中考数学专项复习：三角形中常见六种几何模型（知识梳理与考点分类讲解）

专题1.4三角形中常见六种几何模型（知识梳理与考点分类讲解）

第一部分【模型归纳】

【模型一】燕尾模型

如图：这样的图形称之为“燕尾模型”

结论：ZBDC=ZA+ZB+ZC

【模型二】8字模型

如图：这样的图形称之为“8字模型”

结论：ZA+ZD=ZB+ZC

【模型三】三角形角平分线（内分分模型）

如图：这样的图形称之为“三角形双内角平分线模型”

结论：ZB/C=90°+-ZA

2

【模型四】三角形角平分线（内外分模型）

如图：这样的图形称之为“三角形内外角平分线模型”

条件：BP、CP为角平分线

结论：ZP=-ZA

2

【模型五】三角形角平分线（外外分模型）

如图：这样的图形称之为“三角形双外角平分线模型”

条件：BP、CP为角平分线

结论：ZP=90°--ZA

2

【模型六】角平分线+平行线模型

条件：CP平分NACB,DE平行于BC

结论：ED=EC

【特别提示】在书写解题过程中不能直接运用几何模型，但它是解题思维过程中一个重要思

维工具。

第二部分【题型展示与方法点拨】

【题型1】燕尾模型

【例1】（23-24八年级上•河南许昌•期中）（1）如图1,有一块直角三角板XK放置在VABC上，恰好

三角板X1Z的两条直角边XV,XZ分别经过点2、C.若ZA=40。，ZABX+ZACX=度；

（2）如图2,改变（1）中直角三角板XTZ的位置，使三角尺屹的两条直角边XV,XZ仍然分别经过点

B.C.4=40。，那么NABX+/ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出

ZABX+ZACX的大小；

（3）如果（1）中的其它条件不变，把“44=40。"改成"/4="。"，则/ABX+/ACX=_.

【答案】（1）50；（2）不变化，50°;（3）（90-«）°

【基本模型】燕尾模型

【分析】本题主要考查了三角形中的燕尾模型：

（1）由燕尾模型：ZBXC=NA+NABX+NACX从而可得NABX+NACY=NBXC-NA

（2）利用（1）的方法即可作答；（3）利用（1）的方法即可作答.

解：（l）EINA=40°,

0ZABC+ZACB=180°-ZA=140°,

回在直角三角板中，ZYXZ=90°,

ElZXBC+ZXCB=90°,

回ZABX+ZACX=(ZABC+ZACB)-(ZXBC+ZXCB)=140°-90°=50°,

BPZABX+ZACX=50°.

(2)不发生变化，理由如下：

0ZA=4O°,

0ZABC+ZACB=180°-ZA=140°,

团在直角三角板中，ZYXZ=90°,

0ZXBC+ZXCB=90°,

0ZABX+ZACX=(ZABC+ZACB)-(ZXBC+ZXCB)=140°-90°=50°,

BPZABX+ZACX=50°.

(3)0ZA=n°,

ZABC+ZACB=180°-ZA=180°-n°,

团在直角三角板中，ZYXZ=90°,

SZXBC+ZXCB=90°,

0ZABX+ZACX=(ZABC+ZACB)-(ZXBC+ZXCB)=180°-H°-90°=90°-n°,

BPZABX+ZACX=(90-n)°.

【变式1】(23-24八年级上•海南省直辖县级单位•期中)如图，在VABC中，D,E分别是AB、AC上

一点，BE、CD相交于点F，若NA=50。，ZACD=40°,ZABE=30°,则/CEE的度数为()

A.50°B.60°C.120°D.130°

【答案】B

(1)由燕尾模型：/皮9=/4+/旬*+44。*从而可得义4^+/40^=/皮支：一/4

【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质、对顶角相等，由三角形外角的定义及

性质得出/BDC=/A+NACD=90。，由三角形内角和定理计算出NMD=60。，最后再由对顶角相等即可

得出答案.

解：0ZA=5O°,ZACD=40°,

0NBDC=ZA+ZACD=90°,

0ZBDF+ZDBF+NBFD=180°,

0ZBFD=180°-ZBDF-ZDBF=60°,

SZCFE=ZBFD=60°,

故选：B.

【变式2】（23-24八年级上•江西吉安・期末）如图，将一个直角三角板。跖放置在锐角三角形A3C上,

使得该三角板的两条直角边厂恰好分别经过点8,C,若NA=50。，则NABD+NACD=—.

【答案】40。/40度

【基本模型】燕尾模型：/。。8=/4+445。+/4。£＞从而可得/钻。+/48=/（乃8-4

【分析】此题考查三角形的内角和定理，直角三角形两锐角互余的关系，

根据三角形的内角和定理求出/4SC+NACB的度数，再根据直角三角形两锐角互余的关系得到

ZDBC+ZDCB=90°,由此即可得到答案.

解：如图所示，连接BC,

0ZA+ZABC+ZACB=18O°,NA=50°,

回ZABC+ZACS=180°—ZA=130°,

0^BDC=9O°,

⑦ZDBC+ZDCB=90。,

0ZABD+ZACD=(ZABC+ZACB)-(NDBC+Z.DCB)=130°-90°=40°,

故答案为：40°.

【题型2】8字模型

【例2】.(23-24七年级下•四川宜宾・期末)如图，点。在VABC的边54延长线上，点£在BC边上,

连结DE交AC于点E/C=/D.

(1)求证：Z.DAC=ZCED；

⑵若？AED66靶DFC=3?B,求NBED的度数.

【答案】⑴见解析(2)?BED1(M?

【基本模型】8字模型：ND+NDAF=NC+NCEF

【分析】本题考查了三角形内角和、三角形外角的性质，掌握这两个基本模型是关键.

(1)由三角形内角和即可求证；

(2)由互补求得NDHC度数，由=可求得度数;再由？DFC?B?D?C求得NC的度数;

再由？?C?£FC及对顶角相等即可求得结果.

解：(工)证明：?CW,AFD=?EFC,

\?DAC180??D?AFD180??C?EFC?CED；

(2)解：ZAFD=66°,

\?DFC180??AFD114?

1DFC3?B,

\-2DFC38?；

3

?DFC?DECICIB?D?C38?2?C,

\?CkDFC38?)［窗114-38?)38?,

22

\1BED?C1EFC?C?AFD104?.

【变式1】(22-23八年级上•河南三门峡•期中)如图，/C=/A=90。，ZB=25°,则2D的度数是()

c

A

A.25°B.35°C.45°D.55°

【答案】A

【基本模型】8字模型：NC+NO=ZA+NB

【分析】此题综合考查了三角形的内角和定理和对顶角相等的性质.熟练掌握定理与性质是解决问题的关

键

根据对顶角相等和三角形的内角和定理知，ZD=ZB.

解：如图，设4D与交于点。，

0ZC=ZA=9O°,ZAOB=ZCOD,

0ZD=ZB=25°.

故选：A.

c

【变式2】(24-25八年级上•全国•课后作业)如图，AF平分NA4C,DF平分/BDC,AF与BD交于

点M,AC与DF交于点N,试说明ZF,NC之间的数量关系.

【答案】ZF=1(ZB+ZC),理由见解析

【基本模型】8字模型：(1)N1+NB=N3+NF(2)Z1+ZB=Z3+ZF

【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形内角和定理等基本模型，理解8字模型成为解题的关键.

Z1+ZB+Z4+ZC=Z3+ZF+Z2+ZF,再结合/1=/2,N3=/4可得/3+NC=2ZF,进而得至U结论.

解：ZF=1(ZB+ZC),理由如下：

由AABM与为对顶角三角形可得：Z1+ZB=Z3+ZF,①

由A4VF与△DNC为对顶角三角形可得：Z4+ZC=Z2+ZF,②

①+②可得：Z1+ZB+Z4+ZC=Z3+ZF+Z2+ZF.

0Z1=Z2,Z3=Z4,

ZF=-(ZB+ZC)

0ZB+ZC=2ZF,即.

【题型3】三角形的角平分线(内内分模型)

【例3】(21-22九年级下•黑龙江哈尔滨•期中)在VABC中

⑴如图①，ZA=60°,ZB.NC的平分线交于点尸，求/BPC的度数；

⑵如图②，ZA=60。，NB、/C的三等分线交于点尸(Zl=gzABC,Z2=|zACB),求/BPC的度数；

⑶如图③，/A=尤。，/B、NC的〃等分线("23)交于点尸，求—3PC的度数.(用含x，九的式子表示)

120°

【答案】⑴N3PC=120。(2)ZBPC=100°(3)ZBPC=60°+——

n

【基本模型】(1)内内分模型：ZBPC=90°+-ZA；⑵在(1)的基础上用燕尾模型/8PC=/A+/l+/2

2

即可；(3)与(2)相同思路解决问题

【分析】此题考查了三角形内角和定理与角平分线的性质.解此题的关键是要注意数形结合思想的应用.

(1)首先根据/C的平分线交于点尸与VABC的内角和为180。，求得ZP8C+ZPCB的和，又由△P3C

的内角和为180。，求得NBPC的度数；

(2)首先根据z8、NC的三等分线分线交于点P,可得：-APBC=AABC,-ZPCB=ZACB,又由VABC

的内角和为180。，求得ZPBC+NPCB的和，又由△P3C的内角和为180。，求得-8PC的度数；

(3)首先根据/B、ZC的三等分线分线交于点P,可得：上7/PBC=ZABC,-^-ZPCB=NACB,又由7ABe

n—ln—1

的内角和为180。，求得ZPBC+NPCB的和，又由△P8C的内角和为180。，求得/BPC的度数.

(1)解：/B、NC的平分线交于点尸，

:.2NPBC=ZABC,2ZPCB=ZACB,

ZA+ZABC+ZACB=180°，

.•.ZA+2ZPBC+2ZPCB=180。,

ZA=60°,

:.ZPBC+ZPCB=60°,

/.ZBPC=180°-(ZPBC+ZPCB)=120°；

(2)解：Z1=-ZABC,Z2=-ZACB,

33

33

-ZPBC=ZABC,-ZPCB=ZACB,

22

ZA+ZABC+ZACB=180°,

33

.•.ZA+—NPBC+-ZPCB=180°,

22

ZA=60°,

..ZPBC+ZPCB=80。,

ZBPC=180°-(ZPBC+ZPCB)=100°；

(3)解：/B、NC的〃等分线(〃23)交于点尸，

YiYl

：.——ZPBC=ZABC,——ZPCB=ZACB,

n—1n—i

ZA+ZABC+ZACB=180°,

.-.ZA+—ZPBC+—ZPCB=180°,

n-\n-1

ZA=60°,

ZPBC+ZPCB=120°(-D=120°-—,

nn

120°

ZBPC=180°-(ZPBC+ZPCB)=60°+——.

n

【变式1】(2024八年级上•全国•专题练习)如图，在VABC中，ZA=84°,点。是/ABC、/ACS角

平分线的交点，点尸是—BOC、/OCB角平分线的交点，若々=100。，则一ACB的度数是()

【答案】C

【基本模型】内内分模型：40C=9(F+』ZA,再利用角平分线性质及三角形内角和定理即可.

2

【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识；设ZBCP=ZPCO=x,ZBOP=ZCOP=y,

由NP=100°,推出x+y=80°,推出2.x+2y=160。，推出/08。=180。-160。=20。，可得NABC=40°,由此

即可解决问题.

解：设ZBCP=ZPCO=x,NBOP=NCOP=y,

ZP=100°,

ZPCO+ZCOP=X+y=80。，

/.2%+2y=160°,

ZOBC=180°-(ZBOC+/BCO)=180°-(2x+2y)=l80°-160°=20°,

30平分/ABC,

.-.ZABC=40°,

ZA=84°,

ZACB=180°-40°-84°=56°.

故选：C.

【变式2】(22-23八年级上•湖南娄底•期中)如图，在VABC中，BD、CD分别为—ABC、—ACB的角

平分线，两线交于点D,ZA=40°.则"=.

【答案】no。/no度

【基本模型】内内分模型：ZBDC=90°+-ZA

2

【分析】本题考查角平分线的定义、三角形内角和定理，根据三角形内角和定理求得NABC+NACB=140。，

再根据角平分线的定义可得NABC=2NZ汨C,ZACB=2ZDCB,进而可得NOBC+NOCB=70。，再利用

三角形内角和定理求解即可.

解：0ZA=4O°,

0ZABC+ZACB=180°-40°=140°,

0BD>CD分别为/ABC、—ACS的角平分线,

EZABC=2Z£>BC,ZACB=2ZDCB,

E2ZDBC+2ZDCB=140°,即ZDBC+Z.DCB=70°,

0Z.BDC=180°-(NDBC+ZPCB)=180°-70°=110°,

故答案为：110°.

【题型4】三角形的角平分线(内外分模型)

【例4】在VABC中，/ABC的平分线与外角/ACE的平分线相交于点D

⑴若ZABC=60。，ZACB=400,求NA和NO的度数.

(2)求证：NA=2NO.

【答案】⑴ZA=80。；ZD=40。(2)见解析

【基本模型】内外分模型：ZD=-ZA

2

【分析】此题主要考查三角形内角和定理，三角形的外角性质，解题的关键在于根据角平分线定义和外角

的性质即可求得一£＞度数.

(1)根据三角形内角和定理，己知NABC=60。，ZACB=4O°,易求—A,根据角平分线定义和外角的性

质即可求得/O度数；

(2)根据三角形内角和定理以及角平分线性质，先求出-D的等式，再与-A比较即可解答.

(1)解：在VA5c中，ZABC=60°,ZACB=40°,

回/A=180。—ZABC-ZACB=80°,

回8。为—ABC,CD为/ACE的角平分线，

0ZDBC=-ZABC=-x60°=30°,

22

ZACD=j(180°-ZACB)=1x140°=70°,

0ZD=18O°-NDBC-ZACB-ZACD=180°-30°-40°-70°=40°,

0ZA=8O°,ZD=40°；

(2)解：SZACE=ZA+ZABC,

0ZACD+NECD=ZA+ZABD+NDBE,ZDCE=ZD+ZDBC,

又回为—ABC,CD为/ACE的角平分线,

^ZABD=ZDBE=-ZABC,ZACD=ZECD=-ZACE,

22

0ZA=ZACE-ZABC=2（ZDCE-NDBC）,

又团〃=NDCE-NDBC,

0ZA=2ZE>.

【变式1】（23-24八年级下•江西•单元测试）如图，84和CA分别是VABC的内角平分线和外角平分线,

睡是乙4出。的角平分线CA2是NACD的角平分线，B4是4422n的角平分线，C4是442c。的角平分

线，若/4=蟆，则幺必为（）

D・22021

【答案】B

【基本模型】内外分模型：=1/A•……4-1

【分析】本题考查的是三角形的内角定理，利用角平分线的定义、三角形外角的性质，易证

试着用含-A的代数式表示出/4、N4；通过分析可得出Z4=1z4=^ZA,回以此类推

可知幺=*4,接下来结合”=2024,乙4=2/4=。即可求出乙媪4的度数

解：回昭平分,ABC,CA平分ZACD,

0Z4BC=|zABC,ZAlCD=^ZACD,

0ZA1CJD=ZA1+ZABC,

即（ZACD=4+；/A8C,

回幺=1（ZACD-ZABC）,

回NA+NABC=NACD,

^\ZA=ZACD-ZABCf

回NR=；NA

同理可得，N4=；Z4=*NA，N4=；N44NA，物，幺期二击/儿

回乙“24=22024=。，

,“1a

回N4024=萍?xa=娶何

故选：B

【变式2】（23-24七年级下•安徽阜阳•期末）如图，84和C4分别是VA3C的内角平分线和外角平分线,

B4是N4BD的角平分线，C&是NAC。的角平分线，B4是N&BD的角平分线，5是N&C。的角平

分线，…，若NA=c,则/A=；a品22=.

【基本模型】内外分模型：ZA=|ZA；ZA=1ZA….…AT=（/A-

【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，找出NA，/4,N&

11

与/A的规律是解题的关键.根据角平分线的定义可得=ZA1CD=-ZACD,再根据三

角形外角的性质可得g（NABC+NA）=gNABC+4,化简可得NA=g/A,进一步找出其中的规律，即

可求出/4022的度数.

解：BA1和C4分别是VABC的内角平分线和外角平分线，

ZA[BD=^ZABC,ZAiCD=^ZACD,

又QNACD=/ABC+/A,ZA^CD=ZA.BD+ZA,,

：（LC+NA）=|ZABC+,

11

二.NA——NA——CL

22F

同理可得：——ZA,

……

则4()22

/A=a,

•/a1

••"4()22=22。22。，

故答案为：ga，我7.

【题型5】三角形的角平分线（外外分模型）

【例5】（24-25八年级上•全国•课后作业）已知NMON,点AB分别在射线ON,ON上移动（不与点0

重合），平分NBAN,BC平分NABM,AD（或其反向延长线）与BC交于点C.

⑴如图①，若NMON=90。，试猜想—ACB的度数，并直接写出结果;

（2）如图②，若/MON=（z,问：当点A3在射线ON,ON上运动的过程中，/ACB的度数是否改变?

若不改变，求出其值（用含a的式子表示）；若改变，请说明理由.

【答案】⑴45。（2）不变，90°-1a

【基本模型】外外分模型：ZACB=90°--ZO

2

【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，熟练掌握以上基本模型并灵活运用是解此题的

关键.

(1)由角平分线的定义得出NNAO=ZBAr>=；NBAN,ZABC=ZMBC=|ZABM,求出

ZBAO+ZABO=90°,再求出NC4B+NCBA=；(NBAN+NABM)=135。，即可得出答案；

(2)由角平分线的定义得出NNAO=ZBAr>=；ZBAN,ZABC=ZMBC=|ZABM,求出

ZBAO+ZABO=180°-a,再求出NC42+NCSA=g(/BAN+NABM)=90。+ga,即可得解.

(1)解：AD平分NR4N,BC平分ZABM,

^ZNAD=ZBAD=-ZBAN,ZABC=ZMBC=-ZABM,

22

0ABAO+ZABO=180°-ZAC®=90°,

ElZCAB+ZCBA=g(/BAN+ZABM)=1(360°-90°)=135°,

0ZACB=18O°-135°=45°.

(2)解：/ACS的度数不改变.

回A£＞平分々BAN,BC平分NABM,

0ANAD=ABAD=-ABAN,ZABC=ZMBC=-ZABM.

22

SZBAO+ZABO=1800-ZAOB=18Q°-a,

0ZCAB+ZCBA=1(ZBAiV+ZABM)=1[360°-(180°-«)]=90°+1a,

EZACB=180°-(/CAB+ZCBA)=90°—；a.

【变式1】(23-24八年级上•河南信阳•开学考试)如图所示，BD、CD分别是VA2C的两个外角/C5E、

ZBCF的平分线，则NBDC与—A之间的数量关系为.

A

【答案】ZBDC=90°-1zA

【基本模型】外外分模型：ZACB=90°--Z(9

2

【分析】本题考查了三角形内角和、三角形外角的性质及角平分线的定义；由角平分线的定义得

?DBCDCB=^BCF■由三角形外角的性质得NCBE=NA+NACB,NBCF=ZA+ZABC,再

由三角形内角和即可求解.

解：BD、CD分别是VABC的两个外角/C3E、/8b的平分线,

\?DBC-WBE,DCB=-?BCF,

22

\2DBC?DCB；(?CBE?BCF)■

?CBE?A?ACB,ZBCF=ZA+ZABC,

\?CBE?BCFTA(?A7ABC?ACB)?A180?；

\1DBC2DCBLQCBE?BCF)-?A90?,

22

\2BDC180?QDBC2DCB)

=180?费?A90?

=90°--ZA.

2

故答案为：ZBDC=90°-1ZA.

【变式2］如图，已知在44BC中，NB、NC的外角平分线相交于点G,若NABC=m°,ZACB=n°

求/3GC的度数.

【答案】ZBGC=1(w+n)

【基本模型】外外分模型：ZBGC=90°--ZA

2

【分析】运用角平分线的知识列出等式求解即可.解答过程中要注意代入与之有关的等量关系.

解：回B、回C的外角平分线相交于点G,

在ABCG中，

11、

EBGC=180°-(-0EBC+-EBCF)

22

=180°--(0EBC+0BCF)

2

=180°--(18O°-0ABC+18O0-0ACB)

2

=180°--(180°-m°+180o-n°)；

2

【点拨】本题考查的是三角形内角和定理以及角平分线的知识.此类题的关键是找出与之相关的等量关系

简化计算得出.

【题型6】角平分线+平行线模型

【例6】（23-24七年级下•河南新乡•期末）如图，在VABC中，8。是443c的平分线，DE//BC,ZA=

50°,NBDC=,求和的度数.

【答案】ZBDE=20°,NBED=140。

【基本模型】角平分线+平行线：DEBC+/ABD=NCBD-DE=BE

【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，根据三角

形的外角的性质可得NABD,根据角平分线的定义可得/®=NCBD=20。，根据平行线的性质可得

ZEDB=Z.CBD=20°,进而根据三角形的内角和定理即可求解.

解：ZBDC=ZA+ZABD,

ZABD=NBDC-ZA=20。，

是/A5c的平分线，

:.ZABD=ZCBD=20°,

DE//BC,

:.NEDB=NCBD=24。,

ABED=180°-ZABD-ZEDB,

:"BED=180。-20°-20°=140°.

【变式1】（2022八年级上•浙江•专题练习）如图，在VABC中，8D平分/ABC,DE〃BC交AB于点、

E.若/A=70P,ZBDC=100°,则即的度数为（）

A.120°B.130PC.140°D.150°

【答案】A

【基本模型】角平分线+平行线：DEBC+NABD=NCBD，DE=BE

【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质等知识.求出NEBD,ZEDB,再

利用三角形内角和定理即可解决问题.

解：^\ZA+ZABD=ZBDC,NA=7QP,ZBDC=100°,

0ZABD=3O°,

回8。平分/ABC,

0ZABD=ZCBD=30°,

又EIDE1〃台C,

0Z.BDE=NCBD=30°,

0NBED=180°-ZABD-NBDE=120°.

故选：A.

【变式2】（23-24七年级下•山东•期末）如图，在11ABe中，DE//BC,D,E分别为边4B,AC

上两点，且CD是ZAC3的角平分线.若NEDC=29。,4=74。，则NA=°.

【基本模型】角平分线+平行线：DEBC+ZACD=ZBCDDE=BE

【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及平行线的性质，在ABC中，利用三角形内

角和定理，可求出/ACB的度数，结合角平分线的定义，可求出/BCD的度数，由小〃3C,再利用"两

直线平行，内错角相等"，即可求出/即C的度数.

解：DE//BC,/EDC=29。,ZB=74。，

.-.ZEDC=ZBCD=29°.ZADE=ZB=74°,

CD是/ACS的角平分线，

ZACB=2ZBCD=58°.

在aABC中，NACB=58°,ZB=74°,

ZA=1800-ZACB-ZB=180°-58°-74°=48°,

故答案为：48.

第三部分【中考链接与拓展延伸】

1、直通中考

【例1】（2024・四川达州・中考真题）如图，在ABC中，A片,2耳分别是内角/。山、外角NCBO的

三等分线，且/月=ZEtBD=^ZCBD,在AB瓦中，AE2,82分别是内角NgAB,外角

%BD的三等分线.S.ZE2AD=^ZEtAB,ZE2BD=^ZEtBD,以此规律作下去.若/C="。.则=

【分析】本题考查了三角形的外角定理，等式性质，熟练掌握知识点是解题的关键.

先分别对△ABC,△E；AB运用三角形的外角定理，设NgAO=c,则/。钻=30,NE、BD=。，则

ZCBD=3/3,得到£=々+/&，3/3=3a+ZC,同理可求：ZE2=1zE1=QjZC,所以可得

4T”•

解：如图:

回设/E|AO=a,NE\BD=。，则NG4S=3a,ZCBD=3jB,

由三角形的外角的性质得：B=a+组,3/3=3a+ZC,

回Ng=|zC,

如图:

即/£,=3*，

故答案为：—m.

【例2】（2019•辽宁铁岭•中考真题）如图，在△CEF中，NE=80。，ZF=50°,ABCF,ADCE,

连接BC,CD,则—A的度数是（）

A.45°B.50°C.55°D.80°

【答案】B

【分析】连接4c并延长交EE于点M.由平行线的性质得/3=Z1,—2=14,再由等量代换得

ZBAD=/3+/4=N1+N2=/FCE,先求出ZFCE即可求出—A.

解:连接AC并延长交EF于点M.

ABCF,

...N3=N1,

,ADCE,

.•.N2=N4,

.•.NBA。=N3+N4=N1+N2=々CE,

ZFCE=18O°-ZE-ZF=180°-80°-50°=50°,

:.ZBAD=ZFCE=50°,

故选B.

【点拨】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和定理，属于基础题型.

【例3】（2020•北京•中考真题）如图，AB和CD相交于点0,则下列结论正确的是（）

A.01=02B.02=03C.01>S4+05D.02<05

【答案】A

【分析】根据对顶角性质、三角形外角性质分别进行判断，即可得到答案.

解：由两直线相交，对顶角相等可知A正确；

由三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和可知

B选项为回2〉回3,

C选项为回1=回4+回5,

D选项为团2〉回5.

故选：A.

【点拨】本题考查了三角形的外角性质，对顶角性质，解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质进行判断.

2、拓展延伸

【例1】如图1所示的图形，像我们常见的学习用品一一圆规.我们不妨把这样图形叫做"规形图"，请发

挥你的聪明才智，解决以下问题：

A

AAA

（1）观察"规形图"，试探究NB3C与NA、NB、/C之间的关系，并说明理由;

（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题:

①如图2,把一块三角尺屹放置在ABC上，使三角尺的两条直角边AT、XZ恰好经过点8、C,若

ZA=50°,直接写出NABX+/ACX的结果；

②如图3,DC平分/ADB,EC平分ZAEB,若/04£=50。,/。8£1=130。，求/DCE的度数；

③如图4,ZABRNACO的10等分线相交于点Gl、G>.、G§,若NBDC=140。,/BG©=77°,求-A的

度数.

【答案】（1）NBDC=ZA+N3+NC,见解析

⑵①40°；（2）90°；（3）70°

【分析】（1）首先连接AD并延长，然后根据外角的性质，即可判断出NBDC=NA+N3+NC；

（2）①由（1）可得/ABX+NACX+NA=NBXC,然后根据NA=40。，ZBXC=90°,即可求出

ZABX+ZACX的值；②由（1）可得ZDBEuZZME+ZADB+ZAJSS,再根据//"£=50。,/。8£1=130。，

求出/4DB+NAEB的值；然后根据NDCE=g（/A£>B+NAE8）+ND4E,即可求出—OCE的度数；③设

NABG=x°,NACG=V,结合已知可得ZABD=10x。，ZACD=10y。，再根据（1）可得NA+无。+y。=77。，

NA+1Ox。+10y。=140。，即可判断出—A的度数.

解：（工）解：ZBDC=ZA+ZB+ZC,理由如下：

如图，连接AD并延长.

根据外角的性质，可得/BDF=ZBAD+ZB,ZCDF=ZC+ZCAD,

又国NBDC=NBDF+NCDF,ZBAC=ZBAD+Z.CAD,

ZBDC=ZA+AB+Z.C,

故答案为：N3r>C=ZA+N3+NC；

(2)①由(1)可得/ABX+NACX+NA=N8XC,

0ZA=5O°,ZBXC=90°,

0ZABX+ZACX=90°-50°=40°；

②由(1)可得NDBE=NDAE+/ADB+NAEB,

0ZADB+ZAEB=ZDBE-ZDAE=130°-50°=80°,

01(ZADB+ZAEB)=80°+2=40°,

0ZDCE=1(ZADB+/AEB)+ZDAE=500+40°=90°；

③设/A8G=x°，/ACG]=y°,

则/ABD=10无。，ZACD=lQy°,

贝IjZA+无。+y°=77°,ZA+10x°+10y°=140°,

解得x+y=7°,

所以ZA=77°-7°=70°,

即NA的度数为70。.

【点拨】此题还考查了三角形的外角的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的外角等于

和它不相邻的两个内角的和.

【例2】如图①，在0A8C中，0ABe与0ACB的平分线相交于点P.

(1)如果0A=70。,求助PC的度数;

(2)如图②，作0ABe外角团"BC,回NCB的角平分线交于点。，试探索团。，0A之间的数量关系.

(3)如图③，延长线段BP,QC交于点E