沪科版八年级数学 13.1三角形中的边角关系（学习、上课课件）

13.1三角形中的边角关系第13章三角形中的边角关系、命题与证明13.1.1三角形中边的关系逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2三角形的相关元素三角形按边分类三角形的三边关系知识点三角形的相关元素知1－讲11.

三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫做三角形.三角形的“三要素”：(1)三条线段；(2)三个顶点不在同一条直线上；(3)三条线段首尾依次相接.知1－讲三角形的表示法：用符号“△”表示三角形，如图13.1.1-1，顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”.字母的顺序可以自由安排知1－讲2.

三角形的“三元素”(1)顶点：三角形相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点.如图13.1.1-1，点A，B，C是△ABC的三个顶点.知1－讲(2)边：组成三角形的线段叫做三角形的边.如图13.1.1-1，线段AB，BC，AC是△ABC的三条边.三角形的边是线段，既可用两个顶点的大写字母表示，也可用边所对的顶点的小写字母表示，如顶点A所对的边BC可用a表示.知1－讲(3)内角：在三角形中，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角.如图13.1.1-1，∠A，∠B，∠C是△ABC的三个角.知1－练例1如图13.1.1-2，在△BCE中，边BE所对的角是______，∠CBE所对的边是______；在△AEC中，边AE所对的角是______，∠AEC所对的边是_____；以∠A为内角的三角形有________________________.解题秘方：紧扣“三角形的定义及其三要素”进行解答.∠BCECE∠ACEAC△ABD，△ABC，△ACE知1－练1-1.观察图形，回答问题.(1)图中共有多少个三角形？请写出来．解：图中有△BDE，△CDE，△ACE，△BCE，△ABC，共5个三角形.知1－练(2)若有一个公共角的两个三角形称为一对“共角三角形”，则以∠B为公共角的“共角三角形”有哪些？解：以∠B为公共角的“共角三角形”有△BDE与△BCE，△ABC与△BCE，△BDE与△ABC.知2－讲知识点三角形按边分类2

知2－讲分类示意图如图13.1.1-3.知2－讲特别提醒1.顶角是直角的等腰三角形称为等腰直角三角形．2.三角形按边分为不等边三角形和等腰三角形两类，而不是不等边三角形和等边三角形；等边三角形是属于等腰三角形的，它不能单独作为一类．知2－讲2.

等腰三角形有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边叫做腰，第三边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角.(如图13.1.1-4)特别地，三边都相等的三角形叫做等边三角形，即底边与腰相等的等腰三角形叫做等边三角形，又叫做正三角形.知2－练[易错题]下列说法：①三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形；②等边三角形一定是等腰三角形；③有两边相等的三角形一定是等腰三角形.其中正确的有()A.1个 B.2个 C.3个 D.0个例2解：等边三角形是特殊的等腰三角形，它属于等腰三角形，故①错误；②正确；③为等腰三角形的定义，故正确.B知2－练2-1.[期末·合肥瑶海区]一个三角形三个内角的度数之比是2∶3∶4，则这个三角形是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形A知3－讲知识点三角形的三边关系31.

三角形的三边关系文字语言数学语言理论依据图形三角形中任何两边的和大于第三边a＋b>c，b＋c>a，a＋c>b两点之间线段最短三角形中任何两边的差小于第三边a－b<c，b－c<a，a－c<b(a>b>c)知3－讲2.三角形三边关系的应用(1)判断三条线段能否组成三角形；(2)已知三角形的两边长，确定第三边长(或周长)的取值范围；(3)三角形的边长用字母表示时，求字母的取值范围；(4)说明线段的不等关系.知3－讲特别提醒三角形中的“两边”指任意两边，应用时常选取两条较短的边的和与第三边作比较，选取最长边与最短边的差与第三边作比较.知3－练在下列长度的四条线段中，能与长6cm，8cm的两条线段围成一个三角形的是(

)A.1cm B.2cm C.13cm D.14cm例3解题秘方：紧扣三角形三边之间的关系进行判断.解：设第三条线段长xcm,由题意得8－6<x<8＋6，即2<x<14，选项中只有C适合.C知3－练方法点拨：确定三条线段能否组成三角形的两种方法：1.看较短的两条线段的和是否大于最长的线段，若是，则能组成三角形；反之，则不能组成三角形.2.看最长的线段减去最短的线段的差是否小于第三条线段，若是，则能组成三角形；反之，则不能组成三角形.知3－练3-1.木工师傅想做一个三角形的框架，他有两根长分别为30cm和32cm的木条，需要将其中一根木条分为两部分与另一根组成一个三角形．如果不考虑损耗和接头部分，那么木工师傅应该选择把哪根木条分为两部分？(

)A．长为30cm的木条 B．长为32cm的木条C．两根都可以 D．两根都不行B知3－练三个数3，1－a，1－2a在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则a的取值范围为___________.解题秘方：由三个数的大小关系初步确定a的取值范围，再紧扣三角形的三边关系求出a的取值范围.－3<a<－2例4知3－练解：因为3，1－a，1－2a在数轴上从左到右依次排列，所以3<1－a<1－2a.所以a<－2.因为以这三个数为边长能构成三角形，所以3＋(1－a)>1－2a.所以a>－3.所以－3<a<－2.知3－练4-1.已知n为整数，若一个三角形的三边长分别是4n＋31，n－13，6n，则所有满足条件的n值的和为_______.48三角形中边的关系三角形分类按边分类不等边三角形等腰三角形三边关系组成元素边顶点内角13.1三角形中的边角关系第13章三角形中的边角关系、命题与证明13.1.2三角形中角的关系逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2三角形按角分类三角形的内角和定理知识点三角形按角分类知1－讲11.

各类三角形的概念(1)

锐角三角形：三角形中,三个角都是锐角的三角形.(2)

直角三角形：三角形中,有一个角是直角的三角形.(3)

钝角三角形：三角形中，有一个角是钝角的三角形.知1－讲2.直角三角形的表示直角三角形中夹直角的两边叫做直角边，直角相对的边叫做斜边,直角三角形ABC可以写成“Rt△ABC”，如图13.1.2-1所示.知1－讲

知1－讲拓展1.三角形的内角中，最多有一个直角或一个钝角，最少有两个锐角.2.三角形按边分类和按角分类是两种不同的分类方式，各自独立，无论按哪种标准分类,原则都是不重不漏.3.等腰直角三角形，按边分类属于等腰三角形，按角分类属于直角三角形.知1－练例1根据下列所给条件，判断△ABC的形状.(1)∠A＝40°，∠B＝60°，∠C＝80°；(2)∠C＝120°；(3)∠C＝90°.解题秘方：紧扣三角形分类的标准进行辨析.按角分类的关键是先观察一个三角形中是否有直角或钝角.知1－练解：(1)因为三个角都是锐角，所以△ABC是锐角三角形.(2)因为∠C＝120°＞90°，所以△ABC是钝角三角形.(3)因为∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形.由角的大小判断三角形形状的方法：(1)若最大角为锐角，则该三角形为锐角三角形；(2)若最大角为直角，则该三角形为直角三角形；(3)若最大角为钝角，则该三角形为钝角三角形.知1－练1-1.[期中·阜阳颍泉区]如图，一个三角形被木板遮掩了一部分，则这个三角形为(

)A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定D知2－讲知识点三角形的内角和定理21.

定理三角形的内角和等于180°.几何语言：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°.知2－讲2.

说明三角形的内角和定理的思路我们用折叠(图13.1.2-2)、剪拼(图13.1.2-3)的方法，将三角形的三个角拼在一起，得到三角形的内角和，这体现了数学中的转化思想.知2－讲特别解读“三角形的内角和等于180°”揭示了三角形的三个内角之间的数量关系.若已知三角形中任意两个角的度数，则可以求得第三个角的度数;若已知三个角的关系或三个角的度数之比，可以求各个角的度数.知2－练

例2解题秘方：紧扣三角形的内角和定理建立方程(组)求解.(1)已知∠A＝40°，∠B＝∠C，求∠B，∠C的度数；知2－练解：设∠B＝∠C＝x°，因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝40°，所以40＋x＋x＝180，解得x＝70，所以∠B＝∠C＝70°.(2)已知∠A－∠B＝16°，∠C＝54°，求∠A，∠B

的度数；知2－练

知2－练

知2－练教你一招：三角形中求角的度数问题一般用方程思想求解.当角之间存在某种数量关系时，一般根据三角形的内角和为180°列方程求解.知2－练

B知2－练2-2.[期末·合肥]在△ABC中，∠B＝3∠A，∠C＝∠B＋40°，求△ABC的各内角度数.解：因为∠B＝3∠A，∠C＝∠B＋40°，所以∠C＝3∠A＋40°.因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以∠A＋3∠A＋3∠A＋40°＝180°，解得∠A＝20°，所以∠B＝60°，∠C＝100°.三角形中角的关系三角形中角的关系按角的大小分类直角三角形斜三角形三个内角的数量关系内角和等于180°13.1三角形中的边角关系第13章三角形中的边角关系、命题与证明13.1.3三角形中几条重要线段逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2三角形的角平分线三角形的中线三角形的高知识点三角形的角平分线知1－讲1定义三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.知1－讲特别提醒◆角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段.◆三角形的角平分线是其内角的平分线的一部分.故角的平分线的性质三角形的角平分线都具有.知1－讲

知1－练例1如图13.1.3-2，在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE⊥AC于点E，∠C＝70°，∠ABC＝48°，那么∠3＝(

)A.59°B.60°C.56°D.22°知1－练解题秘方：紧扣角平分线的定义，再利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解.

答案：A知1－练1-1.[期末·宿州]如图，AB∥CD，CE⊥CD于点C，∠BAE为钝角，∠BAE的平分线与∠AEC的平分线交于点F，则∠F的度数为(

)A．30°B．45°C．50°D．无法确定B知2－讲知识点三角形的中线21.定义三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线.知2－讲

知2－讲2.

三角形的重心三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心(如图13.1.3-4中的点O)，重心在三角形内部.知2－讲特别解读三角形的中线把三角形分成的两个三角形的面积和周长的关系：1.两个三角形的面积相等；2.两个三角形的周长的差等于这两个三角形另两边的差.知2－练如图13.1.3-5，在△ABC中，AD，BE分别是△ABC，△ABD的中线.例2解题秘方：利用中线将三角形分成的两个三角形的周长之间的关系和面积之间的关系解题.知2－练解：因为AD为BC边上的中线，所以BD＝CD.所以△ABD与△ADC的周长之差为(AB＋AD＋BD)－(AC＋AD＋CD)＝AB－AC.因为△ABD与△ADC的周长之差为3，AB＝8，所以8－AC＝3，解得AC＝5.(1)若△ABD与△ADC的周长之差为3，AB＝8，求AC的长；知2－练

(2)若S△ABC＝8，求S△ABE.知2－练2-1.[期末·亳州]如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，且△BEF的面积是4，则△ACE的面积是(

)A.2B.3C.4D.4.5C知3－讲知识点三角形的高31.

三角形的高的定义和性质定义从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高图形知3－讲续表：性质因为AD是△ABC的边BC上的高(已知)，所以AD⊥BC于点D(或∠ADB＝∠ADC＝90°)判定因为AD⊥BC于点D(或∠ADB＝∠ADC＝90°)(已知)，所以线段AD是△ABC的边BC上的高(高的定义)知3－讲特别提醒作三角形某边上的高的方法：1.找出该边所对的顶点;2.过此顶点作该边的垂线，垂线段为该边上的高.知3－