人教版九年级数学上册第二十四章圆（A卷解析版）

第二十四章圆（A卷•知识通关练）

核心知识1圆的概念与垂径定理

1.下列说法正确的是（）

A.直径是圆中最长的弦，有4条

B.长度相等的弧是等弧

C.如果0A的周长是08周长的4倍，那么0A的面积是。8面积的8倍

D.已知。。的半径为8,A为平面内的一点，且。4=8,那么点A在。。上

【分析】根据圆的相关概念进行分析即可.

【解答】解：A、直径是圆中最长的弦，有无数条，故该选项不符合题意；

8、在同圆或等圆中长度相等的弧是等弧，故该选项不符合题意；

C、如果。A的周长是。B周长的4倍，那么。A的面积是。2面积的16倍，故该选项不符合题意;

D、已知的半径为8,A为平面内的一点，且。4=8,那么点A在。。上，故该选项符合题意.

故选：D.

【点评】本题考查了圆的认识，熟练掌握圆的相关概念是解题的关键.

2.如图，在。。中，于点。，4。的长为3c〃z,则弦A3的长为（）

【分析】直接根据垂径定理得2AQ=6Si.

【解答】解；\'OD±AB,AD=3cm,

AB=2AD=6cm.

故选：B.

【点评】本题考查了垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

3.已知：如图，A8是。。的直径，弦C0交A8于七点，BE=LAE=5,ZAEC=30°f则CD的长为（）

A.4A/2B.4C.3-72D.55/2

【分析】作于点M,连接OC,在直角三角形OEM中，根据三角函数求得OM的长，然后在

直角AOCM中，利用勾股定理即可求得CM的长，进而求得C。的长.

【解答】解：作OMLCO于点连接OC,则CM=』C。，

2

;BE=T,AE=5,

.*.OC=X4B=BE+AE=1+5=3,

222

：.OE=OB-BE=3-1=2,

:RtAOME中，ZAEC=30°,

.-.OM=A（9E=AX2=1,

22

在RtAOCM中，

,?OC2=Of^+MC1,即32=12+CM2,解得CM=2V2，

:.CD=2CM=2x2近=4迎.

故选：A.

【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理及直角三角形的性质，解答此类题目时要先作出辅助线，再

利用勾股定理求解.

4.如图，AC是。。的直径，弦于E,连接BC,过点。作于R若8。=8,0F=回

则OE的长为（）

A

C.2V5

【分析】连接08、AB,根据垂径定理求出BE,根据三角形中位线定理求出AB,根据勾股定理求出AE,

再根据勾股定理计算，得到答案.

【解答】解：连接。2、A3,'：BD±A0,BD=8,：.BE=ED=1.BD=4,'：0F±BC,

:.CF=FB,-：CO=OA,0F=烟,：.AB=2OF^245>由勾股定理得：^=VAB2-BE2=2,

22

在R380E中，OB2=O田+B戌,即。12=(0A-2)+4,解得：0A=5,

：.0E=0A-AE=5-2=3.故选：A.

C

【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对

的两条弧是解题的关键.

5.（2022•黑龙江.绥棱县绥中乡学校九年级期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐

光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1.筒车盛水桶的运行轨道是以轴心。为圆心的

圆，如图2.己知圆心。在水面上方，且。。被水面截得的弦AB长为6米，。。半径长为4米.若点C为

运行轨道的最低点，则点C到弦A8所在直线的距离是（）

旦1水面

I

图1

A.(4-77)米B.2米C.3米D.（4+五）米

【答案】A

【分析】连接OC交AB于D,根据圆的性质和垂径定理可知OCLAB,AD=BD=3,根据勾股定理求得OD

的长，由CD=OC-OD即可求解.

【解答】解：根据题意和圆的性质知点C为A8的中点,

连接OC交AB于D,贝l|OC_LAB,AD=BD=yAB=3,

在RtAOAD中,OA=4,AD=3,

•*,OD=yjoA1—AD1=-\/42-32=不，

.*.CD=OC-OD=4-77,

即点C到弦A3所在直线的距离是（4-4）米，

故选:A.

邑水面

6.（2022・全国•九年级专题练习）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与

原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（）

A.第一块B.第二块C.第三块D.第四块

【答案】A

【分析】要确定圆的大小需知道其半径，根据垂径定理知第一块可确定半径的大小

【解答】解：第一块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂

直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长.

故选：A.

7.如图，O中，弦ABCD,已知：。的半径为5,AB=6,CD=8,那么A3与CD间的距离是

AB

CVZZ7D

【答案】7

【分析】过O点作OMLAB于M点，延长MO交CD于点N,连接AO、CO,根据AB〃CD,OM±AB,

可得ONLCD,利用垂径定理可得AM=3,CN=4,结合后。。的半径为5,在RtAAMO和Rt^COD中，

利用勾股定理可求得MO=4,NO=3,则问题得解.

【解答】过O点作OMLAB于M点，延长MO交CD于点N,连接AO、CO,如图，

[KO）

'：AB//CD,OM±AB,

.-.OM±CD,即ON_LCD,

/.AM=MB=^-AB,CN=ND=；CD,

VAB=6,CD=8,

；.AM=3,CN=4,

V©0的半径为5,

/.AO=CO=5,

V0M1AB,即ON_LCD,

.•.在RtAAMO和RtACOD中，利用勾股定理可求得MO=4,NO=3,

VMNXAB,AB//CD,

AAB与CD的距离即为线段MN的长，

.•.MN=OM+ON=4+3=7,

故答案为：7.

核心知识2.圆周角定理

8.（2022•丰泽区校级模拟）如图，在。。中，点C是前的中点，若/ABC=65。,则/。的度数是（）

A.75°B.65°C.50°D.40°

【分析】首先利用点。是疏的中点确定aABC是等腰三角形，然后利用圆周角定理求得顶角的度数即

可求得NO的度数.

【解答】解：•・,点C是市的中点，

AAC=BC，

：.AC=BCf

：.ZCAB=ZABC=65°,

VZC=180o-65°-65o=50°,

AZC=Z£>=50o,

故选：c.

【点评】本题考查了圆周角定理，解题的关键是得到AABC是等腰三角形，难度不大.

9.如图，A8是。。的直径，弦C。垂直平分OB,P是俞上一点，则/APO等于（）

A.120°B.125°C.135°D.150°

【分析】连接OC,AC,根据等腰三角形的性质和圆周角定理可求得NCOE的度数，根据圆内接四边形

的性质即可求解.

【解答】解：连接OC,AC.

PD

・・•弦C。垂直平分0B,

:.OE=^LOB=^OC,

22

・・・NOCO=30。，

：.ZCOB=60°,

9：OA=OC,

：.ZBAC=30°,

：.ZAC£>=60°.

・•・ZAPD=180°-60。=120。,

故选：A.

【点评】本题考查了圆周角定理和等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，正确解直角三角形，求得

NCOE的度数是关键.

10.如图，在R3ABC中，ZABC=90°,NA=32。，点、B、C在。。上，边AB、AC分别交。。于。、E

两点，点2是面的中点，则NA8E的度数是（）

A.13°B.16°C.18°D.21°

【分析】连接CD,根据已知可得俞=食，从而可得8D=8C,进而可得N8OC=NBCO=45。，然后利

用直角三角形的两个锐角互余可得NACB=58。，从而求出NDCE=13。，最后根据同弧所对的圆周角相

等即可解答.

【解答】解：连接CD,

:点8是面的中点,

.1.BD=BC>

:.BD=BC,

丁ZABC=90°,

・・・NBDC=NBCD=45。,

'：乙4=32。，

ZACB=90°-NA=58。，

AZDCE=ZACB-ZDCB=13°f

：.NABE=NDCE=13。,

故选：A.

【点评】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

11.如图，四边形A5CZ）是。。的内接四边形，连接AO、OC,NA5C=70。，AO//CD,则NOCD的度数

为（）

A

A.40°B.50°C.60°D.70°

【分析】由圆周角定理可求解NA。。的度数，再利用平行线的性质可求解.

【解答】解：・.・乙43。=70。，

・•・ZAOC=2ZABC=140°,

,:AO〃CD,

：.ZAOC+ZOCD=180°,

・・・NCOD=40。.

故选：A,

【点评】本题主要考查圆周角定理，平行线的性质，求解NAOC的度数是解题的关键.

12.（2022•巴中）如图，A8为。。的直径，弦C。交AB于点E,BC=BD-ZCDB=30°,AC=2A/§,则

OE=()

A.返B.V3C.1D.2

2

【分析】连接BC,根据垂径定理的推论可得ABJ_CD,再由圆周角定理可得NA=NCDB=30。，根据锐

角三角函数可得AE=3,AB=4,即可求解.

【解答】解：如图，连接BC,

为。。的直径，BC=BD>

：.AB.LCD,

'：ZBAC=ZCDB=30°,AC=2«，

AE=ACucosZBAC=3,

TAB为。。的直径，

皿=----------=4，

cosZ^BAC

：.OA=2,

：.OE=AE-OA=1.

故选：C.

【点评】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握垂径定理，圆周角定理，特

殊角锐角函数值是解题的关键.

13.（2022•云岩区模拟）如图，。。的内接四边形A8CQ中，ND=50。，则N8为（）

D

A.140°B.130°C.120°D.100°

【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可.

【解答】解：・・•四边形ABCO是。。的内接四边形,

AZD+ZB=180°,

Z£>=50°,

・•・ZB=180°-50°=130°,

故选：B.

【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.

14.如图，四边形ABC。为。。的内接四边形，连接BQ,AB=AD=CD,N8QC=75。，则NC的度数

60°C.65°D.70°

【分析】根据圆内接四边形的性质和圆心角、弧、弦的关系定理解答即可.

【解答】解：,・・A3=AO=CO,

'.BA=AD=DC.

ZADB=ZABD=/DBC,

设NAD8=/ABD=/DBC=x,

・・•四边形ABCD为。。的内接四边形,

・•・ZABC+ZADC=180°,

即3x+75°=180°,

解得：尤=35°,

：.ZDBC=35°,

在△BDC中，NBDC=75。,ZDBC=35°,

/.ZBCD=180°-75°-35°=70°.

故选：D.

【点评】本题主要考查了圆内接四边形的性质和圆心角、弧、弦的关系定理，熟练掌握相关的定理是解

答本题的关键.

核心知识3.点与圆的位置关系

15.在锐角AA3C中，ZACB=60°,ZBAC,NABC的角平分线A。、BE交于点则下列结论中错误的

是（）

A.ZAMB=120°

B.ME=MD

C.AE+BD=AB

D.点M关于AC的对称点一定在AABC的外接圆上

【分析】①正确.利用三角形内角和定理以及角平分线的定义求出NMA2+NMBA=60。，推出

120°；

②正确，证明C,E,M,。四点共圆，利用圆周角定理解决问题；

③正确.在48上取一点T,使得AT=AE,利用全等三角形的性质证明可得结论；

④错误，无法判断/的与NA8C互补.

【解答】解：如图，

ZC=60

：.ZCAB+ZCBA^120°,

,：AD,BE分别是NCAB,NC8A的角平分线，

ZMAB+ZMBA=1.CZCAB+ZCBA)=60°,

2

AZAMB=180°-(ZMAB+ZMBA)=120°,故①正确,

ZEMD=ZAMB=120°,

：.ZEMD+ZECD=1SQ°,

：.C,E,M,。四点共圆，

ZMCE=ZMCD,

EM=DM.

：.EM=DM,故②正确，

在AB上取一点T,使得AT=AE,

在△?1〃£；和△AMT中，

，AE=AT

<ZBMD=ZBMT«

BM=BM

AAME^△AMT(SAS),

ZAME=ZAMT=60°,EM=MT,

：.ZBMD=ZBMT=60°,MT=MD,

在△BA®和ABMT中，

'MD=MT

,ZBMD=ZBMT>

BM=BM

丛BMD”丛BMT,

：.BD=BT,

：.AB=AT+TB=AE+BD,故③正确，

'：M,AT关于AC对称，

ZM'=ZAMC,

'：ZAMC=90°+l.ZABC,

2

：.NM与/ABC不一定互补，

...点M不一定在AABC的外接圆上，故④错误，

故选：D.

【点评】本题考查三角形的外接圆，四点共圆，圆周角定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的

关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.

16.已知圆外点到圆上各点的距离中，最大值是6,最小值是1,则这个圆的半径是2.5.

【分析】画出图形，当点在圆外时，直径=最大距离-最小距离.

当点M在圆外时，

:点到圆上的最小距离MB=1,最大距离MA=6,

直径AB=6-1=5,

/.半径r=2.5.

故答案为：2.5.

【点评】本题主要考查了点与圆的位置关系，根据题意画出图形是解决本题的关键.

核心知识4.切线的性质及判定

17.如图，点尸为。。外一点，过点P作。。的切线B4、PB,记切点为A、B,点C为。。上一点，连接

AC.BC.若/ACB=62。，则NAP2等于（）

A.68°B.64°C.58°D.56°

【分析】先根据切线的性质得/%。=/依。=90。，再利用四边形的内角和和圆周角定理即可得到/4尸2

的度数.

【解答】解：：以、PB是。。的切线，

：.OA±PA,OB±PB,

：.ZPAO=ZPBO=90°,

：.ZAOB+ZP=180°,

ZACB=62°,

：.ZAOB=2ZACB=2x62°=124°f

：.ZAPB=180°-124。=56°,

故选：D.

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.运用切线的性质来进行计算或论证,

常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题.也考查了圆周角定理.

18.如图，B4,P8分别与。。相切于A,8两点，。是优弧篇上一点，若NAP8=40。，则NAQB的度数

是（）

A.50°B.70°C.80°D.85°

【分析】连接OA、OB,如图，先根据切线的性质得以，OBLPB,再利用四边形的内角和计算出

ZAOB=140°,然后根据圆周角定理得到NAQB的度数.

【解答】解：连接04、OB,如图，

VB4,尸3分别与。。相切于A,B两点,

・・・OA_LB4,OB_LPB,

：.ZOAP=ZOBP=90°,

9：ZAOB=360°-90°-90°-ZP=180°-40°=140°,

ZAQB^^ZAOB=70°.

故选：B.

A

0?

B

【点评】本题看了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了圆周角定理.

19.（2022•泉港区模拟）如图，48过半。。的圆心。，过点B作半。。的切线BC,切点为点C,连结AC,

C.40°D.25°

【分析】连接OC,根据切线的性质可得NOCB=90。，再根据圆周角定理可得乙8OC=50。，然后利用直

角三角形的两个锐角互余进行计算即可解答.

【解答】解：连接OC,

与半。。相切于点C,

：.ZOCB=90°,

'：ZA=25°,

：.ZBOC=2ZA=50°,

：.ZB=90°-ZBOC=40°,

故选：C.

【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解

题的关键.

20.如图，是。O的直径，点。在直径A8上（。与A,8不重合），CD±AB,且CZ）=A8,连接CB,

与。。交于点R在CD上取一点£,使得EF=EC.

（1）求证：跖是。。的切线；

（2）若。是OA的中点，AB=4,求CF的长.

【分析】（1）连接。尸，根据垂直定义可得/CDB=90。，从而可得/B+/C=90。，然后利用等腰三角形

的性质可得NC=NEFC,从而可得NOFB+NEPC=90。，最后利用平角定义可得/。尸E

=90°,即可解答；

（2）连接AF,根据已知可得0£>=AQ=l,BD=3,从而在RsBDC中，利用勾股定理求出BC=5,,

然后利用直径所对的圆周角是直角可得90。，从而可证曲，进而利用相似三角形的

性质可求出8尸的长，最后进行计算即可解答.

【解答】（1）证明：连接OR

-------/F

:CDLAB,

：.ZCDB^90°,

.\ZB+ZC=90°,

VOB=OF,EF=EC,

:./B=/OFB,NC=NEFC,

：.ZOFB+ZEFC=90°,

：.ZOFE=1SO°-(NOFB+NEFC)=90°,

：。尸是。。的半径，

；.EF是。。的切线：

(2)解：连接4F,

\"AB=4,

.,.OA=OB——AB=2,

2

：£>是。4的中点,

：.OD=AD=^OA=1,

2

：.BD=OB+OD=3,

在R38OC中，AB=CD=4,

，BC=VBD2<D2=V32+42=5，

：AB是。。的直径，

ZAFB=9Q°,

VZAFB=ZBDC^9Q°,NB=NB,

:.△BDCsMFA,

.DB=BC

"BFBA"

._3_=_5

"BF了

5

：.CF=BC-BF=H,

5

；.C厂的长为W.

5

【点评】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线

是解题的关键.

核心知识5.正多边形与圆

21.如图，在正六边形ABCDEB中，点G是AE的中点，若A3=4,则CG的长为（）

A.5B.6C.7D.8

【分析】如图，连接AC,EC.证明AABC是等边三角形，利用等边三角形的性质求解.

【解答】解：如图，连接AC,EC.

•.•ABCOEP是正六边形,

/VICE是等边三角形,

；AB=4,

：.AC=CE=AE=4-/3,

：AG=GE=2«,

CG±AE,

；•CG=VAC2-AG2=V（4V3）2-（2V3）2=6'

故选：B.

【点评】本题考查正多边形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识

解决问题，属于中考常考题型.

22.如图，在同一平面内，将边长相等的正六边形、正方形的一边重合，则N1的度数为（）

A.18°B.25°C.30°D.45°

【分析】根据多边形内角和公式求出正三角形、正六边形每个内角的度数，再求出答案即可.

【解答】解：..•正方形的每个内角的度数是90。，正六边形的每个内角的度数是（6-2）X180°=120。,

6

.,.Zl=120°-90°=30°,

故选C.

【点评】本题考查了正多边形和圆，多边形的内角和外角等知识点，能分别求出正三角形、正六边形每

个内角的度数是解此题的关键.

23.如图，正五边形A8COE和正三角形AMN都是。。的内接多边形，则的度数是（）

A

【分析】如图，连接A。.利用正多边形的性质求出/AOM,ZAOB,可得结论.

【解答】解：如图，连接A0.

「△AMN是等边三角形，

ZANM=60°,

：./A0M=2/ANM=120°,

YABCOE是正五边形，

NAO2=3600=72。,

5

ZBOM=nQ0-72°=48°.

故选：C.

【点评】本题考查正多边形与圆，等边三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握正多

边形的性质，属于中考常考题型.

24.（2022•青岛）如图，正六边形ABCDEP内接于00,点/在品上，则/CM£1的度数为（）

A.30°B.36°C.45°D.60°

【分析】由正六边形的性质得出NCOE=120。，由圆周角定理求出NCME=60。.

【解答】解：连接OC,OD,OE,

,：多边形ABCDEF是正六边形，

NCOD=NDOE=60°,

：.ZCOE=2ZCOD=120°,

/.ZCME=AZCOE=60°,

2

【点评】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出NCOM

=120。是解决问题的关键.

25.（2022•雅安）如图，已知。。的周长等于6兀，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距。3为（）

【分析】连接OC,OD,由正六边形ABCDEF可求出NCO£>=60。，进而可求出/COG=30。，根据30。

角的锐角三角函数值即可求出边心距OG的长.

【解答】解：连接OC,OD,

,/正六边形ABCDEF是圆的内接多边形,

：.ZCOD=60°,

'：OC=OD,OG±CD,

...NCOG=30°,

QO的周长等于6兀,

，0C=3,

<?G=3COS30°=AV3,

故选：C.

【点评】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的

性质是解决问题的关键.

26.如图，在正六边形A8CDEF中，M,N分别为边CD,8C的中点，AN与相交于点P,则NAPM的

度数是（）

N

CM-^D

A.110°B.120°C.118°D.122°

【分析】根据正六边形的性质可得AB=BC=CD,BN=CM,利用全等三角形的判定与性质可得NBNP

=/CMB,然后利用三角形的内角和定理可得答案.

【解答】解：：六边形ABCDEb是正六边形，

/.NABC=/BCD=（6-2）X180.=120°,AB=BC=CD,

,：M,N分别为边CD,BC的中点,

：.BN=CM,

:.AABN沿ABCM(SAS),

：.ZBNP=ZCMB,

'：ZCBM=ZPBN,

：.NBPN=NBCD=120°,

ZAPM=120°,

故选:B.

【点评】本题考查了正六边形的性质、全等三角形的性质和判定等知识，通过证三角形全等得到/BNP

=ZCMB是解决此题的关键.

核心知识6.与圆有关的计算

27.（2022•东营）用一张半圆形铁皮，围成一个底面半径为4cm的圆锥形工件的侧面（接缝忽略不计），则

圆锥的母线长为（）

A.4cmB.8cmC.12cmD.16cm

【分析】求得半圆形铁皮的半径即可求得围成的圆锥的母线长.

【解答】解：设半圆形铁皮的半径为rem,

根据题意得：兀厂=294,

解得：r=8,

所以围成的圆锥的母线长为8cm,

故选：B.

【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的底面周长等于半圆铁皮的弧长，难度不大.

28.（2022•丹东）如图，4B是。。的直径，C是。。上一点，连接AC,OC,若AB=6,ZA=30°,则前的

长为（）

A.6兀B.2兀C.—itD.兀

2

【分析】先根据圆周角定理求出NBOC=2/A=60。，求出半径再根据弧长公式求出答案即可.

【解答】解：：直径AB=6,

半径03=3,

:圆周角/A=30。，

圆心角/BOC=2/A=60。，

....的长是60兀乂3=兀,

180

故选：D.

【点评】本题考查了弧长公式和圆周角定理，能熟记弧长公式是解此题的关键，注意：半径为厂，圆心

角为“。的弧的长度是史I三.

29.如图，在AABC中，AB=AC=10,BC=12,分别以点A,B,C为圆心，LB的长为半径画弧,与该

三角形的边相交，则图中阴影部分的面积为（）

A.96-空tB.96-25%C.48-至兀D.48-骂c

242

【分析】根据图中阴影部分的面积=A42C的面积-以LB的长为半径的半圆的面积，计算即可.

【解答】解：作AOLBC于点Q,

VAB=AC=10,BC=U,

工BD=CD=6,

-"-AD=VAB2-BD2=8，

.'.S阴影部分=」*12'8-ATTX52=48-笠.

故选：D.

【点评】本题考查的是扇形面积计算、等腰三角形的性质，明确阴影部分的面积=AABC的面积-以LB

的长为半径的半圆的面积是解题的关键.

30.如图，C是。。劣弧A8上一点，。4=2,ZACB=nO°.则劣弧AB的长度为（）

J-------、

O

A.—71B.—71C.—71D.当

3333

【分析】作圆周角/AO