2024-2025学年新教材高中数学模块检测含解析新人教A版选择性必修第一册

PAGEPAGE11模块综合检测(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线eq\r(3)x＋3y－3＝0的倾斜角为()A．－30° B．30°C．120° D．150°解析：选D设直线的倾斜角为α，因为直线eq\r(3)x＋3y－3＝0的斜率k＝tanα＝－eq\f(\r(3),3)，所以倾斜角α＝150°.故选D.2．已知直线l过点P(－1，eq\r(3))，圆C：x2＋y2＝4，则直线l与圆C的位置关系是()A．相切 B．相交C．相切或相交 D．相离解析：选C因为P(－1，eq\r(3))在圆C上，所以直线l与圆C相切或相交，故选C.3．若双曲线C1：eq\f(x2,2)－eq\f(y2,8)＝1与C2：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4eq\r(5)，则b＝()A．2 B．4C．6 D．8解析：选B由题意得，eq\f(b,a)＝2⇒b＝2a.①因为C2的焦距2c＝4eq\r(5)，所以c＝eq\r(a2＋b2)＝2eq\r(5).②联立①②，得b＝4，故选B.4．直线x－2y＋2＝0关于直线x＝1对称的直线方程是()A．x＋2y－4＝0 B．2x＋y－1＝0C．2x＋y－3＝0 D．2x＋y－4＝0解析：选A法一：设P(x，y)为所求直线上的点，该点关于直线x＝1的对称点为(2－x，y)，且该对称点在直线x－2y＋2＝0上，代入可得x＋2y－4＝0.故选A.法二：直线x－2y＋2＝0与直线x＝1的交点为Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，则所求直线过点P.因为直线x－2y＋2＝0的斜率为eq\f(1,2)，所以所求直线的斜率为－eq\f(1,2)，故所求直线的方程为y－eq\f(3,2)＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－4＝0.故选A.5.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若点P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是()A．直线 B．圆C．双曲线 D．抛物线解析：选D∵P到直线BC与直线C1D1的距离相等，又ABCD­A1B1C1D1是正方体，∴D1C1⊥侧面BCC1B1.∴D1C1⊥PC1，∴PC1为点P到直线D1C1的距离，即PC1等于点P到直线BC的距离，由圆锥曲线的定义知，动点P的轨迹所在的曲线是抛物线．6．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3，4)，则此双曲线的方程为()A.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1 B.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1 D.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1解析：选C以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝c2，又因为点(3，4)在圆上，所以32＋42＝c2，所以c＝5，双曲线的一条渐近线方程为y＝eq\f(b,a)x，且点(3，4)在这条渐近线上，所以eq\f(b,a)＝eq\f(4,3)，又a2＋b2＝c2＝25，解得a＝3，b＝4，所以双曲线的方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1，故选C.7．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过点F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为()A．y＝x－1或y＝－x＋1B．y＝eq\f(\r(3),3)(x－1)或y＝－eq\f(\r(3),3)(x－1)C．y＝eq\r(3)(x－1)或y＝－eq\r(3)(x－1)D．y＝eq\f(\r(2),2)(x－1)或y＝－eq\f(\r(2),2)(x－1)解析：选C由抛物线方程y2＝4x知焦点F(1，0)，准线x＝－1，由题可设直线l：x＝my＋1，代入y2＝4x中消去x，得y2－4my－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由根与系数的关系得，y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.设y1>0>y2，∵|AF|＝3|BF|，∴y1＝－3y2，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y1y2＝－4，,y1＝－3y2，))解得y2＝－eq\f(2,\r(3))，∴y1＝2eq\r(3).∴m＝eq\f(y1＋y2,4)＝eq\f(\r(3),3)，∴直线l的方程为x＝eq\f(\r(3),3)y＋1.由对称性知，这样的直线有两条，即y＝±eq\r(3)(x－1)．8．抛物线M：y2＝4x的准线与x轴相交于点A，点F为焦点，若抛物线M上一点P满意PA⊥PF，则以F为圆心且过点P的圆被y轴所截得的弦长约为(参考数据：eq\r(5)≈2.24)()A.eq\r(2.4) B.eq\r(2.3)C.eq\r(2.2) D.eq\r(2.1)解析：选D由题意知，A(－1，0)，F(1，0)，点P在以AF为直径的圆O：x2＋y2＝1上．设点P的横坐标为m，联立圆O与抛物线的方程得x2＋4x－1＝0，∵m＞0，∴m＝－2＋eq\r(5)，∴点P的横坐标为－2＋eq\r(5)，∴|PF|＝m＋1＝－1＋eq\r(5)，∴圆F的方程为(x－1)2＋y2＝(eq\r(5)－1)2，令x＝0，可得y＝±eq\r(5－2\r(5))，设圆F与y轴相交于D，E两点，∴|ED|＝2eq\r(5－2\r(5))≈2eq\r(5－2×2.24)≈eq\r(2.1).故选D.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．下列说法中，正确的有()A．直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点(3，2)B．直线y＝3x－2在y轴上的截距为2C．直线x－eq\r(3)y＋1＝0的倾斜角为30°D．点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离为7解析：选ACD对于A，化简得直线y＝a(x－3)＋2，故直线必过定点(3，2)，故A正确；对于B，直线y＝3x－2在y轴上的截距为－2，故B错误；对于C，直线x－eq\r(3)y＋1＝0的斜率为eq\f(\r(3),3)，故倾斜角θ满意tanθ＝eq\f(\r(3),3)，又0°≤θ<180°，则θ＝30°，故C正确；对于D，因为直线x＝－2垂直于x轴，故点(5，－3)到直线x＝－2的距离为5－(－2)＝7，故D正确．故选A、C、D.10．已知P，Q分别为圆M：(x－6)2＋(y－3)2＝4与圆N：(x＋4)2＋(y－2)2＝1上的动点，A为x轴上的动点，则|AP|＋|AQ|的值可能是()A．7 B．8C．9 D．10解析：选CD圆N：(x＋4)2＋(y－2)2＝1，关于x轴对称的圆为圆N′：(x＋4)2＋(y＋2)2＝1，则|AP|＋|AQ|的最小值为|MN′|－1－2＝eq\r(102＋52)－3＝5eq\r(5)－3，又5eq\r(5)－3≈8.2，故选C、D.11．已知两点A(－5，0)，B(5，0)，若直线上存在点P，使|PA|－|PB|＝6，同时存在点Q，使|QB|－|QA|＝6，则称该直线为“一箭双雕线”，给出下列直线，其中为“一箭双雕线”的是()A．y＝x＋1 B．y＝2C．y＝eq\f(4,3)x D．y＝2x解析：选AB由题意知，满意条件的直线应与双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的左、右两支分别相交，双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(4,3)x，∵选项A：y＝x＋1，斜率k＝1，直线与双曲线的左、右两支分别相交，选项B：y＝2，斜率为0，直线与双曲线的左、右两支分别相交，∴A、B满意题意．12．已知O是坐标原点，A，B是抛物线y＝x2上不同于O的两点，OA⊥OB，下列四个结论中，全部正确的结论是()A．|OA|·|OB|≥2B．|OA|＋|OB|≥2eq\r(2)C．直线AB过抛物线y＝x2的焦点D．O到直线AB的距离小于等于1解析：选ABD设A(x1，xeq\o\al(2,1))，B(x2，xeq\o\al(2,2))，由OA⊥OB，则eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，即x1x2(1＋x1x2)＝0，所以x2＝－eq\f(1,x1).对于A，|OA|·|OB|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)（1＋xeq\o\al(2,1)）·\f(1,xeq\o\al(2,1))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,xeq\o\al(2,1)))))＝eq\r(1＋xeq\o\al(2,1)＋\f(1,xeq\o\al(2,1))＋1)≥2.当且仅当x1＝±1时取等号，正确；对于B，|OA|＋|OB|≥2eq\r(|OA|·|OB|)≥2eq\r(2)，正确；对于C，直线AB的方程为y－xeq\o\al(2,1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1－\f(1,x1)))(x－x1)，不过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))，错误；对于D，原点到直线AB：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1－\f(1,x1)))x－y＋1＝0的距离d＝eq\f(1,\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1－\f(1,x1)))\s\up12(2)＋1))≤1，正确．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．经过原点O有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段恰好被点O平分，则直线l的方程为________．解析：假如直线l的斜率不存在，那么直线l的方程为x＝0，不符合题意．∴设直线l的方程为y＝kx，由题意知直线l与直线l1，直线l2互不平行，∴k≠－1，且k≠2.联立直线l与l1的方程，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx，,2x－y－2＝0，))可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,2－k)，,y＝\f(2k,2－k)，))联立直线l与l2的方程，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx，,x＋y＋3＝0，))可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(3,k＋1)，,y＝－\f(3k,k＋1).))由题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(2,2－k)－\f(3,k＋1)＝0，,\f(2k,2－k)－\f(3k,k＋1)＝0，))解得k＝eq\f(4,5)，此时直线l的方程为y＝eq\f(4,5)x.综上，直线l的方程为y＝eq\f(4,5)x.答案：y＝eq\f(4,5)x14．若圆C经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________．解析：由已知可设圆心为(2，b)，由22＋b2＝(1－b)2＝r2，得b＝－eq\f(3,2)，r2＝eq\f(25,4).故圆C的方程为(x－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(25,4).答案：(x－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(25,4)15．已知椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1与动直线l：y＝eq\f(3,2)x＋m相交于A，B两点，则实数m的取值范围为________；设弦AB的中点为M(x，y)，则动点M的轨迹方程为________．解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,2)x＋m，,\f(x2,4)＋\f(y2,9)＝1，))得18x2＋12mx＋4m2－36＝0，Δ＝144m2－4×18(4m2－36)＞0，所以－3eq\r(2)＜m＜3eq\r(2).设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋x2,2)＝－\f(m,3)，,y＝\f(y1＋y2,2)＝\f(3,4)（x1＋x2）＋m＝\f(m,2)，))可得3x＋2y＝0.答案：(－3eq\r(2)，3eq\r(2))3x＋2y＝0，x∈[－eq\r(2)，eq\r(2)]16．在三棱锥O­ABC中，已知OA，OB，OC两两垂直且相等，点P，Q分别是线段BC和OA上的动点，且满意BP≤eq\f(1,2)BC，AQ≥eq\f(1,2)AO，则PQ和OB所成角的余弦的取值范围是________．解析：依据题意，以O为坐标原点，分别以OA，OB，OC所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设OA＝OB＝OC＝1，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，P(0，b，1－b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤b≤1))，Q(a，0，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤a≤\f(1,2))).eq\o(QP,\s\up6(→))＝(－a，b，1－b)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(0，1，0)，所以cos〈eq\o(QP,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(QP,\s\up6(→))·\o(OB,\s\up6(→)),|\o(QP,\s\up6(→))||\o(OB,\s\up6(→))|)＝eq\f(b,\r(a2＋b2＋（1－b）2))＝eq\f(1,\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－1))\s\up12(2)＋1)).因为eq\f(a,b)∈[0，1]，eq\f(1,b)∈[1，2]，所以当a＝0，b＝1时，cos〈eq\o(QP,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))〉＝1取得最大值；当a＝eq\f(1,2)＝b时，cos〈eq\o(QP,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))〉＝eq\f(\r(3),3)取得最小值，所以PQ和OB所成角的余弦的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1)).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知圆C：x2＋y2＋2x－3＝0，直线l1与圆C相交于不同的两点A，B，M(0，1)是线段AB的中点．(1)求直线l1的方程；(2)若l2与l1平行，且l2与圆C相交于不同的两点E，F(l2不经过圆心C)，求△CEF的面积S的最大值？解：(1)圆C：x2＋y2＋2x－3＝0可化为(x＋1)2＋y2＝4，则C(－1，0)，而M(0，1)是弦AB的中点，所以l1⊥CM，所以直线l1的斜率为－1，则直线l1的方程为y＝－x＋1.(2)设直线l2的方程为y＝－x＋b，即x＋y－b＝0，则点C(－1，0)到l2的距离d＝eq\f(|－1－b|,\r(2))＝eq\f(|1＋b|,\r(2))＜2，所以|EF|＝2eq\r(4－d2)，所以△CEF的面积S＝eq\f(1,2)×d×2eq\r(4－d2)＝eq\r(（4－d2）d2)≤eq\f(（4－d2）＋d2,2)＝2，当且仅当4－d2＝d2，即d＝eq\r(2)时，△CEF的面积S最大，最大面积为2.18．(本小题满分12分)中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2eq\r(13)，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求椭圆和双曲线的方程；(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．解：(1)由题知c＝eq\r(13)，设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，双曲线方程为eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－m＝4，,7×\f(\r(13),a)＝3×\f(\r(13),m)，))解得a＝7，m＝3.则b＝6，n＝2.故椭圆方程为eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,36)＝1，双曲线方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1.(2)不妨设F1，F2分别为椭圆与双曲线的左、右焦点，P是第一象限的交点，则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，所以|PF1|＝10，|PF2|＝4.又|F1F2|＝2eq\r(13)，所以cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)＝eq\f(102＋42－（2\r(13)）2,2×10×4)＝eq\f(4,5).19．(本小题满分12分)等边△ABC的边长为3，点D，E分别是AB，AC上的点，且满意eq\f(AD,DB)＝eq\f(CE,EA)＝eq\f(1,2)(如图①)，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1­DE­B成直二面角，连接A1B，A1C(如图②)．(1)求证：A1D⊥平面BCED；(2)在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：题图①中，由已知可得：AE＝2，AD＝1，A＝60°.从而DE＝eq\r(12＋22－2×1×2×cos60°)＝eq\r(3).故得AD2＋DE2＝AE2，所以AD⊥DE，BD⊥DE.所以题图②中，A1D⊥DE，又平面ADE∩平面BCED＝DE，A1D⊥DE，A1D⊂平面A1DE，所以A1D⊥平面BCED.(2)存在．由(1)知ED⊥DB，A1D⊥平面BCED.以D为坐标原点，以射线DB，DE，DA1分别为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系D­xyz，如图，过P作PH∥DE交BD于点H，设PB＝2a(0≤2a≤3)，则BH＝a，PH＝eq\r(3)a，DH＝2－a，易知A1(0，0，1)，P(2－a，eq\r(3)a，0)，E(0，eq\r(3)，0)，所以eq\o(PA1,\s\up6(→))＝(a－2，－eq\r(3)a，1)．因为ED⊥平面A1BD，所以平面A1BD的一个法向量为eq\o(DE,\s\up6(→))＝(0，eq\r(3)，0)，因为直线PA1与平面A1BD所成的角为60°，所以sin60°＝eq\f(|\o(PA1,\s\up6(→))·\o(DE,\s\up6(→))|,|\o(PA1,\s\up6(→))||\o(DE,\s\up6(→))|)＝eq\f(3a,\r(4a2－4a＋5)×\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，解得a＝eq\f(5,4).所以PB＝2a＝eq\f(5,2)，满意0≤2a≤3，符合题意．所以在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°，此时PB＝eq\f(5,2).20．(本小题满分12分)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为eq\f(3,2)的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；(2)若eq\o(AP,\s\up6(→))＝3eq\o(PB,\s\up6(→))，求|AB|.解：设直线l：y＝eq\f(3,2)x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)由题设得Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0))，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋eq\f(3,2)，由题设可得x1＋x2＝eq\f(5,2).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x))可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，则x1＋x2＝－eq\f(12（t－1）,9)，从而－eq\f(12（t－1）,9)＝eq\f(5,2)，解得t＝－eq\f(7,8).所以l的方程为y＝eq\f(3,2)x－eq\f(7,8).(2)由eq\o(AP,\s\up6(→))＝3eq\o(PB,\s\up6(→))可得y1＝－3y2.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x))可得y2－2y＋2t＝0.所以y1＋y2＝2.从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.代入C的方程得x1＝3，x2＝eq\f(1,3).故|AB|＝eq\f(4\r(13),3).21．(本小题满分12分)如图，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF＝AD＝2DE＝2.(1)求证：EF⊥平面BAF；(2)若平面ABF与平面DBF夹角的余弦值为eq\f(\r(2),4)，求AB的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD为矩形，∴BA⊥AD，∵平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF＝AD，BA⊂平面ABCD，∴BA⊥平面ADEF.又EF⊂平面ADEF，∴BA⊥EF.又AF⊥EF，且AF∩BA＝A，∴EF⊥平面BAF.(2)设AB＝x(x＞0)．以F为坐标原点，AF，FE所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则F(0，0，0)，E(0，eq\r(3)，0)，D(－1，eq\r(3)，0)，B(－2，0，x)，∴eq\o(DF,\s\up6(→))＝(1，－eq\r(3)，0)，eq\o(BF,\s\up6(→))＝(2，0，－x)．由(1)知EF⊥平面ABF，∴平面ABF的一个法向量可取n1＝(0，1，0)．设n2＝(x1，y1，z1)为平面DBF的一个法向量，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n2·\o(BF,\s\up6(→))＝0，,n2·\o(DF,\s\up6(→