考点05 反比例函数的图像和性质（原卷版）

考点五反比例函数的图像和性质知识点整合一、反比例函数的概念1．反比例函数的概念一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．2．反比例函数（k是常数，k0）中x，y的取值范围反比例函数（k是常数，k≠0）的自变量x的取值范围是不等于0的任意实数，函数值y的取值范围也是非零实数．二、反比例函数的图象和性质1．反比例函数的图象与性质（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．（2）性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．表达式（k是常数，k≠0）kk>0k<0大致图象所在象限第一、三象限第二、四象限增减性在每个象限内，y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大2．反比例函数图象的对称性反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点．3．注意（1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点．（2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永远不与坐标轴相交，因为反比例函数中x≠0且y≠0．（3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．三、反比例函数解析式的确定1．待定系数法确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤（1）设反比例函数解析式为（k≠0）；（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；（3）解这个方程求出待定系数k；（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．四、反比例函数中|k|的几何意义1．反比例函数图象中有关图形的面积2．涉及三角形的面积型当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|；（2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；（3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．五、反比例函数与一次函数的综合1．涉及自变量取值范围型当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围.例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的取值范围为或．2．求一次函数与反比例函数的交点坐标（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定.①k值同号，两个函数必有两个交点；②k值异号，两个函数可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点；（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．考向一反比例函数的定义1．反比例函数的表达式中，等号左边是函数值y，等号右边是关于自变量x的分式，分子是不为零的常数k，分母不能是多项式，只能是x的一次单项式．2．反比例函数的一般形式的结构特征：①k≠0；②以分式形式呈现；③在分母中x的指数为-1典例引领1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（

）A． B． C． D．2．下列函数中，是反比例函数的是（

）A． B． C． D．3．已知反比例函数的图象经过点与），则的值为（

）A． B．4 C． D．8变式拓展4．若函数是反比例函数，则．5．已知是反比例函数，则．6．如果点是反比例函数图象上一点，那么．7．若是关于的反比例函数，则常数．考向二反比例函数的图象和性质当k>0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内，y随x的增大而减小．当k<0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内，y随x的增大而增大．双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）．典例引领1．我们知道函数的图象可以由反比例函数的图象左右平移得到，下列关于的图象的性质：①的图象可以由的图象向右平移3个单位长度得到；②的图象关于点对称；③的图象关于直线对称；④若，根据图象可知，的解集是．其中正确的是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．①②④2．如图，点和点是反比例函数的一个分支上的两点，且点B在点A的右侧，则下列说法中，不正确的是（

）A．该反比例函数解析式B．矩形的面积为2C．该反比例函数的另一个分支在第三象限，且y随x的增大而增大D．b的取值范围是3．点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．4．反比例函数的图象在每个象限内，函数随的增大而减小，则的值可以()A．3 B．2 C．1 D．0变式拓展5．已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．6．当反比例函数的自变量满足时，函数值满足，则的值为（

）A． B．或2 C．或 D．2或二、填空题7．在平面直角坐标系中，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，若点的坐标为，则点的坐标为．三、解答题8．小明在实验课上做了一个试验．如图，在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘（可左右移动）中放置一个装水的容器，容器的质量为．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录容器中加入的水的质量，得到下表：托盘与点的距离3025201510容器与水的总质量1012152030加入的水的质量57101525把上表中的与各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的关于的函数图象．(1)请在该平面直角坐标系中作出关于的函数图象；(2)观察函数图象，并结合表中的数据：①猜测与之间的函数关系，并求关于的函数表达式；②求关于的函数表达式；③当时，随的增大而______（填“增大”或“减小”），随的增大而______（填“增大”或“减小”），的图象可以由的图象向______（填“上”或“下”）平移得到．(3)若在容器中加入的水的质量满足，求托盘与点的距离的取值范围．考向三反比例函数解析式的确定1．反比例函数的解析式（k≠0）中，只有一个待定系数k，确定了k值，也就确定了反比例函数，因此要确定反比例函数的解析式，只需给出一对x，y的对应值或图象上一个点的坐标，代入中即可．2．确定点是否在反比例函数图象上的方法：（1）把点的横坐标代入解析式，求出y的值，若所求值等于点的纵坐标，则点在图象上；若所求值不等于点的纵坐标，则点不在图象上．（2）把点的横、纵坐标相乘，若乘积等于k，则点在图象上，若乘积不等于k，则点不在图象上．典例引领1．如图，点在函数的图像上，将该函数图像向上平移3个单位长度得到一条新的曲线，点的对应点分别为．若图中阴影部分的面积为9，则的值为．2．如图，矩形的边与y轴平行，顶点B的坐标为，，反比例函数的图象同时经过点A与点C，则k的值为．3．如图，正方形的顶点A，B在x轴上，点，正方形的对称中心为点M．已知反比例函数的图像经过点M，则该反比例函数的表达式为．4．如图所示，设C为反比例函数图象上一点，且长方形的面积为5，则这个反比例函数的解析式为．变式拓展5．已知反比例函数的图象经过点，且函数图象过第一象限的两点，，若，则，的取值范围为．6．已知是关于的反比例函数，当时，．则这个函数的表达式为．7．在平面直角坐标系内，如图，矩形的点，在轴正半轴上，是的中点，是边上一点，反比例函数经过点．若，，，则的值为．8．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，连接，过A点作双曲线交线段于点D（不与点B、C重合），已知，若，则a的取值范围是．考向四反比例函数中k的几何意义三角形的面积与k的关系（1）因为反比例函数中的k有正负之分，所以在利用解析式求矩形或三角形的面积时，都应加上绝对值符号．（2）若三角形的面积为|k|，满足条件的三角形的三个顶点分别为原点，反比例函数图象上一点及过此点向坐标轴所作垂线的垂足．典例引领1．如图，反比例函数图象过第二象限内一点P，过点P的直线分别交x轴，y轴于点A，B，轴于点C，轴于点D，若，则k的值为（）A． B．6 C． D．10二、填空题2．如图，面积为的的斜边在轴上，，反比例函数图象恰好经过点，则的值为．3．如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴，点在轴正半轴上，若的面积为，则的值为．变式拓展4．如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形的两条邻边，分别在轴正半轴和轴正半轴上，点为正方形的中心，反比例函数的图象过点且交边于点，连接，．（1）用含的代数式表示的值为（2）若，则的值为三、解答题5．已知反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点，与另一个正比例函数的图象相交于点，其中点在第一象限．若四边形的面积为24，求点的坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，等腰三角形的底边在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，延长交轴于点，若，的面积为，求的值．7．经过点，过点作轴于点，且的面积为5．(1)求和的値；(2)当时，求函数值的取值范围．考向五反比例函数与一次函数的综合反比例函数与一次函数综合的主要题型：（1）利用k值与图象的位置的关系，综合确定系数符号或图象位置；（2）已知直线与双曲线表达式求交点坐标；（3）用待定系数法确定直线与双曲线的表达式；（4）应用函数图象性质比较一次函数值与反比例函数值的大小等．解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答问题．典例引领1．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点A作轴，交反比例函数的图象于点C，过点C作轴于点D，与直线交于点E．

（1）若，，则；（2）若，则b与k的数量关系是．2．如图，直线与反比例函数的图象相交于点，与反比例函数的图象相交于点，若，则的值为．二、解答题3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．(1)求反比例函数与一次函数的函数表达式；(2)连接，求的面积；(3)请结合图象直接写出不等式的解集．4．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与轴交于点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)设为线段上的一个动点（不包括，两点），过点作轴交反比例函数图象于点，当的面积最大时，求点的坐标．变式拓展5．已知点是一次函数和反比例函数图象的两个交点．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)求的面积；(3)观察图象，直接写出不等式的解集．6．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和，与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为．(1)求一次函数和反比例函数的关系式；(2)若点是点关于轴的对称点，求的面积．7．如图，在等腰中，，，D为上一点，，动点P从点A出发，沿着方向运动至点B处停止．连接、，设点P的运动路程为x，的面积为y．(1)直接写出y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；(2)请在图2中画出函数y的图像，并写出该函数的一条性质；(3)图2中已经画出在第一象限的图像，根据函数图像，直接写出当时，自变量x的取值范围（保留一位小数）．8．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点．已知，．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求的面积；(3)请结合图象直接写出当，时自变量x的取值范围．9．如图1，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点与轴交于点．(1)求a，k的值．(2)利用图像信息，直接写出不等式的解集(3)如图2，直线过点，与反比例函数图像交于点，与轴交于点．连接，求的面积．10．如图，一次函数与反