2024年中考数学试题分类汇编：圆的相关性质及计算证明（34题）解析版

专题18圆的相关性质及计算证明（34题）

一、单选题

1.（2024.江苏无锡.中考真题）已知圆锥的底面圆半径为3,母线长为4,则圆锥的侧面积为（）

A.6兀B.12nC.157rD.24兀

【答案】B

【分析】本题考查了圆锥的侧面积展开图公式，解题的关键是掌握圆锥的侧面积的计算公式：圆锥的侧面

积万X底面半径X母线长.

【详解】解：5恻==;rx3x4=12万，

故选：B.

2.（2024•甘肃・中考真题）如图，点A,B,C在。上，ACYOB,垂足为D若NA=35。，则/C的度

A.20°B.25°C.30°D.35°

【答案】A

【分析】根据4=35°得到NO=70°,根据AC±OB得到NCDO=90°，根据直角三角形的两个锐角互余，

计算即可.

本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，直角三角形的性质是解题的关键.

【详解】VZA=35°,

NO=70。，

ACLOB,

"DO=90。，

ZC=90°-ZO=20°.

故选A.

3.（2024・湖南长沙•中考真题）如图，在,：。中，弦的长为8,圆心。到A3的距离OE=4,贝1|<O的半

径长为（）

B,472C.5D.572

【答案】B

【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，先根据垂径定理得到AE,再根据勾股定理求解即可.

【详解】解：：在［O中，弦A8的长为8,圆心。到的距离OE=4,

AOE±AB,AE=-AB=4,

2

在RtZXAOE中，OA=>JOE2+AE2=A/42+42=472，

故选：B.

4.（2024.山东泰安•中考真题）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O'的一个直径端点与半圆。的

圆心重合，若半圆的半径为2,则阴影部分的面积是（）

C.2万-百D.-p--

33'4

【答案】A

【分析】本题主要考查了扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用等知识点，熟练掌握扇形的面

积公式是关键.

如图：连接OAAO',作于点8,得三角形是等边三角形，求出

AB=-s/3,S弓形A。，=S扇形A。。,一SAOO.=-A/3,再根据S阴影=S弓/人。,+S扇形皿。，即可解答.

【详解】解：如图：连接OAAO',作ABLOO,于点B,

OA=OO'=AOf=2,

：.三角形AOO'是等边三角形，

ZAOO'=60°,OB=-OO'=1,

2

,•AB=\22—I2=

S弓形AO,=S扇形AO0,—S,

A00嗤Lx职

,'S阴影=S弓形AO,+S扇形A0,0=---J3+—=--6.

故选：A.

5.（2024.内蒙古包头.中考真题）如图，在扇形AOB中，NAO5=80。，半径Q4=3,C是AB上一点，连

接。C,。是OC上一点，且OD=DC,连接80.若B9L0C,则AC的长为（）

71—兀一兀一

A.-B.-C.-D.兀

632

【答案】B

【分析】本题考查了弧长公式，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质；连接BC,根据OD=OC,

BD1OC,易证△03C是等腰三角形，再根据O5=OC,推出△O5C是等边三角形，得到N5OC=60。，

即可求出NAOC=20。，再根据弧长公式计算即可.

;.OB=BC,

・•.△oec是等腰三角形,

OB=OC,

OB=OC=BC,

△QBC是等边三角形,

=60°,

=80°,

ZAOC=ZAOB-ZBOC=20°,

0A=3,

20x3兀7i

AC=

1803

故选：B.

6.（2024・山东济宁・中考真题）如图，边长为2的正六边形ABCDE尸内接于<O,则它的内切圆半径为（）

A.1B.2C.垃D.73

【答案】D

【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理；

连接。4,OF,作OG_LA尸于G,证明AO尸是等边三角形，可得/G=gaF=l,然后利用勾股定理求

出OG即可.

【详解】解：如图，连接Q4,OF,作。GLA产于G,

VOF=OA,ZAOF=360°x-=60°,

6

AO/7是等边三角形，

OF=OA=AF=2,

VOG1AF,

・•・FG=-AF=1,

2

,,OG=>/22—I2=A/3）

即它的内切圆半径为百，

故选：D.

7.（2024.四川雅安・中考真题）如图，。的周长为8%,正六边形ABCDEF内接于O.则Q4B的面积

为（）

A.4B.46C.6D.6石

【答案】B

【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，解直角三角形是正确解答的关键.

根据正六边形的性质以及解直角三角形进行计算即可.

【详解】解：设半径为「，由题意得，2夕=既，

解得r=4,

:六边形4BCDE尸是。的内接正六边形，

"?OA=OB,

：.11Ao5是正三角形，

•*.6MB=60。，

弦AB所对应的弦心距为OA-sin60°=—OA=2^，

2

••・S△/RX2艮4技

故选：B.

8.（2024・山东泰安・中考真题）如图，48是：。的直径，C,D是O上两点，54平分/C8。，若？AOD50?,

A.65°B.55°C.50°D.75°

【答案】A

【分析】本题考查圆周角定理、角平分线的定义、三角形的内角和定理，先根据角平分线的定义得到根据

圆周角定理得到NA5C=NABD,再根据圆周角定理得到NACB=90。，NABC==；NAO。=25。，

然后利用三角形的内角和定理求解即可.

【详解】解：：BA平分ZCBD，

ZABC^ZABD,

,/AB是.。的直径，？AOD50?,

AZACB=90°,ZABD=^ZAOD=25°,贝i」ZABC=25°,

AZA=180°-ZC-ZABC=180°-90°-25°=65°,

故选：A.

9.（2024•重庆•中考真题）如图，AB是O的弦，OCLAff交O于点C,点。是O上一点，连接80,

CD.若ND=28。，则/。43的度数为（）

A.28°B.34°C.56°D.62°

【答案】B

【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，利用圆周角定理求出NCOB,根据等腰三角

形的三线合一性质求出NAQ?,等边对等角然后结合三角形内角和定理求解即可.

【详解】解：；ZD=28。,

•*.NBOC=2ND=56°,

VOC±AB,OA=OB,

：.ZAOB=2ZBOC=112°,Z.OAB=Z.OBA,

ZOAB=1（180°-ZAOB）=34°

故选：B.

10.（2024•内蒙古通辽•中考真题）如图，圆形拱门最下端AB在地面上，。为A5的中点，C为拱门最高点,

线段8经过拱门所在圆的圆心，若AB=lm,CD=2.5m,则拱门所在圆的半径为（）

A.1.25mB.1.3mC.1.4mD.1.45m

【答案】B

【分析】本题考查的是垂径定理的实际应用。勾股定理的应用，如图，连接。4,先证明CDLAB,

AD=BD=0.5,再进一步的利用勾股定理计算即可；

【详解】解：如图，连接Q4,

:,。为A3的中点，C为拱门最高点，线段CZ）经过拱门所在圆的圆心，AB=lm,

ACD1AB,AD=BD=0.5,

设拱门所在圆的半径为厂，

OA=OC=r,ffijCD=2.5m,

OD=2.5-r,

：.r2=0.52+（2.5-r）2,

解得:r=1.3,

.••拱门所在圆的半径为L3m；

故选B

H.（2024・四川宜宾•中考真题）如图，/1BC内接于BC为。的直径，AO平分/比1C交：O于。.则

A.72B.73C.272D.273

【答案】A

【分析】本题考查了三角形的外接圆，特殊角的三角函数，圆周角定理，图形的旋转等知识点，合理作辅

助线为解题的关键.

作辅助线如图，先证明=ZACD+ZABD=180°,从而可以得到旋转后的图形，再证明是

等腰直角三角形，利用三角函数即可求得结果.

【详解】解:如图，连接30、CD,

是。的直径，

ZBAC=ZBDC=90°,

,/平分，及1C,

NBAD=NCAD,

•*-BD=DC，

：.BD=CD,

在四边形ABAC中，ABAC=ZBDC=90°,

：.ZACD+ZABD=180°,

则A,64三点共线，如图所示

,/由旋转可知ZADB=ZADC,AD=AD

：.ZADA=ZADB+ABDA=ZADC+ZBDA=ZBDC=90°,

：.在等腰直角三角形A'DA中，sinZA,=sin45°=—=—,

AA'2

.A4'AB+AC=^2.

ADAD

故选：A

二、多选题

12.（2024•山东潍坊・中考真题）如图，。是一MC的外接圆，AO//BC,连接CO并延长交r。于点O.分

别以点A,C为圆心，以大于!AC的长为半径作弧，并使两弧交于圆外一点直线。M交BC于点E,

2

连接下列结论一定正确的是（）

D

AB=ADB.AB=OE

ZAOD=ZBACD.四边形AOC£为菱形

【答案】ABD

【分析】本题主要考查圆的性质、圆周角定理、平行线的性质以及菱形的判定，熟练掌握性质定理是解题

的关键.根据全等三角形的判定定理证明NOC4=NACE,证明OC=CE=Q4即可证明四边形AOC石为菱

形，再根据圆周角定理进行判定即可.

【详解】解：令ACOE交于点厂,

由题意得：。£是AC的垂直平分线,

:.EA=EC

AO=OC

「.△AO石且△COE

:.ZAOE=ZCOE

OF=OF,AO=AO

..AOF冬COF

:,ZOAF=ZOCF

AO//BC,

ZOAF=ZACE

,\ZOCA=ZACE

AB=AD^选项A正确；

ZOCF=ZECF,/OFC=/EFC=90°,CF=CF

:.EFC空OFC

.\OC=CE=OA

AO//EC

故四边形AOC石为菱形，选项D正确；

AB=AD

:.AB=AD

四边形AOCE为菱形，，AE=OC=OD

，四边形AEOD为平行四边形，

:.AD=OE

:.AB=OE,选项B正确；

ZAOD=ZOAE,故选项C错误；

故选ABD.

三、填空题

13.（2024・江苏常州・中考真题）如图，48是。的直径，8是，。的弦，连接AD、BC、BD.若N3CD=20。,

WJZABD=

【答案】70

【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，结合三角形的内

角和定理，进行求解即可.

【详解】解：：A3是（O的直径，BD=BD，/fiCD=20。，

ZADB=90°,ZA=/BCD=20°,

ZASD=90。—20°=70°；

故答案为：70.

14.（2024•内蒙古通辽.中考真题）如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成

一个底面半径为5cm,母线长为12cm的圆雉的侧面，那么这个扇形纸片的面积是cm2（结果用含兀

的式子表示）.

【答案】60下

【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，圆锥的底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长，再利用扇形的面

积公式计算即可.

【详解】解：・・•底面半径为5cm,

圆锥底面圆的周长为2万x5=10兀（cm）,

即扇形纸片的弧长为10乃cm,

•母线长为12cm,

圆锥的侧面积1X12X10TT=60万（cm?）.

故答案为：60%

15.（2024•湖南长沙•中考真题）半径为4,圆心角为90。的扇形的面积为（结果保留兀）.

【答案】4兀

【分析】本题考查扇形的面积公式，根据扇形的面积公式5=吧二（”为圆心角的度数，厂为半径）求解即

360

可.

【详解】解：由题意，半径为4,圆心角为90。的扇形的面积为驷把=4无，

360

故答案为：47r.

16.（2024•甘肃兰州•中考真题）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，

图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中M,eN的半径分别是1cm和

10cm,当M顺时针转动3周时，eN上的点P随之旋转胪，贝犷=.

【答案】108

【分析】本题主要考查了求弧长.先求出点P移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解.

【详解】解：根据题意得：点P移动的距离为3x2万xl=6万cm,

.〃°x%xl0

..--------------------=O7T,

180

解得：n=108.

故答案为：108

17.（2024・江苏盐城・中考真题）如图，ABC是。的内接三角形，ZC=40°,连接04OB,贝=

【答案】50

【分析】本题考查主要考查圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，先根据圆周角定理计算

出NAO6=2NC=80。，再根据等边对等角得出=最后利用三角形内角和定理即可求出

ZOAB.

【详解】解：ZC=40°,

ZAOB=2ZC=80°,

OA=OB,

ZOAB^ZOBA,

NOAB+ZOBA+ZAOB=180°,

NOAB=1(180°-ZAOB)=1x(180°-80°)=50°,

故答案为：50.

18.(2024•江苏连云港・中考真题)如图，A5是圆的直径，N1、/2、/3、/4的顶点均在上方的圆弧

上，Nl、N4的一边分别经过点A、B,则/1+/2+/3+/4=°.

【答案】90

【分析】本题考查圆周角定理，根据半圆的度数为180。，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即

可.

【详解】是圆的直径，

43所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为180。，

,/Zl,N2、/3、N4所对的弧的和为半圆，

Z1+Z2+Z3+Z4=-x180°=90°,

故答案为：90.

19.（2024・四川资阳•中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=2.以点A为圆心，AO长为半径

作弧交于点E,再以48为直径作半圆，与DE交于点尸，则图中阴影部分的面积为.

【分析】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质和判定，扇形的面积，解题的关键是学会利用分割法

求阴影部分的面积.

设弓形4nF,连接AF,FE,由题意知AE=AF=FE=2,即"FE■为等边三角形，ZFAE=ZFEA=60°,

即可得出阴影部分面积为$阴=S半圆一S扇形小E-S弓粉笳，代入数值即可求出结果.

【详解】解：,以点A为圆心，AD长为半径作弧交于点E,AB=4,AD=2,

•*.AE=AD=BE=2,

.••以AB为直径作半圆时，圆心为点E,

设弓形AmP,连接AF,FE,AE=AF=FE=2,如图：

AAFE为等边三角形,

ZFAE=ZFEA=60°,

故阴影部分面积为5阴=S半圆一S扇形OFE-S弓形A冽尸,

代入数值可得厮=；x2x2兀-22=y/i+—TI

360136043

故答案为V3+—71.

20.（2024•黑龙江大庆•中考真题）如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出:

作等边三角形A3C；分别以点A,B,。为圆心，以A3的长为半径作BC，AC，AB-三段弧所围成的

图形就是一个曲边三角形.若该“莱洛三角形''的周长为3兀，则它的面积是.

2

【分析】本题考查了弧长的计算，扇形面积的计算，三角函数的应用，曲边三角形是由三段弧组成，如果

周长为3兀，则其中的一段弧长就是兀，所以根据弧长公式可得AB=AC=5C=3,即正三角形的边长为3.那

么曲边三角形的面积=三角形的面积十三个弓形的面积，从而可得答案.

【详解】解：曲边三角形的周长为3兀，ABC为等边三角形,

AB=BC=AC,AB=BC=AC,ZABC=60°,

60兀-AB3兀

-----------=----=71,

1803

.-.AB=BC=AC=3,

19J3

sARC=_ABBC-sinZABC=,

ABC24

._60TTX32_3^9A/3

••J弓形AB-D扇形045dABC~2gQ-？4，

心、上一立.弘hr且973,f3^-9石19K-9A/3

曲边二角形的面积为：丁一+3x—--二--

4124J2

故答案为：9万+班.

2

21.（2024.重庆•中考真题）如图，48是二O的直径，3C是.Q的切线，点8为切点.连接AC交（0于

点。，点E是。上一点，连接BE,DE,过点A作AF〃朝交3。的延长线于点若BC=5,CD=3,

ZF=ZADE,则A8的长度是；OF的长度是

【分析】由直径所对的圆周角是直角得到/AD3=/BDC=90。，根据勾股定理求出5。=4,则

cosC=Cg==,由切线的性质得到NABC=90。，则可证明NC=/AB。，解直角三角形即可求出

BC5

BD20

AB=——二^二=；连接AE，由平行线的性质得到4L4F=NAB石，再由々=NM)£，ZADE=ZABE,

cosZABD3

2Q20Q

推出NF=NB4F,得到==则OF=BF-8。=§-4=§.

【详解】解：：A3是CO的直径，

Z.ZADB=ZSDC=90°,

在Rt3DC中，由勾股定理得比）=J3C2_CE>2=4,

.「CD3

・・cosC==—,

BC5

〈BC是。的切线，

・•・ZABC=90°,

NC+NCBD=NCBD+NABD=90。,

・•.Z.C=ZABD,

—BD420

,.AB----------=—二—

在RtAABZ）中，cosNABD33；

5

如图所示，连接A£,

；・ZBAF=ZABE,

•；ZF=ZADE,ZADE=ZABE,

.，.ZF=ZBAF,

20Q

DF=BF-BD=——4=—；

33

,,/必一—y,208

故答案为：-；—.

【点睛】本题主要考查了切线的性质，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，解

直角三角形，等腰三角形的判定等等，证明NF=44F是解题的关键.

22.（2024.山东・中考真题）如图，ABC是O的内接三角形，若。4〃CB,NACB=25。，则/C4B=

【答案】40。/40度

【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，利用圆周角定理求出

/A03的度数，利用等边对等角、三角形内角和定理求出的度数，利用平行线的性质求出/。4c的

度数，即可求解.

【详解】解：连接。3,

ZAOB=2ZACB=50°,

OA=OB,

ZOAB=ZOBA=)(180。-ZAOB)=65°,

'：OA//CB,

ZYMC=ZAC3=25°,

ZCAB=ZOAB-ZOAC=40°,

故答案为：40°.

23.（2024•山东泰安・中考真题）如图，是。的直径，是一。的切线，点C为。上任意一点，点

。为AC的中点，连接8。交AC于点E,延长8。与AH相交于点E，若止=1,tanB=1,则AE的长

为.

【答案】75

【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识是

解题关键.

先证=可得DATs。朋从而得到竺=d2=tan2=^,求得4）=2,再运用勾股定理可

ADBD2

得人尸=有，再根据圆周角定理以及角的和差可得NAED=NAFD,最后根据等角对等边即可解答.

【详解】解：〈AB是。的直径,

・•・ZADB=90°,

•・•AH是。的切线，

：.ZBAF=90°,

：./DAF=ZABD=90。—/DAB,

:.二DAFs,DBA,

.DFAD八1

••----=-tanB=一,

ADBD2

*.*DF=1,

:.AD=2,

：.AF=y[5,

:点。为AC的中点,

AD=CD

ZABD=ZDAC=ZDAF,

；ZADE=ZADF=90。,

：.90°-ZDAE=90°-ZDAF,ZAED=ZAFD,

•*.AE=AF=y[5.

故答案为：卮

24.（2024.四川巴中・中考真题）如图，四边形ABC。是。的内接四边形，若四边形。48c为菱形，则上WC

的度数是.

【答案】60°

【分析】根据菱形的性质得到NAOC=NABC,根据圆周角定理得到根据圆内接四边

形的性质得到NADC+NA8C=180。，计算即可.

【详解】解：：四边形0ABe为菱形，

ZAOC=ZABC,

由圆周角定理得：ZADC=|ZAOC,

四边形ABCD为。。的内接四边形，

ZADC+ZABC=1SO°,

：.ZADC+2ZADC=180°,解得：ZADC=60°,

故答案为：60°.

【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、菱形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是

解题的关键.

25.（2024.重庆・中考真题）如图，以AB为直径的，；O与AC相切于点A,以AC为边作平行四边形ACDE,

点。、E均在。上，OE与交于点尸，连接CE,与I。交于点G,连接。G.若A8=10,OE=8,则

AF=.DG=.

【答案】8喑/||相

【分析】连接。。并延长，交G。于点连接GH,设CE、AB交于点M,根据四边形ACDE为平行四

边形，得出龙〃47,AC=DE=8,证明至，。石，根据垂径定理得出。/=功=,。后=4,根据勾股

2

---------------FFFM

定理得出0尸=，002_°b2=3,求出AF=Q4+Qb=5+3=8；证明..石7小公。C4M,得出一=——

ACAM

求出产M=|,根据勾股定理得出EM二历。丽7='42+[|]=*1,证明一ER0s"GO,得出

FM_EM求出它誓

DG-DH

【详解】解：连接。0并延长，交。于点“，连接GH,设CE、A5交于点M,如图所示:

•・,以A3为直径的一。与AC相切于点A,

：.AB.LACf

：.ZC4B=90°,

,/四边形ACDE为平行四边形,

•**DE//AC,AC=DE=8,

JZBFD=ZCAB=90°,

：・AB工DE,

：.DF=EF=-DE=4,

2

9：AB=1Q,

：.DO=BO=AO=-AB=5,

2

-0F=y10D2-DF2=3,

・•・AF=Q4+。尸=5+3=8；

DE//AC,

・•・EFMs^CAM,

.EFFM

，9~AC~~AM

.4_FM

,•飞―AF—FM

即？4=FM

88—FM

Q

解得：FM=-,

*.EM=ylEF2+FM2=J42+=¥^，

・•DH为直径,

•・NDGH=900,

•・/DGH=/EFM,

.*DG=DG,

・・/DEG=/DHG,

•・EFMsHGD,

.FMEM

'•京一而'

84713

即§二3

DG~10

解得：OG;普

故答案为：8；型巫

13

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，垂径定理，圆周角定理，切线的性质，勾股定理，三角形相

似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法.

四、解答题

26.（2024・四川南充・中考真题）如图，在中，AB是直径，AE是弦，点F是沥上一点，AF=BE,AE,BF

交于点C,点D为所延长线上一点，且NG4Z）=NCZM.

⑴求证：AD是：。的切线.

（2^BE=4,AD=2#,求,：。的半径长.

【答案】（1）见解析

⑵2百

【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键:

（1）圆周角定理推出=石，根据NC4O=NS4,结合三角形的内角和定理，推出

NB4E+NC40=9O。，即N3AO=90。,即可得证；

（2）连接AF,易得AF=BE=4,直径得到NATO=90。,在Rt仞尸中，勾股定理求出。方的长，三角函

数求出AB的长即可.

【详解】（1）证明：AF=BE

:.AF=BE,

.\ZABF=ZBAE.

ACAD=/CDA,ZADC+ZABF+/BAE+ACAD=180。，

:.ZBAE+ZCAD=90°.

即/BAD=90。，

.\AD±AB.

又・・・。4为半径，

是。的切线.

(2)解：连接AF.

BE=4

：.AF=BE=4.

AB是直径，

s.ZAFB=90°,

:.ZAFD=90°.

在RtAPb中，OF=yjAD2-AF2=2-

八ABAF

tanD=----=-----,

ADDF

AB_4

,,*r

AB=4A/5.

又AB是直径

。的半径长为26.

27.(2024・辽宁•中考真题)如图，.)0是ABC的外接圆，是：。的直径，点。在8C上，AC=BD，

E在A4的延长线上，ZCEA=ACAD.

(1)如图1,求证：CE是：。的切线；

(2)如图2,若NCEA=2ZDAB,0A=8,求BO的长.

【答案】(1)见详解

(2)2万

【分析】(1)连接CO,贝=故N3=/1+/2=2N2,由AC=BD，得至U/4=N2,而ZACB=90。,

贝I]/CW+2/2=90。，由NCE4=NC4D,得NCE4+2/2=90°,因止匕/CE4+/3=90°,故NECO=90。,

则CE是O的切线;

90°

(2)连接C。,。。，可得N3=2N2=2/4=NCE4,则/3=/C£A=y=45。，故/4=22.5°,由BD=BD，

得/">3=2/4=45。，那么长为竺篙”=2%.

lol)

【详解】(1)证明：连接CO,

,:OC=OB,

AZ1=Z2,

・・.N3=N1+N2=2N2,

AC=BD，

・•・N4=N2,

•・•4?为直径，

JZACB=90°,

：.ZC4Z)+Z4+Z2=90°,即NC4D+2/2=90。,

ZCEA=ZCAD,

：.NCE4+2/2=90。,

・•・NCE4+N3=90。，

・•・NECO=90。，

・•・OC.LCE,

・・・C£是。的切线；

(2)解：连接CO,DO,

由⑴得N3=2N2=2N4,

ACEA=2^DAB,

JNCEA=N3,

*：ZECO=90°,

90°

・・・Z3=ZCEA=—=45°

2f

・・・N4=22.5。，

;BD=BD，

J"06=2/4=45。，

RD长为：*=2「

【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，直角三角形的性质，三角形的外角性质，弧长公式等，正

确添加辅助线是解决本题的关键.

28.（2024・江苏无锡•中考真题）如图，AB是。的直径，ACD内接于IO,CD=DB，AB,CD的延长

线相交于点E,且DE=4）.

D

⑴求证：ACW^ACEA；

(2)求NADC的度数.

【答案】(1)见详解

(2)45°

【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定以及性质，圆内接四边形的性质，等边对等角等

知识，掌握这些性质是解题的关键.

(1)由等弧所对的圆周角相等可得出=再由等边对等角得出=等量代换可得

出/C4D=NE,又NC=NC,即可得出△CSSACEA.

(2)连接5。，由直径所对的圆周角等于90。得出/AD3=90°,^ZCAD^ZDAB^a,即N01E=2c,

由相似三角形的性质可得出NADC=NC4E=26Z,再根据圆内接四边形的性质可得出2夕+2&+90。=180。，

即可得出a的值，进一步即可得出答案.

【详解】(1)证明：,；CZ)=DB

ZCAD=ZDAB,

DE=AD，

ZDAB=ZE,

：.NCAD=ZE,

又：ZC=ZC

AGID^ACEA,

(2)连接8。，如下图：

,/A3为直径，

：.ZADB=90°,

设NG4D=NZMB=a,

Z.CAE=2a,

由(1)知：ACW^ACEA

，AADC=Z.CAE=2a,

:四边形ABOC是圆的内接四边形,

，ZCAB+ZCDB=1SO°,

即2dz+2«+90°=180°,

解得：a=22.5。

ZADC=ZCAE=2x22.5°=45°

29.(2024•山东潍坊・中考真题)【问题提出】

在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为18m的正方

形草坪(如图1)中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适

的安装方案.

说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为r(m)的圆面.喷洒覆盖率夕=：,5为待喷洒区域面积，k为

待喷洒区域中的实际喷洒面积.

图1

【数学建模】

这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题.

【探索发现】

(1)如图2,在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为9m的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率夕=

9

(2)如图3,在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为；m的自动喷洒装置；如图4,设计安装9个喷洒半

27

径均为3m的自动喷洒装置；……,以此类推，如图5,设计安装/个喷洒半径均为'9m的自动喷洒装置.与

n

(1)中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给

出理由.

(3)如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率

夕=1.已知/归=3尸=。6=。〃，设A£=x(m),的面积为求＞关于x的函数表达式，并求

(4)该公司现有喷洒半径为30m的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷

洒覆盖率夕=1?(直接写出结果即可)

【答案】(1)0.785；(2)不能，理由见解析；(3)y=](x-9)2+等；当y取得最小值时厂=竽；(4)

9

【分析】(1)根据定义，分别计算圆的面积与正方形的面积，即可求解；

(2)根据(1)的方法求得喷洒覆盖率即可求解；

(3)根据勾股定理求得x/的关系，进而根据圆的面积公式得出函数关系式，根据二次函数的性质，即可

求解；

(4)根据(3)的结论可得当圆为正方形的外接圆时，面积最小，则求得半径为3扃1的圆的内接正方形

的边长为6,进而将草坪分为9个正方形，即可求解.

【详解】(1)当喷洒半径为9m时，喷洒的圆面积$=%产=万*92=8反012.

正方形草坪的面积s=a2=182=324m2.

故喷洒覆盖率P=乙=箸=£。0.785.

s3244

(2)对于任意的“，喷洒面积舄=〃%(2)2=8brm2,而草坪面积始终为324m?.

n

因此，无论〃取何值，喷洒覆盖率始终为0.785.

4

这说明增加装置个数同时减小喷洒半径，对提高喷洒覆盖率不起作用.

(3)如图所示，连接E尸，

其中s为草坪面积,上为喷洒面积.

Q,a，，：。3，Q都经过正方形的中心点。，

在Rt但"中，EF=1r,AE=x,

"：AE=BF=CG=DH

：.AF=18-x,

在RtAEF中，AE2+AF2=EF2

：.4r2=X2+(18-X)2

/+08-4

・•・y=7ir2

4

元/c\281K

=5(X-9)+—

・••当x=9时，＞取得最小值，此时4/=9?+9?

解得：厂=述

2

（4）由（3）可得，当。的面积最小时，此时圆为边长为9m的正方形的外接圆，

则当r=3"n时，圆的内接正方形的边长为42x2x3亚=6m

2

10_

而草坪的边长为18m,—=3,即将草坪分为9个正方形，将半径为30m的自动喷洒装置放置于9个正方

6

形的中心，此时所用装置个数最少，

至少安装9个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率P=1

【点睛】本题考查了正方形与圆综合问题，二次函数的应用；本题要求我们先理解和计算喷洒覆盖率，然

后通过调整喷洒装置的数量和喷洒半径来分析喷洒覆盖率的变化，最后在一个特定的条件下找出喷洒面积

和喷洒半径之间的函数关系.解决此类问题的关键在于将实际问题转化为数学问题，即如何将喷洒覆盖率

的计算问题转化为面积计算和函数求解问题.同时，在解决具体问题时，需要灵活运用已知的数学知识，

如圆的面积公式，正方形面积公式，以及函数解析式求解等.最后，还需要注意将数学计算结果还原为实

际问题的解决方案.

30.（2024•内蒙古通辽•中考真题）如图，ASC中，/4CB=90。，点。为AC边上一点，以点。为圆心,

OC为半径作圆与48相切于点。，连接CO.

⑴求证：ZABC=2ZACD；

（2）若AC=8,BC=6,求。的半径.

【答案】（1）证明见解析

⑵3

【分析】（1）连接OD,根据题意可得NO/M=90。，根据余角的性质可得NAOD=NABC,根据圆周角定

理可得NAOD=2/ACD,等量代换即可得证；

（2）在Rt^ABC中，勾股定理求得AS=10,证明RtODB^RtOCB（HL）,设。的半径为广，则

OD=OC=r,OA=8-r,在RtAOD中，r+42=（8-r）2,解方程即可求解.

【详解】（1）证明：如图，连接OO,

TAB为切线，

ODA.AB,

：.ZODA=90°,

・・・NA+NAC©=90。，

ZACB=90°,

：.ZABC+ZA=90°

JZAOD=ZABC,

ZAOD=2ZACDf

：.ZABC=2ZACD.

⑵解：在RtZXABC中，AB=^BC2+AC2=A/62+82=10,

ZOCB=90°=ZODBf

在RtZ\OD3和Rt^OCB中，OD=OC,OB=OB,

：.RtODB^RtOCB（HL）,

BD=BC=6,

：.AD=AB-BD=4,

设〈。的半径为r,则OD=OC=r,04=8-r,

在RtAOD中,r2+42=（8-r）2,

解得r=3,

O半径的长为3

【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知

识是解题的关键.

31.（2024•四川泸州•中考真题）如图，ABC是的内接三角形，A3是。的直径，过点8作，。的切

线与AC的延长线交于点D点E在O上，AC^CE,CE交AB于点儿

⑴求证：ZCAE=ZD；

⑵过点C作CGLAB于点G,若0A=3,BD=3及，求尸G的长.

【答案】（1）证明见解析

【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角得到/3CD=90。，则/D+NCBZ）=90。，由切线的性质推出

1ABC?CBD90?,则N4BC=N£>,再由同弧所对的圆周角相等和等边对等角得到/E=/ABC,

ZCAE=ZE,据此即可证明NC4E=NO；

（2）由勾股定理得AD=3限,利用等面积法求出BC=2百，则AC=2瓜,同理可得CG=20，贝1MG=4,

进而得到BG=2；如图所示,过点C作CH，AE于H,则AE=2AH,证明AACB^AC/44，求出A〃=2四，

则AE=4后；设PG=x,则AF=4+x,证明△AEFSACB/,推出CF=生丝巫，在Rt^CGP中,

由勾股定理得:疯=（20『+/,解方程即可得到答案.

\7

【详解】（1）证明：:川是；O的直径，

・•・ZACB=90°,

：.ZBCD=90°,

/.ZD+ZCBD=90°；

•；BD是。的切线，

：.?ABD90?,

?ABC?CBD90?,

:.ZABC=ZD,

AC=AC9

:./E=ZABC,

■:AC=CE,

：.NCAE=NE,

二ZCAE=ZD；

(2)解：V0A=3,

**.AB=2OA=6,

在Rt^ABD中，由勾股定理得AD=VAB2+BD2=J62+卜五『=3底,

S.^-ABBD=-ADBC,

LXADRL)n22

・_A5•BD_6x3A/2_/r

AD3V6

/•AC=yjAB2-BC2=旧一(2阴=2A/6,

同理可得CG=2夜，

AG=7AC2-CG2=J(2@-(2>/2)2=4,

BG=2；

如图所示，过点C作CHLAE于H,贝UAE=2AW,

由⑴可得/ABC=NC4H,ZACB=ZCHA=90°,

：.AACB^ACHA,

.AHACAH2y[6

••一,艮nnI)J=—,

BCAB2736

AH=2V2,

•*-AE=4A/2;

设R?=x,贝!JAF=4+X,

'：ZE=ZCBF,ZEAF=ZBCF,

AAEFsz\CBF,

.CFBCCF26

••=,即Hn—，

AFAE4+x4>/2

・54A/6+A/6X

・・CF=-------------,

4

在中，由勾股定理得尸

RtACGFC2=CG2+FG2,

.•.’4"*2=仅可+/,

4

解得尤=二或工=4（舍去），

4

/.FG=-.

5

【点睛】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，直

径所对的圆周角是直角，等腰三角形的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角形和相似三角形是解题的

关键.

32.（2024•山东潍坊・中考真题）如图，已知ABC内接于。，AB是的直径，NB4C的平分线交G。

于点。，过点。作OE/AC,交AC的延长线于点E,连接班）,CD.

⑴求证：DE是I。的切线；

⑵若CE=1,sinZBAD=1,求：。的直径.

【答案】（1）证明见解析；

⑵9.

【分析】（1）连接由角平分线可得44£>=NE4£>,又由。4=OD可得=即得

ZODA=ZEAD,由得NE4D+Z4T>E=90。，进而可得N84+NADE=90。，即得OD人。E,即

可求证；

（2）A3是，：O的直径可得/ZMS+/ABC+/D3c=90。，又由（1）知/皿）+/4£）。+/。。石=90。，

由ZBAD=/FAD,4DBC=ZADC,进而可得Z.DBC=Z.CDE,再根据NDBC=ZCAD,ZDCB=ZBAD