2023年高考数学复习：空间向量与立体几何（大题）

2023年高考数学复习——大题狂练：空间向量与立体几何（15

题）

解答题（共15小题）

1.（2021秋□云南期末）如图所示，在四棱御-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，且

ZBAP=ZCDP=90°.

（1）证明：平面PAB_L平面PAD；

（2）若PA_LPD,PA=PD=2,AB=4,求点D到平面PBC的距离.

2.（2022口徐汇区校级开学）已知空间中三，区（2,0,-2)、B(1,-1,-2)、C(3,0,

-4),设2=知，b=AC.

（1）若百=3,且W〃花，求向量Z

（2）求以二、E为一组邻边的平行四边形的面积S.

第1页（共44页）

3.（2022春口泰州期末）已用=（2,-1,3）­b=（L,2,2）-

（1）求（a+b）・（2a_-b）的值;

（2）当（kZ-E）1G+k%）时，求实数k的值.

4.（2022春口淄博期末）如图，已知正方体ABCD-AFigD［的棱长为2,M,N分别为棱

BBpBC的中点.

（1）证明：直线DN〃平面AMR；

（2）设平面AMR与平面ABCD的交线为1,求点M到直线1的距离及二面角D1-1-C

的余弦值.

第2页（共44页）

5.（2022春□安徽期中）如图，在/BC中，AC±BC,ZBAC=30°,AB=4,E,F分别

为AC,AB的中点，APEF是由4AEF绕直线EF旋转得到，连接AP,BP,CP.

（I）求证：BC_L平面PAC；

（II）若AP=3,求点E到平面PAF的距离.

6.（2022□乌鲁木齐模拟）如图，在三棱御-ABC中，PA_L平面ABGAB±BC.

（1）证明：PB±BC；

（2）若PA=AB=BC,求二面角A-PC-B的大小.

第3页（共44页）

7.（2021秋□石河子校级月考）如图所示，在四棱陋-ABCE中，底面ABCE为梯形，且

满足AB〃CE,ZBCE=90°,AB=2BC=2CE=2DE=2AD,平面ADEJ_平面ABCE

（1）求证：AD±BE；

（2）求直线AC与平面BDE所成角的余弦值.

8.（2021秋口南岗区校级期末）在棱长为1的正方体ABCD-AFQ1D1中，求平面ACQ的

一个法向量n.

第4页（共44页）

9.(2022春□青浦区校级期末)如图，在三棱黜-ABC中，AC±BC,BC=V3,AP=CP,

O是AC的中点，PO=1,OB=2,PB=V5.

(1)证明：BC_L平面PAC；

(2)求点A到平面PBC的距离.

TT

10.(2022□安徽模拟)如图，在正四棱黜-ABCD中，AB=2,ZAPC=—,M为PB上

的四等分点，即BM=』BP.

(1)证明：平面AMCL平面PBC；

(2)求平面PDC与平面AMC所成锐二面角的余弦值.

tkX----^c

第5页(共44页)

11.(2022春口淮安期末)如图，在正方体ABCD-AFiCRi中,

(1)求证：AB〃平面A[B]CD；

(2)求直线AR和平面AFiCD所成的角.

12.(2021秋□滦南县校级月考)如图，四棱细-ABCD中，PA_L底面ABCD,AB〃CD,

AD=CD=1,ZBAD=120°,ZACB=90

(1)求证：BCJ_平面PAC；

(2)若二面角D-PC-A的余弦值为乂5,

求点A到平面PBC的距离.

5

第6页(共44页)

13.(2022春口皮山县校级期末)在四棱黜-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD

是正三角形，平面PAD，底面ABCD.

(1)证明：ABJ_平面PAD；

(2)求面PAD与面PDB所成的二面角的正切值.

14.(2021秋口滁州期中)已用=(m-L2,2m)，b=(3,2n-l,1)-

(1)若2〃卜求m与n的值；

(2)若c=(3,m,-3)且ac,求laJ.

第7页(共44页)

15.(2021秋口六安月考)如图，在直四棱柱ABCD-AiBiCRi中，底面ABCD是菱形，点

E为eg中点.

(1)证明：平面BDD],平面EBDp

(2)若NBAD=60。，|AB|=1,1=2'求点D]到平面BDE的距离.

第8页(共44页)

2023年高考数学复习——大题狂练：空间向量与立体几何（15

题）

参考答案与试题解析

一.解答题（共15小题）

1.（2021秋□云南期末）如图所示，在四棱轴-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，且

ZBAP=ZCDP=90°.

（1）证明：平面PAB_L平面PAD；

（2）若PA_LPD,PA=PD=2,AB=4,求点D到平面PBC的距离.

【考点】点、线、面间的距离计算；平面与平面垂直.

【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；直观想象；数

学运算.

【分析】（1）先证ABJ_AP,CD±PD,再由AB〃CD证AB_LPD,进而证得AB_L平面

PAD,即可证得平面PAB±平面PAD；

（2）取AD的中点O,连接PO,先证POL平面ABCD,求出Vp_BCD，再求出S^PBC，

由等体积法而力器即可求解.

【解答】（1）证明：

,/ZBAP=ZCDP=90°,：.ABJ_AP,CD±PD,

：AB〃CD,；.AB_LPD,又,；AP/D=P,APO面PAD,PDQF面PAD,

：.AB_L平面PAD,；AB□平面PAB,二平面PAB_L平面PAD.

(2)解：取AD的中点0,连接PO,取BC的中点E,连接PE,如图所示,

第9页（共44页）

p

AB

A=PD=,22+22=2V2,

；AB_L平面PAD,PO平面PAD,/.AB±PO,

：ABnAD=A,AB,AD□^面ABCD,平面ABCD,即点P到平面BCD的距离

为P0=&,

冷-BCD4SABCD-PO={X1X4X2V2XV2=|'

在RtZ\PAB中，PA=2,AB=4,：.PB=2•立，同理「02近，

在等腰APBC中，PE±BC,BC=2V2,PE=V(2V5)2-(V2)2=372>

SAPBC=yX2^XM=6，

7

VDTBC=Vp-BCD号,点D到平面PBC的距离d=|-

【点评】本题主要考查面面垂直的证明，点面距离的计算等知识，属于基础题.

2.(2022□徐汇区校级开学)已知空间中三点X(2,0,-2).B(1,-1,-2)、C(3,0,

-4),设a=AB,b=AC.

(1)若lcl=3,且。〃5©,求向量c；

(2)求以工、E为一组邻边的平行四边形的面积S.

【考点】共线向量与共面向量.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；空间向量及应用；数学运算.

【分析】(1)根据题意，求出玩的坐标，由向量平行的坐标表示方法，可以设W=t^=

(2t,t,-2t),由向量模的计算公式求出t的值，计算可得答案；

(2)根据题意，求出版、正的坐标，由数量积的计算公式可得cosA,进而求出sinA,

又由$=屈|正|XsinA,计算可得答案.

页(共44页)

解：()根据题意，(1,-1,-2)、C(3,0,-4),贝!]BC=(2,1,-2),

若©〃8a设仁=18。=(2t,t,-2t),

又由|c|=3,则4t2+t2+4t2=9t2=9,解可得t=±l,

故仁=(2,1,-2)或(-2,-1,2)；

(2)根据题意，a=AB=(-1,-1,0),b=AC=(1,0,-2),

则凝l=W+l+0=&,质1=百万=遥，ABQC=-1,

则cosA=cos<标，AC>=_^，A2>=故sinA=3历,

|施||AC|10I。

故S=|ABIAC|XsinA=^/2XA/5X入"。=3.

10

【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及空间向量的平行，属于基础题.

3.(2022春口泰州期末)已备⑵-1,3)，b=(l,2,2)-

(1)求(a十b)♦(2”b)的值；

(2)当(k；-E)1(7+£)时，求实数k的值.

【考点】空间向量的数量积运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系.

【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；数学运算.

【分析】(1)根据空间向量的坐标线性运算与数量积公式，即可求解.

(2)根据垂直的数量积表示，结合向量的坐标公式，即可求解.

【解答】解：(1)因为W=(2,-1,3)，b=(l,2,2)>

故Z+E=(3,1,5)，2a-b=(4,-2,6)-(1,2,2)=(3,-4,4)，

故苗+E)・(2；-%)=3X3-1X4+5X4=26

(2)a2=22+(-l)2+32=4+1+9=14：，b2=12+22+22=9，

a-b=2Xl-lX2+3X2=e>

因为(ka-b)_L(a+kb),

所以(ka-b)•(a+kb)=0，即kJ十(k2-1)&r-kb2=0,

页(共44页)

+6(k2-1)-9k=0,即(2k+3)(3k-2)=0,

故k=J或kJ.

【点评】本题主要考查空间向量的数量积运算，属于基础题.

4.(2022春口淄博期末)如图，已知正方体ABCD-AFiCRi的棱长为2,M,N分别为棱

BBpBC的中点.

(1)证明：直线DN〃平面AMR；

(2)设平面AMR与平面ABCD的交线为1,求点M到直线1的距离及二面角D1-1-C

的余弦值.

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行.

【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角；逻辑推理；数学

运算.

【分析】(1)取eg的中点E,连接DE、NE、ME,证明出平面DEN〃平面AMR,利

用面面平行的性质定理可证得结论成立；

(2)延长D］M、DB交于点P,连接AP,则直线AP即为直线，然后过点D在平面ABCD

内作DFL直线AP,垂足为点F,连接DF，推导出点M为PD］的中点，二面角D「1

-C的平面角为/D1FD,计算出D1F、DF,即可得解.

【解答】(1)证明：取eg的中点E,连接DE、NE、ME,

在正方体ABCD-AFigDi中，BBi〃CC］且BB［=CCi，

•/M、E分别为BB］、CC］的中点，则BM〃CE且BM=CE,

故四边形BCEM为平行四边形，则ME〃:BC且ME=BC,

又因为AD〃:BC且AD=BC,则ME〃AD且ME=AD,

故四边形ADEM为平行四边形，贝［DE〃AM,

VDE平面AMR,AM打面AMR,；.DE〃平面AMDp

页(共44页)

〃CD1且AB=C]D],故四边形ABQD1为平行四边形，则BQ"AD〉

•；N、E分别为BC、CC]的中点，则NE〃:Bq,则NE〃AD],

VNE平面AMDpAD1□^面AMR,NE〃平面AMR,

•..DECNE=EDE、NE审面DEN,所以，平面DEN〃平面AMR,

；DN□^面DEN,：.DN〃平面AMR.

(2)解：延长D]M、DB交于点P,连接AP,则直线AP即为直线1,

因为BB]〃DD[且BB]=DDi，M为BB1的中点，则磔-卫~==工,

故点B为PD的中点，M为PDI的中点，

在^ABP中，郎=2,BP=BD=2\f2,NABF=135°,

由余弦定理可得AP2=AB^+BP2-2ABBPcosl35°=20,则AP=2•立，

222275

Z„__AB+AP-BP

ss/BAP=一荻而一"T"

则sin/BAP=Vl_cos2Z:BAP,

0

过点D在平面ABCD内作DF,直线AP,垂足为点F,连接D【F,

sinZDAF=sin(90°-/BAP)

□

所以,DF=ADsinZDAF=^->

因为DD]_L平面ABCD,1审面ABCD,所以DD]_L1,

因为DF_L1,DFCDDi=D,DF,DDjOT®DD^,所以1_L平面DD^,

因为D1F□平面DD]F,所以D]FL,故二面角D1-1-C的平面角为/D1FD,

且D[F=JDD彳+DF[，故点M到直线的距离为宜度，

1Vl55

DF2

cosZ0^0=^—=-=—»

因此，二面角D]T-C的平面角的余弦值为2.

3

页(共44页)

本题考查了线面平行的证明以及点到直线的距离和二面角的计算，属于中档题.

(2022春□安徽期中)如图，在4中，AC±BC,ZBAC=30°,AB=4,E,F分别

为AC,AB的中点，ZXPEF是由4AEF绕直线EF旋转得到，连接AP,BP,CP.

(I)求证：BC_L平面PAC；

(II)若AP=3,求点E到平面PAF的距离.

【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直.

【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；直观想象；数

学运算.

【分析】(I)由题可知BCLPE,再由ACLBC结合线面垂直判定证明即可；

(II)利用等积法转化顶点即可求得点面距离.

【解答】(I)证明：因为AC_LBC,BC〃EF,

/.PE±EF,AE±EF,

/.BCXPE,

又ACLLBC,ACAPE=E,AC,PE平面PAC,

：.BC_L平面PAC；

(II)解：因为BC_L平面PAC,BC〃EF,

页(共44页)

_L平面PAC,

由题可知PF=AF=2,EF-|SC=1,PE'ACS，

,/PE=AE=V3,AP=,

"SAEPJX,XJBY）之用

・.・PF=AF=2,AP=3,

.・"△支一气乂商-1⑥平,

设点E到平面PAF的距离为d,

由^F_PAE~^/E_PAF,得J乂苫乎-乂1=^X3^^义d，

解得

7

【点评】本题主要考查线面垂直的证明，点面距离的计算等知识，属于基础题.

6.（2022□乌鲁木齐模拟）如图，在三棱锤-ABC中，PA_L平面ABGABXBC.

（1）证明：PBXBC；

（2）若PA=AB=BC,求二面角A-PC-B的大小.

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直.

【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；数学运算.

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即证，

（2）建系，利用向量法解决二面角问题.

【解答】解：（1）证明：；PA_L平面ABG又BC平面ABC,

/.PAXBC,又ABJ_BC,PAAAB=A,

；.BC_L平面PAB,又PB¥面PAB,

/.PB±BC；

（2）如图以BC为x轴，BA为y轴，过点B且垂直平面ABC的直线为z轴建立空间直

角坐标系，

页（共44页）

设PA=AB=BC=1,则A(0,1,0),B(0,0,0),C(1,0,0),P(0,1,1),

AP=(0,0,1),AC=(1,-1,o),BP=(o,1,1),BC=CL,o,o),

设平面APC与平面BPC的法向量分别为，

—•—•

yj,Z])，n=(x21y2«

••

则AP=0nTBP=0

,m，AC=0,n*BC=0

+s=0

-1=0fy22

,

■">x1-y1=0[x2=0，

分别令X]=l,y2=l,可得，

m=(l,1,。)，n=(0,1,-1)，

又由图可知二面角A-PC-B的平面角。为锐角,

Im・n|]

/.cos9=|COS〈7Hn>l='1

|m||nIV2X722

，二面角A-PC-B的大小为二一.

【点评】本题考查线面垂直的证明以及二面角大小的求解，属基础题.

7.(2021秋口石河子校级月考)如图所示，在四棱勒-ABCE中，底面ABCE为梯形，且

满足AB〃CE,ZBCE=90°,AB=2BC=2CE=2DE=2AD,平面ADEJ_平面ABCE.

(1)求证：AD±BE；

(2)求直线AC与平面BDE所成角的余弦值.

第16页(共44页)

【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直.

【专题】计算题；整体思想；演绎法；空间位置关系与距离；空间向量及应用；逻辑推

理；直观想象；数学运算.

【分析】（1）取AB的中点F,连接EF,可知四边形BCEF是平行四边形，进而可得EF

±AB,令AD=BC=EC=ED=1,则AB=2,由勾股定理可得AE_LBE,由平面ADEJ_

平面ABCE可得BE_L平面ADE,即可求证.

（2）取AE的中点O,连接DO、FO,先证明OA、OF、OD两两垂直，再以OA、OF、

OD所在直线分别x、y、z轴建立空间直角坐标系，求面BDE的法向量和直线AC的方向

向量，利用向量夹角公式即可求解.

【解答】（1）证明：取AB的中点F,连接EF,

,：AB=2EC,AB〃CE,；.BF〃CE,且BF=CE,

/.四边形BCEF是平行四边形，

：.EF〃BC,又NBCE=90。,.\EF±AB,

令AD=BC=EC=ED=1,则AB=2,AE=BE=^,

可得AK+BE2=A杼，/.AEXBE,

又平面ADE_L平面ABCE,平面ADEQF面ABCE=AE,

平面ADE,又AD□^面ADE,.\ADXBE；

（2）解：取AE的中点O,连接DO、FO,则易知DO_LAE,FOXAE,

•.•平面ADEJ_平面ABCE平面ADEQF面ABCE=AE,

：.DO_L平面ABCE,；.DOJ_FO,：.OA、OF、OD两两垂直，

故可以以OA、OF、OD所在直线分别x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则

A除0，0），B（冬,72,0）,C（-V2,除。）、0（0,0,冬），E（哆0,0）

第17页（共44页）

•T7：_/372V2n、而=(喙，华3BE=(O,

,,AC-('~2~'0)，W2，0)，

z),则「吵°，即[浮飞了噜海,

设平面BDE的法向量为1=(x

InBER|L-V2y=o

...y=0,令x=l,贝Uz=-1,,••昂=(1,Q,一1)为平面BDE的一个法向量,

设直线AC与平面BDE所成的角为9,

,3V2.

血:,y-2~'_37s

贝MinScos(ACTA>|=

|AC|-|n|飞X版-千

二直线AC与平面BDE所成角的正弦值为苣疸.

10

【点评】本题主要考查空间中的垂直关系，线面角的相关计算，空间向量的应用等知识,

属于中等题.

8.(2021秋□南岗区校级期末)在棱长为1的正方体ABCD-AFigDi中，求平面ACD1的

一个法向量n.

【考点】平面的法向量.

【专题】计算题；方程思想；综合法；空间向量及应用；数学运算.

【分析】利用线面垂直的性质、向量与数量积的关系即可得出.

【解答】解：由已知图象可得，A(1,0,0),C(0,1,0),D[(0,0,1),

则AC=(-1,1,0),AD；=­I，0,1),

设ACDi的一个法向量n=(x,y,z).

/•—»►

n•AC=-x+y=0

则一_，取x=1,可得y=1,z=1,

n・AD[=-x+z=0

n=(1,1,1).

【点评】本题主要考查平面的法向量的求法，考查了运算求解能力，属于基础题.

第18页(共44页)

9.(2022春□青浦区校级期末)如图，在三棱黜-ABC中，AC±BC,BC=V3,AP=CP,

O是AC的中点，PO=1,OB=2,PB=V5.

(1)证明：BC_L平面PAC；

(2)求点A到平面PBC的距离.

【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直.

【专题】数形结合；等体积法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算.

【分析】(1)证明OP_L平面ABC得出OP_LBC,结合AC_LBC得出BC_L平面PAC；

(2)根据VAPBCMVP.ABC计算点A到平面PBC的距离.

【解答】(1)证明：［AP=CP,O是AC中点，；.PO_LAC,

由已知得PO2+OB2=PB2,.,.POXOB,

又ACCOB=O,0BO面ABC,平面ABG

/.POXBC,

VAC±BC,POAAC=O,POD^面PAC,

.\BC_L平面PAC.

(2)解：设点A到平面PBC的距离为h,

在RtAOCB中，OCHOBI-BC?=1'

则PC=VoP2-H3C2=V2，

；BCJ_平面PAC,/.BC±PC,

,,SAPBC=-2_,

••4_PBC=%_ABC?VAP-ABC《SaBC•P°=*~，

•■•ySApBC'h=^y-'-'^=72，

即点A到平面PBC的距离为企.

第19页(共44页)

【点评】本题考查了线面垂直的判定，棱锥体积与点到平面的距离计算，属于基础题.

10.(2022□安徽模拟)如图，在正四棱黜-ABCD中，AB=2,ZAPC=—,M为PB上

3

的四等分点，即BM=』BP.

4

(1)证明：平面AMCLL平面PBC；

(2)求平面PDC与平面AMC所成锐二面角的余弦值.

【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直.

【专题】转化思想；数形结合法；空间角；逻辑推理.

【分析】(1)由题中数据结合余弦定理，勾股定理可得AMLPB,CMXPB,由此即可证

得平面AMCL平面PBC；

(2)建立空间直角坐标系，求出平面AMC及平面PDC的法向量，利用向量公式即可得

解.

【解答】解：(1)由AB=2,可知AC=V2?+22=，由/APC二工，可知

PA=PC=AC=2V2,

-ABCD是正四棱锥，

/.PB=PD=PA=PC=2>/2,

••.BM*,鼠=等，

222

在4PAB中，设NAPB=。，由余弦定理有，0=PA^jfB_2AB_^3_

cos2PA-PB4

222

在APAM中，由余弦定理有，AM=PA+PM-2PA'PMcoSei

/.A]VF+MB2=4=Aff,/.AM_LPB,

同理CMJ_PB,而PB在平面PBC上，AMACM=M,且AM,CM都在平面ACM内，

故PB_L平面ACM,又PB匚平面PBC,

二平面AMCL平面PBC；

(2)以底面中心O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则

第20页(共44页)

0（0,o,o）,c（-i,i,o）,A（I,-i,o）,P（O,o,Ve）,B（I,I,o）

,D（-1,-1,0）

设平面PDC的法向量为%=（x,y,z），DP=（1,1,粕），DC=（O,2,0），

，可取:=(浦，0,-2)，

设平面AMC的法向量为门=(a,b,c)，则可取n=PB=(-l,-1,V6),

V21

设平面PDC与平面AMC所成锐二面角为9,贝(]cose二F1

ImIIn"V

【点评】本题考查面面垂直的判定以及利用空间向量求解二面角问题，考查推理论证及

运算求解能力，属于常规题目.

11.(2022春□淮安期末)如图，在正方1MBCD-AFiCRi中,

(1)求证：AB〃平面AjB[CD；

(2)求直线A]B和平面AFiCD所成的角.

【考点】直线与平面所成的角.

【专题】数形结合；综合法；空间位置关系与距离；直观想象.

【分析】(1)由AB〃A]Bi即可得出AB〃平面A1BQD；

(2)连接BQ交BQ于O,连接OAi，证明OBJ_平面A[B]CD可得/OAF为直线AF

第21页(共44页)

和平面A[B]CD所成的角，设正方体棱长为1,在Rt^AiOB中求出/OAF.

【解答】(1)证明：:ABaAiBi，ABZff面A[B]CD,AFilOf面A[B]CD,

：.AB〃平面A]B[CD.

(2)解：连接BQ交BQ于O,连接OA1,

，

•..四边形BCCFi是正方形，..OB±B1C,

VA1B11B1C1,A]Bi_LB]B,B1C1AB1B=B1,

平面BCqBp

.,.AJBJXOB,

又AiB]CBiC=Bi，

...OBI,平面A]B[CD,

/.NOAF为直线AF和平面A]BQD所成的角,

设正方体棱长为1,则A]B=.历，OB=亚，

2

/.sinZOA1B=-^=A,

1A[B2

/.ZOA1B=30°,

直线A]B和平面AFiCD所成的角为30。.

【点评】本题考查了线面平行的判定定理，面垂直的判定与线面角的计算，属于中档题.

12.(2021秋□滦南县校级月考)如图，四棱轴-ABCD中，PA_L底面ABCD,AB/7CD,

AD=CD=1,ZBAD=120°,ZACB=90°,

(1)求证：BC_L平面PAC；

(2)若二面角D-PC-A的余弦值为恒,

求点A到平面PBC的距离.

5

第22页(共44页)

【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直.

【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离.

【分析】(1)要证BC_L平面PAC,只需证明PA_LBC,BC_LAC即可;

(2)作AOLPC,则AOL平面PBC,利用等面积求解即可.

【解答】解：(1),；PA_L底面ABCD,BCOWABCD,/.PAXBC,

VZACB=90°,.'.BC±AC.

又PACAC=A,.,.BC±5F®PAC；

(2)；AB〃CD,AD=CD=1,ZBAD=120°,

.♦.△ACD是等边三角形，AC=1,

设PA=x,贝IS,AC=5,$回=£X』+

...二面角D-PC-A的余弦值为亚~,

5

作ACLLPC,则AO_L平面PBC,

APAC中，由等面积可得AO=PA*AC=6X1

PC22

...点A到平面PBC的距离为返.

2

【点评】本题考查直线与平面垂直，二面角，点到平面的距离，考查空间想象能力，逻

辑思维能力，是中档题.

13.(2022春□皮山县校级期末)在四棱融-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD

是正三角形，平面PAD_L底面ABCD.

(1)证明：AB_L平面PAD；

(2)求面PAD与面PDB所成的二面角的正切值.

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【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直.

【专题】综合题；空间位置关系与距离；空间角.

【分析】(1)根据平面PAD_L底面ABCD以及AB_LAD即可证得ABJ_平面PAD；

(2)利用面积射影法，求出面PAD与面PDB所成的二面角的余弦值，即可求出面PAD

与面PDB所成的二面角的正切值.

【解答】(1)证明：I,底面ABCD是正方形，

/.ABXAD,

•.•平面PADJ_底面ABCD,平面PADA底面ABCD=AD,

二由面面垂直的性质定理得，AB_L平面PAD；

(2)解：由题意，ZXPBD在面PAD上的射影为APAD.

2

设AD=a,则SPAD=2^-a,

4

△PBD中，PD=a,BD=\,2a,PB=\12a,S’BD-；XX

/.面PAD与面PDB所成的二面角的余弦值为咨，

V7

二面PAD与面PDB所成的二面角的正切值为叵.

V33

【点评】本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查面PAD与面PDB

所成的二面角的正切值，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.

14.(2021秋□滁州期中)已用=(m-L,2,2m)>b=(3,2n-l,1)-

(1)若a〃b,求m与n的值；

(2)若c=(3,m,-3)且a_Lc,求人.

【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直；共线向量与共面向量.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；空间向量及应用；数学运算.

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"m-l=3k

【分析】(1)根据题意，由向量平行的判断方法可得2=kC2n-1),解可得a的值；

,2m=k

(2)根据题意，由空间向量数量积的计算公式可得二三=3(m-1)+2m-6m=0,解可

得m的值，由向量模的计算公式计算可得答案.

【解答】解：(1)根据题意，若设之=后，

rm-l=3k

则有，2=k(2n-l),解可得m=-1，n=-2,

_3

[2m=k

(2)根据题意，若3=(3,取,-3)且之八,

则aEb=3(m-1)+2m-6m=0,解可得m=-3,

则a=(-4,2,-6),则|a|=J16+4+36=2A/I^.

【点评】本题考查空间向量数量积的计算，涉及空间向量平行的判断，属于基础题.

15.(2021秋口六安月考)如图，在直四棱松BCD-AFigDi中，底面ABCD是菱形，点

E为eg中点.

(1)证明：平面BDDJ平面EBDp

(2)若NBAD=60。，AB|=1,KAl=2＞求点D1到平面BDE的距离.

【考点】点、线、面间的距离计算；平面与平面垂直.

【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；直观想象；数

学运算.

【分析】(1)取BD]的中点F,连接EF；取BD中点为M,连接CM,可证EF〃CM,

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1.平面BDD即可；

（2）易知Vpnn=V等体积法即可求解.

B-DD.EcDn.-DSE

【解答】（1）证明：取BD],BD的中点F,M,连接EF,FM,CM,

因为E为中点，所以FM〃DD]且|FJ[1—lDD1|，EC〃DDI且lECl-lDD]|，

所以FM〃EC且FM|=ECI,

所以四边形EFMC为平行四边形，所以EF〃CM,

由于底面为菱形，所以CMLBD,

由直棱柱的性质可得DD]_LCM,DD]BD=D,

所以0\4，面8口口1，所以EF_L面BDDl，

又因为EF面BED],

所以平面BDDJ平面EBD1；

（2）解：易知丫口=Vnm:，设点D1到面BDE的距离为d,

B-DD.EnDn.-DBE1

SAME卷xix与斗，

V=V-XX

B-DD.EDrDBEgd=yX1X-，••d=~—，

故点D]到平面DBE的距离为2返L.

【点评】本题主要考查面面垂直的证明，点面距离的计算，空间想象能力的培养等知识,

属于中等题.

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.向量的概念与向量的模

【向量概念】

既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方

向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）.在数学中我们把向量的大小叫做向

量的模，这是一个标量.

【向量的几何表示】

用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的

方向.即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如标、BC,…字母表示，用小写字

母之、b,…表示.有向向量的长度为模，表示为标I、kl,单位向量表示长度为一个单位

的向量；长度为0的向量为零向量.

【向量的模】

AB的大小，也就是AB的长度（或称模），记作IABL

【零向量】

长度为零的向量叫做零向量，记作五，零向量的长度为0,方向不确定.

【单位向量】

长度为一个单位长度的向量叫做单位向量屈（与标共线的单位向量是厘一）.

|AB|

【相等向量】

长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性.

2.数量积判断两个平面向量的垂直关系

【概念】

向量是有方向的，那么在一个空间内，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可

能是相交.当两条向量的方向互相垂直的时候，我们就说这两条向量垂直.假如a=（1,0,

1）,E=（2,0,-2）,那么W与E垂直，有之汗=1X2+1X（-2）=0,即互相垂直的向

量它们的乘积为0.

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例：与向量(J-,生)垂直的向量可能为()

55

：(,-4)B：(-4,3)C：(4,3)D：(4,-3)

解：对于A：(一^,—')GI3,-4)=—叵=-5,・二A不成立；

'55，55

对于B：—3,国)E-4,3).,.B不成立；

'55」555

对于C：旦，生)E4,3)=造*」^=0，；.C成立；

’55，55

对于D：旦，4)E4,-3)=1212=^1,；.D不成立；

,55，555

故选：C.

点评：分别求出向量(卫，里)和A,B,C,D四个备选向量的乘积，如果乘积等于0,

55

则这两个向量垂直，否则不垂直.

【考点分析】

向量垂直是比较喜欢考的一个点，主要性质就是垂直的向量积为0,希望大家熟记这个

关系并灵活运用.

.直线与平面平行

【知识点的知识】

1、直线与平面平行的判定定理：

如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.用符号

表示为：若a,bDqa〃b,则a〃a.

2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条

直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行.即由线线平行得到线面平行.

1、直线和平面平行的性质定理：

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交

线平行.

用符号表示为：若a〃a,aD§aAP=b,则a〃b.

2、直线和平面平行的性质定理的实质是：

已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行.即由线

面平行口线线平行.

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线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行.

正确的结论是：〃％若bDq则b与a的关系是：异面或平行.即平面a内的直线分成

两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条.

.直线与平面垂直

【知识点的认识】

直线与平面垂直：

如果一条直线1和一个平面a内的任意一条直线都垂直,那么就说直线1和平面a互相垂直,

记作l，a,其中1叫做平面a的垂线，平面a叫做直线1的垂面.

直线与平面垂直的判定：

()定义法：对于直线1和平面a,l_La[]垂直于a内的任一条直线.

(2)判定定理1:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个

平面.

(3)判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直

于这个平面.

直线与平面垂直的性质：

①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.符号表示为：a±a,b±

a国〃b

②由定义可知：a±a,bDaHJ_b.

5.平面与平面垂直

【知识点的认识】

平面与平面垂直的判定：

判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.

平面与平面垂直的性质：

性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.

性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在

第一个平面内.

性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面.

性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直.

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【知识点的认识】

.定义

(1)共线向量

与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向

量叫做共线向量或平行向量，记作五与任意向量是共线向量.

(2)共面向量

平行于同一平面的向量叫做共面向量.

2.定理

(1)共线向量定理

对于空间任意两个向量W、b(EXO),a#4的充要条件是存在实数，使得胃二入大.

(2)共面向量定理

如果两个向量W、E不共线，则向量三与向量W、E共面的充要条件是存在唯一的有序实

数对(，y)