湖北省2024-2025学年高三年级上册8月联考 数学试卷（含解析）

湖北省“腾•云”联盟2024—2025学年度上学期八月联考

高三数学试卷

试卷满分：150分

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答

题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答策标号涂黑.写在

试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答

题卡上的非答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1若集合M={xl—'<x<1},N={x0*x<2},则McN=（）

A.（T2）C.（°」）D.（T°）

2.设0力eR,“复数。+历是纯虚数”是“a=0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

.L工叫

y=sm2x+—

3.函数I4J的一个对称中心的是（）

4.过点J2，°）与圆一+,=1相切的两条直线的夹角为a,贝!jcosa=（）

1正立」

A.2B.2C.2D.2

5.中国航天英雄太空旅程时间一览表如下，则太空旅程时间数据的下四分位数为（）

神舟神舟神舟神舟神舟神舟

神舟神舟神舟神舟神舟神舟

十一十二十三十四十五十七

五号六号七号九号十号号号十六

号号分号

21

183183187154187

时235天3天13天15天33天90天

天天天天天

分

A.3B.8C.9D.183

6.如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱=4.若侧面44//水平放置时，液面恰好过

CE_1

"C,8C，4G，3iG的四等分点处，CA4,当底面4BC水平放置时，液面高为（）

15

D.8

7,直线"+勿_]=05>0,6>0）经过函数JI'-°§3—+x-l

—2图象的对称中心，则

21

----1----

ab的最小值为（）

A.9B.3+2收Q7+2A/6D6+4A/2

「/、I-2QX+2,X<0

/（%）=〈

、7[cx-ax-l.x>0,且/（X）'"恒成立，则。的取值范围为（

8.已知函数

A.S，。］B.卜2」］CH。］D.［0,2］

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录了100次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析

得到：坐公交车平均用时30min,样本标准差为6；骑自行车平均用时34min,样本方差为4.假设坐公交

车用时X和骑自行车用时丫都服从正态分布.则下列说法中正确的是（）

（参考数值：随机变量？服从正态分布则尸（〃-a<J<〃+b）=0.6827,

P（//-2cr<^<//+2（T）=0.9545,P（/z-3<r<^<//+3cr）=0.9973）

22

aX-A^（30,6）br-A^（34,4）

cP（X<38）>P（7<38）DP（X<34）>P（r<34）

10.已知平面四边形4sCO中，AB=AD=BD=6,和3C=CD=1,将平面四边形沿对角线AD翻

折，得到四面体N-BCD.则下列说法正确的是（）

A.无论翻折到何处，AlC1DB

V6

B.四面体4一8皿的体积的最大值为6

V3

------71

c.当4c=1时，四面体4—8CD的外接球的体积为2.

娓

D.当40=也时，二面角8—4°—C的余弦值为3

11.已知定义域为R+的函数/（X）满足：①若X。,则/（x）</“）；②对一切正实数

（x+刈2，则（）

AMI

x+y

八、n/(x)+/&)<2/

C.Vx>y>0,恒有成立

D.存在正实数天,使得成立

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若平面内不共线的向量扇两两夹角相等，且同=LW=2.\a+b+小1=

贝4

13.从有5个红球和4个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.那么，在第3次摸到红

球的条件下第4次摸到红球的概率为.

14.已知抛物线/=2x,从抛物线内一点'G'G）出发平行于x轴的光线经过抛物线上点8反射后交抛

物线于点°,直线8c与x轴交点横坐标为；"BC的面积S为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）已知ANBC的内角4民0所对的边分别为。力,。，且满足bcosC+同sinC-a-c=O

⑴求B；

（2）若'=2,且AN8c的面积为求名一

16.（15分）已知函数/（”）=（x-2）e",

（1）求函数/（“）的单调区间和极值；

（2）讨论关于%方程/（"）="的解的个数.

17.（15分）如图，己知四棱锥S-4SCO中，4B=8C=1,/48C=120°,48,40,CO,平面S4Q,

（1）证明：BG〃平面S4D；

4

（2）已知锐二面角S-NC-Q的正弦值为《，求二面角C一网―。的余弦值.

18.（17分）已知点片是圆G：（x+1）2+/=16上的任意一点，线段4"的垂直平分线4与半

径G4相交于点01,当点片在圆G上运动时，点01的轨迹记为「1；点8是圆02：（》+1）2+/=1上的

任意一点，线段鸟/的垂直平分线’2与直线02巴相交于点。2,当点鸟在圆02上运动时，点。2的轨迹记

为「2；已知直线/：＞=丘+1（°（上（扬与「1相交于点民°,与口相交于点少，£,线段和线段

QE的中点分别为M，N.

（1）求曲线L和曲线L的方程;

15

（2）已知AOMM的面积为28,求直线/的斜率左的值.

19.（17分）在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“/

型扩展”.如将数列"''3'=1233，8,9）进行“/型扩展,，，第一次得到数列必J第二次得到数

列名力“必加力;…设第〃次Z型扩展”后所得数列为a/]'…,X"J其中"2"—1）,并记

%"2……'J》在数列的每相邻两项之间插入后项与前项的商，形成新的数列，这样的

操作叫做该数列的一次“2型扩展”.即将数列"力（"）=1'2,3i，8,9）进行“2型扩展”，第一次得到数

b,bb,

凡一,ba,—-,一,a,b:.人

列a；第二次得到数列a-a设第〃次“2型扩展”后所得数列为“，%，必，（其中

/=2'T）,当aw'时，记«

（1）当a=l，8=2时，求数列1,2第3次“/型拓展”得到的数列的第6项；

（2）当。=1力=2时，求数列&，，｝，｛"｝的通项公式；

（3）是否存在一个项数为（〃+1）的数列｛,｝（%=123…〃+1）,记｛，｝的各项和为S,记｛，｝进行第

一次“8型拓展”后得到的新数列也乂加j2,3「\2〃+l）,记也｝各项和为T,使得

7―S=4—1成立.（其中，%是第二问中数列｛4｝的通项公式）若存在，写出一个满足条件的｛q｝的通

项公式；若不存在，请说明理由.

湖北省“腾-云”联盟2024-2025学年度上学期8月联考

高三数学试卷

命题学校：江夏区第一中学命题教师：汤文审题教师：胡军郑俊

考试时间：2024年8月12日下午15：00-17：00试卷满分：150分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.【答案】B

［详解］因为M={吊―I<x<1},N={x0<x<2},

所以McN={x|0<x<1}

故选：B

2.【答案】A

【详解】当历是纯虚数时，一定有口=0,但是当口=°时，只有当时，历才能是纯虚数，

所以"复数a+bi是纯虚数"是"。°"的充分而不必要条件，

故选：A

3.【答案】D

【详解】

sinfzx—+—^=0

184),故口正确.

4.【答案】A

【详解】

RtA/08中，/0=2,08=1

兀兀一1

...NBAO=-NBAC=—,cosZBAC=-

6,即32

5.【答案】C

【详解】将数据从小到大排列后得到21时23分，3天，5天，13天，15天，33天，90天，154天，183

天，183天，187天，187天，12x0.25=3,下四分位数为第三个数和第四个数的平均数，即9.

6.【答案】B

【详解】设当底面4sC水平放置时，液面高为〃，

CE_1

依题意，侧面2448水平放置时，液面恰好过”C，8C，4G，用G的四等分点处，CA4,

%=S&ABC—TTS"BCJX4=SMBCXh

所以水的体积I16)

解得4.

故选：B

7.【答案】A

【详解】

xe(0,4),/(x)=log

3x—2

/(x)+/(4-x)=log3

"(x)关于点(2,1)对称,

则直线依+勿T=0经过点0，1),

即2a+b-l=0t

故选：A

8.【答案】C

【详解】

当x<0时，/(x)=x2-2ax+2

若a20,则〃x)〉2,要使/GO""恒成立，即04aV2

若a<0,则2〃+2,要使恒成立，即一。、？》。

(4+2)("1)三°,即-2Va<0

当x»0时，/(x)=e^-ax-l

/(0)=0,.-.a<0,f(x)=el-a>er>0

・••/00在(°，+”)上单调递增

要使/(x)""恒成立，即/(x)2/(°)，-l-a-°

卜2,0]

综上所述，°的取值范围为

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.【答案】AD

【详解】由题意可设

所以4=30,0=6;%=34,%=2；所以A正确，B错误；

由题意可得：坐公交车用时可得

P（r<38）=JP（r<34）+P（34<r<38）=P（r<M2）+JP（M2<y<M2+2cr2）

=0.5+g尸-262<y<%+202）=0.5+0.47725=0.97725

P（X<38）=P（X<30）+P（30<X<38）<P（X<30）+P（30<X<42）

二尸（X<%）+尸（％<XV%+2%）

=0.5+gP（%—2%<y<%+2必）=0.5+0.47725=0.97725

.-.P（X<38）<P（y<38）故,错误；

P（Y<34）=0.5,尸（X<34）=P（X<30）+P（30<X<34）

=0.5+P（30<X<34）>0.5

.•.P（X<34）>P（y<34）

那么，坐公交车不迟到的概率大，应选择坐公交车.故D正确.

10.【答案】ACD

对于选项幺，取线段5。的中点°,连接

•••△ZAD是等边三角形，△BCD中，BC=BD

:.AOLBD,COLBD

/0八09=0,/0,00匚平面2℃,

平面

又：NCu平面AOC,:.BD±AC

故A正确；

对于选项B,当平面HAD,平面BCD时，

1|xl2V6

—XX

四面体H8CD的体积最大，最大值为3~\2

故B错误；

对于选项。，当HC=1时，AC2+BC?=A'B?,即HC,3C,CD两两垂直

将四面体H-BCD补成正方体，则外接球半径为2,

3

4G

—71二——71

32

二外接球体积为

故C正确.

对于选项D,当HC=G时，AB-+BC-=A'C\

将四面体©—BCD补成正方体ABCD-A'B'C'D'

取4D中点E,B'C中点£,易得瓦“平面A'B'CD,BE1AD,

•••/BEF是二面角B-A'D-C的平面角，

cos/BEF=—=—

旦忘3

2

故D正确.

11.【答案】BCD

【详解】

A错，无法确定了（I）的值;

11

x——,y——

B对，令2-4,代入条件②中,

c2cx-1x-1

2研_24」1

x

+y1+13f

24，即I2

2

x+?

亍，且当x＜＞时，/（x）＜/3）

c对，•.•当x>y>0时，x+vx+y

./（x）+/（y）=（29]</m、

2

2X,TZ+I"2-]=1=Y

X”-l+X"+l2nn"

xn=-67eN*,/7>2）

D对，取n,由于/—I

/（X"T）+/（X,+J一2x„1x„+1）

/（x“）

2，从而/（""-J'/（居）'/（X"+J成等差数列，即

成等差数列,

即/（Z）=/a）+（〃-0（/（x2）-/（^i））=/（!）+（〃-"/0-/⑴,

,所以当“充分大时，可使/（%）（°.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.【答案】如

【详解】因为平面内不共线平面向量扇“忑两两的夹角相等,

即瓦两两的夹角为120。，

\a+b+c\=^（a+b+c）2=yla2+b~+c2+a-b+a-c+b-c

=J小向+旧2+23.B+2N•己+•己

12+22+32+2X1X2X+2xlx3x+2x2x3x

=V3

J.

13.答案：2

【详解】

用4表示事件”第i次摸到红球”，4表示事件”第i次摸到红球"，'=1，2,3,4.

5X4

51

9X8

9--5-2-

9-

]_V3

14.【答案】3；3【详解】

..46）...唱可

设切线与x轴交于点力,由抛物线的光学性质可知,

BC过焦点F,即5c与x轴交点横坐标为2.

中,o]r

12）,直线AF的斜率为13

;•直线的倾斜角为60°,且/N5C=120

SMBC=-x-x-x—=—

乙JJ

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.【详解】

（1）由题设及正弦定理得，sinficosC+JJsiaSsinC-siib4-sinC=0

即sin8cosc+V3sin5sinC-sin（B+C）-sinC=0

?.sinScosC+VSsiaSsinC-sin8cosc-sinCcosB-sinC=0

vO<C<7i,.\sinC>0

66,即3.

B=—,S-—acsinB=百

(2)由32得ac=4,

由余弦定理得b2=cr+c~-2accosB=a2+c7-ac

即=8

a=c=2

16.（1）函数的定义域为RJ'（x）=（xT）e"

令广（x）=0,解得x=l

当x<l时，/'（x）<°J（x）单调递减；

当X>1时,/'（X）>1J（X）单调递增

当x=l时，/⑺有极小值/⑴”

综上所述，/（X）的单调递增区间为（L+00）,单调递减区间为（一00））

/（X）极小值为一e,且无极大值.

⑵令/G）=°,解得x=2

当x<2口寸，/（x）<0；当x〉2时，/（x）〉0

/（1二—0

当％一一00时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，从而e-x

当Xf+8时，/（x）f+00

结合（1）中分析可得，/（X）的大致图象如图所示，

方程/（x）="的解的个数为函数了=/（X）的图象与直线y=a的交点个数.

,,.日^V-1□-+/（%）行曰\/古/（1）二一e

由（1）可得当时，''J有最小值'11

由图可得，当°<—e时，方程/（》）="有o个解

当°=一6或时，方程/（》）="有且仅有1个解.

当—e<a<0时，方程/（“）二°有且仅有两个解.

17.【详解】

⑴法一：

如图1,延长8C和•相交于点E,连接SE,

NABC=120°,ANABE=60°

AB1AD,ZBAE=90。，即=2AB

又AB=BC,；.BE=2BC,

—■2—

■：SG=-SC,:.SG=2GC

3

»|

即BG//SE;:BE<z平面SAD,SEcz平面SAD,:.BG//平面S4Z)

法二：

如图2,过G作G厂平行£4交/C于点尸

-,­AB=BC=\,ZABC=120。,:.AC=>/3

2J3—■1—.2—•

AF=*,;BF=—BA+—BC

即333,

BF=A+筮。2+±.8C.cosl20。=A3—2=—

V999V9993

•：BA=1,:.BA2+BF2=AF2,:.BA1BF

BA1AD

BF//AD,

•：SA//GF,BF//AD

GF，BF均平行于平面SAD,

且8£G歹是平面BGP内的两条相交直线，

平面BGF//平面SAD,又•/BGu平面GBF,BG//平面SAD

法三：

如图2,过8作AF平行4D交NC于点尸，连接G尸

AB=BC=\,ZABC=120°,ZBAC=/BCA=30°且幺0=百

4BJ.AD,BF平行AD

AF=AB=述=-AC

BFLAB,即cos30033

GF平行于SA

SA//GF,BF//AD,

.GF,BF均平行于平面SAD,

且8£Gb是平面8GE内的两条相交直线,

平面8GP//平面S4D,又•「BGu平面GBF,；.8G//平面S4。

(2)法一：

CDJ_平面SADCDu平面ABCD^平面ABCD_L平面SA

如图3,过点5作8”,40交40于"J•.平面S4Dc平面45C

SM1平面ABCD,--ACu平面ABCD,AC1SM

过点M作WZC交/C于N,4C，平面5AW

/SNA/为二面角S_/(?_£)的平面角

..sin/SM/=—=-SN=-a

SN5,设SM=a,则4

•••CD±平面SAD,ADu平面SAD

CDLADt又•：ABLAD,

AB//CD,•：ZABC=120°,AB=BC,.\ZBCA=30°

AD=—

,RtAADC中，NACD=3b,AC=拒,则2

过点。作。尸交SZ于点尸，连接CP,

则NCPD为二面角C-SA-D的平面角,

SM-AD

DP_SASMAD_4~2_2

PCSN-ACSN-AC5V35

SA

2

综上所述，二面角c—"一。的余弦值为《

法二:

如图4,在平面SNO内过点。作40的垂线于NS的延长线交于点。

过少作Z)P_L/C交NC于P,连接。尸，

■：CD1平面SAD,CDu平面ABCD,：.平面SAD±平面ABCD

・.,平面SADc平面ABCD=AD.QD±AD,QDu平面SAD

二•W平面/BCD

,/ACu平面4SC。,，QD.LAC

又AC1DP,..AC1平面QDP,即ZQPD为二面角S-AC-D的平面角

CDJ_平面SAD,ADu平面SAD

CDLAD,又•；AB工AD,

AB〃CD,-：ZABC=120°,AB^BC=1,ZBCA=30°

「AD=—CD--

中，NACD=30\AC=6,则I-'/

1344

DP=-CD^-,-：sinZQPD=tanZQPD=-

:.QD^DPtanZQPD=l

h

中，边。4上的高

设二面角C-SA-D的平面角为仇,:CD1平面SAD

.•.cos”/h

yJh2+CD-

综上所述，二面角C—SZ-Q的余弦值为5.

法三:

如图5,;CDI平面在平面SAD内过点Z）引40的垂线记为Z轴,

以/o,C£）所在直线为x轴，y轴如图建立空间直角坐标系,

CDJ_平面SAD,ADu平面SAD

/.CDVAD又・・・/5_LAD,

...AB//CD-NABC=120°,AB=BC=1,/.NBCA=30°

LAD=®CD=-

.•.MANQC中，N4CD=30\AC=拒,则2，2

0(0,0,0),4^-,0,0,c|0,—,0

2

7

设平面S/C的法向量为〃=（""）

mx+〃z=0

DS-n=0

___,n<V33_V3m

AC-n=0―-Yx+^y=°片y=l/=-----------

L22，取x=，3,则n

ii二'5还

In)，平面水3的法向量为4

4

二面角S-AC-D的正弦值为5,

①,

综上所述，二面角C—S4-D的余弦值为

18.(1)依题意可得℃+=0c+=4,0国=2<4,

22

和：土+二=1

，点01的轨迹是以0'/为焦点，4为长轴长的椭圆，即।43

依题意可得I。2c2_。2"|=I&G_。2丹|=1,C2A=2>1

22

r•二-上=1

•••点2的轨迹是以02，”为焦点，1为实轴长的双曲线，即ZZ

\22

xy1

—+—=1

43z_—4k

)=丘+1消去歹得，(3+4左2*+诋_8=0,由韦达定理可得“3+4F

联立

22

-匕=1

13

——

2

_j,1(3-k-2kx--=0x2=一^

卜一乙1.去V得，VJ4由韦达定理可得3-左

联立

J1+k~|xj—Xj|=Jl+k”-4kk

则线段跖V的长度为3+4产3-F

1

点°到直线/的距离为T+F

-4kk1\5k15

S&MON=彳X1XJl+人---________________

左—左

2J1+左23+4232-2（3+4左2）（3—左2）—28

k1

即（3+止）（3-公）14

・・・0（左<G,（3+4左2）（3—左2）=14k

4左4—9左2+14左一9二0

4左J4-侬2_i4左+5）=0

4。2—1）（左2+1）—（9左—5）（左一1）=0,（左一1）[4（左+1）。2+1）—9左+5]=0

令/⑹=4/+4左2—5左+9J'⑹=12左2+8左-5在伙G）上单调递增，

/'（0）=-5<0/（1）=15〉0

3"+1,

%==^，b“=n

19.【答案】⑴8；（2）2

【详解】（1）将数列1,2进行第一次"幺型拓展"得到1,2,2；进行第二次"幺型拓展"得到L2,2,4,2；

进行第三次"幺型拓展"得到1,2,2,4,2,8,4,8,2；所以第6项为8；

当a=1/=