高三数学一轮复习：平面向量（多项选择题）

(3)多项选择题——高考数学一轮复习平面向量题型专练

1.下列向量中与。=(1,3)共线的是()

A.b=(l,2)B.c=(-1,3)C.=(-1,-3)D.e=(2,6)

2.已知平面向量a=(l,2),Z?=(-2,x),贝ij()

A.当x=2时，fl+Z?=(-1,4)

B.若3/区,则x=-L

C.若a_LZ>,则x=l

D.若口与》的夹角为钝角，则XG(-CO,-4)(-4,1)

3.已知向量a=(1,2),^=(1,-3),则()

A.(a+〃)-La

1-

B.向量a在向量b上的投影向量是-a。

cja+b|=6

D.与向量a反向的单位向量是三，七

4.已知a，b为平面上的单位向量，且,+,=2卜-,，则()

3

A.向量0与b的夹角的余弦值为:

I.I2也

叫Rz=5

C.^d+2b^A-{la-b^

2

D.向量Q—匕在向量。上的投影向量为二。

5.以下关于平面向量〃，b，c的命题错误的是()

A.若a•b=a♦c，贝=cB.若〃士人，则,卜恸

C,\a+b\-c=a-c+b'CD.若〃与b都是单位向量，则Q=3

6第向量，=（%九）（八九eR）,b=（1,2）,则以下说法正确的是（）

,12

A.a,,l1b=一=—

mn

B.〃_L6m+2n-0

C.若znwO,i=0,则COS（Q,。）=

D.若〃=（2,1）,则b在〃方向上的投影向量的坐标为

7.已知"为△ABC的重心，。为5C的中点，则下列等式成立的是（）

A.AD=-AB+-ACB.MA+MB+MC=O

22

C.BM=-BA+-BDD.CM=-CA+-CD

3333

8.已知点。是△ABC的重心，则下列说法中正确的有（）

^.OA+OB+OC=0B.AO=1（AB+AC）

C.AO=^AB+AC）D,OB+OC=^AB+AC）

9.八卦是中国文化中的哲学概念.图①是八卦模型图，其平面图形如图②中的正八边形

ABCDEFGH,其中。为正八边形的中心，则下列说法正确的是（）

A.AH=EDB.OA-EF=FO

C.OA+OC=42OBD.AB和GD共线

10.在正△ABC中，。为的中点，贝1］（）

2-2

A.（BA,AD\=-B.ABAC=-AD

\'63

D.B。在BA上的投影向量为!BA

C.BD=DA-CA

4

11.如图，在△ABC中，点。为的中点，点E为AC的四等分点（靠近点C）,AB=3,AC=2,

ZBAC=60°,则下列结论正确的是（）

B.3乎

A.2AD=AB+AC

7

C.ABBC=——D.AE是A3在AC上的投影向量

4

12.已知向量@=（-2,1）,〃则下列说法正确的是（）

A.若ML/；,则/的值为-2

B.若a"b,则/的值为g

C.若/=0,贝力在。上的投影向量为-2

D.若伍+B）_L伍-B）,则,+耳=|。_.

13.已知正八边形ABCDERGH,其中。4=2,则（）

鼠叵OB+OE+OG=aB.040。=—20

C.\AH+EH^=4D.|AH+GH|=4+2V2

14.已知向量a=(2,l),Z?=(l,-1),c=(m-2,-w),其中如〃均为正数，且(a—b)〃c,下列

说法正确的是()

A.a与b的夹角为钝角

B.向量。在b方向上的投影数量为半

C.2m+n=4

D.mn的最大值为2

15.下列条件能使力妨的是（）

A.\a\=\b\B.。=Z?C.|a|=OD.a=(—2,4),Z?=(2,0)

答案以及解析

1.答案：CD

解析：向量a=(1,3),因1x2—3x1/0,则〃=(1,2)与a=(1,3)不共线,A不是；因1x2—3x(—1)/0,

则c=(一1,3)与a=(1,3)不共线，B不是；而d=(-l,-3)=-a,e=(2,6)=2a,则d，e与a都

共线，即C,D是.故选：CD.

2.答案：ACD

解析：A.当尤=2时，2+石=(1,2)+(—2,2)=(—1,4),故A正确；

B.若a//b，贝口义一2x(—2)=。，解得％=_4,故B错误；

C.^alb，则lx(—2)+2x=。，解得x=l,故C正确;

D.由a»=—2+2x，若a与》的夹角为钝角，则a2<0且a与》不共线，解得尤<1且x/T,

故D正确.故选ACD.

3.答案：AC

解析：因为向量a=(l,2),b=(1,-3),所以a+/?=(2,—l),故(a+b)-a=2xl+2><(-l)=0,故

+成立，故A正确，

易得a-b=l-6=-5，|^|=V9+1=V10,由投影向量定义得，投影向量为

a-bb-5b1

W•『面•砺"一5'故B错误’

由题意得a+〃=(2,—1),故.+囚="万=百,故C正确，

由单位向量定义得与向量a反向的单位向量为，故D错误.故选：AC

4.答案：ABD

解析：由题意知Ia1=1〃1=1,且卜+川=2卜—4,故,+61=4卜一"2,^2+2a-b=8-8a-b，

,3,,/7\a・b3..

=工，故cos〈a,b〉=----=A正确；

55

a—人(=2—2am=2—2xg=g,故**半，B正确;

+2b^-^2a—=2a2+3a-b—2b~=3a-b=—^0,故。+2人，2。一6不垂直，C错误;

向量a-b在向量a上的投影向量为^---------—=(a-a-b\a=—a^D正确，

|a|IaI')5

5.答案：ABD

解析：根据数量积关于向量加法的分配律可知(a+8>c=a-c+>c,故C正确.在平面直角坐标

系中令a=(O,l),Z?=(1,O),c=(-1,0).由a.b=O=a.c，Z?=(l,0)^(-l,0)=c,知A错误；

由a=(O,l)#(l,O)=b,忖=1=忖，知B错误；由,卜1,忖=1,a=(0,1)*(1,0)=Z?,知D错

误.故选：ABD.

6.答案：BCD

17

解析：对于A：当。=(0,0)时，满足a//0,但是一、一无意义，故A错误；

mn

对于B：当〃_L。，贝!)〃•/?=加+2〃=0，故B正确；

对于C：若a=(〃0)W，0),则3他6)=而=丽后=±歹，故C正确；

对于D：若。=(2,1),则b.a=2xl+lx2=4,同=疹于=右,所以B在。方向上的投影向

一b-a4

量的坐标为7"了s=,故D正确.故选：BCD

同5

7.答案：ABD

解析：因为。为3C的中点，所以AD=；(AB+AC),A正确；由〃为△ABC的重心可得,

W=-DA=-x[--|x(AB+AC)=--(AB+AC),同理MB=_,(痴+30),

33I2J33

AfC=-1(CA+CB),所以M4+Affi+MC=0,B正确；

1..11212

因为MB=—](BA+BC)=—](5A+2BD)=—gBA—所以5M+，C错误;

CM=1C4+|CB=1(C4+2CD)=1C4+|CD,D正确.故选ABD.

8.答案：AB

解析：记。为3C中点，则。为AD靠近点。的三等分点，因为OB+OC=2。。，OA=-2OD,

所以Qi+OB+OC=0，A正确；

yCAB+AC=2AD,AO=^AD,所以;（A3+AC）=AO,B正确，C错误；

又OB+OC=2OD，AB+AC=2AD=6OD，所以。3+。。=；（AB+AC）,故D错误.故选:

AB.

解析：因为正八边形A3CDERGH中，ZDEA=ZHAE,所以AH//DE,但A”,ED方向不同，

所以A〃=EZ＞不正确，故A错误；

由OA-EF=EO-EF=FO，所以。4-EE=E。正确，故B正确；由图形为正八边形可知

ZAOC=~,且|。4|=|。。|,由向量加法法则可知OA+OC为以。4,为邻边的正方形中以

O为始点的一条对角线所对应的向量，所以|04+OC|=01041,又|OA|=|031,08与OA+0C

共线，所以OA+OCng'QB，故C正确；

在正八边形ABCDERGH中，AB=FE，FE1和GO平行，所以A3和GO共线，故D正确.

故选BCD.

10.答案：BCD

AB

ABAC_^\\_2______2_2

解析：（BA,AD）=-^=^,A错误

n~（R¥-3，则ARAC=彳AD,B正确.

\'66AD当M3

j

BD=DC=DA+AC=DA-CA，C正确.30在氏4上的投影向量为:x；R4=,D正确.

n.答案：AD

解析：对于A,因为在△回€：中，点。为的中点，所以AD=；（A3+AC）,

所以2AD=AB+AC，所以A正确,

对于B,因为AD=g(A3+AC),A5=3,AC=2,ZS4C=60°,所以

AD2=i(AB2+2AC-AB+AC2j=^9+2x3x2x1+4^|=^,所以，。,浮，即40=日，

所以B错误，

对于C,因为8C=AC_AB，所以M出0=钻(40_43)=432。_钙2

=3X2X1-9=-6,所以C错误，

3

对于D,因为点E为AC的四等分点(靠近点C),所以AE=[AC,所以A3在AC上的投影

4

3x2x—

向量为华华.兰=_____2AC=3AC=A£,所以D正确.故选：AD

|AC||AC|44

12.答案：AB

解析：根据题意，依次分析选项：

对于A,向量a=(—2,1),b=(-1,?),若a_LZ?，则a-b=2+/=0，解可得f=—2,A正确；

对于B,向量a=(—2,1),b=(—l,。，若aUb,则(―2)xf=1x(—1),解可得/=；,B正确；

对于C,若"0,则》=(-1,0),则人在。上的投影向量为溶C错误；

对于D,若(a+Z?)_L(a->)，则.+孙但-3)=泮_庐=0,则有向=|目,则,+可=,一,不

一定成立，D错误.故选：AB.

13.答案：ABC

解析：分别以3/所在的直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

360°

易知ZAOH=ZHOG=ZAOB=/EOF=ZFOG=ZDOE=ZCOB=ZCOD=------=45°作

8

AMLHD,垂足为〃，则=

因为Q4=2,所以QM=AM=&，所以A(-无,-0),同理可得其余各点坐标，5(0,-2),

E(V2,A/2),G(-叵6,£>(2,0),“(-2,0),

版OB+OE+OG=(0,-272)+(友,点)+(-叵,0)=0,故A正确；

OAOD=-V2x2+(->/2)xO=-2V2,故B正确；

AH=(-2+V2,V2),EH=(-2-V2,-V2),AH