2024-2025学年河北省邢台市高三（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年河北省邢台市邢襄联盟高三（上）开学数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.若集合AB={x\2—x<1},则znB=(:)

A.[1,2)B.[-1,0)C.(2,+00)D.(-8,0)

设复数

2.z=I17,贝!j2z-z=()

A.l-3iB.3-iC.1-iD.3+i

JI

3.若sin(a苦)=|,则cos(i-2a)=()

r4展D-i

A.c9

4.某地区为研究居民用电量y（单位：度）与气温久（单位：°C）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天

的气温，并得到了如表数据：

气温%/℃36912

用电量y/度24201410

由表中数据得到的经验回归方程为y=bx+a,若6=-1.6,贝Ua的值为（）

A.27B.29C.34D.36

5.已知双曲线M的左、右焦点分别为％,F2,过点力且与实轴垂直的直线交双曲线M于4B两点若aaB

尸2为等边三角形，则双曲线M的离心率为（）

A.A/3B.72C.2D.V3+1

6.已知函数/'（X）=ln（x+£+4）在[1,+8）上单调递增，则小的取值范围为（）

A.（-5,0]B.（-oo,l]C.[0,1]D.（-5,1]

7.已知函数/（x）=Q-砌（%2一为在x=a处取得极小值，贝!|a=（）

A.-1B.0C.1D.0或1

8.有4名男生、3名女生和2个不同的道具（记作4和B）参与一个活动，活动要求：所有人（男生和女生）必须

站成一排，女生必须站在一起，并且她们之间按照身高从左到右由高到低的顺序排列（假设女生的身高各

不相同）；两个道具a和B必须被分配给队伍中的两个人（可以是男生，也可以是女生），但这两人不能站在

一起.满足上述所有条件的排列方式共有（）

A.2400种B,3600种C.2880种D.4220种

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二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，IWJ相等，侧面积也相等，则()

A.圆柱和圆锥的体积之比为3B.圆柱的底面半径和高之比为避

C.圆锥的母线和高之比为2D.圆柱和圆锥的表面积之比为|

10.已知函数/'(x)=sinx+cosx+x,则下列结论正确的是()

TTTT

AJO)的图象关于y轴对称B./Q)的图象关于点(-不-成对称

TTTT

C./O)的图象关于直线久=5对称D.X=5是/(%)的极大值点

11.已知a=log510,b=log210,c=logo.o610，则下列不等式成立的是()

A.a+b>4B.4r>64”

C.a(b+1)>3+2也D.b+c+be<0

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知向量。=(1,3)力=(-2,%)/=(y,y),若五+b=c,则b-c=.

13.已知实数a,b满足。2+62=24—2b,则，言的最大值为.

14.在四棱锥P-48CD中，底面4BCD为菱形，AB=BD=2,点P到AD,BC的距离均为2,则四棱锥

PTBCD的体积为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知函数/Q)=x—xlnx-a.

(1)若曲线y=f(x)在点(1)(1))处的切线方程为y=bx+2,求实数a和b的值；

(2)若函数/(%)无零点，求a的取值范围.

16.(本小题15分)

如图，在直四棱柱ABCD—AiBiCiDi中，底面力BCD为矩形，且A4i=4B=2AD,E,F分别为的小，D%

的中点.

(1)证明：〃平面&EB.

(2)求平面AB/与平面&BE夹角的余弦值.

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17.(本小题15分)

某工厂生产的产品分为一等品、二等品和三等品.已知该工厂生产一等品的概率为0.3,生产二等品的概率

为0.5,生产三等品的概率为02一等品在出厂时，通过质量检测的概率为0.9；二等品在出厂时，通过质量

检测的概率为0.8；三等品在出厂时，通过质量检测的概率为0.6.

(1)已知随机抽取的1。件产品中，通过质量检测的有8件，其中有2件二等品和1件三等品.现在从这8件通过

检测的产品中随机抽取3件，设其中一等品的数量为X,求X分布列和期望，

(2)求随机抽取的一件产品通过质量检测的概率，

(3)若随机抽取的一件产品通过了质量检测，求该产品为一等品的概率

18.(本小题17分)

已知4(0,2),P是抛物线Ci：*2=4>上任一点，Q为P力的中点，记动点Q的轨迹为C2.

(1)求的方程；

(2)过点P作曲线C2的两条切线，切点分别为M,N,求点P到直线的距离的最小值.

19.(本小题17分)

定义：若数列也„｝满足an+2=PM+i+qa£p，qGR)，则称数列3J为“线性数列”.

(1)已知｛册｝为“线性数列”，且的=2,。2=8,。3=24,a4=64,证明：数列｛斯+厂2斯｝为等比数

列.

(2)已知“=(1+避)nT+(l—")nT.

①证明：数列5｝为“线性数列”.

(江)记刈=壬一，数列也｝的前几项和为S„,证明：sn<1.

unun+2o

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参考答案

1.C

2.2

3.0

4.B

5.4

6.D

7.C

8.B

9sBe

10.BD

11.ACD

12.6

13.7

14.挈

15.解:(1)因为/(%)=x-xlnx-a,所以/(I)=1-a,

又/1'(%)=1—(Znx+1)=—Inx,则/'(1)=0,

又曲线y=/(吗在点(1/(1))处的切线方程为y=b%+2,

所以｛匕°=2,解喊。

(2)令/(%)=0,即a=x—xlnx,

令g(%)—x—xlnx,则g'(%)=—Inx,

所以当0V%VI时“(%)>0,当X>1时“(%)<0,

所以9(%)在(0,1)上单调递增，在(L+8)上单调递减，

则g(X)7nax=。(1)=1，且当XT+8时g(久)T-8,

依题意y=。与旷=g(X)无交点，所以a>1,

所以要使函数/(久)无零点，贝1Ja的取值范围为(1,+8).

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16.(1)证明：不妨设4。=1,则44i=45=2,如图建立空间直角坐标系,

则/MLO,2),8(120)，E(0,l,2),A(l,0,0),F(0,0,l),7)(0,0,0),

所以砧=(-1,1,0),砧=(0,2,-2),荏=(-1,0,1),

设布=(%,y,z)是平面AiEB的一个法向量，

f—>--->

口

则Jz|n帚•4.布E=—2%y_+2；y=0,取L％=L贝…0=z=l,

所以平面&EB的一个法向量访=(1,1,1),

又4F-？n=0,所以

因为力FC平面&EB,

所以卷7/平面&EB；

(2)解:因为LM1平面

所以52=(1,0,0)是平面AiaB的一个法向量,

m-DA=1x14-1x0+1x0=1,\m\=^/l2+l2+I2=^/3,\DA\='1,

m•DA

所以cos<而，DA>—

1^1•\DA\

所以平面与平面&BE夹角的余弦值为弓.

17.解：⑴因为通过质量检测的8件产品中，有2件二等品和1件三等品，则一等品的数量为8-2-1=5件,

所以X的可能取值为0,1,2,3,

则P(X=O)L，P(X=1)=警=||,

P(X=2)=警=冷热P(X=3)=普避=弟

所以X的分布列为：

X0123

115155

P

56562828

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所以E(X)=0x专+lx1|+2x磊+3x战审

□ODOZoZoo

(2)设事件a表示产品通过质量检测，Bl表示产品为一等品，B2表示产品为二等品，附表示产品为三等品,

则P(Bi)=0.3,P(B2)=0.5,P(83)=0.2,P{A\B^=0.9,P(X|B2)=0.8,P(4|B3)=0.6,

所以P(A)=P(B1)P(4|B1)+P(B2)P(4|B2)+P(B3)P(4|B3)

=0.3x0.9+0.5x0.8+0.2x0.6=0.79,

即随机抽取的一件产品通过质量检测的概率为0.79；

无口而声在十甄宓%P(4B1)P(B1)PQ4|B1)0.3x0.927

⑶依足思所求概率为P(Bi|A)-尸(/)—P(/)—o79—79,

18.解：⑴设Q(x,y),

因为Q为P4的中点，

所以点P的坐标为(2x,2y-2),

又点P是抛物线Ci：/=4y上任一点，

所以(2x)2=4(2y—2),

整理得好=2y-2,

即C2的方程为/=2y—2；

(2)设P(x(),yo),/V(x2,y2)>

则yo=$2，好=2yi—2,xj=2y2-2,

由抛物线C2的方程为/=2y—2,

即y=#+i,

则y'=x,

所以PM的方程为y—月=

即y=XiX—yi+2,

所以y。=xixo~yi+2,

同理可得yo=x2x0-y2+2,

所以直线MN的方程为xx()—y+2-y()=0,

则点P到直线MN的距离d=国篇誓=号等=*扇工工+品)

______3

当且仅当„+1=\就+1，

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即孙=±也时取等号，

所以点P到直线MN的距离的最小值为4.

19.证明；⑴因为｛册｝为“线性数列"，^an+2=pan+1+qan（p,qGR）,

24-8PQ制p-4

解

所以。3=pCL2+64-4+28q-4

9P+-

%=pa3+qa2

所以。九+2=4a九+i—4a九,

所以。九十2-2。九+1=2（。九+1—2。九）,

又。2—2al—4,

所以｛厮+i-2an｝是以4为首项，2为公比的等比数列；

⑵①因为0n=(1+两刀t+(]一避)刀_],则由=2,a2=2,a3=6,a4=14,

a

人=Pl2+Qlalnn6=2Pl+2q1解得｛,：；所以的=2a2+

,,

^{a4=p1a3+q1a2冈14=6pi+2q1。4=2a3+@2,

n+1n

因为an+2-2斯+1-册=(1+72)«+1+(l-72)-2[(l+V2)+(1-收再一[(1+炳…+Q一理