2025版高考数学一轮总复习：集合

第一章

集合、常用逻辑用语与不等式

第一节集合

1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，

用符号语言刻画集合；在具体情境中，了解全集与空集的含义.

2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.

3.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能

求给定子集的补集；能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用.

口……必备知识系统梳理基础重落实-------课前自修

I_____知___识____•_逐____点___夯____实_______________________________________________________________1__________

知识梳理

1.元素与集合

(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性;

(2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法；

(3)元素与集合的两种关系：属于，记为G；不属于，记为；

(4)五个特定的集合及其关系图：N*或N+表示正整数集,N表示非负整数集(自然数集)，Z表示整数

集，Q表示有理数集,R表示实数集.

提醒(1)解题时，应注意检查集合的元素是否满足互异性；(2)N为自然数集(即非负整数集)，包含0,而

N*(N+)表示正整数集，不包含0.

2.集合间的基本关系

自然语言符号语言图形语言

集合A中任意一个元素都是集合

AU（或B^A）

B中的元素

依A

集合相等集合A,8中元素相同A=B

提醒(1)包含两层含义：A呈B或A=B;(2)若要分4=0或A=。两种情况讨论，不要忽略

A=0的情况.

3.集合的基本运算

符号语言{xI正4,{xIxGA,{x|veu,

或xGB}且xdB}且一曲4}

对点自测

1.判断正误.(正确的画“<”，错误的画“X”)

(1)任何一个集合都至少有两个子集.(X)

(2){0,2,1}和{0,1,2}是同一个集合.(N)

(3)集合向元=为用列举法表示为{-1,1}.(X)

(4)若{$,1}={0,1},贝[]x=0,1.(X)

(5){xly=x2+l}={yI)^=x2+l)={(x,y)Iy=x1+l}.(X)

2.(2023•全国乙卷2题)设全集U={0,1,2,4,6,8},集合M={0,4,6},N={0,1,6},则MU[uN=

()

A.{0,2,4,6,8}B.{0,1,4,6,8}

C.{1,2,4,6,8}D.U

解析：A因为U={0,1,2,4,6,8},M={0,4,6},N={0,1,6),所以[亦={2,4,8),所以

MU[uN={0,2,4,6,8}.故选A.

3.(多选)已知集合P=[xIf=4}，则()

A.2epB.P={-2,2}

C.{o}cpD.尸星N

解析：ABP={xI^=4}={-2,2],故2GP,故A、B正确.0不是尸中的元素，故C错误.因为-2年N,故

尸呈N错误，故D错误.

4.已知集合A={0,1,*-5x},若-4GA,则实数x=1或4.

解析：•「-4£A,/.x2-5x=-4,・・.x=l或x=4.

5.若集合A={x|-1<x<5},B={xIxWl或x24},则AUB=R,AG3={xI-1<xWl或4Wx<5}.

解析：因为A={xl-1<x<5},8={xIxWl或％24},借助数轴如图①，所以AUB=R,如图②，所以

APlB={xI-1<xW1或4Wx<5}.

-1M一女

-10145x-10145汽

图①图②

常用结论

L子集的传递性：A^B,B^C^A^C.

2.若有限集4中有n个元素，则A的子集有2"个，真子集有2"-1个，非空子集有2"-1个，非空真子集有2"-2

个.

3.等价关系：4三20记2=4厘口2=&4必。［出

G应用

L已知集合4={》I-l<x<5},2={xez门<尤<8},则ACB的子集个数为（）

A.4B.6

C.8D.9

解析：C因为A={xI-l<x<5},B={xezI1<x<8},所以AC8={2,3,4）,由结论2得ACS的子集个

数为23=8,故选C.

2.已知集合A={xIx>1）,8={xIx>a},若AUB=B,则实数a的取值范围是（-8,二.

解析：如图，在数轴上表示出A,B.由结论3可得AG2,所以aWl.

L考点•分类突破口……一…精选考点典例研析技法重悟通---------1课堂演练

I____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

集合的基本概念

考点一

(师生共研过关)

【例1】(1)已知集合人={1,2,3},则5={(x,y),六A,Ix-yI£A}中所含元素的个数为

()

A.2B.4

C.6D.8

(2)设〃，Z?eR,集合{1,a+b,a}={0,，，/?},则«2024+/?2025=()

A.OB.l

C.2D.4

答案：(1)C(2)C

解析：(1)因为A={1,2,3),所以B={(2,1),(3,1),(3,2),(1,2),(1,3),(2,3)},

共6个元素.故选C.

(2)由题意知。#0,因为{1,a+b,a]={0,6}.所以a+b=0,贝哈=-1,所以a=T,b=l.故〃必+/

025=2.

解题技法

解决与集合含义有关问题的关键

(1)确定构成集合的元素是点集、数集、还是其他类型的集合；

(2)确定元素的限制条件；

(3)根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.

提醒集合中元素的互异性容易忽略，求解问题时要特别注意.

0训练

1.已知集合4={xlxGZ,且旦ez),则集合A中的元素个数为()

2-x

A.2B.3

C.4D.5

解析：C因为XGZ,且』ez,所以2-X的取值有-3,-1,1,3,所以X的值分别为5,3,1,-1,故集合

2-x

A中的元素个数为4.故选C.

2.已知集合A={m+2,2病+初，若3£A,则m=-|.

解析：令m+2=3,得m=1,此时2根m=3,不合题意.令2m?+m=3,得m=-|或m=1(舍去).若m=-

|,则m+2=5满足条件，所以m=-|.

集合间的基本关系

考点二

(师生共研过关)

【例2】(必修第一册第9页5(2)题改编)已知集合4=5Ix>a],B={xll<x<2},若距A,则实数a

的取值范围为()

A.[1,+°°)B.(-00,1]

C.(1,+8)D.(-00,1)

解析：B因为A={x|x>a},B={xI\<x<2},且B呈4用数轴表示其关系如图.所以实数a的取值范围为aWl.

故选B.

-10a1234x

G变式

（变条件）|若本例条件变为:已知集合A={xI2a-3。4},B={xIl<x<2}.,则实数a的取值范

围为（3,+8）.

解析：因为A={xI2a-3WxWa},B={x\1<x<2},且A£B.①当A=0时，2a-3>a,则a>3,满足题意；

2a-3<a,（a<3t

9即।所以〃不存在，综上所述，实数〃的取值

2a-3>1,\a>2,

{a<2.1a<2.

范围为（3,+°°）.

解题技法

1.判断集合间关系的常用方法

（1）列举法：先用列举法表示集合，再从元素中寻求关系；

（2）化简集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表达式比较复杂，往往需化简表达式，再寻求两个集合的

关系；

（3）数形结合法：利用数轴或Venn图直观判断.

2.由集合间的关系求参数的解题策略

已知集合间的关系求参数时，关键是将集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关

系.合理利用数轴、Venn图帮助分析并对参数进行讨论.确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验

证，否则易增解或漏解.

提醒当8为A的子集时，易漏掉8=0的情况.

0训练

L设全集U=R,则集合M={0,1,2}和N={尤Ix（尤-2）log2%=0}的关系可表示为（）

ABCD

解析：A因为N={xIx（x-2）log2X=0}={1,2},M—[0,1,2）,所以N是”的真子集.故选A.

2.已知集合4={尤I,8={xGNIX2-6X<0}，则满足雄CQ8的集合C的个数为（）

A.4B.6

C.7D.8

解析：C-：A={1,2},B={1,2,3,4,5},且A呈CCB,.•.集合C的所有可能为{1,2,3},{1,2,4},

[1,2,5},{1,2,3,4},[1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5},共7个.

集合的基本运算

考点三

（定向精析突破）

考向7集合的运算

【例3】（1）（2023•全国甲卷1题）设全集U=Z，集合M={xI尤=3hH,AGZ},N={xIx=3左+2,

左ez},则［u（MUN）=（）

A.{xIx—3k,左ez}

B.[xIx=3k-1,左GZ}

C.{xIx=3k-2,Z}

D.0

(2)(2024.广东联考)已知全集。=14,集合A={xIx<-1或x>3},B={xIy=ln(3-x)}，则图中阴影部

分表示的集合为（）

A.[-1,3]B.(3,+8)

C.(-8,3]D.[-1,3)

答案：(1)A(2)D

解析：（1）法一（列举法）M={-,-2,1,4,7,10,•••),N={…,-1,2,5,8,11,,所以

MUN={…，-2,-1,1,2,4,5,7,8,10,11,•••）,所以［u（MUN）={-,-3,0,3,6,9,•••},其

元素都是3的倍数，即［u（MUN）={尤lx=3%,左GZ},故选A.

法二（描述法）集合MUN表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集，故

选A.

（2）集合A={xI-1或x>3},B={xIy=ln（3-x）}={xIx<3},所以题图中阴影部分表示的集合为

(UA)CIB={X|-1WXW3}A{尤|x<3}={xI-1・》<3}.故选口.

解题技法

集合基本运算的方法技巧

确定集合中的元素及其满足的条件，如函

|确定|

口素|数的定义域、值域，一元二次不等式的解

集等

根据元素满足的条件解方程或不等式，得

出元素满足的最简条件，将集合清晰地表

示出来

运算；利用交集或并集的定义求解，必要时可借

求解助数轴或Venn图来直观解决

考向2利用集合的运算求参数

【例4】（2024•九省联考）已知集合4={-2,0,2,4},{xIIx-3IWm}.若,则机的最小值

为5.

（

3+m>4r

解析：5={xIIx-3IWm}={xI3-加},又AG5=A,则A&5,所以，所以相三5,

3-m<-2,

故机的最小值为5.

解题技法

利用集合的运算求参数的方法

（1）与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍；

（2）若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系，再列方程（组）求解.

考向3集合的新定义问题

【例5】（2024•长沙模拟）给定数集若对于任意。，bGM,有a+bGM,且则称集合〃为闭集

合，则下列说法中正确的是（）

A.集合M={-4,-2,0,2,4）为闭集合

B.正整数集是闭集合

C.集合M={nIn=3k，左GZ}为团集合

D.若集合4,4为闭集合，则4UA?为闭集合

解析：C选项A：当集合M={-4,-2,0,2,4}时，2,4GM,而2+4=6由0,所以集合M不为闭集合，A

选项错误；选项B：设a,6是任意的两个正整数，则当时，a-b是负数,不属于正整数集，所

以正整数集不为闭集合，B选项错误；选项C：当加={""=3%,AGZ}时，设。=3A1,b=3ki,舟，则

a+/?=3（心+依）a-b=3（向-依）GM,所以集合M是闭集合，C选项正确；选项D：设

Ai={nIii=3k,kwZ},42=仇In=2k,左eZ},由C可知，集合4,A2为闭集合，2,3w（AiUA2）,而

（2+3）庄（AIUA2）,故A1IM2不为闭集合，D选项错误.

解题技法

解决以集合为背景的新定义问题的关犍

(1)紧扣新定义：首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程

中，这是破解新定义集合问题的关键所在；

(2)用好集合的性质：解题时要善于从题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质.

0训练

1.(2023•全国乙卷2题)设集合U—R,集合{x\x<l],N—{尤I-1<x<2},则{xI尤22}=()

A.[u(MUN)BWU[VM

C.[u(MCN)D.MUluN

解析：A因为M={x|x<l},N={x|-1<x<2},所以MUN={xIx<2},所以[u(MUN)={xl尤22}.故

选A.

2.已知集合A={xI2<x<3},B={xIx>%},且([RA)UB=R,则实数m的取值范围是()

A.m，2B.m<2

CJWW2D.m>2

解析：C'：A={xI2<x<3},；.[RA=(-8,2]U[3,+°°),:([RA)UB=R,：.m^2.

3.对于任意两集合A,B,定义A-B—{xIxGA且蛙g},A*B—(A-B)U(B-A),记A={xIx>0},

B={xI-3W尤W3},贝{xI-3W尤<0或x>3}.

解析：：A={xIx》0},B=[xI-3WJCW3},：.A-B={XIX>3},B-A={x\-3Wx<0}.，A*B={xI-3<x

<0或x>3}.

L课时跟踪检测口——关键能力分层施练素养重提升---------1课后练习

I____________•_____________________________________________________________________________________

A级•基础达标

1.设集合A={尤Ix》l},B={x\-1<x<2},则APlB=()

A.{xIx>-1}B.{xI尤21}

C.{尤I-1<x<1}D.{xnW尤<2}

解析：D因为集合人={尤I尤21},B={x\-1<x<2},所以ACB={x门・无<2}.故选D.

2.(2022.全国乙卷1题)设全集U={1,2,3,4,5},集合M满足{1,3},则()

A.2GMB.3EM

C.4WD.5W

解析：A由题意知加={2,4,5},故选A.

3.已知集合P={xIx<3},Q={xdZ口尤I<2},则()

A.P星QB.Q^P

C.PAQ=PD.PUQ=Q

解析：B由题意，Q={x£Z|IxI<2}={-1,0,1},P={xIx<3},故。呈尸，故A错误，B正确，又

尸0。={-1,0,1}=Q,尸UQ={x|x<3}=尸，故C、D错误.故选B.

4.(2023•新高考II卷2题)设集合A={0,-a],B={1,a-2,2a-2},若，则。=()

A.2B.l

2

C.-D.-1

3

解析：B由题意，得OGBIB={1,a-2,2a-2},所以a-2=0或2a-2=0.当a-2=0时，a=2,此时

A={0,-2},B={1,0,2},不满足ACB,舍去.当2a-2=0时，a=l,此时A={0,-1},B={1,-1,

0},满足A=B.综上所述，a=l.故选B.

5.(2024.长春吉大附中预测)集合4,8满足AUB={2,4,6,8,10},AAB={2,8},A={2,6,8},则集合

8中的元素个数为()

A.3B.4

C.5D.6

解析：B因为ACB={2,8},故{2,8}三8,又4={2,6,8),故648,又AUB={2,4,6,8,10},故

B=[2,4,8,10),即集合8中的元素个数为4.故选B.

6.(多选)已知全集U=Z,集合A={xI2x+lN0，尤ez},B={-1,0,1,2},则()

A.AAB={0,1,2}

B.AUB={x|GO}

C.([uA)HB={-1}

D.An2的非空真子集个数是6

解析：ACDA={x|2x+l20,xdZ}={x|x2-%x£Z},B={-1,0,1,2},AAB={0,1,2),故A正

确；AUB={x1x^-1,x£Z},故B错误；CuA={xIx<-p尤^Z},所以(Ct/A)AB={-1},故C正确；由

APB={0,1,2},则ACS的非空真子集个数是23-2=6,故D正确.故选A、C、D.

7.(多选)若集合{尤I-3<x<1},N={xI尤W3},则集合{尤IxW-3或x>l}=()

A.MCNB.CRM

c，R(MnN)D.CR(MUN)

解析：BC因为集合加={&I-3<X<1},N=[xIx^3},所以MCN={xI-3<X<1},MUN={xIx^3),

[RM={XI尤W-3或无21},所以[R(MCN)—{xI尤W-3或x》l},CR(MUN)={x|尤>3}.故选B、C.

8.设集合A={尤lx2-4x-5=0},若」一GA，则a=1或。.

解析：由题得A={-1,5},则二一=-l或二一=5,解得。=1或芍.

a-2a-25

9.已知集合A={x|(x-1)(x-3)<0},B=[xI2<x<4},则AA8=(2,3),A/5=(1,4)

(CRA)U3=(-8,i]u(2,+8).

解析：由已知得4={工I1<x<3},B={xI2<x<4},所以An3={xI2<x<3},A^JB={xIl<x<4},

(CRA)UB={XIxWl或x>2}.

10.已知集合A={xIx<-1或x，0},B={xIa^x<a+2],若AU3=R,则实数a的取值范围是[-2,-

1].

（CL<-1,

解析：由题意知，若AUB=R,画出数轴如图，则必有（解得即实数〃的取值范围为

+220,

[-2,-1].

a—16a+2x

B级♦综合应用

1L设全集U=R，集合A={尤I-l<x<2},2={xIx>l},则图中阴影部分表示的集合为（）

A.{x1x21}B.{xIxWl}

C.UI-1<xWl}D.UI-lWx<2}

解析：C•.•全集U=R,集合A={xI-1(尤<2},8={尤Ix>1},{尤IxWl},.•.图中阴影部分表示的

集合为AC([/)={xI-1<x<2}Cl{xI1}={xI故选C.

12.(2024.重庆质量调研)已知全集。=R,集合A={xIx--15},B={xIxW-3或x22},贝1|An]面=

()

A.[-j,2)B.(-3,-1]

C.(-3,3]