2025年高考数学一轮复习：阶段滚动检测（四）

阶段滚动检测(四)

120分钟150分

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.(2024•萍乡模拟)已知“也c是空间中两两垂直的单位向量，则|3“+加2c|=()

A.声B.14C，V2D.2

【解析】选A.依题意得，闷=|〃=|c|=l,a-b=a・c=cb=0;所以|3a+b-2c|=

J(3a+b-2c)2=J9a2+b=+4c?+6a・b-12a-4b<*9+1+4

2.在三棱锥P-ABC中，点0为AABC的重心，点D,E,F分别为侧棱PA,PB,PC的

中点，若a=左6CE,c=无，则OP=()

111111

A-。a+-。b+^。cB.-。-a-。-b-。-c

"21,2—22,2

C.-~u-~b-~cD.分力+々c

jJjjj

【解析】选D.取5C的中点为M,如图所示:

p

-»-4-A1-A-»

贝U“=AF=PF-PA、PC-PA,

-A-►-►]-A-►

b=CE=PE-PC=-PB-PC

25

-►-*-A]-A-A

C—BD=PD-PB^PA-PB

2

相力口可得«+Z>+c=-|(PA+-PB+-PC)=>PA+-PB+PC=-2(«+Z>+c),

所以OP=AP-A0=-PA-|AM

AB+AC)=-PA-|(PB-PA+PC-PA)

=-j(PA+PB+PC)=|(a+Z>+c).

3.(2024・无锡模拟)已知m,n,l是三条不重合的直线,a/是两个不重合的平面，则下

列说法不正确的是()

A.若a//S/tuaJJHJm〃B

B.若加ua簿u£,a〃尸，贝Um//n

C.若m//"，加_La,则nA.a

D.若m,n是异面直线，相〃a,n//a,/_L加且/_]_凡则/J_a

【解析】选B.对于A:两个平面平行，一个平面内的一条直线平行于另外一个平

面，故A正确；

对于B:两个平行平面内的两条直线位置可以是平行或异面，即m//n不一定正确,

故B错误；

对于C:两条平行线中的一条直线垂直于某个平面，则另外一条直线也垂直于此

平面，故C正确；

对于D:如图，

因为加〃%所以存在直线a,aua且满足a//m,

又L加，所以l±a,

同理存在直线b,bua且满足b//n,

又所以

因为m,n是异面直线，

所以相交,设aC6=4

又a力ua,所以/故D正确.

4.西施壶是紫砂壶器众多款式中最经典的壶型之一,是一款非常实用的泡茶工具

（如图1）.西施壶的壶身可近似看成一个球体截去上下两个相同的球缺的几何体.

2

球缺的体积屋.”便为球缺所在球的半径,％为球缺的高）.若一个西施壶的

壶身高为8cm,壶口直径为6cm（如图2）,则该壶壶身的容积约为（不考虑壶壁厚

度，兀取3.14)()

6cm

8cm

图i图2

A.494mLB.506mL

C.509mLD.516mL

【解析】选A.作出几何体的轴截面如图所示,

依题意48=6cm,(9为球心Q为壶口所在圆的圆心，所以AD=D8=3cm,因为

DE=8cm,

所以QD=OE=4cm,且0。_1_48,。8=出/彳=5仁111),所以球的半径氏=5cm,所以

球缺的高为=5-4=1cm,

r-r-.xn(3/?-/l)/l2TT(3X5-1)X1214-rt2、

所以球缺的体积为一3一7—3------、-(cm3),

所以该壶壶身的容积约为9,53-2*苧］?2494mL.

5.(2024•北京模拟)如图,四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形〃。=2/民巳4_L平

面45CQ,下列叙述中错误的是()

p.

A.48〃平面PCD

B.PB±BC

C.PCLBD

D.平面P4D，平面ABCD

【解析】选C.对于选项A:在矩形45CD中，因为45〃CQ,C7)u平面PCD4B仁

平面。皿,所以AB//平面故选项A正确；

对于选项B:P/_L平面/5C7),3Cu平面所以PA在矩形ABCD中

_L3cH3np4=力4民24<=平面必4所以3。，平面。胡，而Mu平面PA4,所以

依J_5C,故选项B正确；

对于选项C:因为尸/_L平面45CQ,而0>u平面/5CZ),所以。4，瓦),所以遢•

丽=0,而PC=PA+AC,PC-BD=(PA+AC)-BD=PA-BD+AC-BD=AC-BD,

在矩形ABCD中MC与BD不垂直，所以AC-丽加,即PC-BD#0,PC与BD不垂

直,故选项C不正确；

对于选项D:PO平面/5CZ)//u平面p/Q,所以平面平面45cZ),故选项

D正确.

6.(2024•北京模拟)已知底面边长为2的正四棱柱的体积为8^/3,

则直线4c与小B所成角的余弦值为（）

【解析】选D.如图，连接4GQG,则40=45=2,正四棱柱/5CD4氏GA的体

积P^2x2x44]=又同，

贝U44=2力,因为4C〃4G,

则NC//为异面直线4c与4B所成角,

可得4iB=BCi=J2?+(2/)2=4HIG=(22+22=2"〉

故……

7.已知球O的半径为2,三棱锥。-/5。底面上的三个顶点均在球0的球面上,

NA4C4,5。=",则三棱锥体积的最大值为（）

111J2

A;B-3C-2DT

【解析】选A.设ZU5C所在外接圆的半径为厂,由得而=2/彳手|=2厂,-1,

sinz-D/icA/J

T

设三棱锥的高为九则层=22）=22一1=3,所以h=0,在&LBC中,如图:

A点在劣弧^上运动,

BC

显然当A点为一的中点时，高AD最大,

BC

的最大值为竿xtan*,

所以八45。面积的最大值为》》出厂，故三棱锥0-ABC体积的最大值为卜

44,

【加练备选】

（2024德州模拟）在三棱锥P-ABC中,ZU5C是以AC为斜边的等腰直角三角

形,AP/C是边长为2的正三角形,二面角P-AC-B的大小为150。,则三棱锥P-

/5C外接球的表面积为（）

28Tl52it

A•亍

28A/21TTc52gTT

C-27-D-~81~

【解析】选A.如图，取4。的中点区连接

o

「

A

2

由题意48=5。得4。=企,刃=。。=2,

所以BHLAC,PHLAC,

所以/BHP为二面角P-AC-B的平面角，

所以NAf/P=150。，

因为ZU5C是以AC为斜边的等腰直角三角形，且心2,

所以AH=BH=CH=1,H为AABC外接圆的圆心，

又△P4C是边长为2的等边三角形，

所以HP=Q过点、〃作与平面ABC垂直的直线,则球心。在该直线上，

设球的半径为民连接OB,OP,

可得。氏四力"=a2_1,

在△QPH中,NO/m=60。,利用余弦定理可得OP^Of^+HP^HOHPcos60°,

所以甯=我2一1+3一2义评二义国义；,解得R21,

所以外接球的表面积为4兀灭2手.

8.（2024・长春模拟）刍薯是《九章算术》中出现的一种几何体，如图所示,其底面

ABCD为矩形，顶棱PQ和底面平行，书中描述了刍叠的体积计算方法:求积术曰，

1

倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一,即修=%（2/5+尸0»。力（其中h是

刍叠的高,即顶棱PQ到底面ABCD的距离），已知AB=2BC=84PAD和△05。均

为等边三角形，若二面角P-AD-B和Q-BC-A的大小均为120。,则该刍薯的体积

为（）

A.30GB.2073

C.yV^D,48+473

【解析】选D.如图:分别取AD,BC的中点M,N,连接PM,QN,MN,

由底面ABCD为矩形，所以MN//AB,

因为顶棱PQ和底面ABCD平行，且平面平面245。门平面

ABCD^AB,

所以民所以PQ//MN,

即P,Q,N,M四点共面，过P,Q分别作直线MN的垂线，垂足为P；Q；

因为底面ABCD为矩形，易得ADLMN,

因为△丑4D为等边三角形，且M为4D的中点，所以

因为尸Mu平面PP'Q'Q,

所以平面PPQ0,

因为PPu平面PPQ2所以4DLPP；

又因为PPLP。；且。0。40=必。寞，40(=平面ABCD,

所以PP_L平面45C7),

所以PP为PQ到底面ABCD的距离h,

同理可证:5CJ_平面PP。。,。。」平面ABCD,

所以NP胚V为二面角P-AD-B的平面角,NQW为二面角Q-BC-A的平面角.

因为二面角P-AD-B和Q-BC-A的大小均为120°,

所以NP7kW=NQW=120。，

由AB=2BC=8APAD和△0BC均为等边三角形，

易得pQ^p'M+MN+NQ^8+273'=3,

11

所以3(245+P0»C%q(2x8+8+2退)x4x3=48+4p.

二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

__1__

9.已知平面a的一个法向量为“1=(1,-2,-办平面6的一个法向量为“2=(-1,0,-2),直

线I的方向向量为"=(1,0,2),直线m的方向向量为6=(0,1,-2),则()

A./〃a

B.a±^

C.l与m为相交直线或异面直线

D.a在b向量上的投影向量为他罚

1

【解析】选BC.对于A,因为“=(1,0,2),“1=(1,-2,-》且“•“1=1+0-1=0,所以a±«i,/

〃。或/ua,选项A错误；

对于B,因为"1=(1,-2,-；),“2=(-1,。,-2),且〃「〃2=-1+。+1=0,

所以“1_L〃2,平面打，⑸选项B正确；

对于C,因为«=(l,0,2),Z>=(0,l,-2),«与b不共线，所以直线I与m相交或异面，选项

C正确；

对于D,”在b向量上的投影向量为常丁喜丁章(0,1，一2)[0,一靠)，选项D

错误.

10.(2024・长沙模拟)已知S为圆锥的顶点M3为该圆锥的底面圆。的直径，

ZSAB^5°,C为底面圆周上一点/切。=60。6。="，则()

A.该圆锥的体积为g

B.ACY

C.该圆锥的侧面展开图的圆心角大于180°

D.二面角A-BC-S的正切值为M

【解析】选AC.如图，因为N"3=45。,

s

所以as/B为等腰直角三角形，

又则SA=SB=5

所以ABfsA?+s/=2,则70=50=1,

所以该圆锥的体积为修产6。三八正确；

易知A45C为直角三角形，且乙4cB=90。，

又NA4C=60。则N48C=30。，

所以^。与夕日口错误；

该圆锥的侧面展开图为扇形，其弧长/=2几，

扇形半径氏="="，设扇形圆心角为«,

所以a=^*n>7i,

所以该圆锥的侧面展开图的圆心角大于180。。正确；

取BC的中点。，连接SQ0Q,则SD1BCQD为AABC的中位线，

11

所以ODLBCQD十C一

所以NODS为二面角A-BC-S的平面角，易知△SOD为直角三角形,

所以tanNODS'2,D错误

11.(2024•葫芦岛模拟)如图,ZU5C为等腰直角三角形斜边上的中线4)=24为

线段BD的中点，将ZU3C沿AD折成大小为］的二面角，连接5C,形成四面体C-

48D,若P是该四面体表面或内部一点，则下列说法正确的是()

BED

A.若点P为CD的中点，则过A,E,P的平面将三棱锥A-BCD分成两部分的体积

比为1：4

B.若直线PE与平面ABC没有交点，则点P的轨迹与平面ADC的交线长度为々

C.若点P在平面ACD上,且满足尸4=2PQ,则点P的轨迹长度为可

D.若点P在平面ACD上,且满足力=2PD,则线段PE长度的取值范围是(手，手)

【解析】选BC.对A,如图所示，由题意可知ADLDCADL

Z)民Z)CnZ)B=Z),Z)C,Z)Bu底面5cZ),故/Z)_L底面BCD.

1

由于E为线段BD的中点，点P为CD的中点，故S^EPFS博Be,

,13

又三棱锥A-DEP与三棱锥A-DBC等高，故VA-DEP^VA-DBGVA-EPCBFVA-DBG

故过4&P的平面将三棱锥/力CD分成两部分的体积比为1：3,故A错误;

对B,若直线PE与平面ABC没有交点，则点P在过点E和平面ABC平行的平面

上,

如图所示，设CD的中点为FAD的中点为G,连接则平面EFG〃平面

ABC,

则点P的轨迹与平面ADC的交线即为GF,

由于原ZU5C为等腰直角三角形,斜边上的中线/。=2,故AC=2",

j

贝UGF^AC="^B正确；

对C,若点P在平面ACD上,且满足PA=2PD以D为原点所在直线分别

为可轴建立平面直角坐标系，如图，则4(0,2),。(2,0),

设Rx,历,贝旷%2+(y_2,=2j%2+y2,

故P点在平面ADC上的轨迹即为圆弧(如图所示),

NT

由炉+8+|)24可得圆心

则则点P的轨迹长度为白头，故c正确；

对D,由题意可知5。，40乃。J_DC4D,QCu平面4DC,故5。J_平面ADC,

故PE^ED2+PZ)2=J1+PD2,由于P在圆弧-上,圆心为M,

NT

故当。在7时PD取最小值|,此时PE取最小值手；

当。在N时尸Z)取最大值竽，此时PE取最大值亨.

故线段PE长度的取值范围是［孚,今卜故D错误.

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.

12.两个非零向量”也定义|"x臼=同向sin<“力〉.若”=(1,0,1)/=(0,2,2)厕心臼=

答案：2々

【解析】设向量。力的夹角为“

因为”=(1,0,1)力=(0,2,2),

所以“|=",网=2避,“?=2,

所以厅2。舄,

COS\a\-\b\［2x2122,

因为［0,兀］，所以sin6>=Y，

所以I“x臼=10回sinX2->/2x^-=2^/3.

13.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，尸Z_L底面/5CZX且底面各边都相等，〃是尸。

上的一动点，当点M满足时，平面MAD,平面OCT）.（只要填写一个你

认为是正确的条件即可）

答案:（或BMLPC等，答案不唯一）

【解析】连接力。交助于点。（图略）,因为左，平面平面/5C7）,所

以P4LBD

又由底面各边都相等得4。J_0>,又从nzc=4所以班小平面R4C,所以BD±

PC.

所以当DAU。。（或尸。时，即有平面MBD,

而ocu平面PQ）,所以平面vaca平面PCD.

14.（2024・沈阳模拟）如图,正方体/HCZMdiGA的棱长为2『是过顶点

B,DQi,Bi的圆上的一点,0为CG的中点.当直线PQ与平面ABCD所成的角最

大时，点P的坐标为；直线PQ与平面ABCD所成角的正弦值的取值范

围是.

答案:（1,1，士B+1）[0,^p]

【解析】过点。作瓦U平面交于点瓦交^于点凡易得

BD

,2(0,2,l),E(l,l，V3+l),F(l,l,-V3+l),

所以QE=(1,-1/\Z5),QF—(1,-1,-A/3).

由图可知当点P在点E或点F的位置，即P的坐标为(1,1,±p+1)时直线PQ与

平面ABCD所成的角最大.

DL.______Cl

x

易得平面"8的一个法向量为"=(0,0,1).

设直线QE与平面ABCD所成的角为e,

QE・n

贝Usine=|cos<QE,">|=IIQEI-|n|-/f■，-弋

即直线PQ与平面ABCD所成角的正弦值的最大值为手.

当00〃平面ABCD时，直线PQ与平面ABCD所成角的正弦值最小为0,

所以直线PQ与平面ABCD所成角的正弦值的取值范围是[0,当].

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.

15.(13分)如图在直三棱柱48C-48cl中4c=3乃。=44]=448=5,点。为AB的

中I八占、

(1)求证:/—

【解析】⑴在A4BC中，因为/。=3〃3=5乃CM,

所以&45C为直角三角形4CL3C,

又在直三棱柱ABC-ABg中,CC」平面ABC,

所以cc」/ccGn3C=c,所以平面5CG,因为BC©平面BCG,所以

15C1；

(2)求三棱锥4-C。后的体积.

【解析】(2)在A4BC中，过。作民垂足为凡

因为平面/班平面A8C,且平面4属MC平面所以CKL平面

ACBC3x412

而。/二

AB55'

因为匕41-BrCD~^C-A]DBJ

11

而ADR弓/亏XX

S4〃/11%ZZ54=10,

112

所以厂10x——=8

35

16.(15分)如图,四棱锥P-4BCD中，底面ABCD为直角梯形么5〃8,

/ABC=90W=4,BC=CD=2,APAD为等边三角形乃

⑴证明：5Q_L平面。40；

【解析】⑴取"中点瓦连接。区因为45〃。/),//5。=90。/5=4乃。=。/)=2,

所以四边形EBCD为正方形,A4EQ为等腰直角三角形，

则NADE=45。,N50E=45。，

得/4DE+/BDE=90。,故BD±AD,

因为BD±PA,PA^AD^A,PAADC.W^PAD,

所以5£>J_平面P4D.

(2)求点C到平面PBD的距离.

【解析】(2)设点。到平面心。的距离为九

由(1)得PD=BD=2&,BDUD,

1

贝面积为

取AD中点。,连接R9,则POLADS通，

因为平面平面PAD,

所以BD±PO^DABCD,

所以POJ_平面48C7),

_111

又△5CD的面积为25c，CZ)=2,二棱锥C-PBD的体积为VC-PBD^^ABDP'h—VP-BCD^

2^/6

S^BCD-PO^,

得力用.即点C到平面PBD的距离为当.

17.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形石下分别为PA,BC的中

点

⑴证明:炉〃平面PCD.

【解析】⑴取PQ的中点G,连接CG,EG,

因为瓦方分别为PA,BC的中点，

1

所以EG〃皿灰〜。，

1

又因为底面ABCD为菱形，所以CF//AD,CF^AD,^EG//CF,EG=CF,

所以四边形EGCF为平行四边形，所以EF//CG,

又CGu平面。8四《平面PCD,

所以成”平面PCD.

(2)若平面ABCD,ZADC^nQ°M电＞=240=4,求直线AF与平面DEF所

成角的正弦值.

P

【解析】(2)连接皿

因为平面48CZ),Q£Z)/u平面ABCD,

所以PD±DF,PDIDA,

因为四边形"CD为菱形,N4DC=120。，

所以△5CQ为等边三角形，

因为少为的中点，所以DFLBC,

因为所以DFLDA,

所以DFQAQP两两垂直，

所以以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,

因为所以^(0,0,0),F(V3,0,0)^(0,2,0),E(0,1,2),

则DE=(0,1,2),DF=(V3,0,0),AF=(V3,-2,0),

设平面DEF的法向量机=(%,*),

m•DE=y+2z:=0

则I•DF=7§\=。，令Z=1得利=(0,-2,1),

设直线AF与平面DEF所成的角为6,

Im•AF|「

.—►—►|4|4\/35

贝Usin8=|cos<»i,AF>|=Im|IAFI=—=——,

75X35

所以直线AF与平面DEF所成角的正弦值为警.

18.（17分）（2024・武汉模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面

P4D_L底面ABCD,E为线段PA的中点过C,D,E三点的平面与线段PB交于点

凡且PA=PD=AB=2.

B

⑴证明:EKL4D；

【解析】(I)由题意得〃5〃cz),

又48u平面仁平面PAB,

所以CQ〃平面P4A

又C£>u平面CDEF,平面CZ)E/S平面PAB=EF,

所以CD//EF.

又craao,所以

(2)若四棱锥P-ABCD的体积为|,则在线段PB上是否存在点G,使得二面角G-

84的正弦值为£?若存在，求得的值;若不存在,请说明理由.

【解析】⑵取40的中点连接。。，

因为刃=电),所以POVAD,

又平面P4D_L平面48s，平面平面平面PAD,

所以。0J_平面45C7),

18

所以展43s堂⑶/。/。每，则/DPO=4,

又。O2+(14Q)2=4,

所以P0=yf2^4D—2y/2.

取BC的中点为H,以OA,OH,OP所在直线分别为x轴j轴,z轴，建立如图所示的

空间直角坐标系，

贝UP(0,0，V2),5(V2,2,0),Z)(-V2,0,0),C(-V2,2,0),

所以PB=(A/2,2<A/2),CD=(0,-2,0),

假设存在点G,设PG=7PBQao,lD,G(xi,为/J

所以(%\/1/『平)=入(*,2,-->^2),

则G(沟,2九裾(1J)),

所以55=(72(1+^),21,72(14)),

设平面GCD的法向量为〃I=(M，为向),

Hi,DG=0

ni•CD=0,

Z

'的(1+A)%2+2Ay2+V2(l-A)2=0

即

-2了2=°

可取“1=(11,0)+1),

又平面ABCD的一个法向量n2=(0,0,l),

因为二面角G-CD-B的正弦值为

|A+1|2非

所以|C0S<〃i,〃2>尸，解得月或2=3(舍去).

1(A-1)2+(A+l)25

所以线段PB上存在点G,使得二面角G-CD-B的正弦值为此时冷

【加练备选】

（2024•岳阳模拟）如图1,平面图形PABCD由直角梯形ABCD和R3AD拼接而

成，其中AB=BC=1,BC〃AD,PA=PD=&,PA上PDyAB上AD,PC<D相交于点。，现

沿着AD折成四棱锥P45CQ（如图2）.

图1图2

⑴当四棱锥P-ABCD的体积最大时，求点A到平面PCD的距离.

【解析】⑴在题图1中，在RtAFMD中，尸/=尸。=",尸力_LP£>,

所以40=2,易知四边形ABCO为正方形，

所以40=1,即O为AD的中点，

在题图2中，当四棱锥P-ABCD的体积最大时，

即侧面底面ABCD,

因为侧面PAD,

所以POJ_底面/5CZ）以O为原点所在直线分别为％轴、》轴、z

轴，建立如图所示空间直角坐标系.

贝U。(0,0,1)M(0,-1,0),5(11,0),C(1,0,0)Q(0,1,0),

所以AP=(0,1,1),CP=(-l,0,l),-P^(0,l,-l),

方法一：设平面PCD的法向量为*(%,*),

Im•CP=0

所以L•PD=O9

所以｛-Ji:)。所以帆=(1,1,1),

IAP-m|”

所以点A到平面PCD的距离为?^

方法二:(等体积法)

由题意得△尸CD为等边三角形，且PC=PD=CD=®APCD=gxQ^y=^,S4ACD=3

x2xl=l,

设点A到平面PCD的距离为d,

因为Vp-ACD^VA-PCD^

11

所以5s^ACD♦P。奇SAPCD,",

所以9卜1=|*9々,所以后.

(2)线段PD上是否存在一点。，使得平面QAC与平面ACD的夹角的余弦值为

竽?若存在，求出意的值;若不存在,请说明理由.

【解析】（2）假设存在,且设的=7瓦（OS於1）,

因为PD=(O,1,-1)?

所以而=AP+PQ=(O,1,1)+^PD=(0,1+2,14),

且AC=(1,1,O),

设平面3。的法向量为"=S也C）,

lu,AC=O

所以•AQ=O,

ri—I\।(a+5=0

所以((1+2)b+(1-A)c=09

所以“=(1-丸/-1/+1),

易知平面ACD的一个法向量为尸（0,0,1）,

因为平面3。与平面4cZ）的夹角的余弦值为U，

5道

所以H+”

|cos<",y>%UP-9-,

IHIJ(1-/I，+〃-1：+(%++)2*1

化简整理得6A2-132+6=0,

解得丸］或2=|（舍去），线段PD上存在满足条件的点Q且限2.

19.（17分）（2024・郑州模拟）三阶行列式是解决复杂代数运算的算法,其运算法则如

CL]a3ijk

z

下:hb2%=4/2。3+42济。1+43ble2-的人2。1-42ble3-4/3c2.若%iyxi厕

ciC2C3x2y?.z2

称axb为空间向量a与b的叉乘，其中a=Xii+y/+zi4(XiM/iWR)/=%2i+y2/+z2A

(x2,y2,z2£R),"J,A｝为单位正交基底.以O为坐标原点,分别以ij,k的方向为x

轴、歹轴、z轴的正方向建立空间直角