广东省深圳市某校2025届高三练习题（二）数学试题（含解析）

广东省深圳市罗湖外语学校2025届高三练习题(二)数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知S“是等差数列｛a“｝的前〃项和，4+。2=3，%+%=4,则S]o=()

8535

A.85B.—C.35D.—

22

2.设命题“存在相＞0,使方程必+x-m=0有实根”的否定是()

A.任意机＞0,使方程f+%一m=0无实根

B.任意机＜0,使方程—m=0有实根

C.存在机＞0,使方程炉+x—加=0无实根

D.存在机＜0,使方程/+工―加=0有实根

2222C

3.已知a＞b＞0,椭圆G的方程与+==1,双曲线C的方程为与-4=1,G和02的离心率之积为里，则

a2b2a2扩2

C2的渐近线方程为()

A.x+42y=QB.后土y=0C.x±2y=0D.2x±y=0

4.已知函数/(%)=小皿g+0)(4＞0,0＞0,|同＜3)的部分图象如图所示，且/(a+x)+/(a—x)=0,贝山|

的最小值为()

71

B.~6

5兀

D.

12

5.某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成,

则该几何体的体积为()

△ZX

正视用创观圉

A.8+B.8+^^C.4+^^D.4+^^

3333

6.设向量心5满足同=2,M=l,卜f)=60。，则K+回的取值范围是

A.[后,+00)B.[6,+oo)

C.[行,6]D.[73,6]

7.函数丁=/(幻(》6火)在(-8,1]上单调递减，且/(%+1)是偶函数，若/(2%-2)>/(2),则x的取值范围是

()

A.(2,+co)B.(-co,1)U(2,+co)

C.(1,2)D.(-oo,1)

8.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为

V2V24

9.已知双曲线与-a=1的一条渐近线方程为y=]X,则双曲线的离心率为()

10.5G网络是一种先进的高频传输技术，我国的5G技术发展迅速，已位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了

一款5G手机，现调查得到该款5G手机上市时间x和市场占有率y(单位：%)的几组相关对应数据.如图所示的折

线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根据数据得出V关于x的线性回归

方程为y=0.042x+a.若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5G手机市场占有率

能超过0.5%(精确到月)()

A.2020年6月B.2020年7月C.2020年8月D.2020年9月

11.已知函数/(%)=及1,若对于任意的/e(0,e],函数8(%)=111*-％2+依一/(%)+1在(。，6]内都有两个不

同的零点，则实数。的取值范围为()

2222

A.(1,c\B.(e,e]C.(e—]D.(1,c]

e

n3

12.设a为锐角，若cosCtH----=--,贝!Jsin2a的值为()

4

~25

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.函数/(x)=cos2x的最小正周期是,单调递增区间是.

14.某大学A、B、C、。四个不同的专业人数占本校总人数的比例依次为3.2%、4.8%、4%、5.2%,现欲采用

分层抽样的方法从这四个专业的总人数中抽取129人调查毕业后的就业情况，则。专业应抽取人.

15.有以下四个命题：①在AABC中，A>5的充要条件是sinA>sin5；②函数y=/(%)在区间(1,2)上存在零点

的充要条件是/(1>/(2)<0；③对于函数y=/(%),若/'(2)=/(—2),则Ax)必不是奇函数；④函数y=/(l—x)

与y=/(I+x)的图象关于直线x=1对称.其中正确命题的序号为.

16.满足约束条件I无I+21y|W2的目标函数2=丁一%的最小值是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知椭圆C：三+卓=1(。〉6〉0)的离心率为存，且过点。,亭)♦

(I)求椭圆C的方程;

(II)设Q是椭圆C上且不在X轴上的一个动点，。为坐标原点，过右焦点厂作。。的平行线交椭圆于M、N两个

|MN|

不同的点，求的值.

|0Q|2

18.(12分)如图，在直三棱柱ABC—451G中，CA=CB,点P,。分别为A片,CG的中点.求证:

(1)尸。//平面ABC；

(2)平面A551A.

19.(12分)如图，在四面体。ABC中，AB±BC,DA=DC=DB.

(1)求证:平面ABC，平面AC。；

(2)若AZ)=2,AB=2BC,ZCAD=3Q°,求四面体ABC。的体积.

20.(12分)如图，三棱台ABC—£FG的底面是正三角形，平面ABC,平面BCGb,CB=2GF,BF=CF.

(1)求证：AB±CGt

⑵若BC=CF,求直线AE与平面BEG所成角的正弦值.

21.(12分)在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长

X—y/3—tn

度单位.已知直线1的参数方程为广。为参数），曲线C的极坐标方程为p=4sin（0+£）.

y=l+y/3t3

（1）求直线1的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

（2）若直线1与曲线C交于M,N两点，求AMON的面积.

22_

22.（10分）已知椭圆C：5+==1（。〉6〉0）的长半轴长为夜，点（Le）（e为椭圆。的离心率）在椭圆C上.

ab’

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）如图，P为直线％=2上任一点，过点P椭圆。上点处的切线为K4,PB,切点分别A,B,直线x=a与直

线Q4,P5分别交于"，N两点，点M,N的纵坐标分别为小，n,求加〃的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

将已知条件转化为的形式，求得q,d,由此求得510.

【详解】

L,5

2a1,+d=-3371385

设公差为d,贝I2,所以2d=1,d=Lq=—,S10=10a1+-xl0x9x-=—.

2q+3d=4248242

故选：B

本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等差数列前〃项和的计算，属于基础题.

2.A

【解析】

只需将“存在”改成“任意”，有实根改成无实根即可.

【详解】

由特称命题的否定是全称命题，知“存在切＞0,使方程f+%—根=0有实根”的否定是

“任意切＞0,使方程+%—根=0无实根”.

故选：A

本题考查含有一个量词的命题的否定，此类问题要注意在两个方面作出变化：1.量词，2.结论，是一道基础题.

3.A

【解析】

根据椭圆与双曲线离心率的表示形式，结合G和C的离心率之积为走，即可得。力的关系，进而得双曲线的离心率

一2

方程.

【详解】

2222

椭圆G的方程三+匕=1，双曲线G的方程为三—£=1，

则椭圆离心率G双曲线的离心率4

aa

由a和c2的离心率之积为B,

一2

gnyja2-b2yja2+b26

=---x------------=——'

aa2

解得9=±也，

a2

所以渐近线方程为y=±交x，

-2

化简可得x土也y=0,

故选：A.

本题考查了椭圆与双曲线简单几何性质应用，椭圆与双曲线离心率表示形式，双曲线渐近线方程求法，属于基础题.

4.A

【解析】

a是函数/(元)的零点，根据五点法求出图中零点及V轴左边第一个零点可得.

【详解】

311TTTTTCTC5冗

由题意2T-上，7=%，...函数AM在y轴右边的第一个零点为一+—=——，在y轴左边第一个零点是

41266412

717171

.♦.同的最小值是普

故选：A.

本题考查三角函数的周期性，考查函数的对称性.函数/(x)=Asin(or+e)的零点就是其图象对称中心的横坐标.

5.A

【解析】

由题意得到该几何体是一个组合体，前半部分是一个高为底面是边长为4的等边三角形的三棱锥，后半部分是一

个底面半径为2的半个圆锥，体积为v=J_xX3x42x24乃x4x2石=8+拽工

34233

故答案为A.

点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，

其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几

何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的

直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.

6.B

【解析】

由模长公式求解即可.

【详解】

22

卜+回=J(G+区了=Vs+2a-bt+tb~=A/4+2t+t~={(/+»+3>省,

当/=-1时取等号，所以本题答案为B.

本题考查向量的数量积，考查模长公式，准确计算是关键，是基础题.

7.B

【解析】

根据题意分析/(x)的图像关于直线x=l对称，即可得至!J/。)的单调区间，利用对称性以及单调性即可得到x的取值

范围。

【详解】

根据题意，函数y=/O)满足/(x+1)是偶函数，则函数/(X)的图像关于直线X=1对称，

若函数y=/(%)在(-8,1］上单调递减，则f(x)在［1,+8)上递增，

所以要使42x—2)>/(2),则有|2x—2—1|>1,变形可得|2x—3|>1,

解可得：x>2或x<l,即x的取值范围为(—8,1)。(2,+8)；

故选：B.

本题考查偶函数的性质，以及函数单调性的应用，有一定综合性，属于中档题。

8.A

【解析】

由给定的三视图可知，该几何体表示一个底面为一个直角三角形，

且两直角边分别为1和2,所以底面面积为S=Lxlx2=l

2

高为〃=2的三棱锥，所以三棱锥的体积为V=Ls/z=Lxlx2=2,故选A.

333

9.B

【解析】

由题意得出一的值，进而利用离心率公式e=J1+-可求得该双曲线的离心率.

a'V{aJ

【详解】

r2v2bA24

双曲线与=1的渐近线方程为y=±—九，由题意可得、二

abaa

因此，该双曲线的离心率为5

3

故选：B.

本题考查利用双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率，利用公式e=1+-计算较为方便，考查计算能力，属于

V\a)

基础题.

10.C

【解析】

根据图形，计算出工7,然后解不等式即可.

【详解】

解：x=1x(l+2+3+4+5)=3,y=|x(0.02+0.05+0.1+0.15+0.18)=0.1

点(3,0.1)在直线9=0.042%+4上

0.1=0.042x3+4,a=-0.026

j=0.042%-0.026

令;9=0.042x—0.026>0.5

%>13

因为横轴1代表2019年8月，所以横轴13代表2020年8月，

故选：C

考查如何确定线性回归直线中的系数以及线性回归方程的实际应用，基础题.

11.D

【解析】

将原题等价转化为方程Inx—*+翻+1=/(%)在(0,0内都有两个不同的根，先求导尸(尤)，可判断xe(0,1)时,

/(%)>0,/(%)是增函数；

当xe(l,e)时，/,(%)<0,〃尤)是减函数.因此0</(x)Wl,再令尸(x)=lnx—f+ax+l,求导得

/(x)=_2r—ax—l,结合韦达定理可知，要满足题意，只能是存在零点七,使得/'(x)=0在(0,e)有解，通过导

X

数可判断当工«0,不)时尸⑴>0,尸⑺在(0,石)上是增函数;当时尸(x)<0,R(x)在(和e)上是

减函数；则应满足-x)111ax=/(石)>1,再结合2x；-g-1=0,构造函数巩x)=lnx+%2—1,求导即可求解；

【详解】

函数g(x)=lnx-f+/一在(o,e］内都有两个不同的零点，

等价于方程Inx-d+融+1=/(1)在(0,e］内都有两个不同的根.

=2=(1-所以当x«0,l)时,/(%)>0,/⑺是增函数;

当xe(l,e)时,/(%)<0,/(%)是减函数.因此0</(x)Wl.

设厂⑴=Inx-f+ax+\,F(x)=--2x+a=——――,

XX

若尸(x)=0在(Oe)无解,则万。在(0,e］上是单调函数,不合题意；所以尸'(x)=0在(0,e)有解,且易知只能有

一个解.

设其解为士，当xe(O/)时尸⑴>0,/(%)在(0,%)上是增函数；

当尤e(石,e)时尸'(x)<0,尸⑺在(％,e)上是减函数.

因为V/e(0,e］,方程Inx—f+益；+1=/(/)在Qe］内有两个不同的根，

所以尸⑴1mx=/(%)>1，且尸(e)<。.由尸(e)40,即1口£一/+屐+1<0，解得“Ve—j

由方(x)max=/(石)>1，即In%—％；+g+1>1,所以In为一%；>0.

因为2%；-ax-l=0所以。=2%---,代入In玉一%之+a九］>o,得In西+-1>0.

lfX］

设加(%)=1111+/-1,=—+2%>0,所以加(无)在(0,e)上是增函数，

x

而772⑴=lnl+l—1=0,由In%+X；-1〉0可得〃/(%)>7〃⑴，得l<X］<e.

c1/\1

由。=2%---在(l,e)上是增函数，得l<a<2e--.

再C

综上所述1<。Ve—，

e

故选：D.

本题考查由函数零点个数求解参数取值范围问题，构造函数法，导数法研究函数增减性与最值关系，转化与化归能力，

属于难题

12.D

【解析】

用诱导公式和二倍角公式计算.

【详解】

sin2a=-cos(2«+^)=—cos2(。+：)=-[2COS2(Q;+^)-1]=-[2x(j)2-1]=^.

故选：D.

本题考查诱导公式、余弦的二倍角公式，解题关键是找出己知角和未知角之间的联系.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

冗L

13.n[k/r+—,k兀+7i\,keZ

【解析】

化简函数的解析式，利用余弦函数的图象和性质求解即可.

【详解】

函数/(x)=cos2x=；cos2x+g,

・•.最小正周期T=?="，

2

JT

令2k7i+/爻必r2k7i+2万，keZ,可得左——轰1kk兀+兀,keZ,

2

7T

所以单调递增区间是[版•+],版■+〃kez.

故答案为：乃，[k乃+—,kn+TI\,ksZ.

本题主要考查了二倍角的公式的应用，余弦函数的图象与性质，属于中档题.

14.39

【解析】

求出。专业人数在A、B、C、。四个专业总人数的比例后可得.

【详解】

由题意A、B、。、。四个不同的专业人数的比例为8:12:10:13,故。专业应抽取的人数为

故答案为：L

本题考查分层抽样，根据分层抽样的定义，在各层抽取样本数量是按比例抽取的.

15.①

【解析】

由三角形的正弦定理和边角关系可判断①；由零点存在定理和二次函数的图象可判断②;

由/(2)=/(-2)=0,结合奇函数的定义，可判断③；由函数图象对称的特点可判断④.

【详解】

解：①在AABC中，A>Ba>b2RsinA>2RsinBsinA>sinB,故①正确；

②函数y=/(x)在区间(1,2)上存在零点，比如/(x)+—号在(1,2)存在零点｝

但是/(1>/(2)>0,故②错误；

③对于函数y=/(x),若/(2)=/(-2)=0,满足/(-2)=-/(2),

但Ax)可能为奇函数，故③错误；

④函数y=/(l—x)与y=/(l+x)的图象，可令1一％=/,即x=l—r,

即有y=/。)和y=/(2—。的图象关于直线t=l对称，即X=O对称，故④错误.

故答案为：①.

本题主要考查函数的零点存在定理和对称性、奇偶性的判断，考查判断能力和推理能力，属于中档题.

16.-2

【解析】

可行域|x|+21yW2是如图的菱形ABCD,

代入计算，

Kg65

知知=0—2=—2为最小.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22

17.(I)—+^=1(II)1

42

【解析】

(I)由题，得e=£=也，±+3=1,解方程组，即可得到本题答案;

a2a2b2

x=my

（II）设直线。。：％=7盯，则直线MN:x=my+行，联立＜X2y2>得

142

x=my+^2

4m244m2+4

------------1-----------=-------------联立<y2,得

m2+2m2+2m2+2-----1-----=1

[42

|MN|=历豆/（乂+丫2）2-4%%=A/TT记岂近丁+Y—=”二，由此即可得到本题答案.

Vm+2m+2m+2

【详解】

（I）由题可得6='=@,即

a222

将点［1,二丁|代入方程得+=1，即f1T=解得。2=4,

2/2b2a2a2

22

所以椭圆。的方程为：—+^=1;

42

（II）由（I）知，尸（衣0）

设直线OQ：x=7〃y,则直线MN:x=?ny+行，

x—my

AVYP"4

联立《必丁整理得演2=*，—

l42

4m244m2+4

所以|。。/=%2+%2------------1------------=-------------

m2+2m2+2m2+2

x=my+\/2

联立《22整理得（加2+2J、/+ly/lmy-2=0,

工+匕一1

[42

设”，则X+%=_2?：------^-―

m+2m+2

所以|MN|=71+m2"（x+%尸=，1+疗J//：）?+8=%+：

Vm+2m2+2m+2

4m2+4

\MN\_疗+

所以两2=1.

4m2+4

m2+2

本题主要考查椭圆标准方程的求法以及直线与椭圆的综合问题，考查学生的运算求解能力.

18.(1)见解析(2)见解析

【解析】

(1)取A3的中点。，连结CD.根据线面平行的判定定理即得；(2)先证35]LCD,CDLAB,A3和8及

都是平面45与4内的直线且交于点3,由(1)得CD〃PQ,再结合线面垂直的判定定理即得.

【详解】

(1)取AB的中点。，连结P£),CD.

在AABB,中，p,D分别为AB],AB中点，

PD//BB},且尸。=g3耳.在直三棱柱ABC-A4G中，CC{//BBX,CC】=BB「•:Q为棱CC,的中点，

CQ//BB},且CQ=；网.

PD//CQ,PD=CQ.

二.四边形PDCQ为平行四边形，从而PQ〃CD.

又CDu平面ABC,平面ABC,,PQ〃平面ABC.

(2)在直三棱柱ABC—A51cl中，，平面ABC又CDu平面ABC,.•.3与，CD.：C4=CB,。为A5中

点，,6©_1_748.

由(1)知CD〃PQ,:.BB1工PQ,AB±PQ.

又ABC\BBi=B,ABI平面ABBXAX,BBlu平面ABB,A,,

•••PQ,平面A5314.

B

本题考查线面平行的判定定理，以及线面垂直的判定定理，难度不大.

4

19.(1)证明见解析；(2)j.

【解析】

(1)取AC中点产，连接ED,F8,根据等腰三角形的性质得到AC,利用全等三角形证得QbLEB,由此

证得。尸，平面ABC,进而证得平面ABC,平面ACD.

(2)由(1)知D尸，平面ABC,即止是四面体ABC。的面ABC上的高，结合锥体体积公式，求得四面体ABCD

的体积.

【详解】

(1)证明:如图，取AC中点产，连接ED,EB,

由DA=DC,则DBJ_AC,

\-ABLBC,则E4=EB=FC,

故GFKADFB'DFC

7T

故NDRB=/DE4=—,

2

•.•DF±AC,DF±FB,ACcFB=F

...OF，平面ABC.

又D尸u平面ACD,

故平面ABC,平面ACD

(2)由(1)知De_L平面ABC,

即。尸是四面体ABC。的面ABC上的高，

且=ADsin300=1,AF=ADcos3Q°=73.

在H/AABC中，AC=2AF=2AAB=2BC，

由勾股定理易知BC=冬叵,AB=勺叵

55

故四面体ABCD的体积

,DF=lxlx±^x^xl.l

3△AoRCr32555

本小题主要考查面面垂直的证明，考查锥体体积计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

20.(I)见证明；(II)

4

【解析】

(I)取8C的中点为D,连结。P，易证四边形CDFG为平行四边形，即CG//。尸，由于破=Cb,。为的

中点，可得到DELBC,从而得到CGL3C,即可证明CGL平面ABC,从而得到CGLA5；(II)易证。5,DF,

DA两两垂直，以DB，DF，DA分别为％,V,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。一移z,求出平面BEG的

一个法向量为力=(羽y,z),设AE与平面BEG所成角为凡则sin。/cos〈女㈤=|一］一，即可得到答案.

11\AEW\

【详解】

解：(I)取的中点为。，连结。户.

由A6C—跳G是三棱台得，平面ABC//平面EFG,从而5C//FG.

CB=2GF,：.CD/jpF,

；•四边形CD/G为平行四边形，，CG〃小.

'：BF=CF,。为8C的中点，

/.DFA.BC,ACGLBC.

•.•平面ABC,平面BCGF,且交线为BC,8<=平面5。6/，

•••CGL平面ABC,而ABi平面ABC,

CG±AB.

(II)连结AD.

由AABC是正三角形，且。为中点，则ADJ_3c.

由(I)知，CG_L平面ABC,CG//DF,

；•DFLAD，DF1BC,

；.DB,DF,DA两两垂直.

以DB,DF,ZM分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。-孙z.

rI

设5c=2,则A(0,0,>^),E——,A/3,-^-,5(1,0,0),G^—l,,\/3,oj,

\/

：.AE=_:，8，一=(-2,73,0),BE=

设平面BEG的一个法向量为n=(x,y,z).

—2.x+y/3y=0

BGn=Q,

由一可得,{_*氐+生=o

BEn=O

令x=6,则y=2,

^6

设AE与平面BEG所成角为。，则sin。一彳

本题考查了空间几何中，面面垂直的性质，线线垂直的证明，及线面角的求法，考查了学生的逻辑推理能力与计算求

解能力，属于中档题.

21.(1)直线/的普通方程为逝无+y—4=0.曲线C的直角坐标方程是圆：(无一道)2+。-1)2=4.(2)4

【解析】

(1)将直线/参数方程中的/消去，即可得直线/的普通方程，对曲线C的极坐标方程两边同时乘以夕，利用

p2=x2+y2

<psm0=y可得曲线C的直角坐标方程；

pcosO=x

(2)求出点。到直线的距离，再求出的