甘肃省皋兰县某中学2023-2024学年高一年级下册期末考试数学试题（含答案解析）

甘肃省皋兰县第一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数

学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知复数巴a=b+3i,其中i是虚数单位，则成=（）

1

A.-6B.-1C.1D.6

2.中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝.明代会试分南卷、北卷、中卷,

按11:7:2的比例录取，若某年会试录取人数为200,则北卷录取人数为（）

A.70B.20C.110D.150

3.已知正六边形48CDE产，则X+而-丽=（）

A.~BCB.AEC.BED.AC

4.圆台上、下底面半径分别是1,2,高为百，这个圆台的体积是（）

A.逋B.2也无

3

C.D.逋兀

3

5.在V4BC中，三边长分为3,7,8,则最大角和最小角之和是（）

3八2―5

A.—71B.—71C.-71D.----71

43612

6.小张某一周的总开支分布如图①所示，该星期的食品开支如图②所示，则以下说法正确

的是（）

图①图②

试卷第1页，共4页

A.储蓄比通信开支多50元B.日常开支比食品中的其他开支少150元

C.娱乐支出为100元D.肉类开支占总开支的g

7.已知四边形4BCD的对角线交于点。，E为ZO的中点，^AE=AAB+^AD,则％+〃=

()

A.-B.-C.-D.1

234

8.在正方体NBCO-HB'C'D'中，。为底面/BCD的中心，尸为棱/©的中点，则下列说法

正确的是()

A.A'C'IOPB.A'B1OP

C.AB'1OPD.B'C1OP

二、多选题

9.如图，在4x4方格中，向量£花,"的起点和终点均为小正方形的顶点，贝U()

A.同=同B.2a135C.(a+b^l1cD.32=a-(c-b

10.下列各式中，值为l的是()

2

5%

A.sin一B.2sinl50cosl5°C.2cos2150-lD.—tan210°

62

11.已知正四面体/5CQ的各棱长均为2,下列结论正确的是()

A.正四面体N8C。的高为坟

3

B.正四面体/BCD的体积为述

3

C.正四面体/BCD的外接球的半径为直

D.正四面体A8CD的内切球的表面积为4兀

试卷第2页，共4页

12.已知（l+2i）1=5-5i（i是虚数单位），则z的虚部为.

13.已知向量1=（加,-3）,^=（-1,5）,若万人B，则实数〃?的值为.

14.某地为了更好地开发当地的旅游资源，决定在两座山头建一条索道，现测得两座山高分

别为MC=160米，N8=100米.从山脚下的A处测得〃处的仰角为53。，N处的仰角为45。，

/儿伍N=45。，点A,B,C在同一水平面内，MCIAC,NBVAB,则两座山的山顶W,

43

N之间的距离是米.（参考数据：sin53°,cos53°«-）

四、解答题

15.已知0<(z<与cosa=-

(1)求sin2a,cos2a的值;

(2)求sin]2tz+—J的值.

16.如图，在三棱锥P/8C中，R4_L底面NBC,PB1BC,。为AP的中点，PA=AB.

C

（1）求证：8C_L平面

⑵求证：4D_L平面尸3c.

17.某政府部门为促进党风建设，拟对政府部门的服务质量进行量化考核，每个群众办完业

务后可以对服务质量进行打分，最高分为100分.上个月该部门对100名群众进行了回访调

查，将他们按所打分数分成以下几组：第一组［0,20）,第二组［20,40）,第三组［40,60）,第

试卷第3页，共4页

四组［60,80),第五组［80,100］,得到频率分布直方图如图所示.

(1)估计所打分数的众数，平均数；(同■组中的数据用该组区间的中点值作为代表)

(2)该部门在第一、二组群众中按比例分配的分层抽样的方法抽取6名群众进行深入调查，之

后将从这6人中随机抽取2人聘为监督员，求监督员来自不同组的概率.

2s

18.在锐角V/BC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c，VABC的面积为S,已知sinB——

b-c

小、工口目b?a+b2-c2

(1)证明：一=---------;

ca

(2)若/=2C,a=2,求VNBC的周长.

19.如图，在四棱锥8-P/C。中，8C_L平面切3,且在四边形aCQ中，PQ//AC,

/PC。,二面角/尸一°的大小为方，且==

(1)点E为2c的中点，证明：平面E42；

(2)求直线BQ与平面PACQ所成角的正弦值.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案DABDBCACBCDABD

题号11

答案AB

1.D

【分析】利用复数的乘法和复数相等的定义，求出。/的值即可.

a—2ifa=-3,

【详解】由^^=b+3i,得a-2i=(b+3i)i=-3+6i,,/,ab=6.

i也=-2,

故选：D.

2.A

【分析】由分层抽样的抽取比例乘以样本容量即可求解.

【详解】会试录取人数为200时，根据分层抽样的性质可知，

7

北卷录取人数为200X1——-=70.

11+7+2

故选：A

3.B

【分析】根据相等向量和向量的加减运算即可求解.

【详解】由正六边形的特征可知：14C=FD,AE=BD

所以就+丽-丽=丽=运

故选：B

【分析】直接代入圆台的体积公式计算即可.

【详解】由题意忆=兀+石西£+4兀)=^^兀.

故选：D.

5.B

答案第1页，共9页

【分析】设A为V/3C的最小角，C为V/3C的最大角，利用余弦定理求得8的大小，即可

求解.

【详解】设A为VN3C的最小角，。为V48c的最大角，

由余弦定理，可得cos3=3一+&-7?=工,

2x3x82

jr2兀2

因为Be（O,n）,所以8=所以Z+C=q-,即最大角和最小角之和是§兀.

故选：B

6.C

【分析】根据图表信息对选项一一分析即可得出答案.

【详解】由食品开支图，可知食品开支为30+40+100+80+50=300（元），所以一星期的

总开支为300+30%=1000（元），其中娱乐支出为1000xl0%=100（元），故C正确；

储蓄比通信开支多1000x（30%-5%）=250（元），故A错误；

日常开支为1000x20%=200（元），故日常开支比食品中的其他开支多150元，故B不正确;

肉类开支占总开支的100-1。00=，故D错误.

故答案为：C.

7.A

【分析】利用向量的线性运算结合平面向量基本定理可求4+"的值.

【详解】由已知得近=g瓦，AE=AAB+fiAD,

故静=22次+2〃15,又B,O,。共线，

故22+2〃=1,所以2+〃=3，

故选：A.

8.C

【分析】根据正方体的几何性质，即可根据线线平行以及垂直关系的转化即可结合选项逐一

答案第2页，共9页

求解.

【详解】连接HC,易得OP〃HC,

在平面44'C'C中，4c与4C不垂直，故HC'与OP不垂直，故A错误，同理，D错误;

在正方体/BCD-HB'C'D中，3。_1平面44%;8,48u平面4408,所以

若45LOP,贝！|H5，HC,这与矛盾，所以42与OP不垂直，故B错误；

因为3C_L平面442B,48u平面44;8B，所以8C_L/3',

又ABLAB，,BCHA'B=B,可得48U平面/'BCD',

又HCu平面43cO',所以43'_L/'C,故N3'_LOP,C正确.

【分析】如图建立平面直角坐标系，设每个方格的边长为1,利用向量的坐标运算逐项判断.

【详解】如图建立平面直角坐标系，设每个方格的边长为1,

则3=(-1,2),分=(2,1),c=(l,3),|c|=V10，同=6,A选项错误;

2a-3fe=6(-lx2+2xl)=0,B选项正确;

a+b={\,3),a+b=c,C选项正确;

a2=5,c-&=(-l,2),a-(c-6)=(-1)+2x2=5=/：,D选项正确.

故选：BCD.

10.ABD

答案第3页，共9页

【分析】根据诱导公式sin(%-a)=sina可判断A；由二倍角的正弦公式sin2a=2sinecosa可

计算B；由二倍角的余弦公式cos2a=2cos2(z-l可判断C；由诱导公式tan(%+a)=tana可

计算D.

STTJTJT1

【详解】对于A：sin一二sin(»-—)=sin—=-,所以A正确；

6662

对于B：2sinl5°cosl5°=sin30°=-,所以B正确；

2

对于C：2cos2150-l=cos300=—,所以C不正确;

2

对于D：—tan2100=—tan(180°+30°)=^tan(30°)=所以D正确，

222232

故选：ABD.

11.AB

【分析】对于A：利用勾股定理求解即可；

对于B：%=求体积即可；

对于C：根据正四面体/8CA的外接球即为该正方体的外接球，即可求解；

对于D：直接利用面积公式求解即可.

【详解】

对于A：在四面体/2C。中，过点A作N尸_1面3。于点尸，

则下为底面正△BCD的重心，因为所有棱长均为2,

可得B尸=空，

3

所以AF=YAB2—BF2=地,

3

即正四面体/BCD的高为侦，

3

故A正确；

答案第4页，共9页

正四面体/BCD的体积厂故B正确；

333

将正四面体补形为如图正方体，易知正四面体/BCD的外接球即为该正方体的外接

球，

则外接球半径等于正方体体对角线的一半，即-后+@+(回=在，故C错误；

22

记正四面体的内切球的半径为贝耳

ABCDr,xrx(S+SAABD+S^BCD+S^ACD)=7,

4义上义密义r=巫,解得r="，故内切球的表面积为47川=,乃，故D错误.

3363

故选：AB.

12.3

【分析】先求出共辗复数，再得到复数的虚部.

-_5-5i_5(l-)(l-2i)_.

【详解】1t3/.z=-l+3i,虚部为3.

l+2i(l+2i)(l-2i)

故答案为：3

13.-15

【分析】依题意可得1i=o,根据数量积的坐标运算得到方程，解得即可;

【详解】解：因为幻=(检-3),b=(-1,5),^.alb>

所以展B=-lx加+5x(-3)=0,解得加=-15；

故答案为：-15

14.10072

【分析】在直角三角形中求出M4、NA,再由余弦定理计算可得.

【详解】在Rt^MC4中，sin53°=—=—,所以腿4引60x*=200米,

MAMA4

在中，NA=^NB=100C米,

答案第5页，共9页

在△M4N中，MN2=AM2+AN1-2AM.AN-cos45°

=20（）2+（100逝），2x200x100区等=《00，则WOO8米.

故答案为：100血

⑵关

【分析】（1）由已知条件和同角三角函数求得sine,再运用正弦、余弦的二倍角公式可得

答案;

（2）根据（1）的结论和正弦的和角公式可求得答案.

【详解】解：（1）因为0<a<»,cosa=-好，所以sina=2^,

55

4

所以sin2a=2sinercoser=2x------x------

5I5J5

3

cos2a=2cos26r-l=2X

5

3}_7>/2

(2)sin2a+—=sin2acos—+cos2asin—=——x—

I4)442(5飞)~10

【点睛】本题考查同角三角函数间的关系，正弦、余弦函数的二倍角公式，正弦的和角公式,

属于基础题.

16.（1）证明见解析

⑵证明见解析

【分析】（1）由线面垂直的性质和判定可得证；

（2）由线面垂直的性质和判定可得证.

【详解】（1）证明：因为P/工底面/8C,8Cu底面/8C,所以尸

又PBLBC,PBC\PA=P,尸4尸8u平面R12；所以3C_L平面E43；

（2）证明：由（1）得BC_L平面又/Ou平面处瓦所以4D1BC,

又。为8P的中点，PA=AB,所以

答案第6页，共9页

又PBcBC=B,PB,BCu平面P8C,所以4D_L平面P8C

17.⑴众数为70,平均数为65；

【分析】（1）根据频率分布直方图与众数、平均数的计算方法依次计算即可；

（2）先求出6人中第一、二组抽到的人数，求出样本空间的样本点个数和事件“2人来自不同

的组”包含的样本点个数，代入概率公式计算即可.

【详解】（1）由频率分布直方图可知，

5个组的频率分别为005,0.1,0.2,0.35,0.3,

所以平均数为

10x0.05+30x0.1+50x0.2+70x0.35+90x0.3=65；

（2）由频率分布直方图可知第一组的频率为0.05,第二组的频率为0.1,

则第一组的人数为5人，第二组的人数为10人，

所以按分层抽样的方法抽到的6人中，

第一组抽2人，记为q、a2；第二组抽4人，记为可、打、打、“，

贝!JO={q%，,a也，。也,〃也，a2bl，%打，a2b4，，也，44，4“，,b2b4,b3b4},

设事件A为抽到的2人来着不同的组，

则Z={%[,a[b2,。也,。也,a2bl，a2b2，a2b3，出乙}，

o

所以尸（/）=m.

18.（1）证明见解析

⑵石+3

【分析】（1）利用面积公式可得〃-c2=ac,即可得证；

（2）由余弦定理及（1）的结论可得2=2COSC,再由正弦定理将边化角，即可得到B=2C

C

或3+2C=i,再分类讨论，得到2=/,则b=a,再由62-02=互求出c,即可得解；

【详解】（1）证明：因为sinBufy,所以sin8=等黑，又sinBwO,

b-cb-c

答案第7页，共9页

所以〃一°2=四，则62=4°+°2,即一=a+C,

C

匚匚［、］Q2+Z>2_02Q2+QC人2

J7T以---------=------=a+c=—;

aac

272_2

(2)解：由余弦定理，cosC=---------—,

2ab

由(1)得./BY,所以2=2COSC,即b=2ccosC,由正弦定理可得

cabc

sinS=2sinCcosC=sin2C,

在锐角V/BC中，所以所以8=2C或8+2C=万，

若2+2C=%，贝！|/="-8-。=。，所以。=c,b2^(a+c)c^a2+c2,与V/3C为锐角三

角形矛盾，舍去；

所以B=2C,故5=N,即b=4=2,所以4-/=2<?,解得C=V?-1，b+a+c=V5+3,

所以VABC的周长为6+3.

19.(1)证明见解析

【分析】（1）运用垂直条件找出二面角8-/尸-0的平面角，得到3CL/3,借助中位线证

明平行，进而得到四边形尸。£尸为平行四边形，再运用线面平行的判定定理即可；

（2）过3作W/_LZC于点跖得到P/_L平面/2G，得到平面PNC。，平面/2C,运用

面面垂直性质得到，平面HC。，得到N80M即为所求线面角.再结合勾股定理和余弦

定理求线段长度，借助锐角三角函数求解角