2024年海南省中考数学试题（含答案与解析）

机密★启用前

海南省2024年初中学业水平考试

数学

（全卷满分120分，考试时间100分钟）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在

本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题（本大题满分36分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个

是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号建襄不用26铅笔涂黑.

1.负数的概念最早记载于我国古代著作《九章算术》.若零上20℃记作+20℃,则零下30℃应记作

（）

A.-30℃B.-10℃C.+10℃D.+30℃

2.福建舰是我国首艘完全自主设计建造的电磁弹射型航空母舰，满载排水量8万余吨，数据80000用科学

记数法表示为（）

A.0.8xlO4B.8xl04C.8xl05D.0.8xlO5

3.若代数式x—3的值为5,则x等于（）

A.8B.-8C.2D.-2

4.下图是由两块完全相同的长方体木块组成的几何体，其左视图为（

D.

5.下列计算中，正确的是（）

A.-i-a4=a2B.（3〃）'=6片C.（"）=*D.3a+2b=5ab

6.分式方程」一二1的解是（）

x-2

A.x=3B.x=—3C.x=2D.x=—2

7.平面直角坐标系中，将点A向右平移3个单位长度得到点4（2,1）,则点A坐标是（）

A.（5,1）B,（2,4）C,（-1,1）D,（2,-2）

8.设直角三角形中一个锐角为x度（0<%<90）,另一个锐角为y度，则y与尤的函数关系式为（）

A.y=180+xB.y=180-xC,y=90+xD.y=90-x

9.如图，直线加〃〃，把一块含45。角的直角三角板ABC按如图所示的方式放置，点8在直线w上，

ZA=90°,若Nl=25°,则N2等于（）

A.70°B.65°C.25°D.20°

10.如图，菱形ABCD的边长为2,ZABC=120°,边A3在数轴上，将AC绕点A顺时针旋转，点C

落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3,则点A表示的数是（）

A.1B.1-^/3C.0D.3-273

11.如图，AD是半圆。直径，点8、C在半圆上，且AB=BC=CD，点P在CD上，若

A.105°B.100°C.90°D.70°

12.如图，在口ABCD中，AB=8,以点。为圆心作弧，交AB于点〃、N,分别以点〃、N为圆心，大

于工MN为半径作弧，两弧交于点R作直线。尸交A3于点E,若NBCE=NDCE,DE=4,则四边

2

形5cDE的周长是（）

C

A.22B.21C.20D.18

二、填空题（本大题满分12分，每小题3分）

13.因式分解：X2-4=

14.某型号蓄电池电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流/（单位：A）与电阻R（单位:

。）是反比例函数关系，即/=g，它的图象如图所示，则蓄电池的电压U为

(V).

支柱经过A5的中点O,与地面CD垂直于点O暇=40cm,当

跷跷板的一端A着地时,另一端B离地面的高度为cm.

D

16.如图，矩形纸片A5CD中，AB=6,BC=8,点、E、尸分别在边A。、BC上,将纸片A8CD沿

Eb折叠，使点。的对应点DC在边3C上，点C的对应点为C',则。E的最小值为,CT的最

大值为_________

三、解答题(本大题满分72分)

17.(1)计算：囱+卜+x22；

x-1<3①

解不等式组：《

(2)I〉.

18.端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗.某商店售卖某品牌瘦肉粽和五花肉粽.请依据以下对

话，求促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价.

端午节那天，商店开促销活动前，每个瘦肉粽比

展促销活动，所有粽

每个五花肉粽贵5元。

子都打8折，买10个瘦

肉粽他个五花肉粽只

需160元。

19.根据以下调查报告解决问题.

调查主题学校八年级学生视力健康情况

学生视力健康问题引起社会广泛关注.某学习小组为了解本校八年级学生视力情

背景介绍

况，随机收集部分学生《视力筛查》数据.

调查结果

八年级学生右眼视力领

数分布表

右眼视力频数J年级学生右眼视力频数分布直方图

一人频数

3.8Vxv4.0324

2-

一8

5

4.0<x<4.224—2

9______

6

3

4.2<x<4.4180JJ_

,3.84.04.24.44.64.85.05.2视各

4.4<x<4.612

4.6<x<4.89

4.8<x<5.09

5.0<x<5.215

合计90

建议:

(说明：以上仅展示部分报告内容).

(1)本次调查活动采用的调查方式是(填写“普查”或“抽样调查”)：

(2)视力在“4.8Vx＜5.0”是视力“最佳矫正区”，该范围的数据为：

4.8、4.9、4.8、4.8、4.9、4.8、4.8、4.9、4.9,这组数据的中位数是；

(3)视力低于5.0属于视力不良，该校八年级学生有600人，估计该校八年级右眼视力不良学生约为

_______人；

(4)视力在“3.8＜工＜4.0”范围有两位男生和一位女生，从中随机抽取两位学生采访，恰好抽到两位

男生的概率是；

(5)请为做好近视防控提一条合理的建议.

20.木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航

标.某天，一艘渔船自西向东(沿AC方向)以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示.

航行记录

记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔尸北偏西60。方向上的A处.

记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔尸北偏西45°方向上的8处.

记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡

C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东15。方向.

请你根据以上信息解决下列问题:

(1)填空：ZPAB=°,ZAPC=°,AB=海里;

(2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明.

(参考数据：yjl«1.41,73»1.73,^«2.45)

21.如图1,抛物线y=—必+法+4经过点4(一4,0)、8(1,0),交y轴于点。(0,4),点P是抛物线上一

图1图2

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)当点尸的坐标为(-2,6)时，求四边形AOCP的面积；

(3)当/尸。4=45。时，求点尸的坐标；

(4)过点A、0、C的圆交抛物线于点E、F,如图2.连接AE、AF.EF,判断的形状，并说

明理由.

22.正方形ABCD中，点E是边3c上的动点(不与点8、C重合)，N1=N2,AE=EF,AF交CD

于点H,FGL3C交3c延长线于点G.

(2)如图2,EMLA产于点P,交AD于点

①求证：点P在/ABC的平分线上;

②当需=加时，猜想"与PH的数量关系，并证明;

③作例J_AE于点M连接MMHE,当肱V〃HE时，若AB=6,求BE值.

参考答案

一、选择题（本大题满分36分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个

是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号竣襄求用25铅笔涂黑.

1.负数的概念最早记载于我国古代著作《九章算术》.若零上2。℃记作+20℃,则零下30℃应记作

（）

A.-30℃B.-10℃C.+10℃D.+30℃

【答案】A

【解析】

【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，正负数是一对具有相反意义的量，若零上由正数表示，那么零

下就用负数表示，据此可得答案.

【详解】解：若若零上20℃记作+20℃,那么零下30℃应记作-30。（2,

故选：A.

2.福建舰是我国首艘完全自主设计建造的电磁弹射型航空母舰，满载排水量8万余吨，数据80000用科学

记数法表示为（）

A.0.8xio4B.8xio4c.8xio5D.0.8xlO5

【答案】B

【解析】

【分析】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为口义10"的形式，其中n

为整数.确定〃的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相

同.

【详解】解：数据80000用科学记数法表示为8x10，

故选：B.

3.若代数式X—3的值为5,则x等于（）

A.8B.-8C.2D.-2

【答案】A

【解析】

【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据题意可知％-3=5,解方程即可得到答案.

【详解】解：•••代数式x—3的值为5,

X—3=5,

解得％=8,

故选：A.

4.下图是由两块完全相同的长方体木块组成的几何体，其左视图为（）

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了简单组合体的三视图.根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案.

【详解】解：从左边看得到的图形是——।:

故选：B.

5.下列计算中，正确的是（）

A.a&-i-a4-a2B.=6a2C.（a,=abD.3a+2b=5ab

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查了暴的乘方和积的乘方计算，同底数塞除法计算，合并同类项，熟知相关计算法则是

解题的关键.

【详解】解：A、4+/=",原式计算错误，不符合题意;

B、（3。）2=9。2,原式计算错误，不符合题意；

C、原式计算正确，符合题意；

D、3a与劝不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意;

故选：C.

6.分式方程工=1的解是()

x—2

A.x=3B.x=—3C,x=2D.x=—2

【答案】A

【解析】

【分析】本题主要考查了解分式方程，先把分式方程去分母化为整式方程，再解方程，最后检验即可.

【详解】解：,=1

x-2

去分得：1=x—2,

解得x=3,

检验，当x=3时，x-2^0,

•..x=3是原方程的解，

故选：A.

7.平面直角坐标系中，将点A向右平移3个单位长度得到点4(2,1),则点A的坐标是()

A(5,1)B.(2,4)C.(-1,1)D,(2,-2)

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了坐标与图形的平移变化.根据坐标的平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左

减右加.上下平移只改变点的纵坐标，下减上加.据此求解即可.

【详解】解：二•将点A向右平移3个单位长度得到点4(2,1),

•••点A的坐标是(2—3,1),即(-U).

故选：C.

8.设直角三角形中一个锐角为x度(0(尤＜90),另一个锐角为y度，则y与x的函数关系式为()

A.y=180+xB,y=180-xC,y=90+xD,y=9Q-x

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了函数关系式.利用直角三角形的两锐角互余可得到y与尤的关系式.

【详解】解：•直角三角形中一个锐角的度数为x度，另一个锐角为y度，

Ay=90-x.

故选：D.

9.如图，直线加〃”,把一块含45。角的直角三角板ABC按如图所示的方式放置，点B在直线〃上,

ZA=90°,若Nl=25°,则N2等于（）

A.70°B.65°C.25°D.20°

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了平行线的性质求角的度数.如图，过点C作直线。平行于直线加，易得

m//CD//n,根据平行线的性质可得N3=N1=25°,由NACB=45。可求出N4的度数，再由平行线

的性质可得N2的度数.

【详解】解：如图，过点C作直线平行于直线检

,/直线m//n,

m//CD//n,

N3=N1=25°,N4=N2,

由题意可得NACB=45°,

Z4=45o-25°=20°,

/.N2=N4=20°,

故选：D.

10.如图，菱形ABC。的边长为2,ZABC=12Q°,边AB在数轴上，将AC绕点A顺时针旋转，点C

落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3,则点A表示的数是（）

A.1B.1-73C.0D.3-2^3

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理.作CELAE于点尸，利用菱形的性

质，直角三角形的性质，勾股定理计算即可.

【详解】解：作CFLAE于点厂,

VZABC=120°,

ZFBC=60°,

BC=2,

：.BF=^BC=1,CF=dBC2-BF2=5

：.AF=AB+BF=3,

•••AE=AC=7AF2+CF2="+阴2=26，

;点E表示的数是3,

点A表示的数是3-243，

故选：D.

11.如图，AD是半圆。的直径，点8、C在半圆上，且AB=BC=Cr＞，点尸在CD上，若

ZPCB^130°,则/PR4等于（）

AOD

A.105°B.100°C.90°D.70°

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质.连接08,OC,证明VA05和AfiOC都是

等边三角形，求得NBPC=30°,利用三角形内角和定理求得NP5C=20°,据此求解即可.

【详解】解：连接08,OC,

ZAOB=ABOC=Z.COD=60°,

VA06和ABOC都是等边三角形，

ZOBC=ZOBA=GO0,

•BC=BC，

NBPC=-ZBOC=30°,

2

:NPCB=130°,

ZPBC=180°-130°-30°=20°,

ZPBO=60°-20°=40°,

ZPBA=40°+60°=100°,

故选：B.

12.如图，在口ABCD中，AB=8,以点。为圆心作弧，交AB于点M、N,分别以点M、N为圆心，大

于工MN为半径作弧，两弧交于点R作直线。尸交A3于点E,若NBCE=NDCE,DE=4,则四边

2

形5cDE的周长是（）

C

A.22B.21C.20D.18

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，尺规作图，等腰三角形的判定和性质，勾股定理.利

用勾股定理求得CE的长，再证明=作BGLCE于点G,求得CG=EG=2#，利用

tanZDCE=tanZBCE,求得BG=石，再利用勾股定理求得6石=5C=5,据此求解即可.

【详解】解：•••□ABCD,AB=8,

CD=AB=8，

由作图知。E_ZA3,

口ABCD，

AB//CD,

:.DE工CD,

DE=4,

CE=V42+82=4A/5，

•：AB//CD,

:.NDCE=NBEC,

•：ZBCE=ZDCE,

：.ZBCE=ZBEC,

BE-BC，

作于点G,

则CG=EG」CE=2B

2

,/ZDCE=ZBCE,

tanZDCE=tanABCE,

DEBG4BG

---=----,即nn一二产

CDCG82V5

/.BG=#，

：•BE=BC=«肩+(2⑸=5，

四边形3COE的周长是4+8+5+5=22,

故选：A.

二、填空题(本大题满分12分，每小题3分)

2

13.因式分解：X-4=.

【答案】(x+2)(x-2)

【解析】

222

详解】解：X-4=X-2=(X+2)(X-2);

故答案为(x+2)(x—2)

14.某型号蓄电池的电压U(单位：V)为定值，使用蓄电池时，电流/(单位：A)与电阻R(单位:

O)是反比例函数关系，即1=2,它的图象如图所示，则蓄电池的电压U为(V).

【解析】

【分析】此题主要考查了反比例函数的应用.根据函数图象可用电阻R表示电流/的函数解析式为

R=j,其中。为电压，再把(4,16)代入可得。的值.

【详解】解：设用电阻R表示电流/的函数解析式为R=。，

：过(4,16),

A[/=4xl6=64(V),

故答案为：64.

15.如图是跷跷板示意图，支柱经过AB的中点0,Q0与地面CD垂直于点OM=40cm,当

跷跷板的一端A着地时，另一端5离地面的高度为cm.

、B

a

77777777777777T777777777~u

【答案】80

【解析】

（分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质.过点B作BNLCD交AC的延长线于N,求得OM//BN,

得到，根据相似三角形的性质解答即可.

【详解】解：过点3作BNLCD交AC的延长线于N,

•/OMLCD,

/.OM//BN,

：.4AoMs^ABN,

.OMAO

"BN~AB'

VAO=OB,OM=40cm,

.401

"BN~2'

：.BN=80cm,

/.另一端B离地面的高度为80cm.

故答案为：80.

16.如图，矩形纸片A3CD中，AB=6,BC=8,点、E、尸分别在边AD、BC上,将纸片ABCD沿

Eb折叠，使点。的对应点。夕在边3c上，点C的对应点为C,则DE的最小值为,5的最

大值为•

7

【答案】①.6②.了

【解析】

【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，等边对等角，过点、E作EH义BC于H,则四边形

ABHE是矩形，则AB=EH=6,根据。'£之石H，可得曾'石的最小值为6,则由折叠的性质可得

的最小值为6；如图所示，连接。尸，证明/77万石=/。石少，得到D'E=DF，则£)£=£方，利用勾

股定理得到当最大时，CF最大,即。E最大时，CF最大,则当以与点方重合时，DE最大,设此

时CF=x,则呼=D/=8—x,据此利用勾股定理建立方程求解即可.

【详解】解：如图所示，过点E作EH人BC于H,则四边形ABHE是矩形，

AB=EH=6,

•：DENEH，

：.曾'石的最小值为6,

由折叠的性质可得DE=D'E，

/.DE的最小值为6；

如图所示，连接£)W，

由折叠的性质可得ND即=NDEF,DE=D'E<DF=DF,

•：AD//BC,

:.NDEF=/DFE,

•••ZUFE=ZD/EF，

:.DE=DF，

在RtACDF中，由勾股定理得CF=\JDF2-CD2=J。产-36，

...当。尸最大时，最大，即DE最大时，CF最大，

.,.当DC与点B重合时，DE最大,

设此时CF=x,则班'=£>/=8—x,

(8-x)2=%2+62,

7

解得x=—，

4

7

/.CF的最大值为了

7

故答案为：6,—.

4

三、解答题(本大题满分72分)

17.(1)计算：囱+卜+x22；

x-1<3①

(2)解不等式组：\2-x〜

——>-1@

I3

【答案】(1)5；(2)%<4

【解析】

【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数累，解一元一次不等式组：

(1)先计算算术平方根，零指数和乘方，再计算乘除法，最后计算加减法即可；

(2)先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)”

求出不等式组的解集即可.

【详解】解：⑴囱+卜+x22

=3+3+lx4

=1+4

=5；

x-l<3①

解不等式①得：x<4,

解不等式②得：x<5,

...不等式组解集为x<4.

18.端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗.某商店售卖某品牌瘦肉粽和五花肉粽.请依据以下对

话，求促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价.

端午节那天，商店开促销活动前，每个瘦肉粽比

展促销活动，所有粽

每个五花肉粽贵5元。

子都打8折，买10个瘦

肉粽他个五花肉粽只

需160元。

【答案】促销活动前每个瘦肉粽的售价为15元，则促销活动前每个五花肉粽的售价10元.

【解析】

【分析】本题考查了一元一次方程应用.设促销活动前每个瘦肉粽的售价为了元，则促销活动前每个五花

肉粽的售价(X-5)元，根据题意列方程求解即可.

【详解】解：设促销活动前每个瘦肉粽的售价为X元，则促销活动前每个五花肉粽的售价(x-5)元,

依题意得0.8x[10尤+5(x—5)]=160,

解得x=15,

x-5=10,

答：促销活动前每个瘦肉粽的售价为15元，则促销活动前每个五花肉粽的售价10元.

19.根据以下调查报告解决问题.

调查主题学校八年级学生视力健康情况

学生视力健康问题引起社会广泛关注.某学习小组为了解本校八年级学生视力情

背景介绍

况，随机收集部分学生《视力筛查》数据.

调查结果

八年级学生右眼视力领

数分布表八年级学生右眼视力频数分布直方图

八频数

04

右眼视力频数^

21

1

18

15

1

12

3.8<x<4.039

6

3

0

4.0<%<4.224

4.2<x<4.418

4.4<x<4.612

4.6<x<4.89

4.8<x<5.09

5.0<x<5.215

合计90

建议：……

(说明：以上仅展示部分报告内容).

(1)本次调查活动采用的调查方式是(填写“普查”或“抽样调查”):

(2)视力在“4.8Vx<5.0”是视力“最佳矫正区”，该范围的数据为：

4.8、4.9、4.8、4.8、4.9、4.8、4.8、4.9、4.9,这组数据的中位数是；

(3)视力低于5.0属于视力不良，该校八年级学生有600人，估计该校八年级右眼视力不良的学生约为

_______人；

(4)视力在“3.8<x<4.0”范围有两位男生和一位女生，从中随机抽取两位学生采访，恰好抽到两位

男生的概率是；

(5)请为做好近视防控提一条合理的建议.

【答案】(1)抽样调查；

(2)4.8；

(3)500；

(4)-；

3

(5)建议学校加强电子产品进校园及使用的管控.

【解析】

【分析】(1)根据普查和抽样调查的区别即可判断；

(2)根据中位数的定义即可求解；

(3)根据600乘以视力低于5.0的的人数所占的百分比即可求解;

(4)根据题意画出树状图，再根据概率公式求解即可；

(5)根据学生近视程度较为严重，提出合理化建议即可.

本题考查了条形统计图和频数分布表，样本估计总体，中位数的定义，简单概率公式计算等知识，掌握相关

知识是解题的关键.

【小问1详解】

解：由题意可知，本次调查采用的调查方式为抽样调查，

故答案为：抽样调查；

【小问2详解】

解：把9个数据按从小到大的顺序排列为：4.8、4.8、4.8、4.8、4.8、4.9、4.9、4.9、4.9,排在第5位的数是

4.8,

这组数据的中位数是4.8,

故答案为：4.8；

【小问3详解】

解：调查数据中，视力低于5.0的人数有：3+24+18+12+9+9=75（人），

.•.估计该校八年级右眼视力不良的学生约为：

75

600X—=500（人）

90

故答案为：500；

【小问4详解】

解：把两个男生标记为男1,男2,画树状图如下：

开始

男1男2女

八八八

男2女男1女男1男2

共有6种等可能情况，其中恰好抽到两位男生的情况有2种,

•••恰好抽到两位男生的概率是：1=-

故答案为：—；

3

【小问5详解】

解：由表中数据说明该校学生近视程度较严重，建议学校加强电子产品进校园及使用的管控.

20.木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航

标.某天，一艘渔船自西向东（沿AC方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示.

航行记录

记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔尸北偏西60。方向上的A处.

记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔尸北偏西45。方向上的8处.

记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡

C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东15。方向.

请你根据以上信息解决下列问题：

(1)填空：ZPAB=°,ZAPC=0,AB=海里；

(2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明.

(参考数据：^2»1.41,731,73,76«2.45)

【答案】⑴30；75；5

(2)该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区

【解析】

【分析】本题主要考查了方位角计算，解直角三角形的实际应用，三角形内角和定理：

(1)根据方位角的描述和三角形内角和定理可求出两个角的度数，根据路程等于速度乘以时间可以计算出

对应线段的长度；

(2)设PD=x海里，先解出得到班＞=X，再解RQAPD得到AD=&-=&海里,

tanA

AP=12=2x海里，据此可得x+5=J§x，解得"=2工=(54+5)海里；证明NC=NAPC,则

sinA'/

AC=AP=(54+5)海里；再求出上午9时时船与C点的距离即可得到结论.

【小问1详解】

解：如图所示，过点P作于

由题意得，NA叨=60°,NBPD=45°,ZCPD=15°,

NPAB=90°-ZAPD=30°,NAPC=ZAPD+ZCPD=75°；

..•一艘渔船自西向东（沿AC方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，上午8时从A出发到上午8

时30分到达B,

...AB=10x0.5=5海里.

【小问2详解】

解：设PD=x海里，

在中，BD=PD•tanNDPB=x海里,

在RbAPZ）中，4。=&-=瓜海里，4。=普-=2X海里,

tanAsinA

•/AD=AB+BD,

x+5=A/3X，

55A/3+5

解得x=

A/3-12

AP=2x=（5j5+5）海里,

ZC=180°-ZA-ZAPC=75°,

ZC=ZAPC,

：.40=40=36+5）海里;

上午9时时，船距离A的距离为10x1=10海里,

56+5—10=56—5^5x1.73—5=3.65<5,

该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区.

21.如图1,抛物线y=—/+法+4经过点4（—4,0）、B（l,0）,交y轴于点C（0,4）,点P是抛物线上一

动点.

图1图2

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)当点尸的坐标为(—2,6)时，求四边形AOCP的面积；

(3)当NPR4=45°时，求点尸的坐标；

(4)过点A、O、C的圆交抛物线于点E、F,如图2.连接AE、AF.EF,判断的形状，并说

明理由.

【答案】(1)y=-x2-3x+4

(2)16(3)(—3,4)或(—5,—6)

(4)△AEF'是等边三角形，理由见解析

【解析】

【分析】(1)利用待定系数法求解即可；

(2)过点P作PT_LAB于T,根据S四边形AOCP—SAAPT+S梯形。叱7列式求解即可;

(3)取乜(Y,5)‘连接A"1，BH[,易证明NA3d=45。，则线段2q与抛物线的交点:即为所

y=-x+lx——3x—1

求；求出直线的解析式为y=-x+1,联立〈解得〈,或c（舍去），则

y=-x2-3x+4[y=4[y=0

片(—3,4)；如图所示，取区(-4,—5),连接AH2,BH],同理可得/ABH2=45°,则直线B"?与抛

物线的交点鸟即为所求；同理可得心(—5,—6)；则符合题意的点P的坐标为(—3,3)或(—5,—6)；

(4)由90度的圆周角所对的弦是直径得到AC为过40、。三点的圆的直径，如图所示，取AC中点

R,连接AE,AF,EF,ER,FR,则R（—2,2）,OA=OC=4,AC=742+42=472；设。尺与抛

2

物线交于(加M，联立<("+2)+(〃—2)=［亍］得“+6帆3+6“—8m=0,解得

n=-nr-3n+4

%=0,m,=Wj=—1+A/3>m4=—1—^,贝!JE(—l—指,3+6),网—1+6,3—G),由勾

股定理可得AE=AR=石尸，则△AEF是等边三角形.

【小问1详解】

解：将点3(1,0)代入y=—/+云+4,

得—1+〃+4=0

解得b=—3

抛物线解析式为y=—必—3x+4；

【小问2详解】

解:如图所示，过点P作于T,

VP（-2,6）,4（—4,0）,C（0,4）,

Q4=4,OT=2,OC=4PT=6,

/.AT=2,

•S四边形AOCP=+S梯形。cpr

=1x2x6+~2

22

【小问3详解】

图1

解：如图所示，取乜（T,5）‘连接A"1，BH-

•.4-4,0)、6(1,0),乜㈠,5),

AHX=5,AB=5,AH]±AB,

・・・/ABH】=45°,

...线段BHX与抛物线的交点Pi即为所求;

设直线BH｝的解析式为y=kx+b-

k+bx=0

—4左+4=5

k=一1

4=1

直线BH,的解析式为y=-X+1,

y=-x+1x=-3、x=l

联立yj—3x+4'解得彳或V（舍去）,

[y=4y=0

・••邛（-3,4〉

连接A82,BH2,

直线BH2与抛物线的交点P2即为所求;

同理可知直线BH2的解析式为y=x-l,

y=x-1x=-5x=l

联立产4-3x+4'解得I或（舍去）,

y=0

P2(-5,-6)；

综上所述，符合题意的点尸的坐标为(-3,4)或(-5,-6)；

【小问4详解】

解：△?1所是等边三角形，理由如下：

0、。三点共圆，且NAOC=90。，

...AC为过40、C三点的圆的直径，

如图所示，取AC中点R,连接AE,AF,EF,ER,FR,

VA(-4,0),C(0,4),

，R(-2,2),OA=OC=4,

,,AC-Jd?+4?=4\/2；

设0R与抛物线交于

联立〈(机+2)+(〃—2)得/+6加+6m2—8帆=0，

n=-m2-3〃+4

:.加(根+4乂/+2根—2)=0,

解得叫=0,加2=—4,?=—1+^/^,m4=—1—5/3,

在y=—必―3x+4中，当x=—1+G时，＞=—(―1+若『―3(—1+6)+4=3-Q

当x=