人教版九年级数学上册《圆》单元测试卷（综合能力拔高卷解析版）

2022—2023学年九年级数学上册必考重难点突破必刷卷（人教版）

【单元测试】第二十四章圆（综合能力拔高卷）

（考试时间：90分钟试卷满分：100分）

学校:姓名：班级：考号：

一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

1.如图，在田。中，弦48等于回。的半径，。面2交回。于点C,则EL4OC等于（）

A.80°B.50°C.40°D.30°

【答案】D

【分析】弦等于回。的半径，可得的。8是等边三角形，再由等边三角形的性质，即可求解.

【详解】解：回弦等于回。的半径，

^OA=OB=AB,

团财03是等边三角形,

0EL4(9B=6O°,

EIOCHAB,

0?AOC-1AOB30?.

2

故选：D

【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握圆的基本性质，等边三角形

的判定和性质是解题的关键.

2.如果一个圆的半径由1厘米增加到2厘米.那么这个圆的周长增加了（）

A.3.14厘米B.2万厘米C.8万厘米D.4万厘米

【答案】B

【分析】圆的周长计算公式是C=2成，如果半径增加〃厘米，根据周长的计算公式可知周长增加2W，列式

进行计算即可.

【详解】解：（2-1）x2xn

=2n（厘米）.

故选：B.

【点睛】本题考查圆的周长的计算，在圆中，如果是圆的半径增加〃，则其周长增加2〃兀，周长增加的值与原

来圆的半径大小无关.

3.如图，将量角器按放置在Rt.ACB上，使点C与圆心重合，已知NACB=90。，ZA=30°.若8点的刻度

为138。，则。点的对应刻度为（）

■•LaJ----y■

€

A.52°B.72°C.78°D.82°

【答案】C

【分析】连接CQ,求出回。的度数，得到等边△CQ5,进而得到叨CB=60。即可求解.

【详解】解，如图，连接CD,

团点5的读数为138°,

^\ECB=138°,

1ML4c5=90°,EL4=30°,

苑区=60°,

团CD=CB,

幽CDB为等边三角形，

团叨CB=60。，

mECD=138°-60°=78°,

团点。的读数应该为78°.

故选：c.

【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、圆的基本性质等知识，证明ACDB为等边三角形是解题的关

键.

4.矩形A3CD中，AB=8,BC=6,如果（A是以点A为圆心，9为半径的圆，那么下列判断正确的是（）

A.点8、C均在（A外B.点8在CA外，点C在IA内

C.点8在A内，点C在A外D.点8、C均在A内

【答案】C

【分析】根据题意，将图形绘制出来，结合图形分析可知，矩形ABCD的对角线可以利用勾股定理求出，

即AC=10,而圆的半径是9,根据线段的大小关系即可求出答案.

【详解】解：根据题意，绘制图形如下，

连接/C,

回矩形ABC。，AB=8,BC=6,

IBR/AABC中，AC=y]AB2+BC2=782+62=10>

回点3在（A内，点C在CA外，

故选：C.

【点睛】本题主要考查矩形的性质，直角三角形的勾股定理，圆的知识，理解和掌握矩形、直角三角形、

圆的性质是解题的关键.

5.如图，四边形为团。的内接四边形，连接BD,若4B=AD=CD,05OC=75。，贝gC的度数为（）

A.55°B.60°C.65°D.70°

【答案】D

【分析】根据圆中等弦对等弧对等角，以及圆内接四边形的对角互补，进行计算即可.

【详解】解：^AB=AD=CD,

^BA=DA=DC，

S3\ADB=^ABD=^DBC,

设EL4D8==ED5C=x,

回四边形/BCD为回。的内接四边形，

0EL4SC+EL4DC=18O",

即3x+75°=180°,

解得：x=35",

EEZ32C=35°,

在ELBOC中，05Z）C=75°,^DBC=35°,

EIE3CD=180°-75°-35°=70°.

故选D.

【点睛】本题考查了圆中等弦对等弧对等角，以及圆内接四边形的对角互补，熟练掌握相关知识点是解题

的关键.

6.如图，点A,B,C都在格点上，ABC的外接圆的圆心坐标为（）

A.(5,2)B.(2,4)C.(3,3)D.(4,3)

【答案】A

【分析】根据ABC的外接圆的定义，作A3和3c的垂直平分线相交于点P,则可得出答案.

【详解】解：根据4ABe的外接圆的定义，作和的垂直平分线相交于点P,

回点尸(5,2),

故选：A.

【点睛】本题考查了三角形的外接圆，三角形的垂直平分线，正确作图是解题的关键.

7.如图，AABC中，A3是：。的直径，AC交于点E,BC交，。于点。，点。是BC中点，。的切

线D歹交AC于点歹，则下列结论中①NA=ARE；②BD=DE；@AB=AC-,④尸是EC中点，正确

的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】连接连接。D，AD.OE,根据直径所对的圆周角是直角以及等腰三角形的性质可判断结论③;

根据同圆或等圆中，同弧所对的弦相等可得结论②；根据切线的性质以及三角形中位线定理可得结论④;

因为只有△除是等腰直角三角形时，才能满足结论①.

【详解】解：连接。。，AD,DE.

A

QAB是。的直径，

:.ZADB=90°（直径所对的圆周角是直角），

:.AD±BC,

「点。是BC中点，

:.NBAD=/CAD,AB^AC,故③正确；

BD=DE，

:.BD=DE,故②正确；

DF是:。的切线，

:.OD±DF,

AO=BO,BD=DC,

:.OD//AC,

:.DF1AF,

:.DF//BE,

回点。是BC的中点，

，点厂是EC的中点，故④正确；

只有当ZWE是等腰直角三角形时，ZBAC=ZABE=45°,

故①错误，

正确的有②③④共3个，

故选：C.

【点睛】本题考查了圆周角定理，圆切线的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理的应用，题目难

度适中，熟练掌握相关图形的性质定理是解本题的关键.

8.把一张正方形纸片按如图所示的方法对折两次后剪去两个角，打开后得到一个正多边形，则这个正多边

形不可能是（）

(=>

A.正十二边形D.正六边形

【答案】B

【分析】由正多边形和外接圆，找中心角，实际动手操作来进行解题.

【详解】解：经过动手操作，如果过斜边的中点，构造顶角为45。的等腰三角形，剪去4个重合角，可以得

出正八边形；

如果过直角三等分线与边的两个交点，构造顶角为30。的等腰三角形，剪去4个重合角，可以得出正十二边

形;

如果过三等分线与边一个交点构造顶角60。和30。的等腰三角形，剪去两对重合角，可以得到正六边形,

而得不出十边形,

故选：B.

【点睛】本题主要考查了与剪纸相关的知识，正多边形和圆的综合，熟练地动手操作能力是解决问题的关

键.

9.如图，在半径为君，圆心角等于45。的扇形408内部作一个正方形CZ）£R使点。在04上，点。、E

在上，点尸在A8上，则阴影部分的面积为（结果保留疳（)

A.%535153

B.—TC----C.-71----D.-71—

8828242

【答案】B

【分析】首先要明确S阴影=s扇形.-鼠。8-5正方形皿山然后依面积公式计算即可.

【详解】解：连接OR

A

回明。。=45。，四边形COE尸是正方形,

0OD=CD=DE=EF,

在RtAOFE中，0E=2EF,

0OF=75,EF2+OE2=OF2,

0£F2+(2EF)2=5,

解得：EF=1,

团EF=OD=CD=1,

0S阴影=S扇形0AB-S&OCD-S正方形CDEF

45兀x(乖¥

——xlxl-lxl=———.

360282

故选：B.

【点睛】本题考查了扇形面积的计算，勾股定理的应用，得到正方形和三角形的边长是解题的关键.

10.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的

工作原理，如图1.筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2.已知圆心。在水面上方，且回O

被水面截得的弦N2长为6米，回。半径长为4米.若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦42所在直线

的距离是（）

图1图2

人.（4-S）米B.2米C.3米D.（4+近）米

【答案】A

【分析】连接OC交于。，根据圆的性质和垂径定理可知。向8,/。=8。=3,根据勾股定理求得。。

的长，由CD=OC-OD即可求解.

【详解】解：根据题意和圆的性质知点C为的中点，

连接OC交于。，贝1」。而8,AD=BD*4B=3,

在Rt回O4D中，OA=4,40=3,

国OD=JOA?-5="2-32=近，

0C£)=(9C-OD=4-币,

即点C到弦AB所在直线的距离是（4-疗）米,

故选：A.

水面

【点睛】本题考查圆的性质、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键.

二、填空题（本大题共有8小题，每题3分，共24分）

11.如图，点C在以为直径的，。上，AB=10,ZA=30°,则8C的长为.

【答案】5

【分析】根据直径所对圆周角是直角，可知回C=90。，再利用30。直角三角形的特殊性质解出即可.

【详解】解:西8是直径，

HBC=90°,

0EL4=3O",

S\BC=-AB=5.

2

故答案为：5.

【点睛】本题考查圆周角定理的推论及特殊直角三角形，关键是掌握直径所对的圆周角等于90。.

12.如图，PA,PB是。的切线，切点分别为4B,若ZAPB=40。，则NACB=

A

O

B

【答案】70

【分析】首先连接CM,OB,由必、尸5是回。的切线，即可得的0=回尸80=90。，又由西产8=40。，即可求得豳08

的度数，然后由圆周角定理，即可求得答案.

【详解】解：如图，连接ON,OB,

何、P2是国。的切线,

团即%。=回/。=90°,

aa4P8=40°,

SEAOB=360°-SAPB-S\PAO-SPBO=UO°,

0EL4C5=1a405=70°.

故答案为：70.

【点睛】此题考查了切线的性质与圆周角定理.此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思

想的应用.

13.如图，石拱桥的桥顶到水面的距离C。为8m,桥拱半径OC为5m,则水面宽为.

【答案】8m

【分析】连接。4,根据题意，得出。4=5m,OD=3m,再根据勾股定理，得出的长，再根据垂径定

理，即可得出A5的长.

【详解】解：连接。4,

团桥拱半径OC为5m,

0OA=5m,

团CD=8m,

[?]OD=8m-5m=3m，

团AD=JOA2_OL>2=4m,

团AS=2AD=2x4m=8m.

【点睛】本题考查了勾股定理、垂径定理，解本题的关键在熟练掌握相关的定理.垂径定理：垂直于弦的

直径平分弦，并且平分弦所对的弧.

14.图1是一种推磨工具模型，图2是它的示意图，已知AP=AQ^20cm,N8=120ca,点/在

中轴线/上运动，点8在以。为圆心，08长为半径的圆上运动，且O8=35c〃z,

(1)如图3,当点3按逆时针方向运动到夕时，AB'YOB',则cm.

(2)在点3的运动过程中，点尸与点。之间的最短距离为cm.

【答案】30204-35##-35+20历

【分析】(1)根据AA=Q4—Q4'=AB+OS-ar,即可求解;

(2)当3、0、P三点共线时，OP的距离最短，即可求解.

【详解】解：(1)BAB'±OB,,

EIA®是圆。的切线

0A'4=OA-OA=AB+OB-OA

=120+35-^OB^+AB'2

=155-V352+1202

=155-125,

=30,

故答案为：30；

(2)当B、O、尸三点共线时，OP的距离最短，

则OP=BP-OB=《BA2+AP。-OB=V1202+202-35=20后-35

故答案为：20历-35.

【点睛】本题考查的是切线的性质，勾股定理，解题的关键是确定转动后图形上各个点的位置关系.

15.如图，已知点G是正六边形ABCDEF对角线FB上的一点，满足8G=3FG,联结尸C,如果一EFG的

面积为1,那么.FBC的面积等于.

【答案】4

【分析】解：如图，连接CE,由3G=3户G得族=4RG,由六边形ABCDE户是正六边形证明跖〃3C,

从而得，FBC的面积为一£FG的面积的4倍即可求解.

【详解】解：如图，连接CE,

BG=3FG,

，BF=4FG,

・六边形ABCDEF是正六边形,

（6-2）x180°

AB=AF=EF=BC,ZABC=ZBAF=ZAFE=——L-------=120。，

6

-2=幽产=3°°,

，ZCBF=ZEFB=120°-30°=90°,

ZCBF+ZEFB=90°+90°=180°,

EF//BC,

二•四边形5c斯是平行四边形,

・•.BF//EC,

一EFG的面积为1,BF=4FG,

二•FBC的面积为1x4=4,

故答案为4.

【点睛】本题主要考查了正多边形的性质及平行四边形的判定及性质，作出辅助线构造平行四边形是解题

的关键.

16.如图，从一块直径为24cm的圆形纸片上剪出一个圆心角为90。的扇形使点4B,。在圆周上,

将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是.cm.

A

【答案】3应

【分析】连接BC,根据圆周角定理求出8c是回。的直径，8C=24cm,根据勾股定理求出再根据弧长

公式求出8c的长度，最后求出圆锥的底面圆的半径.

【详解】解：连接3C,由题意知皿C=90。，

0SC是回。的直径，5C=24cm,

C,

02AB2=BC2,

BC24广，

=12-^2(cm),

„90^X12A/2R(—,、

0BC=---------------=6j2兀(cm)

180

团圆锥的底面圆的半径=6后兀+(2%)=35/2(cm).

故答案为：30.

【点睛】此题考查了圆周角定理，弧长公式，勾股定理，连接BC得到8C是圆的直径是解题的关键.

17.正方形A3CD的边长为4,£是边CB上的一个动点，在点E从点C到点2的运动过程中，小亮以2为

顶点作正方形39G”,其中点尸、G都在直线AE上，如图.当点E到达点8时，点足G、”与点8重合.则

点”所经过的路径长为.

【答案】n

【分析】连接NC,交BD于点O,取BC的中点N,连接NH,利用&4S证明团四匹回VBH,得NH=MF=

BM=BN,可知点〃在以点N为圆心，长为半径的圆上，确定圆心角度数即可解决问题.

【详解】解：如图，连接/C,交8。于点。，取3c的中点N,连接NH,

^MF=BM=BN=-AB,

2

团点厂的运动轨迹为以点加■为圆心，BM长为半径的圆上，

EEABC=EFS77=90°,

EE48c-^FBC=^FBH-SFBC,

即西8尸=EIC8”，

,3EMBF3S\NBH(SAS),

^NH=MF=BM=BN,

团点8在以点N为圆心，BN长为半径的圆上,

团当点£在。处时，点尸与。重合，

当点£在8处时，点厂与点8重合，

回点〃所在的圆弧的圆心角为90°,

回点方所经过的路径长=9°：32=",

lot）

故答案为：TT.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，确定点〃的运动路径是解题的关键.

18.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，。为格点，回。经过格点/.

（1）回。的周长等于;

（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出回。的内接等边ABC,并简要说明点2,C的位置是

如何找到的（不要求证明）.

z1

0

A\

【答案】2国见解析

【分析】（1）利用勾股定理可得答案；

（2）延长A。交网格线于点。，取格点E,F,连接收交网格线于点G,作直线DG交1。于点2,C,连

接AB,AC,贝hABC即为所求.

【详解】（1）瓯。的半径为：（M=Vl2+22=75>

EG。的周长2*万*君=2后,

故答案为：26兀

(2)如图：

0OE=£；F=712+22=A/5,OF=712+32=710.

又回(6”(6)2=(府)2,

^OE2+EF2=OF2,

SZOEG=90°.

0tanZOAF=tanZAFE=—,

2

l3Ztt47-'=ZA?E,

团。4EF,

^DMNP.OM=-OP

2f

^\OD=-ON=—.

22

BGLFH,EL=-EH,

2

^EG=-EF=—.

22

回EG=OD,

国EGOD,

团四边形OEGO是平行四边形，

团NQ£G=90。，

团O£G。是矩形.

团NAZ)G=90。，

团NOOC=90。，

o

^OC=>/5,OD=—,ZODC=90f

2

好

回COSNCOO=2=L'

下2

国NCOD=60。,

^ZCAO=-ZCOD=30°.

2

^ZADG=90°,

⑦AD_LCB,

团AD过圆心，AD±CBf

中AC=AB,CN=BN，

^AC=AB,ZCAD=ZBAD=30°,

0ZC4B=3O°+3OO=6O°,

团AC=AB,

fflABC是等边三角形.

【点睛】此题考查作图中的复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考

题型.

三、解答题(本大题共有6小题，共46分；第19-20小题每小题6分，第21-22小题每小题

7分，第23小题8分，第24小题10分)

19.如图，AB是O直径，弦CD_LAB于点E,过点C作/汨的垂线，交AB的延长线于点G,垂足为点尸，

连结AC,其中NA=ND.

⑴求证：AC=CG；

(2)若CZ)=EG=8,求(。的半径.

【答案】⑴见解析

(2)5

【分析】(1)先根据垂直的定义、对顶角相等可得ND=NG,从而可得NA=NG,再根据等腰三角形的判

定即可得证；

(2)连接OC,设：：。的半径为,，则tM=OC=r,再根据等腰三角形的三线合一可得AE=EG=8,根据

垂径定理可得EC=EO=JcO=4,从而可得OE=8-r,然后在Rt^OEC中，利用勾股定理求解即可得.

【详解】(1)证明：QDFLCG,CD1AB,

:.ZDEB=/BFG=90。,

QZDBE=ZGBF,

:.ND=NG,

ZA=ZD,

.\ZA=ZG,

/.AC=CG.

(2)解：如图，连接℃,

C

设。。的半径为r，则。4=OC=r,

CA=CG,CDLAB,CD=EG=8,

AE=EG=8,EC=ED=—CD=4,

2

:.OE=AE-OA=S-r,

222

在RtZXOEC中，DC?=。石2+石。2,gpr=(8-r)+4,

解得r=5,

.•.0。的半径为5.

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、垂径定理、勾股定理等知识点，熟练掌握垂径定理是解题

关键.

20.如图，在6义7的方格纸中，A,B,C均为格点，按要求画图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺的直

角；②保留必要的画图痕迹；③标注相关字母.

（1）找出过/,B,C三点的圆的圆心O,连结NO,BO.

（2）在回。上找到一点尸，画出05CP,使得/3CP=NAQB.

【答案】⑴见解析

（2）见解析

【分析】（1）利用垂径定理确定圆心，然后连接/。，2。即可；

（2）利用圆周角定理，即可作出图形.

【详解】（1）解：如图：取线段和NC的垂直平分线，交点是点。连接CM、OB-,

(2)

解：如（1）图，由圆周角定理得NAO3=2NACB,

取格点P，使得/BCP=2NACB,

贝!I有4cp=NAQ3；

【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理，网格问题，解题的关键是掌握所学的知识，正确的作出图形.

21.如图，A3是半圆。的直径，AE是半圆。的切线（即圆。的切线）.连接£B,交半圆于点。，连接AZ）.过

点D作直线8,且NEDC=NDAB.

⑴求证：直线8是半圆。的切线;

(2)求证：点C是线段AE的中点；

⑶若A5=10,BD=8,求线段CE的长.

【答案】⑴证明见解析

⑵证明见解析

⑶CE三

【分析】⑴连接0D,根据等边对等角，得出再根据等量代换，得出NEDC=NOD4,

再根据直径所对的圆周角等于90。，得出小＞，8E,根据垂线的定义，得出NED4=90。，再根据等量代换,

得出/ODC=/EZM=90。，即可得出ODLCD,再根据切线的判定定理，即可得出结论；

⑵根据切线的性质，得出NEAB=ZODC=90°,再根据角的关系和等量代换，得出NCDA=ZEAD=NB,

NEDC=NE,再根据等角对等边，得出AC=CD,CD=CE,然后根据等量代换，得出AC=CE,根据中

线的定义，即可得出结论；

(3)设CE长为元，则AE=2x,根据勾股定理，得出AD=6,再根据等面积法，得出用含工的式子表示跖，

再根据勾股定理，即可得出线段CE的长.

【详解】(1)证明：连接°。，

团。4=。。，

^\ZOAD=ZODA,

田NEDC=NDAB,

田NEDC=NODA,

团A3是半圆。的直径,

团“)5=90。，

团AD_L8£,

0Z£ZM=9O°,

^ZODC=ZEDA=90°f

回。。_LCD,

团直线8是半圆。的切线;

A'B

O

（2）证明：回钻、CD为半圆。的切线,

国NEAB=/ODC=900,

又团NOAD=NODA,

@NCDA=NEAD,

又团OD=OB,

田NODB=NB,

ZEAB=ZADB=90°f

团NQ4D=NQD4,

^ZB=ZODB=ZEAD,

⑦NCDA=NEAD=/B,

回/E+NB=NEDC+NCDA,

由/EDC=NE,

团AC—CD,CD-CE,

团AC-CE,

回点C是线段AE的中点；

(3)解:设CE长为x,则AE=2x,

在RtA4BD中，

I3AB=1O,BD=8,

0AD=VAB2-BD2=7102-82=6>

^S^BE=^AB-AE=^BE-AD,

S—xl0x2x=—xBEx6,

22

解得：BE=^x,

在WA4BE中，

根据勾股定理，可得：（2X『+102

解得：玉=115，％2=—宁15（舍去）,

【点睛】本题考查了切线的性质与判定、等腰三角形的性质、等量代换、勾股定理、等面积法，解本题的

关键在熟练掌握相关的性质、定理.

22.如图，在比A/BC中，点O在斜边上，以点。为圆心，为半径作圆，分别与8C,相交于点

D、E,连接40,已知回。4。=&43。.

(1)求证：40是回。的切线：

(2)若a48c=30。，AC=36,求阴影部分的面积.

【答案】⑴见解析

⑵阴影部分的面积=4万-3若

【分析】(1)连接OD,由OD=O2,利用等边对等角得到一对角相等，再由己知角相等，等量代换得到

SCAD=^ODB,求出EL4。。为90。，即可证4D是回。的切线；

(2)连接。D,作于尸，由直角三角形的性质得出。。=且/。=3,BC=9,得出2D=2C-CD=6,由

3

直角三角形的性质得出。尸=8/，。尸=6,得出。2=208=2相，由扇形面积公式和三角形面积公式即可得出

结果.

【详解】(1)证明：连接如图1所示：

SOB^OD,

005=0C4Z),

^CAD^ODB,

在放△/CD中，回G4D+团CZX4=90°,

回财。0=180°-（的。。+回005）=90°,

团07M4Z）,

团O。是半径，

^AD为团。的切线；

（2）解：连接8,作OR杷。于R如图2所示:

国OB=OD,财=30°,

酿。。8=回5=30°,

团前。5=120°,

团团。=90°,回回3=30°,

©CD=4AC=3,BC=gC=9,

^\BD—BC-CD=6,

回OI唱BD,

BDF=BF=-BD=3fOF=^-BF=^3f

23

⑦OB=2OF=26,

团阴影部分的面积=扇形ODB的面积-&ODB的面积

=4n-373.

【点睛】本题考查了切线的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、扇形面积公式、三角形

面积公式等知识，熟练掌握切线的判定是解题的关键.

23.材料：如图1,和BC是《。的两条弦（即折线A3c是圆的一条折弦），BC>AB,M是ABC的中

点，则从M向8c所作垂线的垂足。是折弦A3C的中点，即。。=钙+8£>.下面是运用"截长法"证明

CD=+即的部分证明过程.

证明：如图2,在CB上截取CG=AB,连接和MG,四是ABC的中点，SMA=MC,

⑴请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分;

(2汝口图3,已知，ABC内接于O,BC>AB>AC,。是人之台的中点，依据(1)中的结论可得图中某三条线

段的等量关系为;

⑶如图4,已知等腰「ABC内接于<O,AB=AC,D为AB上一点，连接。3,NACD=45。,AELCD于点£,

△BCD的周长为4亚+2,BC=2,请求出AC的长.

【答案】⑴该证明的剩余部分见解析

(2)BE=CE+AC

(3)4

【分析】(1)首先证明血血画MGC(&4S),进而得出〃B=MG,再利用等腰三角形的性质得出2£>=GD,

即可证明结论；

(2)直接根据“截长法"即可证明结论;

(3)根"截长法"得出CE^BD+DE,进而求出CE,最后用勾股定理即可得出结论.

【详解】(1)证明：如图2,在C3上截取CG=48,连接跖4,MB,A/C和MG.

图2

M是4BC的中点,

^MA=MC.

在［W氏4和IWGC中

BA=GC

<ZA=ZC,

M^MC

^MBA^MGC（SAS）,

又IWZ）财c,

MD=GD,

^DC=GC+GD=AB+BD.

（2）解：根据（1）中的结论可得图中某三条线段的等量关系为防=虚+AC

故答案为：BE=CE+AC.

（3）解：^AB=AC,。为AB上一点

西是8QC的中点，

根据"截长法"可得：CE^BD+DE,

aa5c。的周长为4及+2,

^BD+CD+BC^0+2，

SBD+DE+CE+BC=2CE+BC=4y/2+2,

血?=2,

0CE=2垃,

在必EL4CE中，EL4co=45°,

西C=V5CE=4.

【点睛】本题是圆的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，理解"截长法"

是解答本题的关键.

24.如图1,边长为2的正方形N8CD中，点£在N8边上（不与点/、8重合），点/在8c边上（不与点

B、C重合）•

第一次操作：将线段环绕点顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；第二次操作：将线段PG绕

点G顺时针旋转，当点尸落在正方形上时，记为点X；依此操作下去…

⑴图2中的赃ED是经过两次操作后得到的，其形状为,求此时线段跖的长；

（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH.

①请判断四边形EFGH的形状为,此时AE与BF的数量关系是.

②以①中的结论为前提，设/£的长为x,四边形EFG”的面积为小求y与x的函数关系式及面积y的取

值范围.

⑶若经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是多少？它可能是正多边形吗？如果是，请

求出其边长；如果不是，请说明理由.

【答案】⑴ADEF的形状为等边三角形，EF的长为2巫-26

⑵①正方形，AE=BF;②y=2/-4x+4（0<x<2）,2,,y<4

⑶经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是8,它可能为正多边形，边长为20-2

【分析】（1）由旋转性质，易得AEKD是等边三角形；利用等边三角形的性质、勾股定理求出跖的长；

（2）①四边形耳‘GH的四边长都相等，所以是正方形；利用三角形全等证