高考数学一轮复习：指数与指数函数 专项练习（学生版+解析）

第03讲指数与指数函数（核心考点精讲精练）

1.4年真题考点分布

4年考情

考题示例考点分析关联考点

2023年新I卷，第4题,5分指数型复合函数单调性二次函数单调性

用导数判断或证明已知函数的单调性

2022年新I卷，第7题,5分比较指数幕的大小

比较对数式的大小

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握指数的运算及

指数函数的基本性质，难度中等偏下，分值为5分

【备考策略】L了解有理数指数幕、实数指数塞含义，掌握指数幕的运算性质.

2.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念

3.能画出具体指数函数的图象探索并理解指数函数的单调性与特殊点

4.能结合指数函数比较指数式大小

【命题预测】本节内容会结合其他函数内容综合考查，需综合性学习备考

知识讲解

1.指数的基本知识

（1）根式的基本性质

①«的定义域为无之0,,的定义域为xeR

②J”=|x|=<尤',定义域为(xeR)

一x<0

③(«]=x，定义域为(x»0)

④#7=x，定义域为(xeR)

⑤防]=x，定义域为(xeR)

(2)指数的基本性质

①零指数幕：。°=1(。/0);

②负整数指数幕:a-"=2(aH0,peN*);

ap

③正分数指数幕:〉o,加、nG^*,_an>l)；

-慢11

④负分数指数幕：an=——=.——(a>0,m>neN\^n>1)

(3)指数的基本计算

m

①同底数塞的乘法运算Q叫或=am+n②同底数塞的除法运算a<=L

an

mnmm

③累的乘方运算卜叶=a④积的乘方运算(")"'=ab

2.指数函数

(1)指数函数的定义及一般形式

一般地，函数了=屋(。〉0且awl),xeR,叫做指数函数

(2)指数函数的图象和性质

值域

过定点(0,1)

当%>0时，y>1；当%>0时，0<y<l；

性质x<0时,0<y<lx<0时,y>1

在(-00,+00)上是增函数在(-co,+co)上是减函数

考点一、指数与指数号的运算

典例引领

1.(2022•北京・统考高考真题)已知函数=1二，则对任意实数x,有()

A.f(-x)+/(x)=0B.f(-x)-f(x)=0

C.f(-尤)+/(无)=1D./(-x)-/(x)=1

【答案】C

【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误.

2X1

【详解】+=+-----1-----故A错误，C正确;

')')l+2-x1+2X1+2X1+2X

2%___12X-1___2

/(-x)-/(x)=------------1不是常数，故BD错误;

'7v71+2一、1+2X1+2"-1+2"F+i~~2X+1

故选：C.

2.(2020•全国•统考高考真题)设alog34=2,贝!J4一"=()

1111

A.—B.—C."D.一

16986

【答案】B

【分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解

【详解】由"1(^34=2可得10834"=2,所以4。=9,

所以有4-“='

故选：B.

【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则,

属于基础题目.

即时检测

1.(上海•高考真题)满足方程4,+2-2=0的无值为.

【答案】0

【分析】令，=2*(/>0),原方程化为产+-2=0,即可求出入从而求出x；

【详解】解：令r=2*(r>0),原方程化为』+"2=0,解得，=1或仁-2

因为7>0,所以/=1,即2*=1，解得X=O

故答案为：0

【点睛】本题考查指数的运算，属于基础题.

<6、2+有

2.(2023•全国•模拟预测I)—9J=()

A.-B.—C.上D.3

33

【答案】A

【分析】利用指数基的运算性质化简计算即可.

故选：A.

<"+3

3.(2023•海南省直辖县级单位•统考模拟预测l)—27J=()

A.9B.-C.3D.B

99

【答案】B

【分析】利用指数的运算性质可求得所求代数式的值.

故选：B.

4.(2023•浙江校联考模拟预测)已知函数〃x)=e2，+e-2£+2,则()

A./(x+1)为奇函数B.+为偶函数

C.〃x—l)为奇函数为偶函数

【答案】B

【分析】方法一：可得〃17)=〃X),即可得到函数“X)关于X=：对称，从而得到了

为偶函数;

方法二：求出了,+；]的解析式，即可判断.

【详解】方法一：因为/(x)=e2，+e0+2,所以〃l-x)=e2m+e2*=〃x),

所以函数/(尤)关于尤=：对称，将f(x)的函数图象向左平移J个单位，关于>轴对称，

22

即/1x+j为偶函数.

方法二：因为/[x+g)=e2Ai+e3+i=e(e2*+e口)，%eR,

贝lJ/[-x+；]=e(e"'+e2)=/(x+g)，所以/[尤+gj为偶函数；

X=e2x+2+e-2\故〃-l+l)=e°+e2=l+e2,/(l+l)=e4+e-2=e4+4>

e

所以〃—1+1)/八1+1),/(-1+1)^-/(1+1),故/(x+1)为非奇非偶函数；

X/(x-l)=e2l-2+e-2x+4,故“一l-l)=eT+e6=1+e6,/(l-l)=e°+e2=l+e2,

e

所以“—I——1),故/(x—1)为非奇非偶函数；

又/[x_£|=e2i+e3+3,故(_1_j=e-3+e5=《+e5,(1-;1=e+e=2e,

所以故/卜为非奇非偶函数.

故选：B

考点二、指数函数的图象及其应用

☆典例引领

1.(2023・海南•模拟预测)已知函数y=y=bx,y=log,尤的图象如图所示，则()

acfcac

A.e<e<e"B.e<e<e

c.ea<eb<e'D.efc<ec<e'

【答案】C

【分析】由函数图象可确定。力,c大小关系，结合指数函数单调性可得结果.

【详解】由图象可知：a<O<b<l<c,:.ea<eb<ec.

故选：C.

2.(2023•山东枣庄•统考二模)指数函数>=优的图象如图所示，则丫:办2+苫图象顶点横坐标的取值范围

【答案】A

【分析】根据指数函数的图象可知，ae(O,l),再结合二次函数的顶点式即可解出.

【详解】由图可知，a6(0,1),而〉=办2+*=4,+：］一((go),顶点横坐标为x=-：,所以

2av2)

故选：A.

■即时检测

1.(2023・安徽安庆•校考一模)函数/(x)=log22x与g(x)=2-［］在同一直角坐标系下的图象大致是()

c.

【答案】B

【分析】根据/⑴=1，g(O)=L结合对数函数与指数函数的单调性判断即可.

【详解】■(尤)=log22x=l+log2X,为定义域上的单调递增函数

'⑴=1,故A不成立；

=,为定义域上的单调递增函数,

.■.g(O)=2-Q^=1,故C和D不成立.

故选：B.

2.(2023・安徽合肥•统考一模)(多选)已知函数〃x)=靖-优(x＞0)的图象可能是()

【分析】根据给定的函数，按。=分类探讨，结合函数的单调性及函数增长速度的大小判断

作答.

【详解】当0＜。＜1时，函数y=x"在(0,+8)上单调递增，函数y=炉在(0,+8)上单调递减，

因此函数/(x)=x。-优在(0,+s)上单调递增，而〃0)=-1,〃4)=0,函数图象为曲线，A可能；

当。=1时，函数f(x)=x-l在(0,+s)上的图象是不含端点的射线，B可能；

当。＞1时，取。=2,有/(2)=/(4)=0,即函数-2*,x＞0图象与x轴有两个公共点，

又xe(0,y),随着x的无限增大，函数y=优呈爆炸式增长，其增长速度比y=x"的大，

因此存在正数看,当x＞x°时，焉＜小恒成立，即/(无)＜。，C可能，D不可能.

故选：ABC

3.（2023・山东济宁•统考一模）已知函数〉二/亡〃〉。且QWI）的图象过定点A,且点A在直线

Q3

mx+2n^=8（m>0,n>0）±,则-------的最小值是

mn2m

【答案】J9

16

/、83163

【分析】求出函数所过的定点则有根+2〃=8,则2几=8—根，则嬴-，化简

2mm（8-m）2m

整理，分离常数再结合基本不等式求解即可.

【详解】函数户优一代＞0且QW1）的图象过定点

则m+2〃=8，所以2〃=8-加，

m>0

由2〃=8-心。'得°<根<8,

83163_32-3（8-㈤―3a+8

贝!J------

mn2m2m2m（8-m）-2m2+16m

*_Q

令，=3加+8,『£（8,32）,则心口―,

839t

贝I]mn2m216（f-8）-2/+80/-512

—2+

3

9>99

80-|2/+—80-2J2r.-⑹

8

m=—

512

当且仅当力=7，即，=16,即v；时，取等号,

O

n=—

3

所以上8-生3的最小值是9一

mn2m16

9

故答案为：—

16

考点三、指数（型）函数的单调性

☆典例引领

1.（2023•全国，统考高考真题）设函数〃力=2式1）在区间（0,1）上单调递减，贝心的取值范围是（）

A.（—,-2]B.[-2,0）

C.(0,2]D.[2,+co)

【答案】D

【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.

【详解】函数y=2,在R上单调递增，而函数/(x)=2，(1)在区间(0,1)上单调递减，

2

则有函数＞=》。-a)=(尤-咬2一?在区间(0,1)上单调递减，因此解得a22,

所以。的取值范围是[2,+co).

故选：D

2.(2023•陕西汉中•统考一模)设函数/Q)=e'-eT,则F⑺()

A.是奇函数，且在(—,+»)单调递增

B.是奇函数，且在(--+⑹单调递减

C.是偶函数，且在(f,”)单调递增

D.是偶函数，且在(—，”)单调递减

【答案】A

【分析】由函数奇偶性定义判断A*)的奇偶性，根据解析式，结合复合函数的单调性，判断"X)在定义域

上的单调性即可.

【详解】由/(—)=1—"＜田=一(俄—二)=-/(幻且xeR,F(x)为奇函数,

回了=/在('+«))上递减，贝!|y=-er递增，又＞=6,在(f抬)上递增，

团f(x)=ex-e~x在(-00,+℃＞)上递增，

故选：A.

即时检测

1.(2023•宁夏银川•统考模拟预测)已知函数〃x)=l-品，则()

A.f(x)是偶函数且是增函数B./(元)是偶函数且是减函数

C./■(%)是奇函数且是增函数D.f(x)是奇函数且是减函数

【答案】C

【分析】根据给定的函数，利用奇偶性定义及复合函数单词性判断作答.

【详解】函数〃x)=i-一2—=竺二的定义域为R,〃_月=之二LT=_〃x),即函数了⑺是奇函数,

')2%+12%+1'72一”+11+2”

AB错误,

2

因为函数『2』在R上递增’则函数二.在R上递减’所以函数小）是增函数，D错误’C正确.

故选：C

-3x+3,x<0

2.（2023・河南洛阳・洛宁县第一高级中学校联考一模）已知函数"x）=b+g。,则不等式

了（“）＜/（3。-1）的解集为（）

【答案】C

【分析】由函数解析式判断函数的单调性,根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可;

—3x+3,x<0

【详解】解:因为/（无）=

e-x+l,x>0

当x<0时J(x)=—3x+3函数单调递减，且/(x)>—3x0+3=3,

当x20时八＞）=「+1函数单调递减，且〃0）=e°+l=2＜3,

所以函数“尤）在（f，+8）上是单调递减,

所以不等式/（«）＜/（3«-1）等价于a＞3a-l,解得a＜g.

即不等式的解集为‘8，；；

故选：C

3.（2023・安徽滁州•校考模拟预测）函数=姆2与g⑺=。尸在（0,+巧均单调递减的一个充分不必要

条件是（）

A.^€（0,2）B.tze[0,l）C.ae[1,2）D.a«l,2]

【答案】C

【分析】分别求出函数与g（x）=（£|在（0,+"）均单调递减时，。的取值区间结合选项可得答案.

【详解】函数/（%）=无心在（0,+8）均单调递减可得。_2＜0即a＜2；

函数g（x）=]力=图在（0*）均单调递减可得0＜（＜1，解得。＜”4,

若函数，（x）=x"-2与g（x）=1：J均单调递减，可得o<a<2,

由题可得所求区间真包含于（0,2）,

结合选项，函数/（x）=x"-2与g（x）=1］均单调递减的一个充分不必要条件是C

故选：C

考点四、指数（型）函数的值域与最值

典例引领

...........

1.（山东•高考真题）已知函数/（乃=优+贴>0,"1）的定义域和值域都是，则。+6=.

3

【答案】

+h=—1

【详解】若0>1,则“X）在上为增函数，所以｛,,；，此方程组无解；

若0<“<1,则”无）在［-1,0］上为减函数，所以｛：［+'二0,解得｛"=］，所以"+6=-］.

1+6=-1b=-22

考点：指数函数的性质.

2.（2021•全国•统考高考真题）下列函数中最小值为4的是（）

,।.,4

A.y=x+2x+4B.=sinxi

,|sinA'|

,4

C.y=2'+22-XD.y=\nx+——

In.r

【答案】C

【分析】根据二次函数的性质可判断A选项不符合题意，再根据基本不等式"一正二定三相等”，即可得出尻。

不符合题意，C符合题意.

【详解】对于A,>=炉+2》+4=（尤+1『+323,当且仅当x=-l时取等号，所以其最小值为3,A不符合

题意；

对于B,因为0<binx|41,y=kinx|+鬲同22〃=4,当且仅当卜也耳=2时取等号，等号取不到，所以其

最小值不为4,B不符合题意；

41―

对于C,因为函数定义域为R,而2、>0,y=2'+22-%=2%+—>2V4=4,当且仅当2*=2，即x=l时取

等号，所以其最小值为4,C符合题意；

对于D,y-\nx+-^—,函数定义域为（O,l）U（l，+°°）,而InxeR且Inx.0,如当lnx=-l,y=-5,D不符

Inx

合题意.

故选：C.

【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等"的意义，再结合有关函数的性

质即可解出.

☆即时检测

1.（2023•浙江宁波・统考二模）若函数》=优（。>1）在区间［1,2］上的最大值与最小值的差为2,则。=

【答案】2

【分析】根据指数函数的单调性求出函数的最值，即可得解.

【详解】因为函数y=炉（。>1）在区间口,2］上递增,

所以Xnax=/，ymin=。，

贝!］。*2-3。=2,解得。=2或。=-1（舍去）.

故答案为：2.

2.（2023•宁夏银川•校联考二模）已知函数/（力=4，—2.—1,XG［0,3］,则其值域为.

【答案】

【分析】令f=2",将问题转化为求二次函数在区间［L8］上的值域问题，结合二次函数单调性，即可求解.

【详解】令f=2"，0xe［O,3］,01<r<8,

回g（7）=『-4/-1=（/-2）2-5,re［1,8］

又y=g（）关于［=2对称,开口向上,所以g⑺在［1,2）上单调递减，在（2,8］上单调递增,K|8-2|>|2-1|,

.•1=2时，函数取得最小值，即g（%0=-5,t=8时，函数取得最大值，即g⑺1mx=31,

.-./（x）e［-5,31］.

故答案为：［-5,31］.

3.（2023・湖南长沙•长郡中学校考模拟预测）已知函数/'（X）的定义域为R,y=/（尤）+e，是偶函数，

y=-3/是奇函数，则〃尤）的最小值为（）

A.eB.2A/2C.273D.2e

【答案】B

【分析】利用函数奇偶性的定义可求得函数〃x)的解析式，再利用基本不等式可求得的最小值.

【详解】因为函数y=〃x)+e”为偶函数，则f(f)+eT=/(x)+e',即/(x)—/(—x)=0-巴①

又因为函数y=/(x)-3ex为奇函数，则”-司―3eT=-f(x)+3e',即〃x)+/(—%)=3/+3b，②

联立①②可得f(x)=ex+2e-\

由基本不等式可得=e*+2ex>2ylex-2e~x=20,

当且仅当e，=2eT时，即当x=gln2时，等号成立，

故函数/(x)的最小值为2VL

故选：B.

4.(2023・河北张家口•统考二模)函数/(x)=2庐值+JY_2x的最小值为.

【答案】1

【分析】先求定义域,再利用复合函数单调性即可判断出单调区间，进而求解最小值.

【详解】函数的定义域为(-8,0］u［2,+e).

由复合函数的单调性可知,/(元)在(y,o］上单调递减，在［2,+8)上单调递增.

而〃0)=4,〃2)=1.所以，函数/(X)的最小值为1.

故答案为:1.

5.(2023•云南曲靖•统考模拟预测)若实数羽，满足2，+2yM=1，则()

A.尤<0且><-1B.x+y的最大值为一3

Cgj+g「的最小值为7口.他+出］—<2

【答案】ABD

【分析】对于AD,利用指数函数的性质即可判断；对于BC,利用指数的运算法则与基本不等式的性质即可

判断

【详解】由2'+2阳=1，可得29=1-2*>02=1-2>hl>0,所以彳<。且y<-l,故A正确;

由2工+2刈=122,2工.2V+1=2也"*，可得J1即2工+>1V」=2-2,所以尤+y《_3,

4

当且仅当犬=丫+1=-1,即x=T,y=-2时，等号成立,所以％+y的最大值为-3,故B正确；

门+口小小门"”5+2；+42Xl2-2y2-2x

—>5+2J---------=9,

"V2X2y

当且仅当x=y=7og23时，等号成立,

所以（gj+lg]1的最小值为9,故C错误；

因为2=1—2阳,则2日=2（1-2阳）=2-42,

所以+1）-2-=2>1+2-1=2-3-2>'<2,故D正确.

故选：ABD.

考点五、指数值的大小比较（构造函数比较大小）

☆典例引领

1.（2023•天津•统考高考真题）若a=L01°5,b=L0106,c=0.6°5,则。,瓦。的大小关系为（）

A.c>a>bB.c>b>a

C.a>b>cD.b>a>c

【答案】D

【分析】根据对应嘉、指数函数的单调性判断大小关系即可.

【详解】由y=1。1'在R上递增，则"LOI'"“。/,

0505

由y=留在©+s）上递增，则a=i,oi->c=O.6.

所以6>4>C.

故选：D

2.（2023•全国•统考高考真题）已知函数〃尤）=小叫记学,b=于%<=于三■，贝1H）

\）\7\）

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】A

【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.

【详解】令g（尤）=-（尤-1）2,则g（x）开口向下，对称轴为x=l,

因为当T_1-y-="丁一；m（76+73）2-42=9+672-16=672-7>0,

rr-p,^6（出]A/64-^/34By/68

所以^--1-1-=-------二§P--―1>1--

2（2）2222

由二次函数性质知g（亭）<g（乎）

因为当

而(6+0)2-4?=8+46-16=4舁8=4(退-2)<0,

即9-1<1-丰，所以g(乎)>g(*),

综上,g(*)<g(手)<g(乎),

又>=©”为增函数，故avcv〃，^b>c>a.

故选：A.

3.(2022•全国•统考高考真题)设1=0.16叫/?=，c=-ln0.9,则()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】C

【分析】构造函数/(%)=ln(l+x)-%,导数判断其单调性，由此确定的大小.

【详解】方法一：构造法

1Y

^/(x)=ln(l+x)-x(x>-l),因为/(X)=/1=一丁匚，

1+X1+X

当xe(-l,0)时,f\x)>0,当％£(0,+oo)时/'(x)<0,

所以函数于3=ln(l+%)—%在(0,+8)单调递减，在(-1,0)上单调递增,

所以7(g)</(0)=0,所以M曰一^<0,故g>lng=-ln0.9,即b>c,

191Q--1-1

所以/(-而)</(0)=0,所以出而+仿<0,故言”，所以3°<；，

故〃,

设g(x)=xeX+ln(l-尤)(0<尤<1),则g，(x)=(x+i)e*+-^—=~"+1,

x-1x-1

令h(x)=ex(x2-1)+1,hr(x)=ex(x2+2x—1),

当0〈尤〈夜一1时，h'(x)<0,函数/7(x)=e%x2-l)+l单调递减，

当也一1<X<1时，/7'(x)>0,函数/z(x)=e*(x2_i)+］单调递增，

又〃(0)=0,

所以当O<x<0-1时，〃(元)<0,

所以当0<》<0-1时，g'M>0,函数g(x)=xe:+ln(l—x)单调递增,

所以g(01)>g(0)=0,即0.1e〃>—ln0.9,所以

故选：C.

方法二：比较法

解：a=0.1^°1c=-ln(l-0.1),

1-0.1

①Ina—lnb=0.1+ln(l—0.1),

令f(x)=x+ln(l—x),xe(0,0.1],

|一x

则

r«=i--1-—x=-1-—x<o,

故f(x)在(0,0.1J上单调递减,

可得/(0.1)</(0)=0,即lna-lnb<o,所以a<b；

(2)a-c=OAe01+ln(l-0.1),

令g(x)=xex+ln(l—x),xG(0,0.1],

则g'(x\=xex+ex--------=——4——』-----,

V71-x1-x

令依尤)=(l+x)(l—九)1,所以^(x)=(l-x2-2x)ex>0,

所以k{x}在(0,0.1]上单调递增，可得k{x}>k(0)>0,即gr(x)>0,

所以gQ)在W0.1]上单调递增，可得g(0.1)>g(0)=0,即a-c>0,所以

故c<a<b.

,即时检测

1.(2023・湖南郴州•安仁县第一中学校联考模拟预测)已知。=ln2.1,b=e°」,c1.1,则。，仇。的大小关系为()

A.a<b<CB.a<c<b

C.b<c<aD.c<b<a

【答案】B

【分析】构造函数，利用其单调性判定大小即可.

【详解】ln2,1<Ine=1<1,1,a<c,ln2.1<1=e°<e°a<b,

令g(x)=eX-x-l,0<x<l,贝!]=

所以当0<x<l时，函数8(尤)=6<％-1单调递增，

...g(O.l)>g(O)=0,即e01-1-0.1>0,

即e°」,从而可知a<c<b.

故选：B.

2.(2023・山东日照•三模)若。=形,b-,c=疾，贝U()

A.a<c<bB.a<b<c

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】B

【分析】构造函数/(尤)=3,利用导数研究函数单调性，由lnb>ln。，可得人。，再由6=再

作商法里，得c>b,从而得解.

【详解】令〃》)=华，则:(x)=W竺，

当x>e时，/(力<0,函数/(x)单调递减；

当0<x<e时，/^)>0,函数/•(%)单调递增，

因为a=夜，所以ln“=；ln2=^=/(4),

又皿=?=〃e),e<4,所以〃e)>〃4),所以1昉>lna,故〃>。，

]_I11

因为6=/<」<后，又因为落[=*=：=；=1力6<1，

7。6323x3323467

故。=五>6，从而有c〉b,综上所述：a<b<c.

故选：B.

1n01

3.(2023・湖北武汉・统考三模)已知.“。产叱叫-(lnl.01)L°，*sin(in(1+cos1.01)),c=e*-^,则

a,b,c的大小关系为()

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】A

【分析】设〃x)=ln(l+x)-x(x>-l),对〃x)求导，得到〃x)的单调性的最值，结合对数函数和三角函

数的性质，即可证明bw(O,l),再证明c>l,令/=ln(lnl.01),通过指数和对数函数的运算性质可证明a=0,

即可得出答案.

【详解】设/(x)=ln(l+x)—无r(x)=^-l=^(x>-l),

当xe(-l,0)时,>0；当xe(0,4w)时,/(x)<0,

所以/'(x)在(TO)上单调递增，在(。,+8)上单调递减，

所以〃“4〃0)=0,所以ln(l+x)<x,

b=sin(ln(l+cosl.01)j<sin(cos1.01)<1,

又》=sin(in(1+cos1.01))>sin(in1)=sin0=0,贝[]be(0,1),

C=etan(sinl01)+1>1，所以6<C,

对于a=1.0严加⑼-(In1.01产“，令f=ln(lnl.01),则Inl.Ol-e',

此时。=1.01'—(3)"’“=1。1'一6|"|初'=1.01'—1.01'=0,

所以a<b<c.

故选：A.

【点睛】方法点睛：对于比较实数大小方法：

(1)利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断，

(2)利用中间值"1"或"0"进行比较，

(3)构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断.

4.(2023・湖北黄冈,潘水县第一中学校考模拟预测)设“一/)，_A,c=[,则()

Cl-VUh-C(J

A.a〈b〈cB.c<b<a

C.C<6Z<Z?D.a<c〈b

【答案】D

【分析】构造函数/(x)=x-l-lnx(x>0),根据导数探究单调性，即可判断。和c的大小；构造函数

g(x)=sinx-ln(l+x)fo<x<|j,再令/z(x)=g〈x),通过二次求导探究单调性，即可判断匕和c的大小.

【详解】由…e呜，10

CI—CU-V9

/111…建,

得ln〃=—,In/?=sin—,

1099

构造函数/(%)=%—1一山工(%>。)，贝lj/'(%)=,

当ra)=o时，x=i,

0<x<l时，r(x)<0,单调递减;

X>1时，/^)>0,f(x)单调递增,

“X)在尤=1处取最小值"1)=0,

x>0,%w1时％—1—ln%>0,x—1>lnx,即1—xv—In%,

取工=二9，得—m9—>1——9=1一,

10101010

••In—>—,Inc>Intz,即c>"；

910

设g(x)=sinx-ln(l+x)0<x<一

9

贝Ijgr(x)=cosx———,

x+1

令/i(x)=cosx--,〃(x)=_sinx+(十了,

因为当Ovxvl时，y=siwc-x,

/=cosx-l<0,y单调递减，

又X=O时，y=O,则》=5［皿一%<0,即sinxvx,

11

所以"O0=_sinx+(----7>—XH-----y

x+1)(x+1)'

因为当0<x<g<l时,>0

所以当0<x<[时，/?,(x)>0,函数网对单调递增,

又〃(0)=0,所以/z(x)>0,即g<x)>0,

所以当0<x<[时，函数晨元)单调递增，

所以g[]>g(°)=0，即sing>ln]l+gJ=lnT,

lnZ?>lnc,即b>c,

:.a<c<b.

故选：D

【点睛】关键点睛：本题考查构造函数，利用导函数探究单调性来比较大小，考查求导运算，属于中档题.

【基础过关】

一、单选题

1.(2023•浙江宁波•镇海中学校考模拟预测)已知xeR,贝V尤>0"是"2工<3"的()条件.

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分必要D.既不充分也不必要

【答案】C

【分析】根据指数函数单调性解不等式，进而根据充分、必要条件分析判断.

3

【详解】因为2，>0,贝UZ'vS"等价于1<

又因为y=在定义域内单调递增，贝也<（|］等价于无>。，

即2'<3”等价于0,故"x>0"是"2工<3工"的充要条件.

故选：C.

2.（2023•陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测）已知。=log2g,6=2；c=，1,则“，4c的大小关

系为（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<c<aD.c<b<a

【答案】B

【分析】根据指数函数、对数函数的性质比较大小.

【详解】因为a=log2；<0,6=2§>l,0<c=GJ<1，

所以avcvb,

故选B

3.（2023•广东珠海•珠海市第一中学校考模拟预测）已知〃=2,）=3*c=log。，0.5，则（）

A.b>a>cB.b>c>aC.a>b>cD.a>c>b

【答案】A

【分析】通过比较。，加的大小可得通过对数函数的单调性可得c<l,即可选出答案.

6362

【详解】va=2<b=3--■.^>a>l,0=log02l<c=log020.5<log020.2=l,:.b>a>c.

故选：A

4.（2023•河北石家庄•统考三模）已知函数同时满足性质：①"-x）=-〃x）；②对于VHwe（O,l）,

-〃无2）>。则函数/（X）可能是（）

A./（%）=el-e-B,小）=旧

C.f（x）=sin4xD./（x）=x2

【答案】A

【分析】由函数奇偶性和单调性的定义进行辨析即可.

【详解】由函数奇偶性的定义，若函数/（X）满足〃-x）=-〃x）,则函数“X）为奇函数，

由函数单调性的定义，若函数〃无）满足％则函数〃元）在区间（0,1）上单调

递增,

选项中四个函数定义域均为R,VxeR,都有-xeR

对于A,f(-x)=e-v-eY=-(e^-e­)=-f(x),故为奇函数，满足性质①，

l

0y=e^y=-e-=-Q均在R上单调递增，回〃司=6'—-在R上单调递增，满足性质②；

对于B,由指数函数的性质，/(x)=1gj为非奇非偶函数，在R上单调递减，性质①，②均不满足；

对于C,/(-x)=sin(-4%)=-sin4x=-/(x),故为奇函数，满足性质①，

*7T_,.7T_.“下/口7TkitJCklL

令---F2EW4%W—F2kn,左£Z,解传---1---<x«—I---，keZ,

228282

ITKTT7TKTV

回〃尤)的单调递增区间为-G++K，keZ,故〃尤)在(0,1)不单调，不满足性质②；

o2o2

对于D,由幕函数的性质，/(x)=f为偶函数，在区间[0,+。)单调递增，不满足性质①，满足性质②.

故选：A.

5.(2023•江西•校联考二模)草莓中有多种氨基酸、微量元素、维生素，能够调节免疫功能，增强机体免疫

力.草莓味甘、性凉，有润肺生津，健脾养胃等功效，受到众人的喜爱.根据草莓单果的重量，可将其从小到

大依次分为4个等级，其等级无(x=l,2,3,4)与其对应等级的市场销售单价y(单位：元/千克)近似满足函

数关系式〉=6皿。若花同样的钱买到的1级草莓比4级草莓多1倍，且1级草莓的市场销售单价为24元/千克,

则3级草莓的市场销售单价最接近()(参考数据：次R.26,次。1.59)

A.30.24元/千克B.33.84元/千克C.38.16元/千克D.42.64元/千克

【答案】C

4a+6

【分析】由指数运算，可得^^=63“=2,求得e3"的值.

e

4a+b

【详解】由题可知三=63。=2,，=啦，由e"+"=24,贝u

e

e3a+b=e2a-ea+b=24，"=24-^4«38.16.

故选：C.

6.(2023•北京东城,统考二模)设函数"x)=fl'〈a,若〃刈为增函数，则实数。的取值范围是()

[尤,x>a

A.(0,4]B.[2.4]

C.[2,+oo)D.[4,+»)

【答案】B

【分析】首先分析函数在各段函数的单调性，依题意可得。>0且结合y=Y与y=2*的函数图象

及增长趋势求出参数的取值范围.

【详解】因为/（》）=；'I，当4时/（X）=2,函数单调递增,

［X,x>a

又y=x?在（0,+s）上单调递增，在（-8,0）上单调递减，

要使函数/（X）为增函数，则a>0且422",

又函数y=V与y=2工在（0,+巧上有两个交点（2,4）和（4,16）,

且y=2、的增长趋势比y=/快得多，

所以当x>4时2,>/,当2Vx<4时无2>2",当0<x<2时2”>尤,,

所以2WaW4,即实数。的取值范围是⑵4］.

故选：B

二、填空题

（2尤r>0

7.（2023・上海•模拟预测）己知〃》）=,'八，则"X）的值域是_____；

［1,尤W。

【答案】［L—）

【分析】分段讨论〃尤）的范围即可.

【详解】当%>0时，根据指数函数的图象与性质知/（X）=2，>1,

当%<0时，/W=l.

综上