.

【考点】命题的真假判断与应用.

【专题】综合题；函数思想；转化思想；转化法；函数的性质及应用；逻辑推理.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据函数奇偶性的定义，对称性的判定，对称轴的求法，逐一判断即可.

【解答】解：对于①，由sinxT^O可得函数的定义域为因尤力匕1,左CZ},故定义域关于原点对称，由f

11

(-无)=sin(-无)+^-7—r=—siiu：—=—f(x)；

sin{—x)sinxJ

所以该函数为奇函数，关于原点对称，所以①错②对；

对于③，由/(n-x)=sin(IT-x)+.、=sinx+」-=/(尤),所以该函数/(x)关于对称，

X)SITT%Z

③对；

11

对于④，令片sinx,则生[-1,0)U(0,1],由双勾函数g⑺=什下的性质，可知，g⑺=/+-£

(-8,-2]U[2,+8),所以/(x)无最小值，④错；

故答案为：②③.

【点评】本题考查了函数的基本性质，奇偶性的判断，求函数的对称轴、值域，属于基础题.

14.设有下列四个命题：

pv.两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.

P2:过空间中任意三点有且仅有一个平面.

P3-.若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.

P4：若直线/u平面a,直线机_1_平面a,则m±Z.

则下述命题中所有真命题的序号是①③④.

①pi/\p4

②piAp2

③-772093

④「P3\Z「P4

【考点】命题的真假判断与应用.

【专题】定义法；空间位置关系与距离；简易逻辑；逻辑推理.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据空间中直线与直线，直线与平面的位置关系对四个命题分别判断真假即可得到答案.

【解答】解：设有下列四个命题：

pi:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.根据平面的确定定理可得此命题为真命题，

P2-.过空间中任意三点有且仅有一个平面.若三点在一条直线上则有无数平面，此命题为假命题，

P3:若空间两条直线不相交，则这两条直线平行，也有可能异面的情况，此命题为假命题，

P4：若直线仁平面a,直线机，平面a,则机_U.由线面垂直的定义可知，此命题为真命题；

由复合命题的真假可判断①为真命题，②"八°2为假命题，③[p2Vp3为真命题，④「P3V「P4

为真命题，

故真命题的序号是：①③④，

故答案为：①③④，

【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，难度不大，

属于基础题.

15.命题：SxGR,/-尤+1=0的否定是VxeR,7-x+IWO.

【考点】存在量词命题的否定；存在量词和存在量词命题.

【专题】计算题.

【答案】见试题解答内容

【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可.

【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，

所以mxCR,/-x+l=0的否定是：VxGR,x2-x+l#0.

故答案为：VxCR,x+lWO.

【点评】本题考查特称命题与全称命题的否定关系，考查基本知识的应用.

三.解答题(共5小题)

16.设p：实数尤满足/-4办+3a2＜o,q：实数x满足|尤-3阵1.

(1)若。=1,且pAq为真，求实数x的取值范围；

(2)若a＞0且「p是「q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

【考点】充分条件与必要条件.

【专题】简易逻辑.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)若。=1,根据p/\q为真，则0,q同时为真，即可求实数x的取值范围；

(2)根据「°是「4的充分不必要条件，建立条件关系即可求实数。的取值范围.

【解答】解：(1)由x2-4依+3/＜。得(x-3a)(x-a)＜0

当。=1时，1＜尤＜3,即p为真时实数x的取值范围是1＜尤＜3.

由|尤-3|V1,M-1<X-3<1,得2cx<4

即q为真时实数尤的取值范围是2<尤<4,

若pAq为真，则p真且q真，

，实数尤的取值范围是2Vx<3.

(2)由x2-4办+3。2<0得(x-3a)(x-a)<0,

若「°是「4的充分不必要条件，

则-'p—-'/且-分一'p,

设4={尤厂0},3={尤|一1«},则A呈2,

又A={x|-'p}={x|xWa或x03a},

B=[x\^q]={x\x^4或无W2},

则0<aW2,且3a24

4

，实数。的取值范围是]<a<2.

【点评】本题主要考查复合命题的真假关系以及充分条件和必要条件的应用，考查学生的推理能力.

17.已知集合A={4?-2x-3<0},B={x|(x-m+l)(x-m-1)NO}.

(1)当机=0时，求ACB；

(2)若p：x2-2x-3<0,q：(x-m+1)(x-m-1)20,且q是p的必要不充分条件，求实数m的

取值范围.

【考点】充分条件与必要条件；交集及其运算.

【专题】常规题型；转化思想.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)分别求出A,B,再根据集合的交集运算，求出A与8的交集即可；

(2)由于q是p的必要不充分条件，再由判断充要条件的方法，我们可知再根据集合关系求出

U

m的范围即可.

【解答】解：(1)VA=Mx2-lx-3<0}={x|-l<x<3],・・・(2分)

B=[x\(x+1)(x-1)20}={小21或T}.…(4分)

：.AQB={x\\^：x<3].…(6分)

(2)由于命题p为：(-1,3),…(7分)

而命题q为：(-8,m-]]U[m+l,4-oo),...(9分)

又q是〃的必要不充分条件，即夕今4，…(10分)

所以m+1-C-1或机-123,解得优24或mW-2

即实数根的取值范围为：(-8,-2]U[4,+8).…(12分)

【点评】本题考查充分条件、必要条件及充要条件的判断，同时考查了一元二次不等式的解法，集合的

运算.

由判断充要条件的方法，我们可知命题“xeA”是命题“x&B”的充分不必要条件，则A力反

U

18.(I)命题"三尤oCR,xo2_3(xro+9<O，'为假命题，求实数a的取值范围；

(II)若''7+2尤-8<0”是“尤-小>0”的充分不必要条件，求实数机的取值范围.

【考点】存在量词和存在量词命题；充分条件与必要条件.

【专题】计算题.

【答案】见试题解答内容

【分析】(/)BxoGR,Mi?-3aro+9<O为假命题，等价于VxCR,7-3ar+92O为真命题，利用判别式,

即可确定实数。的取值范围；

(〃)根据一元二次不等式的解法分别求出两不等式的解集，由“d+2x-8<0”是“x-〃2>0”的充分

不必要条件，可得不等式解集的包含关系，从而求出机的范围

【解答】解：(I)：BxoGR,xo?-3axo+9<O为假命题，等价于VxeR,/-3ox+9N0为真命题，

/.A=9a2-4X9W0今-2WaW2,

，实数a的取值范围是-2W.W2；

(II)由X2+2X-8co今-4<x<2,

另由尤-加>0,

即x>m,

•；"+2x-8<0”是“x-m>0”的充分不必要条件，

故，〃的取值范围是机W-4.

【点评】(1)本题借助特称命题考查二次不等式恒成立问题，解决此类问题要结合二次函数的图象处理.

(〃)本题考查充分条件、必要条件和充要条件，解题时要认真审题，仔细解答.

19.已知命题p：xi和X2是方程/mx-2=0的两个实根，不等式/-5a-32|xi-尤2|对任意实数加-

1,口恒成立；命题q：不等式。7+2彳-1>。有解，若命题是真命题，命题q是假命题，求。的取值

范围.

【考点】四种命题的真假关系；一元二次不等式及其应用.

【专题】计算题.

【答案】见试题解答内容

【分析】本题考查的知识点是命题的真假判定，由命题P：XI和X2是方程/-如-2=0的两个实根，

不等式/-5a-32|xi-X2|对任意实数机日-1,U恒成立，我们易求出P是真命题时，。的取值范围；

由命题q：不等式以2+2尤-有解，我们也易求出q为假命题时的a的取值范围，再由命题〃是真命

题，命题q是假命题，求出两个范围的公共部分，即得答案.

【解答】解：•.,尤1,X2是方程d-wu-ZuO的两个实根

.(xr+x2=m

U1^2=-2

\xi-X2\=+%2)2—

=Vm2+8

.•・当机曰-1,1]时，仇1-X2|加a%=3,

由不等式a1-5a-32枕i-%2|对任意实数mE[-1,■恒成立.

可得：/-5〃-323,或aW-1,

命题p为真命题时或aW-1,

命题分不等式狈2+2%-有解.

①当〃>0时，显然有解.

②当a=0时，2%-1〉0有解

③当aVO时，・・・0?+21-1>0有解，

・・.A=4+4〃>0,

从而命题q：不等式依2+2工-1>0有解时〃>-1.

又命题9是假命题，

aW-1,

故命题p是真命题且命题q是假命题时，

a的取值范围为-1.

【点评】若P为真命题时，参数a的范围是4则p为假命题时，参数。的范围是CRA.这个结论在命

题的否定中经常用到，请同学们熟练掌握

20.已知p：x2-7x+10<0,q：x2-4mx+3m2<0,其中别>0.

(1)若m=4,且pAq为真，求x的取值范围；

(2)若「q是「p的充分不必要条件，求实数机的取值范围.

【考点】复合命题及其真假；充分条件与必要条件.

【专题】对应思想；综合法；简易逻辑.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)分别解出关于p，q的不等式，根据pAg为真，p,g都为真，求出x的范围即可;

(2)由「4是10的充分不必要条件，即其逆否命题为pnq,求出机的范围即可.

【解答】解(1)由W-7x+10<0,解得2cx<5,所以p：2<x<5；

又/-4妙+37九2<0,因为相>0,解得所以q：m<x<3m.

当机=4时，q：4Vx<12,又pAq为真，p,q都为真，所以4cx<5.

(2)由「4是1°的充分不必要条件，即「pW>「q,

其逆否命题为p今q,q^>p,

由（1）/?：2Vx<5,q：m〈x<3m,

fm<2§

所以5,即：-<m<2.

°

【点评】本题考查了充分必要条件，考查复合命题的判断，是一道中档题.

考点卡片

1.交集及其运算

【知识点的认识】

由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与8的交集，记作AAB.

符号语言：4「12={尤|尤&4,且底8}.

AC2实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素.

当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集.

运算形状：

①②AC0=0.③④AHBUA,AP\BQB.⑤AnB=AQAUB.⑥AClB=0,两个

集合没有相同元素.⑦AC(CuA)=0.⑧Cu(AAB)=(CuA)U(CuB).

【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解.不能把“或”与“且”混

用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图.

【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集.

命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联

合命题.

2.充分条件与必要条件

【知识点的认识】

1、判断：当命题“若p则/为真时，可表示为p今q,称p为q的充分条件，q是p的必要条件.事实上，

与“0今/'等价的逆否命题是“「g今「p”.它的意义是：若q不成立，则p一定不成立.这就是说，q对

于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件.例如：p：x>2；q：x>0.显然xCp,则xCg.等价于尤Cg,

则xip一定成立.

2、充要条件：如果既有“pnq”，又有“qnp”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是0成立的

充要条件，记作“pcq”.p与q互为充要条件.

【解题方法点拨】

充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一

不可.证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学

生答题时往往混淆二者的关系.判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可.

判断充要条件的方法是：

①若pnq为真命题且qnp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；

②若pnq为假命题且qnp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；

③若p=q为真命题且q=p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；

④若p=q为假命题且q=p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件.

⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q

的关系.

【命题方向】

充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内

容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广.

3.存在量词和存在量词命题

【知识点的认识】

存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词.符号：3

特称命题：含有存在量词的命题.符号："十'.

存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用

符号"于'表示.

特称命题：含有存在量词的命题.匕X06M,有p(xo)成立”简记成“左06〃，p(xo)”.

“存在一个”，“至少有一个”叫做存在量词.

命题全称命题VxeM,P(X)特称命题iroeM,P(无0)

表述方①所有的xeM,使p(%)成立①存在xoeAf,使p(xo)成立

法②对一切xeAf,使p(x)成立②至少有一个无oeM,使p(xo)成立

③对每一个xCM,使。(%)成立③某些xCAL使p(x)成立

④对任给一个尤CM,使p(无)成立④存在某一个xoew,使p(xo)成立

⑤若xeM,则p(尤)成立⑤有一个无oeM,使p(尤o)成立

【解题方法点拨】由于全称量词的否定是存在量词，而存在量词的否定又是全称量词；因此，全称命题的

否定一定是特称命题；特称命题的否定一定是全称命题.命题的“否定”与一个命题的“否命题”是两个

不同的概念，对命题的否定是否定命题所作的判断，而否命题是对“若p则形式的命题而言，既要否

定条件，也要否定结论.

常见词语的否定如下表所示:

词语是一定是都是大于小于

词语的否定不是一定不是不都是小于或等于大于或等于

词语且必有一个至少有〃个至多有一个所有X成立

词语的否定或一个也没有至多有"T个至少有两个存在一个X不成立

【命题方向】本考点通常与全称命题的否定，多以小题出现在填空题，选择题中.

4.存在量词命题的否定

【知识点的认识】

一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：

特称命题p：BXOEM,p（X0）它的否命题rp：VxGM,rp（x）.

【解题方法点拨】

写特称命题的否定的方法：（1）更换量词，将存在量词换为全称量词，即将“存在”改为“任意”；（2）

将结论否定，比如将“〉”改为“W”.值得注意的是，特称命题的否定的全称命题.

【命题方向】

这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现.难度一般不大，从考查的数学知识上看,

能涉及高中数学的全部知识.

5.四种命题的真假关系

【知识点的认识】

四种命题的间的关系：

二.四种命题间的真假关系

（一）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

（二）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.

原命题互为逆命题逆命题

若p.则g若义则P

互为否命题互为否命题

否命题互为送命题逆否命题

若非R则非g若非。.则非。

【解题方法点拨】

“正难则反”是数学解题中一种转化的方式，将判断一个命题的真假的问题转化为判断它的逆否命题的真

假就是这种技巧的一个方面的运用，对于有些命题，转化为与其真假性相同的逆否命题来证可大大简化判

断过程降低判断难度，如：“若号2或户3,则无+户5”这个命题的判断，正面不易判断，而其逆否命题

为“若无+y=5,贝U尤=2且y=3"，容易判断此命题是一个假命题.

【命题方向】

命题的真假判断是本考点中试题的考察重点，对于原命题情况较复杂，真假不易判断的命题，常常转化为

判断它的逆否命题的真假，这是对四种命题真假关系考察的主要方式.

6.复合命题及其真假

【知识点的认识】

含有逻辑连接词“或”“且”“非”的命题不一定是复合命题.若此命题的真假满足真值表，就是复合

命题，否则就是简单命题.逻辑中的''或”“且”“非”与日常用语中的“或”“且”“非”含义不尽相同.判

断复合命题的真假要根据真值表来判定.【解题方法点拨】

能判断真假的、陈述句、反诘疑问句都是命题，而不能判断真假的陈述句、疑问句以及祈使句都不是

命题.能判断真假的不等式、集合运算式也是命题.写命题尸的否定形式，不能一概在关键词前、力口“不”，

而要搞清一个命题研究的对象是个体还是全体，如果研究的对象是个体，只须将“是”改成“不是”，将

“不是”改成“是”即可.如果命题研究的对象不是一个个体，就不能简单地将“是”改成“不是”，将

“不是”改成“是"，而要分清命题是全称命题还是存在性命题（所谓全称命题是指含有“所有”“全部”

“任意”这一类全称量诃的命题；所谓存在性命题是指含有“某些”“某个”“至少有一个”这一类存在性

量词的命题，全称命题的否定形式是存在性命题，存在性命题的否定形式是全称命题.因此，在表述一个

命题的否定形式的时候，不仅“是”与“不是”要发生变化，有关命题的关键词也应发生相应的变化，常

见关键词及其否定形式附表如下：

关等大小至至I至I至任任

键于于于是能都没多少少多两PP

词(=)(>)(<)是有有有有有的个且或

■一

nnQQ

个个个个

否不不不不至至一至至某rPrP

定等大小不不都少少个多少某两或且

词于于于是能是有有都有有个个「2「0

(#)(<)（三）一两没n-1〃+1

个个有个个

若原命题尸为真，贝卜尸必定为假，但否命题可真可假，与原命题的真假无关，否命题与逆命题是等价命

题，同真同假.

7.命题的真假判断与应用

【知识点的认识】

判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、〃及非p的真假，然后由真值表判断复

合命题的真假.

注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程尤2-2尤+1=0的两根都不是实根”，因为“都

是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分.

【解题方法点拨】

1.判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由

真值表得出复合命题的真假.

2.判断一个“若p则/形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”,则“若p

则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可.

3.判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同

真同假这一关系进行转化判断.

【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题

形式出现.

8.一元二次不等式及其应用

【知识点的认识】

含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式.它的一般形式是a^+bx+c>G

或ax1+bx+c<0(a不等于0)其中以2+区+(?是实数域内的二次三项式.

特征

当△=//-4<?c>0时，

一元二次方程ax2+6x+c=0有两个实根，那么a/+6x+c可写成a(x-xi)(x-X2)

当△=%2-4ac—0时，

一元二次方程ax2+bx+c=0仅有一个实根，那么(u2+bx+c可写成0(%-xi)2.

当△=i>2-4ac<0时.

一元二次方程ax1+bx+c=0没有实根，那么aj^+bx+c与x轴没有交点.

【解题方法点拨】

例1：一元二次不等式/<x+6的解集为.

解：原不等式可变形为(尤-3)(x+2)<0

所以，-2<x<3

故答案为：(-2,3).

这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成"2+bx+c<0的形式；然后应用了特征

当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解.

【命题方向】

①一元二次不等式恒成立问题：

一元二次不等式a^+bx+cX)的解集是R的等价条件是：a>0且△<()；一元二次不等式ajT+bx+c<0的

解集是R的等价条件是：。<0且△<().

②分式不等式问题：

~~>。=/(x)・g(x)>0；

。(久)

\?<0^f（尤）・g（x）<0；

g（久）

f（x）c/（x）-g（x）>0

g⑶UW*0

f（x）vnJf（久）-g。）＜0

。㈤U（x）丰0^

9.余弦函数的图象

【知识点的认识】

正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质

函数y=sinxy=cosxy=tanx

图象

-,1