人教A版高中数学(必修第一册)培优讲义+题型检测专题3.2 函数的基本性质-重难点题型精讲及检测（原卷版）

第第页专题3.2函数的基本性质-重难点题型精讲1．函数的单调性(1)单调递增、单调递减：(2)函数的单调性及单调区间：①当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时,我们就称它是增(减)函数.

②如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.(3)常见函数的单调性：(4)单调函数的运算性质：若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：

①f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性.

②若a为常数，则当a>0时，f(x)与af(x)具有相同的单调性；当a<0时，f(x)与af(x)具有相反的单调性.

③若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a>0时，f(x)与SKIPIF1<0具有相反的单调性；当a<0时，f(x)与SKIPIF1<0具有相同的单调性.

④若f(x)≥0，则f(x)与SKIPIF1<0具有相同的单调性.

⑤在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论：⑥当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x)g(x)在区间D上也是单调递增(减)的；若两者都恒小于零，则f(x)g(x)在区间D上单调递减(增).(5)复合函数的单调性判定：对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a,b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调.2．函数的最大（小）值(1)函数的最大（小）值：(2)利用函数单调性求最值的常用结论：①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x[a,c]在x=b处有最大值f(b)，如图(1)所示；

②如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x),x[a,c]在x=b处有最小值f(b)，如图(2)所示.3．函数的奇偶性(1)定义：(2)奇偶函数的图象特征（几何意义）①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数.(3)函数图象的对称性：①图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数.②图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数.【题型1函数单调性的判断及单调区间的求解】【方法点拨】(1)定义法：利用函数单调性的定义讨论函数的单调性或求单调区间.(2)图象法：根据函数解析式画出函数图象，通过函数图象研究单调性.注：①复合函数单调性的判断方法：根据复合函数的单调性满足“同增异减”，可判断复合函数的单调性；②抽象函数单调性的判断方法：一种是“凑”，凑定义或凑已知，从而使用定义或已知条件得出结论；另一种是“赋值”，给变量赋值要根据条件与结论的关系，有时可能要进行多次尝试.【例1】下列函数中，在（﹣∞，0）上为减函数的是（）A．y=−1x B．y＝2x+1 C．y＝x2 D．y【变式1-1】下列函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A．f（x）＝3﹣x B．f（x）＝x2﹣3x C．f(x)=−1x D．f（x【变式1-2】函数y=xA．(−∞，−32] B．[−32，+∞) C．[0，+【变式1-3】函数f(x)=x−1A．（0，+∞） B．（﹣∞，0） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（﹣∞，0），（0，+∞）【题型2利用函数的单调性求参数】【方法点拨】(1)已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数.(2)借助常见函数(如一次函数、反比例函数、二次函数等)的单调性求解.需注意，若一个函数在区间[a,b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.【例2】已知函数f（x）＝x2﹣kx﹣8在区间[5，20]上具有单调性，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，10]∪[40，+∞） B．（﹣∞，﹣40]∪[﹣10，+∞） C．[10，+∞） D．[40，+∞）【变式2-1】若函数y＝x2+2mx+1在[2，+∞）上单调递增，则实数m的取值范围是（）A．[﹣2，+∞） B．[2，+∞） C．（﹣∞，2） D．（﹣∞，2]【变式2-2】若函数f（x）＝2x2+（x﹣a）|x﹣a|在区间[﹣3，0]上不是单调函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，0）∪（0，9） B．（﹣9，0）∪（0，3） C．（﹣9，3） D．（﹣3，9）【变式2-3】定义在R的函数f（x）＝﹣x3+m与函数g（x）＝f（x）+x3+x2﹣kx在[﹣1，1]上具有相同的单调性，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2] B．[2，+∞） C．[﹣2，2] D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【题型3利用函数的单调性比较大小、解不等式】【方法点拨】(1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量的值转化到同一个单调区间上.

(2)解关于SKIPIF1<0的不等式时，可利用函数的单调性脱去“f”，转化不等式，进行求解即可.【例3】已知函数f（x）是定义在[2，+∞）的单调递增函数，若f（2a2﹣5a+4）＜f（a2+a+4），则实数a的取值范围是（）A．(−∞，12)∪(2，+∞) BC．(0，12]∪[2，6) 【变式3-1】已知定义在[0，+∞）上的单调减函数f（x），若f（2a﹣1）＞f（13），则aA．(−∞，23) B．(12，2【变式3-2】已知函数f（x）是区间（0，+∞）内的减函数，则f（a2﹣a+1）与f(3A．f(a2−a+1)≥f(34C．f(a2−a+1)=f(【变式3-3】定义在R上函数y＝f（x）满足以下条件：①函数y＝f（x）图像关于x＝1轴对称，②对任意x1，x2∈（﹣∞，1]，当x1≠x2时都有f(x1)−f(x2)x1−x2＜A．f(32)＞f(0)C．f(32)＞【题型4求函数的最值】【方法点拨】(1)配方法，主要适用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围；

(2)换元法，用换元法时一定要注意新元的取值范围；

(3)数形结合法，对于图象较容易画出的函数的最值问题，可借助图象直观求出；

(4)利用函数的单调性，要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上函数的最值.【例4】函数f(x)=1x2+1在区间A．12，15 B．2，5 C．1，2【变式4-1】若函数f(x−1x)=1x2−2x+1，则函数gA．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4【变式4-2】设函数f(x)=2xx−2在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M，m，则A．4 B．6 C．10 D．24【变式4-3】已知min{a，b}=a，a≤bb，a＞b，设f（x）＝min{x﹣2，﹣A．﹣2 B．1 C．2 D．3【题型5由函数的最值求参数】【方法点拨】在求参数a的取值范围时，可将参数a单独分离出来求解.

若对于区间D上的任意x，a>f(x)恒成立，则a>SKIPIF1<0；若对于区间D上的任意x，a<f(x)恒成立，则a>SKIPIF1<0；若在区间D上存在x使a>f(x)成立，则a>SKIPIF1<0；若在区间D上存在x使a<f(x)成立，则a＜SKIPIF1<0.其他情形(如a≥f(x)等)同理可得相应结论.【例5】若函数f(x)=2x+mx+1在区间[0，1]上的最大值为52A．3 B．52 C．2 D．52【变式5-1】已知函数f（x）＝|x2﹣2x+a|+a在区间[0，2]上的最大值是1，则a的取值范围是（）A．[0，12] C．[12，+∞)【变式5-2】函数f（x）＝x（|x|﹣1）在[m，n]上的最小值为−14，最大值为2，则n﹣A．52 B．52+22 C．【变式5-3】若关于x的函数f(x)=2021x3+ax2+x+a2x2A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．1【题型6函数奇偶性的判断】【方法点拨】(1)定义法：先求函数的定义域，再进行函数奇偶性的判断.(2)图象法：根据解析式画出函数图象，根据函数的对称性进行函数奇偶性的判断.(3)性质法：利用奇、偶函数的和、差、积、商的奇偶性，以及复合函数的奇偶性判断.【例6】设函数f（x）=x−2A．f（x﹣2）﹣1 B．f（x﹣2）+1 C．f（x+2）﹣1 D．f（x+2）+1【变式6-1】若函数f（x）＝ax2+bx+8（a≠0）是偶函数，则g（x）＝2ax3+bx2+9x是（）A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数【变式6-2】设函数f(x)=1A．f（x+1） B．f（x）+1 C．f（x﹣1） D．f（x）﹣1【变式6-3】已知f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，且g（x）≠0，则下列说法正确的是（）A．f（x）+g（x）为R上的奇函数 B．f（x）﹣g（x）为R上的奇函数 C．f(x)g(x)为R上的偶函数D．|f（x）g（x）|为R上的偶函数【题型7函数奇偶性的应用】【方法点拨】(1)求函数值、函数解析式：利用函数的奇偶性，进行转化求解.(2)求参数值：①若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程.

②一般化策略：对x取定义域内的任一个值，利用f(-x)与f(x)的关系式恒成立来确定参数的值.【例7】f（x）是定义域为R的奇函数，且f（1+x）﹣f（x）＝0，若f(35)=−A．−75 B．−35 C．3【变式7-1】若定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）＝﹣f（x），且当1≤x≤2时，f（x）＝x﹣1，则f（72A．52 B．32 C．12 【变式7-2】设函数f（x）的定义域为R，f（x﹣1）为奇函数，f（x+2）为偶函数，当x∈[﹣1，2]时，f（x）＝ax2+b．若f（1）＝0，f（﹣4）+f（3）＝﹣3，则f(15A．−54 B．54 C．−3【变式7-3】设f（x）的定义域为R，f（x﹣2）是奇函数，f（x﹣1）是偶函数，则f（﹣4）+f（﹣3）+f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝（）A．﹣4 B．0 C．4 D．不确定【题型8函数图象的识别、判断】【方法点拨】①排除法：利用特殊点的值来排除；②利用函数的奇偶性、单调性来判断.【例8】下列四个函数图象中，当x＜0时，函数值y随自变量x的增大而减小的是（）A．B． C．D．【变式8-1】根据下列函数图象，既是奇函数又是增函数的是（）A．B． C．D．【变式8-2】已知f（x）=x+1A．是f（x﹣1）的图象 B．是f（﹣x）的图象 C．是f（|x|）或|f（x）|的图象 D．以上答案都不对【变式8-3】反比例函数f（x）=kxA．常数k＜﹣1 B．函数f（x）在定义域范围内，y随x的增大而减小 C．若点A（﹣1，m），B（2，n）在f（x）上，则m＜n D．函数f（x）图象对称轴的直线方程y＝x专题3.2函数的基本性质-重难点题型检测一．选择题1．函数f（x）=1A．（0，+∞） B．（﹣∞，0） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（﹣∞，0）和（0，+∞）2．下列函数是奇函数且在[0，+∞）上是减函数的是（）A．f(x)=1x B．f（x）＝﹣|x| C．f（x）＝﹣x3 D．f（x）＝﹣3．下列图形是函数y＝x|x|的图象的是（）A．B．C．D．4．函数f（x）＝ax|a﹣x|（a∈R）在区间（﹣∞，2）上单调递增，则实数a的取值范围（）A．[2，4） B．[4，+∞） C．（2，+∞） D．（4，+∞）5．已知函数f（x+1）是偶函数，当1＜x1＜x2时，[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0恒成立，设a=f(−12)，b＝f（2），c＝f（3），则a，bA．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c6．设MI表示函数f（x）＝|x2﹣4x+2|在闭区间I上的最大值．若正实数a满足M[0，a]≥2M[a，2a]，则正实数a的取值范围是（）A．[2−3，12] B．[2−3，1]7．设函数f（x）的定义域为R，f（x﹣1）为奇函数，f（x+2）为偶函数，当x∈[﹣1，2]时，f（x）＝ax2+b．若f（1）＝0，f（﹣4）+f（3）＝﹣3，则f(15A．−54 B．54 C．−38．已知f（x）是定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）的奇函数，函数g(x)=f(x)+1x，f(1)=−1，当x2＞x1＞A．f（x）在（0，+∞）是增函数 B．g（x）在（﹣∞，0）是增函数 C．不等式g（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1） D．函数g（x）只有一个零点二．多选题9．函数f（x）是定义在R上的奇函数，下列说法正确的有（）A．f（0）＝0 B．若f（x）在（0，+∞）上有最小值﹣3，则f（x）在（﹣∞，0）上有最大值3 C．若f（x）在（1，+∞）上为减函数，则f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数 D．f（﹣1）＝f（1）10．设函数f(x)=ax−1，x＜ax2A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．111．已知函数f(x)=|x+1x|A．f（x）+g（x）是奇函数 B．f（x）⋅g（x）是偶函数 C．f（x）+g（x）的最小值为4 D．f（x）⋅g（x）的最小值为212．已知定义在区间[﹣7，7]上的一个偶函数，它在[0，7]上的图象如图，则下列说法正确的是（）A．这个函数有两个单调增区间 B．这个函数有三个单调减区间 C．这个函数在其定义域内有最大值7 D．这个函数在其定义域内有最小值﹣7三．填空题13．函数y=1x2+4x−5的单调递增区间是14．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣