考点06 相似三角形（解析版）

考点六相似三角形知识点整合一、比例的相关概念及性质1．线段的比两条线段的比是两条线段的长度之比．2．比例中项如果eq\f(a,b)=eq\f(b,c)，即b2=ac，我们就把b叫做a，c的比例中项．3．比例的性质性质内容性质1=⇔ad=bc（a，b，c，d≠0）．性质2如果=，那么．性质3如果==…=（b+d+…+n≠0），则=（不唯一）．4.黄金分割如果点C把线段AB分成两条线段，使，那么点C叫做线段AC的黄金分割点，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做黄金比．二、相似三角形的判定及性质1．定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．2．性质（1）相似三角形的对应角相等；（2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．3．判定（1）有两角对应相等，两三角形相似；学_科网（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似；（4）两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．【方法技巧】判定三角形相似的几条思路：（1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定（1）；（2）条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定（1）]或再找夹边成比例[用判定（2）]；（3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；（4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；（5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．三、相似多边形1．定义2．性质（1）相似多边形的对应边成比例；（2）相似多边形的对应角相等；（3）相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方．四、位似图形1．定义如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比．2．性质（1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k；（2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比．3．找位似中心的方法将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心．4．画位似图形的步骤（1）确定位似中心；（2）确定原图形的关键点；（3）确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数；（4）作出原图形中各关键点的对应点；（5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．考向一比例线段及其性质1．比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．2．对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a∶b=c∶d（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．3．判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．典例引领1．若

，则．【答案】【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质．【详解】∵，∴设（），则，∴，∴，故答案为：．2．如图，已知直线分别交直线于点A、B、C，交直线交于点D、E、F，且，，则．【答案】6【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据题意，列出比例式进行求解即可．【详解】解：∵，，即∴，故答案为：6．3．如图，在矩形中，E，F分别为边的中点，分别与交于点P，Q．若，，则的长为．【答案】【分析】本题主要考查了平行线平行线分线段成比例定理，同时也利用了矩形的性质和全等三角形的判定和性质，如图，延长交于G，首先利用已知条件证明，然后利用勾股定理求出，也就求出，最后利用平行线的性质得到比例线段即可求出．【详解】解：如图，延长交于G，∵E为的中点，∴，∵四边形为矩形，∴，∴，而，∴，∴，∵E，F分别为边的中点，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故答案为：．4．若，则．【答案】/【分析】此题考查了比例的性质．根据比例设，则，然后代入比例式进行计算即可得答案．【详解】解：∵，设，则∴，故答案为：．5．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点都在横线上，若线段，则线段的长为．【答案】【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，过点A作于点F，交过点B的平行线于点E，交A的邻近平行线于点D，根据题意，，利用平行线分线段成比例定理计算即可，熟练掌握定理是解题的关键．【详解】解：如图，过点A作于点F，交过点B的平行线于点E，交A的邻近平行线于点D，根据题意，设，∴，∵，∴，∴，故答案为：．6．已知，则．【答案】4【分析】本题考查了利用等比性质和等式的性质化简求分式的值，明确等比性质和等式的性质是解题的关键．设，利用等比性质和等式的性质化简，可得，，再代入要求得式子计算即可．【详解】解：设，则，，，∴，故答案为：4．7．小薛同学在学习了浙教版九年级上册“4.1.3比例线段”课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．【答案】3【分析】本题考查了线段的比例中项，线段比例的计算，熟练掌握比例的性质是解题的关键．由可知，，则．【详解】解：当时，，理由如下：，，．故答案为：3．变式拓展8．已知，且，则的值为．【答案】/【分析】本题考查比例的性质，设，则，，根据，建立关于的等式并求解，即可解题．【详解】解：，设，则，，，，解得，．故答案为：．9．已知a，b，c为非零实数，且满足，则一次函数的图像一定经过象限．【答案】第一、第四【分析】本题考查了比例的性质、一次函数图象与系数的关系．直线所在的位置与、的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限；时，直线与轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与轴负半轴相交．根据比例的性质求得值，然后根据一次函数图象与系数的关系得出结论．【详解】解：由得：，①，②，③由①②③，得，（1）当时，；一次函数的解析式是：，该函数经过第一、三、四象限；（2）当时，，④将④代入②，得；又，，，一次函数的解析式是：，该函数经过第一、二、四象限；综上所述，一次函数一定经过的象限是第一、四象限．故答案为：第一、第四．10．如图，，它们依次交直线于点A，B，C和点D，E，F，若，则的值是．【答案】/【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例可得，代入即可求得答案．【详解】解：∵，∴又∵，∴，故答案为：．11．若，则的值为．【答案】/【分析】此题考查了比例的应用和分式的化简，根据比例设，且，再代入分式进行求解即可．【详解】解：∵，∴可设，且，∴，故答案为：12．若，则的值为．【答案】【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质．【详解】∵，∴设，（），∴，∴，故答案为：．13．如图，在中，点、分别为、的中点，点为中点，连接并延长交于点，则．【答案】【分析】本题考查了中位线的判定和性质，平行线分线段成比例定理；熟练掌握“三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”是解题的关键．根据中位线的判定和性质可得，，结合题意可得；根据平行线分线段成比例定理即可求解．【详解】解：∵点、分别为、的中点，∴为的中位线，∴，，∴点为中点，∴；又∵，∴，∴，则；∴．故答案为：．14．如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为．【答案】【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．过点作，交于，根据平行线分线段成比例定理得到等式，计算即可．【详解】解：过点作，交于，则，，，，．故答案为：．15．如图，直线．若则的长为．【答案】5.4【分析】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段可得对应线段成比例是解题的关键．由，得到，代入数据即可得到结果．【详解】解：∵，即：故答案为：5.4．考向二相似三角形1．相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；②相似三角形的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；③相似三角形的面积的比等于相似比的平方．由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．2．相似三角形的判定：①平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；②三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；③两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；④两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．典例引领1．如图，已知：在矩形中，，点E从点D出发沿方向以每秒1个单位的速度向点A运动，点F从点B出发沿射线以每秒3个单位的速度运动，当点E运动到点A时，E，F两点停止运动，连接，，交于点G交于点M，连接．

(1)当运动时间为2秒时，求证：；(2)求证：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、熟记相似三角形的判定方法是解本题的关键．（1）证明，，即可得到结论；（2）证明，，可得，再结合矩形的性质可得结论；【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，，，∴，，，，∴，当时，，，∴，∴；（2）∵，，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴；2．如图，在矩形中，点为的中点，连接，过点作，垂足为．

(1)求证：；(2)若，，求的长；(3)连接，求证：．【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)证明见解析．【分析】（）由四边形是矩形，得到，，从而有，根据得，即可求证；（）设，在中，，即，则，由，得出，求出的值即可求解；（）延长，交于点，证明，得，则．【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴；（2）设，在中，，∴，∴，∵，点为的中点，∴，∵，∴，∴，∵，且，∴，解得，∴；（3）证明：如图，延长，交于点，

∵，∴，，在和中，，∴，∴，∵，点是的中点，∴，∴．【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．3．如图，在四边形中，，对角线，相交于点，点在上，连接，，．(1)求证：；(2)求证：；(3)点是的中点，连接，若，画出图形，直接写出与满足的数量关系．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)图形见解析，【分析】（1）根据角的和差求出，根据三角形内角和定理求出，根据等腰三角形的性质得出，则，根据等腰三角形的判定定理即可得解；（2）利用“两角对应相等的两个三角形相似”推出，根据相似三角形的性质得出，则，结合，即可判定，根据相似三角形的性质得出，结合等边对等角即可得解；（3）在上截取，连接，过点作交于点，即可证明，根据全等三角形的性质得出，根据平行线的性质并结合题意求出，则，根据全等三角形的性质得出，根据三角形中位线的判定与性质求出，则，据此即可得解．【详解】（1），，即，，，，，，，；（2），，，，，又，，，由知，，，；（3），理由如下：如图，点是的中点，在上截取，连接，过点作交于点，，，，，，∵，，，，，又，，，，点是的中点，，，，．【点睛】此题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质等知识．4．如图，和是有公共顶点的直角三角形，，点为射线，的交点．(1)如图1，若和是等腰三角形，求证：；(2)如图2，若，问：（1）中的结论是否成立？请说明理由．(3)在（1）的条件下，，，若把绕点A旋转，当时，请直接写出的长度．【答案】(1)见解析(2)成立，见解析(3)或【分析】（1）依据等腰三角形的性质得到，，依据同角的余角相等得到，然后依据可证明，最后，依据全等三角形的性质可得到；（2）先判断出，即可得出结论；（3）分为点在上和点在的延长线上两种情况画出图形，然后再证明，最后依据相似三角形的性质进行证明即可．【详解】（1）解：和是等腰直角三角形，，，，．．．（2）（1）中结论成立，理由：在中，，，在中，，，．，，．；（3）①当点在上时，．，．同（1）可证．．，．．．．②当点在延长线上时，．，．同（1）可证．．，．．．．综上所述，的长为或．【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定，分类讨论，属于压轴题．5．（1）【问题发现】如图①，在中，，，D为的中点．以为一边作正方形．点E恰好与点A重合，则与的数量关系为______；（2）【拓展研究】在（1）的条件下，如果正方形绕点C旋转，连接，，．与的数量关系是否会发生变化？请仅就图②的情形给出证明；（3）【问题解决】当正方形旋转到B，E，F三点共线时，求线段的长．【答案】（1）；（2）与的数量关系不会发生变化；证明见解析．（3）或；【分析】（1）本题考查勾股定理，正方形的性质，根据勾股定理直接求出，从而得到，结合正方形的性质即可得到即可得到答案；（2）本题考查解直角三角形的应用及相似三角形判定与性质，根据解直角三角形得到，即可得到，即可得到答案；（3）本题考查勾股定理的应用及线段的加减，根据题意分点在线段上，当点在线段的延长线上两类讨论求解即可得到答案；【详解】解：（1），理由如下，在中，，根据勾股定理，得，为的中点，，四边形是正方形，，，；（2）与的数量关系不会发生变化，证明：在中，，，，，中，，，又，，即，，，，与的数量关系不会发生变化；（3）①当点在线段上时，如题图②．由题意可知，，在中，，，根据勾股定理，得，，由（2）知，；②当点在线段的延长线上时，．同理可得，

，由（2）知，，综上所述，当正方形旋转到B，E，F三点共线时，线段的长为或．6．如图，已知，求证：．【答案】见解析【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，由题意得出，，，则，可证得结论；掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．【详解】∵，∴，，∴，，∴，∴．变式拓展7．如图，中，于点E，点F在的延长线上，且，连接，．

(1)求证：四边形是矩形：(2)若，，，求的值．【答案】(1)详见解析(2)【分析】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是：（1）先证明四边形是平行四边形，再证明即可；（2）根据矩形的性质得到，，证明，再根据相似三角形性质计算即可．【详解】（1）解：证明：，．即．在中，且，且．四边形是平行四边形．，．四边形是矩形；（2）四边形是矩形，，，，，，，，，．8．如图，在四边形中，点，分别在，上，连接并延长交的延长线于点，，．(1)证明：；(2)若，，，求的长度．【答案】(1)见解析；(2)．【分析】（）根据三角形内角和定理及平角的定义推出，根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得解；（）根据相似三角形的判定与性质求解即可．此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．【详解】（1）证明：∵，，，∴，又，∴；（2）∵，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，，∴，∵，∴，又，∴，∴，即，∴，∴．9．如图，在四边形中，，点E在上，．(1)求证：；(2)若，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质；（1）由及可得，从而可得这两个直角三角形相似；（2）由相似三角形的性质即可求出，进而求得的长．【详解】（1）证明：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．（2）解：∵，∴，即，∴，∴．10．如图，在中，是边上的高．(1)求证：；(2)若，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先根据是边上的高，得，再因为另外一组角是公共角，对应相等，即可作答．（2）先根据勾股定理求出的值，再由等面积法求出的值，在中根据勾股定理建立等式，代数计算即可作答．【详解】（1）证明：∵，∴．∵，∴∵，∴；（2）解：∵∴，∵∴∴∵，∴在中，．11．如图，点D为边上一点．求证：．【答案】见解答过程【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握“如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似”是解题关键．根据“如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似”即可证明结论．【详解】解：∵，∴，∴，，∴，又∵，∴