2025年高考数学一轮复习：基本不等式及其应用（十八大题型）（练习）（解析版）

第04讲基本不等式及其应用

目录

01模拟基础练..................................................................................3

题型一：基本不等式及其应用....................................................................3

题型二：直接法求最值..........................................................................5

题型三：常规凑配法求最值......................................................................6

题型四：化为单变・法..........................................................................7

题型五：双换元求最值..........................................................................8

题型六：“1”的代换求最值.......................................................................9

题型七：齐次化求最值.........................................................................10

题型八：利用基本不等式证明不等式.............................................................11

题型九：利用基本不等式解决实际问题...........................................................13

题型十：与a+b、平方和、成有关问题的最值...................................................16

题型十一：三角换元法.........................................................................19

题型十二：多次运用基本不等式.................................................................22

题型十三：待定系数法.........................................................................23

题型十四：多元均值不等式.....................................................................24

题型十五：万能K法...........................................................................24

题型十六：与基本不等式有关的恒（能）成立问题...................................................26

题型十七：基本不等式与其他知识交汇的最值问题.................................................27

题型十八：整体配凑法.........................................................................28

02重难创新练.................................................................................29

真题实战练....................................................................................37

题型一：基本不等式及其应用

1.（2024•高三•安徽芜湖•期末）《几何原本》第二卷中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成

了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称

之为无字证明.现有如图所示的图形,点/在半圆。上，且。尸，AB,点C在直径A3上运动.作CD，AB

交半圆。于点。.设AC=a,BC=L）,则由产C2CD可以直接证明的不等式为（）

;

Aocb

A.（a>0,b>0）B.a2+b2>2ab（<a>0,b>0）

c-:羽匕^(。>。力>。)D-而伫

—(«>0,Z?>0)

【答案】D

【解析】连接位),8。，由题知CD_LAB,ADVDB,

所以ZADC+NCDB=NCDB+NCBD,即ZADC=NCBZ),

因为NACD=/DCB=90,

所以八48ADCB,

匚UnACCD<—

所以1片=，即nnCD=yfab，

因为AC=a,BC=b,

a+b"a+b_a-b

所以OF=------,OC=a------二

22一2'

所以。+EB=『十廿

1(a>0,b>0)

所以由FCNCD可以证明疝<

故选:D

2.下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（）

①已知所。，求的最小值；解答过程：**\ab

MI—x—=2；

ba

②求函数y=]^的最小值；解答过程：可化得y=

H—/22,

^/774'

2解答过程：2x

③设X>1,求k无+口的最小值;y=x+^->2,

x—1x-\

2把％=2代入2、户得最小值为4.

当且仅当％=:即尤=2时等号成立,

x-\Vx-1

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】A

【解析】对①：基本不等式适用于两个正数，当必<0,/与2均为负值,

ba

此u时n.一a十一b二一

ba

当且仅当£=2,即a=b<0时等号成立，故①的用法有误，故①错误；

ba

对②：y=V%2+4+

=

[夭2+4,即J.2+4=1时取等号,

但正百22,则等号取不到，故②的用法有误；

22

对③：x>l,x-1>0fy='x~\-------=x—1H--------F1>2A/2+1,

x—1x—1

当且仅当1-1=0,即x=0+l时取等号，故③的用法有误；

故使用正确的个数是。个，

故选：A.

3.下列不等式一定成立的是（）

A.lg|x2+—|>lg^（x>0）B.sinx+^—>2（x手k兀，keZ）

I4Jsinx

C.x2+l>2|x|（xe/?）D.—>1（XGR）

11x+1

【答案】C

【解析】A：当x时，有/+：=%,故不等式不一定成立，故A错误；

24

B：当sinx=—l,即％=2左"+当（左EZ）时，有sinx+一一=一2<2,故不等式不一定成立，故B错误;

2sinx

C：V+1-2国=（闭-1）匿。恒成立，故C正确；

D：当x=l时，有二二=[<1,故不等式不一定成立，故D错误；

x2+l2

故选：C

题型二：直接法求最值

4.（2024•上海普陀•二模）若实数。，b满足a-2620,则2。+"的最小值为.

【答案】2

【解析】因为2">0,—y>0,a—2b>0,

4

所以2T=2"+条2,2"<=2后三2亚=2,

当且仅当2。=，，即a=6=0时等号成立，

所以2"+好的最小值为2.

故答案为：2.

h2

5.（2024•高三•上海青浦•期中）若a/£R且满足而=8,则/+幺的最小值为_______.

16

【答案】4

【解析】因为而=8,所以〃2>042>0,

当。2=7，即6=4〃=40或b=4a=-40时取等号,

16

所以/+幺*的最小值为4.

16

故答案为：4.

6.若x>0,则x+士的最小值为.

X

【答案】4

【解析】因为x>0,则X+422、14=4,当且仅当X=2时，等号成立,

xY%

故答案为：4.

题型三：常规凑配法求最值

7.若x>l,则x+一1的最小值是—.

x-l

【答案】3

【解析】*•*%>1,

・•・x+-^=x-l+-^—+l>2j(x-l)x-^—+1=3,

x-lx-lVx-l

当且仅当彳-1=<即x=2时取等号，

X-L

**•X=2时x-\---^取得最小值3.

x-l

故答案为：3.

8.若x>T,则函数〃x)=£的值域是.

【答案】［0,+。)

【解析】•••〃X)=£=(X+1)22(X+1)+1

=(x+l)+———2-

x+1x+1')x+1

当x>-l时，/(x)>+-2=0,

当且仅当》+1=工，即x=0时取等号；

故函数的值域为［0,+8).

故答案为：［0,+8).

9.若一!<x<l,则yJ-21+2有()

2x-2

A.最大值-1B.最小值-1C.最大值1D.最小值1

【答案】A

【解析】因—则0<l—x<2,

于是得y=—%)+1=一\[(1_J)T——]<•2A/(1-X)-=-1,当且仅当1一兀---，即％=0时取

21—x21—x2V1—x1—x

，=中手有最大值一

所以当％=0时,

故选：A

题型四：化为单变量法

10.若a+人+c=4,3a-\-2b-c=0,贝!Jah的最大值为（）

A.-B.3C.-D.正

6633

【答案】C

【角星析】由a+b+c=4,3Q+2Z?-C=0,

可消去。得到4a+3A=4,

3

贝=令>=血

4

.\y=--b2+b=--（b--）2+-,

4433

2i

•••当"二W时，

故乃的最大值为g.

故选：C.

11.（2024•高三•河南漠河•期末）设正实数尤、>、z满足/-孙+y2-z=0,则£的最大值为（）

Z

A.4B.2C.3D.1

【答案】D

【解析】因为正实数1、>、Z满足九2一孙+y2—z=。，贝丘二公+丁一孙，

现=——=-1—<1—=1

22

所以，zx+y-xy2+［一12l£.y_1，

,%^yx~

YV?

当且仅当一=上（x>o，>>o）时，即当尤=y时，等号成立，

yx

故?的最大值为1.

Z

故选：D.

8

12.已知正数x,y满足3一=93则x+一的最小值为.

■y

【答案】12

Q

【解析】由3一=9、可得％-4=2y,即x=2y+4,代入x+一中，

y

82I

可得2y+4+—=2y+—+4Z22y—+4=12,

当且仅当y=2,x=8时，取等号，

8

所以X+一的最小值为12.

y

故答案为：12.

13.已知尤,yeR\^2x+y+xy=7,则x+2y的最小值为.

【答案】6拒-5

7-2r

【解析】由x,ywR+,且2%+y+盯=7,可得y=

x+1

rri.l__7—2%—3%+14

则x+2y=九+2x-------=----------------,

x+1x+1

设，=%+1,可得％=，—1且,>1,

—T/曰3X+145/+1818_I18_/后右

可得---------=---------=t+——5>2Jt------5=6^2—5,

x+1ttxt

当且仅当”;时，即=3后时，等号成立，所以》+2y的最小值为6亚-5.

故答案为：6V2-5-

题型五：双换元求最值

62

14.（2024•全国•模拟预测）已知无>丁>。,一r二则2-的最小值为

【答案】12

【解析】令T222

b=----,贝"+y=一x—y=一，且。>0,Z?>0,

九一yab

匚…

所以x=一1+1：,y=1——1-.

abab

又3a+Z?=l,所以2x-y=2

=3+-+—+3>6+2.2.也=12,

abab

当且仅当。=J,b=\,即x=8,y=4时，等号成立.

62

故答案为：12

15.（2024•高三•福建龙岩•期中）已知x>0,y>。且炉+3丁+4孙=8,则3x+5y的最小值为

【答案】8

【解析】由f+3y2+4孙=8得炉+4冲+4y2-y2=8,

即(x+2y)2-y2=8,所以(x+3y)(x+y)=8,

3a-b

cX—,

令f=x+y，得2

[b=x+3y,

所以ah=8,3x+5y=2a+/N2J2〃Z?=8,当且仅当2〃=b,即x=y=l时，等号成立.

故答案为：8

题型六："1"的代换求最值

16.（2024•高三•江苏南京•开学考试）函数>=1%（彳+2）-3（a>0且awl）的图象恒过定点A,若点

n1

A在直线;依+〃y+l=0上，其中他”>0,则一+一的最小值为.

mn

【答案】5

【解析】对于函数y=log°（x+2）-3,令x+2=l,可得x=-l,y=-3,可知A（—l,—3）,

若点4（-1,一3）在直线mr+〃y+l=0上，则一根一3〃+1=0,即%+3九=1,

n1nm+3nnm

贝!]一+—=一+-----=—+—+3,

mnmnmn

m

且的>0,贝!J—,—>0,

mn

_J,ZP,n1nminm

RT—i—=—i----F322J--------F3=5,

mnmn\mn

nmI

当且仅当2=',即加="=;时，等号成立，

mn4

n]

所以二+2■的最小值为5.

mn

故答案为：5.

17.（2024•四川南充•二模）已知尤，y是实数，x>0,y>0,且无+y=4,则L+工的最小值为________

xy

【答案】1

【解析］因为无>0,y>0,且无+y=4,所以工+_1=21+工］(》+>)=!(2+2+2］,

xyy/yJ

因为“+二22,当且仅当x=y=2时，取到等号，

%y

所以,即'+'的最小值为1.

%yxy

故答案为：1

18.(2024•陕西西安•模拟预测)若直线2M+队一4=00>0,/>0)过函数y=loga(%—l)+2(a>0，且)

的定点T,则4n+24的最小值为.

mn

【答案】6

【解析】.x=2时，y=log0l+2=2,

・.・函数V=log.(x-l)+2(a>0,且a片1)的图象恒过定点7(2,2),

定点7(2,2)在直线2〃a+〃>一4=0上，二2根+“=2,

,mn>0,/.m>0,n>0,

n42—2m424.

—+—=--------+—=——+——2,

mnmnmn

,24124-c、1In8m..1,r—：

由——F—=—(——zF—)(2m+n)=z—o(8H-----1------)>4+—X2A/16=8o,

mn2mn2mn2

当且仅当〃=2机=1时取等号.

n4

即当且仅当〃=2m=1时，—I—取得最小值为8-2=6.

mn

故答案为：6.

19.(2024•上海徐汇•二模)若正数a、6满足，+：=1,则2a+b的最小值为_____.

ab

【答案】3+2&/20+3

【解析】由已知2a+6=(2a+b)(1+；)=3+孕+々23+2立，当且仅当孕=2,即0=i+正/=i+血时

abbaba2

等号成立，故所求最小值是3+20.

故答案为：3+20.

题型七：齐次化求最值

20.（2024•高三•浙江•开学考试）已知正实数满足x+2y=l,则工+上的最小值为________.

xy

【答案】1+20/20+1

【解析】正实数男丁满足x+2y=l,有'12，=—+'-2,

xyxyxy

则工+三=4+4_2=(4+4](无+2封_2=1+'+々21+2<^^=1+2后,

xyxyy)yxyyx

当且仅当土出，即冗=&—1。=”也时等号成立，

y%2

1XL

所以一+一的最小值为1+2直.

xy

故答案为：1+2返

1-Y2

33

21.已知x>0,>0,x+y=x-yf贝lj—「的最小值是()

y

A.2B.2+6C.75+2D.272+2

【答案】D

v3+v3

【解析】X>0,y>0,^+y^=x-y>0,即有2L=1且x>y,

%一y

Y+y3.

将24代入♦得一二+一

孙一y£

y

令用>1，〃，)=合，”1)，

r2+l_(r2-l)+222

,•/(，)==t+l+——=(r-l)+——+2

t-1t-1t-1t-1

2

Q/>1,1)H--------F2之2y+2

t—1

当且仅当―1=六，即£=&+1时等号成立，

2.11_2

所以/(。=胃f■”>1)的最小值2亚+2,即宁y的最小值是2近+2.

故选：D.

题型八：利用基本不等式证明不等式

22.已知〃，b,c为正数,函数/(%)=卜+4+,+4+卜一小

(1)若。=》=。=2,求/(x)的最小值;

⑵若"0)=1且。，b,c不全相等，求证：^c+cia+aib>abc.

【解析】(1)由题意得〃x)=2|x+2|+k—2|,

—3x—2,xW—2

/(x)={x+6,-2<%<2,

3%+2,x>2

・,•当x=-2时，函数〃可取得最小值4.

(2),・•〃，b,。为正数，且〃0)=1,・・・a+b+c=l,

222

廿bca

二・要证分c+c%+a%>,即证-----1------1---->1.

abc

—+—+—+a+b+c=—+a+—+b+—+c>+2A/?+2y[a^-2(a+b+c]=2,

abcabc

当且仅当。=Z?=c时取等号.

h2c2a2

又a,b,。不全相等，，幺+巳+幺>1,即后c+cBa+/bAHc.

abc

23.不等式选讲已知a/,c均为正实数，函数/(%)=卜-4“|+,+叫+0的最小值为4.

⑴求证：ab+bc+ca>9abc；

⑵求证：6y[ab+3y[bc+2y[ca<4.

【解析】(1)a,b,c>。,

f^x)=\x—4a+|x+9Z?|+c>|x—4tz—(x+9b)|+c=4a+9Z?+c,

当且仅当(%—4a)(x+9»W0时取等号，

「.4a+9b+c=4,ab+bc+ca>9abc,只要证‘+'+'29,

abc

3+4

由柯西不等式得(4a+90+c)--~i=+3y[b--1=+=(2+3+l>=36,

abc)

2ill

当且仅当2a=3b=c=—时取等号，—d---F—>9,/.ab+bc+ca>9abc.

3abc

(2)由基本不等式得4a+9b>12y[ab,9b+c>6yfbc,c+4〃24y[ca,

4

以上三式当且仅当4〃=9b=c=-时同时取等号，将以上三式相加得

\2\fab+6y[bc+4y/caW4a+9b+9b+c+c+4〃=8,即6y[ab+3y[bc+2y[ca<4.

24.(2024•四川资阳•模拟预测)已知。>0,b>0,且a+Z?=2.

⑴求/+〃的最小值；

(2)证明：671+^/^工1<2&•

【解析】(1)(2)因为a+b=2,所以4+/+2ab=4,所以/+u=4—9.

2

因为〃>0,Z?>0,所以仍工二1,当且仅当〃=6=1时，等号成立,

贝IJ/+从之4—2=2,即/+/的最小值是2.

（2）证明：因为应x而TvW，当且仅当a=l时，等号成立，

2

应xMRw等，当且仅当6=1时，等号成立，

所以xJa+1+V5>Jb+1V―-—I—--=4.当且仅当<7=6=1时，等号成立

则闾&+1+八+1六4,即J°+l+Jb+lv20，当且仅当。=6=1时，等号成立.

题型九：利用基本不等式解决实际问题

25.（2024•黑龙江•二模）"不以规矩，不能成方圆”出自《孟子・离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相

互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木板，按图

中数据，以“矩”量之，若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角。满足

COS«=1,则这块四边形木板周长的最大值为（）

【答案】A

【解析】因为四边形木板的一个内角a满足cos1=；,如图,

B

设=由题设可得圆的直径为Jl00+25=5如,

故=5j^sincz,因cosa=g,a为三角形内角，故sina=2垃,

33

品ncu匕27210加

故BD=5J5x—=——,

33

ftAB-+AD2-2ADxABcosa=BD2

故（AB+WJ如超+您〈生空直+3，

v73939

故AB+ADVJ用5=坦凸，当且仅当AB=A。=孚时等号成立,

同理8C+CO4坦叵，当且仅当BC=CO=%叵等号成立，

33

故四边形周长的最大值为10（而+啊cm,

3

故选：A.

26.（2024•广东韶关•二模）在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W（单位：平方米）的计算公式

是w=（长+4）x（宽+4）,在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10000平方米，每平

方米收费1元，请估算平整完这块场地所需的最少费用（单位：元）是（）

A.10000B.10480C.10816D.10818

【答案】C

【解析】设矩形场地的长为无米，则宽为二匕米，

X

E，八/I。。。。八,40000cr—40000

W=（x+4）（--------1-4）=4XH-----------1-10016>2./4X----------1-10016—10816，

xxvx

当且仅当4x=理则，即x=100时，等号成立.

X

所以平整这块场地所需的最少费用为1x10816=10816元.

故选：C

27.（2024•高三•山东济宁•开学考试）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里

购买10g黄金，售货员现将5g的祛码放在天平的左盘中，取出空黄金放在天平右盘中使天平平衡；将天平

左右盘清空后，再将5g的祛码放在天平右盘中，再取出无黄金放在天平的左盘中，使天平平衡；最后将两

次称得的黄金交给顾客.则（）

A.x+y>10B.x+y=10

C.x+y<10D.以上都有可能

【答案】A

【解析】设天平左臂长为。，右臂长为6,且出b,则有5a=动，ya=5b,即x=浮,y=—,

ba

5a5bJa力、、「一

所以，1十>=丁"1=5—H—25x2=1°,

ba\baJ

又因为〃b,所以％+y>10.

故选：A

28.（2024•高三•北京朝阳・期末）根据经济学理论，企业生产的产量受劳动投入、资本投入和技术水

平的影响，用。表示产量，L表示劳动投入，K表示资本投入，A表示技术水平，则它们的关系可以表示

为。=4不"，其中A>0,K>0,L>0,0<a<l,0<£<l.当A不变，K与七均变为原来的2倍时，下面结论中正确

的是（）

A.存在a<J和/<：,使得Q不变

11

B.存在。>了和尸>下，使得。变为原来的2倍

C.若邮=g,则。最多可变为原来的2倍

D.若。2+6=1,则。最多可变为原来的2倍

【答案】D

【解析】设当A不变，K与L均变为原来的2倍时，Q=A（2Kf（2Lf=2a+f!AKalf=2a+/lQ,

对于A,若。则i=,2。+0<_2,故A错误；

对于B,若a>=和则本+尸>?；*\?）故B错误；

对于C,若羽=｝，则近涉腐=2，即若必=：，故C错误；

对于D,若/+夕2=：,由〃+2奶+加交⑷+"），0<»<1,0</?<1,可得2&+吆2即同=2,故D正

确.

故选：D.

29.某合作社需要分装一批蔬菜.已知这批蔬菜只由一名男社员分装时，需要12天完成，只由一名女社员分

装时，需要18天完成.为了让市民尽快吃到这批蔬菜，要求一天内分装完毕.由于现有的男、女社员人数都不

足以单独完成任务，所以需要若干名男社员和若干名女社员共同分装.已知分装这种蔬菜时会不可避免地造

成一些损耗.根据以往经验，这批蔬菜分装完毕后，参与任务的所有男社员会损耗蔬菜共80千克，参与任务

的所有女社员会损耗蔬菜共30千克.则参与分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量（千克）与女社员的平均损

耗蔬菜量（千克）之和的最小值为（）

A.10B.15C.30D.45

【答案】B

【解析】设安排男社员了名，女社员y名,

根据题意，可得台+劣=1，平均损耗蔬菜量之和为一+一,

1218xy

则辿+把=但+叫住+2]=处+生+”>2

xy（xj）U218J9x2y3\9x2y3

=4+?=15,当且仅当等=乎，即犬=8»=6时等号成立，

339x2y

则分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量（千克）与女社员的平均损耗蔬菜量（千克）之和的最小值为15.

故选：B.

题型十：与。+公平方和、ab有关问题的最值

30.（多选题）（2024•全国•模拟预测）若实数〃，人满足3a之+3必+4H?=5,则下列结论正确的是（）

2

A.ab<1B.ab2—

5

C.a2+b2>2D.-41<a+b<41

【答案】AD

【解析】因为5=3a2+3b2+4ab>6az?+4他=10他,当且仅当时=\b\=时等号成立，所以〃b（；,A正确；

o5

因为34+3/?2+4〃/?=5,所以3（々+万）=5+2ab>Q,所以〃B错误；

IS5=3a2+3Z?2+4ab<3a2+3b2+2a2+2b2=5a2+5b2,当且仅当时=我卜孝时等号成立，所以片+/21,

C错误；

由3（a+b?=5+2"W5+2（与j整理，得（a+6『<2,当且仅当时=Q卜日时等号成立，

所以-应4a+b4近，D正确.

故选：AD.

31.(多选题)已知位于第一象限的点(〃力)在曲线g+；=l上，则()

A.(«-1)(6-1)=-1ab>4

122

C.a+4h<9

【答案】BD

【解析】由题意可得--H—=1,且a>0,b>0,

对A：由一+石=1,即〃+/?=〃/?,故(a—1)仅-1)=而一(Q+/?)+1=1,故A错误;

对B：1=1+1^2.--=-^=,当且仅当。=6=2时，等号成立，即a6222=4,故B正确;

ab\aby/ab

对C：a+4Z?=(a+4Z7)-+-=1+4+——+->5+2J-------=9,

b)ab\ab

当且仅当4空b=:a时，等号成立，故c错误；

ab

对D：由工+!=1,故！=1一?>0,故

ab

,故D正确.

故选：BD.

32.(多选题)设正实数x>0,J>0,且满足x+y+3=孙，贝i]()

A.4x+y>13B.xy<9

C.x2+y2<18

【答案】AD

【解析】对于A项，由为+,+3=孙可得：(x-r)y=x+3,

因X>1,故》==，将其代入4x+y可得：

Y+344/A

4x+——=4%+1+——=4(1)+——+522j4(x—1)・'+5=13,

X—1X—1X—1yX—1

当且仅当x=2时等号成立，故A项正确；

对于B项，由xy=x+y+3>2y[xy+3nJ(yfxy-3)(y[xy+1)>0,

因而'>0，故得：而23,则孙N9,

当且仅当x=y=3时等号成立，故B项错误；

对于C项，由S=f+丁=(x+y)2-2xy=(孙-3)?-2孙=(xy)2-8xy+9,

设上孙，由上分析知，t>9,

则5=«-4)2-7在[9,+s)上单调递增，故S218,即C项错误；

工十h工11x+yxy-33

对于D项，由一+—==i=1,

xyxyxyxy

由上分析知孙29,则0<,4，

xy9

23211

故一一<1,即丁<一+一<1,故D项正确.

3xy3xy

故选：AD.

13

33.(多选题)已知。>0,b>0,-+-=1,则下列说法正确的是()

ab

A.出?的最小值为12

B.a+b的最小值为4行

C."十〃的最小值为24

13

D.-+-一^的最小值为2

a—1b—3

【答案】AD

【解析】A选项：1+，2区,即2、gwl,解得疑212,当且仅当工=],即。=2,6=6时等号成立,

ab\ab\abab

A选项正确；

B选项：a+6=(a+6)(L+3]=l+应+^+324+2型=4+2百，当且仅当年=2,即a=

6=土卫时等号成立，B选项错误；

2

C选项：由一1+；3=1,得。==b

abb—3

设函数=+X1,X>3,

=0,解得x=3+30

所以函数/(x)在3,3+33上单调递减，在13+3：+8]上单调递增,

(1A

所以/3+3§224,C选项错误;

7

____I____=________I____=_____I____>2A_33

D选项：Q—1b-3~bb-3~3b-3—，当且仅当一二=1—7,即6=6,。=2时等号成立,

;~1~3b-3

b-3

D选项正确；

故选：AD.

题型十一：三角换元法

34.（多选题）由知实数°,b满足4+4〃=2,则（）

A."的最大值为T

B.的最大值为2指

「VTO

C.a-b.er-------,------

22

D.当a>O,O<b<正时，3T的最大值为史

4a+2b4

【答案】AC

【解析】对于A中，由不等式/+4/244，可得4MV2,解得油4；,

当且仅当。=»时，等号成立，所以A正确；

[a+b=m,

对于B中，设=联"方程组〈2……整理得5^-2"仍+-2=0,

[片+4/=2

由△=（-2m）2-4x5（毋一2）20,解得病《鼠可得-叵4加4巫，

222

所以a+b的最大值为®,所以B不正确；

2

|Q—b=〃

对于C中，没a-b=n,联立方程组2“2C，整理得立2+2泌+〃2-2=0,

[a-+4Z?-=2

由A=（2"）2-4'5（1一2）30,解得/^之，可得一®V"<画,

222

A/10X/10

所以。-〃的最大值为——丁,所以C正确;

"b2i

+=1

对于D中，由/+4匕2=2,BPTT

2

设〃=A/2COSe,b=与n。,则absincos

2a+2bV2(cos0+sin6)'

户一1

设，=sine+cos6,可得*=(sin6+cos6)2=l+2sin9cos。,可得sin8cos6=------

因为a>0,0<6V受，可得0<@sin6〈也，BP0<sin^<-,

4242

不妨设。可得：<6+：*

贝Ur=sin0+cos0=41sin(O+：)e(1,，

?-l

所以ab_sin<9cos_2_1«1)

a+2bV2(cos0+sin0)也t2A/2t

又因为/'(()=，为单调递增函数，所以*"无最大值，所以D不正确.

ta+2b

故选：A