高中数学 3.1.2 椭圆的简单性质课时作业 北师大版选修2-1

1.2椭圆的简单性质课时目标1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.2.明确标准方程中a，b以及c，e的几何意义，a、b、c、e之间的相互关系.3.能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程范围顶点轴长短轴长＝____，长轴长＝____焦点焦距对称性对称轴是________，对称中心是________离心率一、选择题1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是()A．5,3，eq\f(4,5)B．10,6，eq\f(4,5)C．5,3，eq\f(3,5)D．10,6，eq\f(3,5)2．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4eq\r(5)，则椭圆的方程为()A.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,16)＝1B.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,36)＝1C.eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,4)＝1D.eq\f(y2,6)＋eq\f(x2,4)＝13．若焦点在x轴上的椭圆eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,m)＝1的离心率为eq\f(1,2)，则m等于()A.eq\r(3)B.eq\f(3,2)C.eq\f(8,3)D.eq\f(2,3)4．如图所示，A、B、C分别为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的顶点与焦点，若∠ABC＝90°，则该椭圆的离心率为()A.eq\f(－1＋\r(5),2)B．1－eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2)－1D.eq\f(\r(2),2)5．若直线mx＋ny＝4与圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的交点个数为()A．至多一个B．2C．1D．06．已知F1、F2是椭圆的两个焦点．满足eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A．(0,1)B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))题号123456答案二、填空题7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为eq\f(\r(5),5)，且过点P(－5,4)，则椭圆的方程为______________．8．直线x＋2y－2＝0经过椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于_____________________________________________．9．若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有公共点，则过点(m，n)的直线与椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1的交点个数为________．三、解答题10.如图，已知P是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上且位于第一象限的一点，F是椭圆的右焦点，O是椭圆中心，B是椭圆的上顶点，H是直线x＝－eq\f(a2,c)(c是椭圆的半焦距)与x轴的交点，若PF⊥OF，HB∥OP，试求椭圆的离心率e.11．已知F1、F2是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，若eq\o(AF2,\s\up6(→))·eq\o(F1F2,\s\up6(→))＝0，椭圆的离心率等于eq\f(\r(2),2)，△AOF2的面积为2eq\r(2)，求椭圆的方程．能力提升12．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()A.eq\f(4,5)B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,3)13．已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F1(－eq\r(3)，0)，且右顶点为D(2,0)．设点A的坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2))).(1)求该椭圆的标准方程；(2)若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．1．椭圆的范围实质就是椭圆上点的横坐标和纵坐标的取值范围，在求解一些存在性和判断性问题中有着重要的应用．2．椭圆既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形．椭圆的对称性在解决直线与椭圆的位置关系以及一些有关面积的计算问题时，往往能起到化繁为简的作用．3．椭圆的离心率是反映椭圆的扁平程度的一个量，通过解方程或不等式可以求得离心率的值或范围．1．2椭圆的简单性质知识梳理焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a顶点(±a,0)，(0，±b)(±b,0)，(0，±a)轴长短轴长＝2b，长轴长＝2a焦点(±c,0)(0，±c)焦距2c＝2eq\r(a2－b2)对称性对称轴是坐标轴，对称中心是原点离心率e＝eq\f(c,a)，0<e<1作业设计1．B[先将椭圆方程化为标准形式：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,25)＝1，其中b＝3，a＝5，c＝4.]2．A3.B4．A[由(a＋c)2＝a2＋2b2＋c2，∵b2＝a2－c2，∴c2＋ac－a2＝0，∵e＝eq\f(c,a)，∴e2＋e－1＝0，∴e＝eq\f(－1＋\r(5),2).]5．B[∵eq\f(4,\r(m2＋n2))>2，∴eq\r(m2＋n2)<2.∴点P(m，n)在椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的内部，∴过点P(m，n)的直线与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有两个交点．]6．C[∵eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0，∴M点轨迹方程为x2＋y2＝c2，其中F1F2为直径，由题意知椭圆上的点在圆x2＋y2＝c2外部，设点P为椭圆上任意一点，则|OP|>c恒成立，由椭圆性质知|OP|≥b，其中b为椭圆短半轴长，∴b>c，∴c2<b2＝a2－c2，∴a2>2c2，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2<eq\f(1,2)，∴e＝eq\f(c,a)<eq\f(\r(2),2).又∵0<e<1，∴0<e<eq\f(\r(2),2).]7.eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,36)＝1解析设椭圆的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，将点(－5,4)代入得eq\f(25,a2)＋eq\f(16,b2)＝1，又离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),5)，即e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(1,5)，解之得a2＝45，b2＝36，故椭圆的方程为eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,36)＝1.8.eq\f(2\r(5),5)解析由题意知椭圆的焦点在x轴上，又直线x＋2y－2＝0与x轴、y轴的交点分别为(2,0)、(0,1)，它们分别是椭圆的焦点与顶点，所以b＝1，c＝2，从而a＝eq\r(5)，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2\r(5),5).9．2解析由题意可知，圆心O到直线mx＋ny＝4的距离大于半径，即得m2＋n2<4，所以点M(m，n)在圆O内，而圆O是以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆，故点(m，n)在椭圆内，因此过点(m，n)的直线与椭圆必有2个交点．10．解依题意知Heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a2,c)，0))，F(c,0)，B(0，b)．设P(xP，yP)，且xP＝c，代入到椭圆的方程，得yP＝eq\f(b2,a).∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a))).∵HB∥OP，∴kHB＝kOP，即eq\f(b－0,0＋\f(a2,c))＝eq\f(\f(b2,a),c).∴ab＝c2.∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(b,c)，∴e2＝eq\f(a2－c2,c2)＝e－2－1.∴e4＋e2－1＝0.∵0<e<1，∴e＝eq\r(\f(\r(5)－1,2)).11．解∵eq\o(AF2,\s\up6(→))·eq\o(F1F2,\s\up6(→))＝0，∴AF2⊥F1F2，因为椭圆的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，则b2＝eq\f(1,2)a2，设A(x，y)(x>0，y>0)，由AF2⊥F1F2知x＝c，∴A(c，y)，代入椭圆方程得eq\f(c2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，∴y＝eq\f(b2,a)，∵△AOF2的面积为2eq\r(2)，∴S△AOF2＝eq\f(1,2)x×y＝2eq\r(2)，即eq\f(1,2)c·eq\f(b2,a)＝2eq\r(2)，∵eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，∴b2＝8，∴a2＝2b2＝16，故椭圆的方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1.12．B[由题意知2b＝a＋c，又b2＝a2－c2，∴4(a2－c2)＝a2＋c2＋2ac.∴3a2－2ac－5c2＝0.∴5c2＋2ac－3a2＝0.∴5e2＋2e－3＝0.∴e＝eq\f(3,5)或e＝－1(舍去)．]13．解(1)∵a＝2，c＝eq\r(3)，∴b＝eq\r(a2－c2)＝1.∴椭圆的标准方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)设P(x0，y0)，M(x，y)，由中点坐