人教A版高中数学(必修第一册)培优讲义+题型检测专题5.3 诱导公式-重难点题型精讲及检测（教师版）

第第页专题5.3诱导公式-重难点题型精讲1．诱导公式(1)诱导公式(2)诱导公式的作用

2．一组重要公式(1)SKIPIF1<0(n∈Z).

①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有SKIPIF1<0(k∈Z).

②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有SKIPIF1<0SKIPIF1<0(k∈Z).

(2)SKIPIF1<0(n∈Z).

①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有SKIPIF1<0(k∈Z).

②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有SKIPIF1<0SKIPIF1<0(k∈Z).

类似地，有：

(3)SKIPIF1<0(n∈Z).

(4)SKIPIF1<0(n∈Z).【题型1利用诱导公式求值】【方法点拨】利用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，口诀：负化正，大化小，化到锐角再查表.【例1】（2022·山东·高二阶段练习）已知cosπ6-α=A．±35 B．35 C．-【解题思路】结合π6【解答过程】解：因为π6-α+故选：D.【变式1-1】（2022·四川省高三阶段练习（理））已知sin(α+π12)=A．13 B．223 C．-【解题思路】由三角函数的诱导公式，化简得cos(α【解答过程】由三角函数的诱导公式，可得cos(α又sin(α+π【变式1-2】（2022·北京朝阳·高三阶段练习）若tan(π−x)=12A．±15 B．±25 C．【解题思路】根据给定条件，利用诱导公式、同角公式计算作答.【解答过程】因tan(π−x)=12，则tanx=−1所以cos(【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知cosπ3−α=3A．±45 B．45 C．−【解题思路】根据α+π【解答过程】∵cosπ3−α=【题型2利用诱导公式化简】【方法点拨】在对给定的式子进行化简时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化.特别要注意每一个角所在的象限，勿将符号及三角函数名称搞错.【例2】（2022·全国·高一课时练习）化简sinπ2−αA．tanα B．−tanα C．1【解题思路】利用诱导公式化简可得结果.【解答过程】sinπ【变式2-1】（2022·全国·高一课时练习）cos(π−x)+sinx+A．−2cosx B．0 C．−2sin【解题思路】由诱导公式直接化简可得.【解答过程】cos(π−x)+【变式2-2】（2022·北京高一期中）化简cos(2π−α)sin(−α)A．tanα B．cosα C．sinα【解题思路】应用诱导公式化简即可得结果.【解答过程】cos(2π−α)【变式2-3】（2022·天津市高一期末）若f(α)=sin(π2−α)A．cosα B．sinα C．−sin【解题思路】根据诱导公式化简即可得答案.【解答过程】解：f(α)=sinπ【题型3利用互余（互补）关系求值】【方法点拨】诱导公式的应用中，利用互余(互补)关系求值问题是最重要的问题之一，也是高考考查的重点、热点，一般解题步骤如下：(1)定关系：确定已知角与所求角之间的关系.(2)定公式：依据确定的关系，选择要使用的诱导公式.(3)得结论：根据选择的诱导公式，得到已知值和所求值之间的关系，从而得到结果.【例3】（2022·全国·高一单元测试）已知cos(α−π6)=223A．−13 B．13 C．−【解题思路】根据同角三角函数基本关系及诱导公式求解即可.【解答过程】∵cos(α−π6)=22∴cos(α【变式3-1】（2022·广西梧州·高二期末（理））已知sinπ4+α=1A．13 B．223 C．−【解题思路】整体代换法用诱导公式进行计算【解答过程】cosα−【变式3-2】（2022·北京市高一期中）已知cosπ6−α=2A．−23 B．−12 C．【解题思路】找出α+π3与【解答过程】sinα+【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）已知sinθ−π6=1A．−32 B．−12 C．【解题思路】利用题目条件结合诱导公式即可得出答案.【解答过程】cosθ+【题型4诱导公式在三角形中的应用】【方法点拨】利用诱导公式解决三角形中有关问题时，既要注意综合运用诱导公式、同角三角函数的基本关系式，还要注意三角形的隐含条件——三角形内角和等于SKIPIF1<0的灵活运用.【例4】（2022·全国·高一课时练习）在△ABC中，sinπ2+A+sinA．−125 B．125 C．−【解题思路】利用三角函数诱导公式对原式进行化简可得sinA+cosA的值，利用平方关系得到sinAcosA的值，再结合三角形的内角，求解【解答过程】解：在△ABC中，sinπ平方得1+2sinAcosA=49169，2sin所以sinA−cosA>0，sinA−cosA2=1−2sinAcos【变式4-1】（2022·全国·高一专题练习）在△ABC中，下列等式一定成立的是（

）A．sinA+B=−sinC．cosB+C2=【解题思路】由已知可得A+B+C=π，结合三角函数的诱导公式逐一核对四个选项即可得出答案.【解答过程】在△ABC中，有A+B+C=π，∴sinA+B=sinC，故A错误；cosA+B=−【变式4-2】（2022·上海高一阶段练习）已知A、B、C是△ABC的内角，对于①sin(A+B)=sinC；②cos(A+B)=−cosC；③tanA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解题思路】直接利用诱导公式判断每一个命题即得解.【解答过程】解：①sin(A+B)=sin(π−C)=sinC,所以正确；②cos(A+B)=cos【变式4-3】（2021·全国·高一专题练习）设A，B，C为△ABC的三个内角，则不管三角形的形状如何变化，表达式：①sin(A+B)+sinC；②cos(A+B)+cosC；A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】直接利用三角形的内角和，诱导公式化简四个选项，求出数值即可．【解答过程】解：A，B，C为△ABC的三个内角，所以A+B+C=π，则不管三角形的形状如何变化，表达式：①sin(A+B)+②cos(A+B)+③tan(④sin2所以始终是常数的是3个．故选：C．专题5.3诱导公式-重难点题型检测参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022·黑龙江·高三开学考试）平面直角坐标系中，角α的终边经过点P1,3，则cosα+A．−32 B．−12 C．【解题思路】根据给定条件，利用三角函数定义结合诱导公式计算作答.【解答过程】依题意，点P1,3到原点距离r=1故选：A.2．（3分）（2022·黑龙江·高三阶段练习）已知tanα=−3，则sin(πA．−910 B．−310 C．【解题思路】利用三角函数诱导公式化简可得sin(π+α)⋅cos(【解答过程】由题意得sin(π3．（3分）（2022·江苏南通·高一期末）若α，β的终边（均不在y轴上）关于x轴对称，则（

）A．sinα+sinβ=0C．sin2α+sin【解题思路】因为α，β的终边（均不在y轴上）关于x轴对称，则α+β=2kπ，k∈Z，然后利用诱导公式对应各个选项逐个判断即可求解．【解答过程】因为α，β的终边（均不在y轴上）关于x轴对称，则α+β=2kπ，k∈Z，选项A:sinα+sin选项B:cosα+cos选项C:sin2α+选项D:tanα−tanβ=tan4．（3分）（2022·全国·高三专题练习）若cos(α+π)=−23，则sinA．23 B．−23 C．5【解题思路】利用诱导公式即可得到结果.【解答过程】∵cos(α+π)=−cosα=−23，∴5．（3分）（2022·广东·高二阶段练习）如果sinα=13，那么sin A．−223 B．−23 【解题思路】根据诱导公式化简即可得解.【解答过程】∵sinα=16．（3分）（2022·河北·高一开学考试）在△ABC中，下列关系一定成立的是（）A．sinA+sinC=C．cosB+C=−cos【解题思路】利用三角形的内角和定理和诱导公式依次判断各个选项即可.【解答过程】对于A，若A=B=C=π3，则对于B，sinA+B对于C，cosB+C对于D，tanA+C7．（3分）（2022·辽宁·高三阶段练习）已知点A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B在第二象限.记∠AOB=θ且sinθ=45.则sinA．320 B．34 C．−3【解题思路】利用同角三角函数平方和商数关系可求得cosθ,【解答过程】由题意知：θ∈π2,π，∴∴sin8．（3分）（2021·全国·高一专题练习）已知α=−37π6，则2sinA．−3 B．−32 C．3【解题思路】由诱导公式化简后计算【解答过程】由诱导公式化简原式得−2sin当α=−37π6时，tanα二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022·全国·高一单元测试）已知x∈R，则下列等式恒成立的是（

A．sin−x=sinC．cosπ2+x【解题思路】由三角函数的诱导公式化简可得.【解答过程】∵sin−x=−sinx∵cosπ2+x=−10．（4分）（2022·山东东营·高一期中）在平面直角坐标系中，角α的始边为x的正半轴，终边经过点(−1,2)，则下列式子正确的是（

）A．sinα+cosαC．2sin2α+sinα【解题思路】根据终边上的点求出三角函数值进行计算，诱导公式，余弦函数在第二象限单调递减即可解决.【解答过程】解：因为角α终边经过点(−1,2)，则sin对于A：sinα+cosαsinα−7cosα=2对于C：2sin2α+对于D：因为当α∈[π2,π]，y=cosα单调递减，而−1211．（4分）（2022·全国·高一课时练习）已知sinx+π4A．cosx+π4C．cosπ4−x【解题思路】依题意，可得x+π4∈【解答过程】解：∵x∈π2,π∴cosx+π又cosπsinπ12．（4分）（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，下列关系式恒成立的有（

）A．sinA+B=sinC．sin2A+2B+sin【解题思路】结合三角形的内角和定理和诱导公式，准确运算，即可求解.【解答过程】对于A中，由sinA+B对于B中由cosA+B对于C中，由sin=sin对于D中，cos(=cos故选：ABC.三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022·全国·高一）cos330°+sin−30°+【解题思路】根据诱导公式及特殊角三角函数值，即可求解.【解答过程】cos=cos30°−1214．（4分）（2022·湖北·高一阶段练习）若sinπ6+α=【解题思路】根据诱导公式计算．【解答过程】sin5π故答案为：0.15．（4分）（2022·全国·高一课时练习）化简：cos(θ+4π)cos2(θ+π)【解题思路】利用诱导公式进行化简即得.【解答过程】原式=cosθ⋅cos16．（4分）（2022·上海市高三阶段练习（理））已知△ABC，若存在△A1B1C1，满足cosAsinA①A=90°，B=60°，C=30°；②A=75°，B=60°，C=45°；③A=75°，B=75°，C=30°．【解题思路】满足cosAsinA1=cosB【解答过程】满足cosAsinA1=cosB对于①,cosA=cos90°=0,显然不成立．对于②，可取A1=15°对于③，由A=75°,B=75°，则A1,B1可取的角为15°或165°,若有一个角为165°,另一个角△A1B1C1大于180°,不合题意,故A1=B1=故答案为②．四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2021·全国·高一专题练习）求证：2sin(θ−3π【解题思路】左边由诱导公式平方关系化简变形，右边用诱导公式，商数关系化简变形可证．【解答过程】左边=−2cosθ⋅sinθ−1sin右边=tan(8π+π+θ)+1tan(π+θ)−1=tan18．（6分）（2022·福建省高三阶段练习）已知角θ是第二象限角，其终边与以原点为圆心的单位圆交于点P−(1)写出三角函数sinθ，cos(2)求sinπ【解题思路】（1）先利用单位圆解出P的坐标，然后根据三角函数定义求解;（2）先根据诱导公式化简解析式，即可得到答案【解答过程】（1）因为角θ的终边与以原点为圆心的单位圆交于点P−所以−12132+y2=1所以角θ的终边与以原点为圆心的单位圆交于点P(−1213,513（2）sin(π219．（8分）（2022·安徽·高三阶段练习）已知tanθ(1)求sinθ(2)求2sin3【解题思路】（1）根据平方关系及商数关系化弦为切，即可得解；（2）利用诱导公式化简，再根据平方关系化弦为切即可得解.【解答过程】（1）解：sinθsin（2）解：2sin=−20．（8分）（2022·全国·高一课时练习）已知A、B、C为△ABC的三个内角，求证：sin【解题思路】利用三角形的内角和定理可得出B+C2【解答过程】证明：在△ABC