2025届江苏省南通市启东中学数学高二上期末经典模拟试题含解析

2025届江苏省南通市启东中学数学高二上期末经典模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若直线与双曲线相交，则的取值范围是A. B.C. D.2．已知直线，若直线与垂直，则的倾斜角为（）A. B.C. D.3．在数列中，若，，则（）A.16 B.32C.64 D.1284．已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（）A.3 B.6C.8 D.125．某地为响应总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得角∠A＝23°，∠C＝120°，米，则A，B间的直线距离约为（参考数据）（）A.60米 B.120米C.150米 D.300米6．对于函数，下列说法正确的是（）A.的单调减区间为B.设，若对，使得成立，则C.当时，D.若方程有4个不等的实根，则7．曲线与曲线的（）A.实轴长相等 B.虚轴长相等C.焦距相等 D.渐进线相同8．点F是抛物线的焦点，点，P为抛物线上一点，P不在直线AF上，则△PAF的周长的最小值是（）A.4 B.6C. D.9．已知双曲线右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则的离心率为（）A.2 B.C. D.10．在中，B=60°，，，则AC边的长等于（）A. B.C. D.11．如图，是对某位同学一学期次体育测试成绩（单位：分）进行统计得到的散点图，关于这位同学的成绩分析，下列结论错误的是（）A.该同学的体育测试成绩总的趋势是在逐步提高，且次测试成绩的极差超过分B.该同学次测试成绩的众数是分C.该同学次测试成绩的中位数是分D.该同学次测试成绩与测试次数具有相关性，且呈正相关12．已知等差数列的前n项和为，公差，若（，），则（）A.2023 B.2022C.2021 D.2020二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在的展开式中，含项的系数为______（结果用数值表示）14．狄利克雷是十九世纪德国杰出的数学家，对数论、数学分析和数学物理有突出贡献.狄利克雷曾提出了“狄利克雷函数”.若，根据“狄利克雷函数”可求___________.15．设等差数列的前项和为，若，，则______16．已知点为双曲线的左焦点，过原点的直线l与双曲线C相交于P，Q两点．若，则______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知等差数列中，，，等比数列中，，（1）求数列的通项公式；（2）记，求的最小值18．（12分）已知抛物线C：，直线l经过点，且与抛物线C交于M，N两点，其中.（1）若，且，求点M的坐标；（2）是否存在正数m，使得以MN为直径的圆经过坐标原点O，若存在，请求出正数m，若不存在，请说明理由.19．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，FA⊥平面ABCD，ED//FA，且AB=FA=2ED=2（1）求证：平面FAC⊥平面EFC；（2）求多面体ABCDEF的体积20．（12分）在锐角中，角的对边分别为，满足.（1）求;（2）若的面积为，求的值.21．（12分）已知函数（1）当时，求的单调性；（2）若存在两个极值点，试证明：22．（10分）已知等差数列中，（1）分别求数列的通项公式和前项和；（2）设，求

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】联立直线和双曲线的方程得到，即得的取值范围.【详解】联立直线和双曲线的方程得当，即时，直线和双曲线的渐近线重合，所以直线与双曲线没有公共点.当，即时，，解之得.故选：C.【点睛】本题主要考查直线和双曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.2、D【解析】由直线与垂直得到的斜率，再利用斜率与倾斜角的关系即可得到答案.【详解】因为直线与垂直，且，所以，解得，设的倾斜角为，，所以.故选：D3、C【解析】根据题意，为等比数列，用基本量求解即可.【详解】因为，故是首项为2，公比为2的等比数列，故.故选：C4、B【解析】根据椭圆中的关系即可求解.【详解】椭圆的长轴长为10，焦距为8，所以，，可得，，所以，可得，所以该椭圆的短轴长，故选：B.5、C【解析】应用正弦定理有，结合已知条件即可求A，B间的直线距离.【详解】由题设，，在△中，，即，所以米.故选：C6、B【解析】函数，，，,，利用导数研究函数的单调性以及极值，画出图象A.结合图象可判断出正误；B.设函数的值域为，函数，的值域为．若对，，使得成立，可得．分别求出，，即可判断出正误C.由函数在单调递减，可得函数在单调递增，由此即可判断出正误；D.方程有4个不等的实根，则，且时，有2个不等的实根，由图象即可判断出正误；【详解】函数，，，，可得函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增,当时，，由此作出函数的大致图象，如图示：A.由上述分析结合图象，可得A不正确B.设函数的值域为，函数，的值域为，对，，．，，由，若对，，使得成立，则，所以，因此B正确C．由函数在单调递减，可得函数在单调递增，因此当时，，即，因此C不正确；D.方程有4个不等的实根，则，且时，有2个不等的实根，结合图象可知，因此D不正确故选：B7、D【解析】将曲线化为标准方程后即可求解.【详解】化为标准方程为，由于，则两曲线实轴长、虚轴长、焦距均不相等，而渐近线方程同为.故选：8、C【解析】由抛物线的定义转化后求距离最值【详解】抛物线的焦点，准线为过点作准线于点，故△PAF的周长为，，可知当三点共线时周长最小，为故选：C9、B【解析】，得出到渐近线的距离为，由此可得的关系，从而求得离心率【详解】因为，而，所以是等边三角形，到直线的距离为，又，渐近线方程取，即，所以，化简得故选：B10、B【解析】根据正弦定理直接计算可得答案.【详解】由正弦定理，,得,故选：B.11、C【解析】根据给定的散点图，逐一分析各个选项即可判断作答.【详解】对于A，由散点图知，8次测试成绩总体是依次增大，极差为，A正确；对于B，散点图中8个数据的众数是48，B正确；对于C，散点图中的8个数由小到大排列，最中间两个数都是48，则次测试成绩的中位数是分，C不正确；对于D，散点图中8个点落在某条斜向上的直线附近，则次测试成绩与测试次数具有相关性，且呈正相关，D正确.故选：C12、C【解析】根据题意令可得，结合等差数列前n项和公式写出，进而得到关于的方程，解方程即可.【详解】因为，令，得，又，，所以，有，解得.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、12【解析】通过二次展开式就可以得到.【详解】的展开式中含含项的系数为故答案为：1214、1【解析】由“狄利克雷函数”解析式，先求出，再根据指数函数的解析式求即可.【详解】由题设，，则.故答案：115、77【解析】依题意利用等差中项求得，进而求得.【详解】依题意可得，则，故故答案为：77.16、7【解析】先证明四边形是平行四边形，再根据双曲线的定义可求解.【详解】由双曲线的对称性，可知，又，所以四边形是平行四边形，所以，由，可知点在双曲线的左支，如下图所示：由双曲线定义有，又，所以.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）0【解析】（1）利用等差数列通项公式基本量的计算可求得，进而利用等比数列的基本量的计算即可求得数列的通项公式；（2）由（1）可知，则，观察分析即可解【小问1详解】设等差数列的公差为d，所以由，，得所以，从而，，所以，，q＝3，所以【小问2详解】由（1）可知，所以，当n＝1时，为正值﹐所以；当n＝2时，为负值﹐所以；当时，为正值﹐所以又综上：当n＝3时，有最小值018、（1）或（2）存在，【解析】（1）确定点为抛物线的焦点，则根据抛物线的焦半径公式，结合抛物线方程，求得答案;（2）假设存在正数m，使得以MN为直径的圆经过坐标原点O，可推得，由此可设直线方程，联立抛物线方程，利用根与系数的关系，代入到中，可得结论.【小问1详解】依题意得为的焦点,故，解得,故，则∴点的坐标或;【小问2详解】假设存在正数，使得以为直径的圆经过坐标原点,∴，设直线：，，，由,得,则，,∵，,∴,解得或（舍去）所以存在正数，使得以为直径的圆经过坐标原点.19、（1）证明见解析；（2）.【解析】(1)连接BD交AC于点O，设FC的中点为P，连接OP，EP，证明BD//EP，BD⊥平面FAC即可推理作答.(2)求出三棱锥和四棱锥的体积即可计算作答.【小问1详解】连接BD交AC于点O，设FC的中点为P，连接OP，EP，如图，菱形ABCD中，O为AC的中点，则OP//FA，且，而ED//FA，且FA=2ED，于是得OP//ED，且OP=ED，即有四边形OPED为平行四边形，则OD//EP，即BD//EP，因为FA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，则FA⊥BD，又四边形ABCD是菱形，即BD⊥AC，而FAAC=A，平面FAC，因此，BD⊥平面FAC，即EP⊥平面FAC，又EP平面EFC，所以平面FAC⊥平面EFC.【小问2详解】由已知，是正三角形，，则，取AD的中点G，连接CG，而△ACD为正三角形，从而有CG⊥AD，且，因FA⊥平面ABCD，FA平面ADEF，则平面ADEF⊥平面ABCD，又平面ADEF平面ABCD=AD，而CG平面ABCD，因此，CG⊥平面ADEF，则点C到平面ADEF的距离为，又，于是得，所以多面体ABCDEF的体积.20、（1）；（2）.【解析】（1）由条件可得，即，从而可得答案.(2)由条件结合三角形的面积公式可得，再由余弦定理得，配方可得答案.【详解】（1）因为，所以，所以所以，因为所以，因为，所以（2）由面积公式得，于是，由余弦定理得，即，整理得，故.21、（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】（1）依据导函数判定函数的单调性即可；（2）等价转化和构造新函数在不等式证明中可以起到关键性作用.【小问1详解】的定义域为，当时，令得，当时，；当时，所以在和上单调递减，在上单调递增.【小问2详解】，存在两个极值点，则有二正根，由，得由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则由于，所以等价于设函数，在单调递减，又