2025高考数学一轮复习：数列

2025高考数学一轮复习易混易错专项复习一一数列

【易混点梳理】

1.等差数列通项公式：«„=«,+(«-W.

2.等差中项公式：2an=an_x+an+x(neN*,H>2).

3.等差数列前〃项和公式：5,=幽岁=叫+若1(

4.等差数列的性质：

已知数列｛«„｝是等差数列，S“是｛«„｝的前n项和.

(1)若根+"=p+qlmnaeN*),贝I］有4,=%,+%.

(2)等差数列｛4｝的单调性：当d>0时，｛q｝是递增函数；当d<0时，｛q｝是递减函数;

当d=0时，｛可｝是常数歹!J.

(3)若｛4｝是等差数列,公差为",则为，4+„,,怎+2〃”…伏，根eN")是公差为md的等差数列.

(4)若｛。〃｝是等差数列，则也是等差数列，其首项与｛4｝的首项相同，其公差是｛4｝的

n

公差的;.

(5)若｛%｝是等差数列，黑,邑„,,邑„,分别为｛q｝的前m项，前2机项，前3m项的和，则

S,”,邑m-5,”,53,“-反„!成等差数列，公差为m2d(d为数列｛4｝的公差).

nx

5.等比数列通项公式：an=axq-.

6.等比中项公式：a；=an_1-an+l(n&N*,n>2).

nax(q=1)

7.等比数列前几项和公式：Sn=<^(1-q")_ax-anq.

-■=-：(q丰D

I"qi-q

8.等比数列的前n项和的性质：

(I)当"1(或4=-1且左为奇数)时,SHSL-&,S3/-S凝，…是等比数歹!).

(2)若4•的•…•4=4，则&$,+'一•成等比数列.

4，2n

s

（3）若数列｛4｝的项数为2〃，S偶与S奇分别为偶数项与奇数项的和，则造=心若项数为%+1,

3奇

则一^\心

3偶

【易错题练习】

2

1.记正项等差数列｛。“｝的前”项和为S“，S2n=（a„+1）,a2=3,则生=（）

A.23B.24C.25D.26

2.已知数列｛4｝满足a“+]=2ajc%=4,则数列｛%｝的前4项和等于（）

A.16B.24C.30D.62

v

3.记S"为等比数列｛4｝的前九项和.若%-%=12,%-&=24,则」=（）

A.2"-1B.2-2~

C.2—2”TD.21"-1

4.已知正项等比数列｛4｝的前n项和为Sn.若区—44—3（4+24-8%=0，54=15,贝I]S2023=

()

2022

A.22023-lB.22022-1C22。23D,2

5.已知等差数列｛/｝的前〃项和为S“，a5+a^-2a10,4+%=-26,则满足勾心用＜0的〃

的值为（）

A.14B.15C.16D.17

6.（多选）设S“是公比为正数的等比数列｛/｝的前〃项和.若出=La3a5=—,则（）

264

A19

A.——B.S,=-

834

C.a“+S”为常数D.--2｝为等比数列

7.（多选）若｛%｝为等差数列，6%=11,%=5则下列说法正确的是（）

A.an=15-2n

B.-20是数列｛%｝中的项

C.数列｛4｝单调递减

D.数列｛%｝前7项和最大

8.记S”为等差数列｛叫的前〃项和.若%+%=7，3%+%=5，则耳。=

9.已知正项等比数列｛4｝的前〃项和为S“，若$4=3,58=51,则为。23=

10.已知数列｛%｝的前〃项和为S”，且满足4+1=0，neN*,%=9.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）已知也=（%+%+）2",求数列也｝的前〃项和却

答案解析

1.答案：A

解析:设等差数列｛〃〃｝的公差为d.令n=l,得S2=（[+1）2,即q+3=（弓+以，（6+2）（q-1）=0,

解得％=1或q=—2（不符合题意，舍去），贝Ud=出一%=3—1=2,贝！J/=%+1Id=23,故

选A.

2.答案：C

解析：由已知可得，当〃=1时，a”]=g=2q=>q=2;

当儿=2时，%+i=%=2/n%=8；当〃=3时，%+1=%=2%=%=16;

所以数列｛4｝的前4项和等于2+4+8+16=30,故选：C.

3.答案：B

解析：设等比数列｛4｝的公比为q,则由七一%=。£-。£=12,解得卜=1,所以

[a6-a4=axq-axq'-24,[q二2.

n｝

%（1-4J、—],an=axq-=2"-',所以&=^1=2—2「"，故选B.

x

1—qanT-

4.答案：A

解析：设正项等比数列｛%｝的公比为4（夕>0）,,・・〃：—4。：—3的6+2%-8%=。，

(4—4%)(4+/+2)=。.:>0，•・4+a4+2w。%—4%=。，♦•~~—4,解得q=2

。4

a,(1-q4)a,(1-24)i-22023

(负值舍去)，.-.S=^------1=；2』5〃]=15,，4=1,.♦.邑023=]2=223_1.故

4

选A.

5.答案：B

解析：由4+%=-26,得。5=-13.设｛%｝的公差为d,则由%+。8=-2〃io,可得

%+。5+3d=—2(%+5d),得d=4,所以Q〃=4〃—33,则S八=2/—31〃=〃(2〃—31),当〃<15

时，Sn<0,当〃N16时，Sn>Q,贝!J当〃<14时，5n-5n+1>0,当〃216时，5n-5n+1>0,当〃=15

时,S屋S〃+i<0,(另解=(2"-31〃)[2(〃+1)2-31(〃+1)]=(2"-31〃)(2/-27〃-

=”("+1)(2"—31)•(2〃-29),易矢口当寸<〃<：时,S〃S“+i<0,又“cN*,所以当九=15时,

S£+i<0)故选B.

6.答案：ACD

解析：设｛。”｝的公比为q(q>0),则aq-aq3=—,解得q，故=aqn~，则q=1,

2264222”

1_—

1111小17

S.------=2------■.对于A,。4=~?二—，故A正确；对于B,邑=2—-——故B错误;

112〃T42383224

1—

2

对于C,a“+S〃=二+2=2为常数，故C正确；对于D,由3―2=—工，5二冬=工

〃〃2〃一12〃一1n2〃一1S—22

n>2,可得⑸-2｝为等比数列，故D正确.故选ACD.

7.答案：ACD

解析：因为数列｛%｝为等差数列，且4=11，%=5则1+"=］，解得q=13,d=—2

+4d—5

%=13+5—1)x(—2)=—2/Z+15,故A选项正确，由—20=—2〃+15,得〃=3WN*，故B错误，

2

因为d<0,所以数列｛4｝单调递减，故C正确，由数列通项公式4=15-2〃可知，前7项均

为正数，a8=-1,所以前7项和最大，故D正确.故选：ACD

8.答案：95

解析：解法一':设｛%｝的公差为d,由%+%="i+2d+a1+3d=2al+5d—7,

3a2+%=3(%+1)+%+4d=4q+7d=5,解得q=—4,d=3,则S］。=106+45d=95.

解法二：设｛a“｝的公差为d,由/+%=%+%=7，3a?+。5=5，得a2=-1,%=8，故

d=今~|1=3,a6=11,则Si。="xl0=5(%+a6)=5xl9=95.

,2022

9.答案：——

解析：方法一：设等比数列｛%｝的公比为q,由题意知q〉0且q/1,则

q(i-

—,解得.贝!

1-q_1q=2J=-^-----=15ax—3,.*.a1=—

171-q5

i—q

22022

.n_〃〃2022_J_x。2022

••^^2023ly入乙

5

方法二：设等比数列｛氏｝的公比为q,根据等比数列的性质，得S8-54,52-Sg成公比为

二的等比数列，.“4=与&=芋=16,又等比数列｛4｝的各项均为正数，「.9=2,又

2022

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S=-----------=15tz=3,q=—,02023=—一=—*2''-=-----.

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