人教A版高中数学(必修第一册)培优讲义+题型检测专题2.1 等式性质与不等式性质-重难点题型精讲及检测（教师版）

第第页专题2.1等式性质与不等式性质-重难点题型精讲1．两个实数大小的比较如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a－b>0，a＝b⇔a－b＝0，a<b⇔a－b<0.从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小．2．等式的基本性质性质1如果a＝b，那么b＝a；性质2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4如果a＝b，那么ac＝bc；性质5如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).3．不等式的性质(1)如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a.(2)如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c.(3)如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.(7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．【题型1不等关系的建立】【方法点拨】在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组．【例1】（2021秋•石鼓区校级月考）铁路乘车行李规定如下：乘动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过Mcm．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a、b、c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（）A．a+b+c≤M B．a+b+c＞M C．a+b+c≥M D．a+b+c＜M【解题思路】根据题意列出不等式即可．【解答过程】解：∵长、宽、高之和不超过Mcm，长、宽、高分别为a、b、c，∴a+b+c≤M，故选：A．【变式1-1】（2021秋•龙岩期中）为安全燃放某种烟花，现收集到以下信息：①此烟花导火索燃烧的速度是每秒0.6厘米；②人跑开的速度为每秒4米；③距离此烟花燃放点50米以外（含50米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（厘米）应满足的不等式为（）A．4×x0.6＜50 B．4×x0.6【解题思路】直接由题意可列出不等关系式即可．【解答过程】解：由题意可得4×x0.6≥50【变式1-2】（2021秋•龙岗区期中）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5cm，人跑开的速度为每秒4m，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100m以外的安全区，导火索的长度x（cm）应满足的不等式为（）A．4×x0.5≥100 B．4×x0.5≤100 C．4×x【解题思路】为了安全，则人跑开的距离应大于100米，路程＝速度×时间，其中时间即导火索燃烧的时间，是x0.5s．【解答过程】解：根据题意得4×x0.5＞【变式1-3】（2021秋•龙江县校级月考）下列结论不正确的是（）①用不等式表示某厂最低月生活费a元不低于300元为a≥300；②完成﹣项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工资预算20000元，设木工x人，瓦工y人，则满足的关系式是5x+4y＜200；③设M＝x2+3，N＝3x，则M与N的大小关系为M＞N；④若x≠﹣2且y≠1，则M＝x2+y2+4x﹣2y的值与一5的大小关系是M＞﹣5．A．① B．② C．③ D．④【解题思路】由题意列出不等式，可判断①②；由作差比较和不等式的性质，可判断③④．【解答过程】解：对于①，可得a≥300，故①正确；对于②，可得500x+400y≤20000，化为5x+4y≤200，故②错误；对于③，M﹣N＝x2+3﹣3x＝（x−32）2+34＞0，可得M＞N，故③正确；对于④，因为x≠﹣2且y≠1，所以M﹣（﹣5）＝x2+y2+4x﹣2y+5＝（x+2）2+（y﹣1）2＞0，即M＞﹣5【题型2利用不等式的性质判断正误】【方法点拨】(1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可．(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．【例2】（2022春•大名县校级期末）如果a，b，c，d∈R，则正确的是（）A．若a＞b，则1a＜1b B．若a＞b，则ac2C．若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd【解题思路】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．【解答过程】解：对于A，令a＝1，b＝﹣1，满足a＞b，但1a＞1对于B，当c＝0时，ac2＝bc2，故B错误，对于C，a＞b，c＞d，由不等式的可加性可得，a+c＞b+d，故C正确，对于D，令a＝1，b＝﹣1，c＝1，d＝﹣1，满足a＞b，c＞d，但ac＝bd，故D错误．故选：C．【变式2-1】（2022•孝义市开学）已知1aA．a＜b B．a+b＜ab C．|a|＞|b| D．ab＞b2【解题思路】由1a＜1b＜0得【解答过程】解：∵1a＜1b＜0，∴b＜a＜0，∴b＜a，a+b＜ab，|a|＜|b|故选项B正确，故选：B．【变式2-2】（2022春•包头期末）a，b∈R，下列命题正确的是（）A．若a＞b，则a2＞b2 B．c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2 C．若﹣3a＞﹣3b，则a＜b D．a≠0，b≠0，若a＞b，则1【解题思路】根据不等式的性质直接判断．【解答过程】解：选项A，如a＝0，b＝﹣1，不等式不成立，选项A错误，选项B，如c＝0，不等式不成立，选项B错误，选项C，根据不等式两边同除以﹣3，不等号改变，∴选项C正确，选项D，如a＝1，b＝﹣1，不等式不成立，选项D错误，故选：C．【变式2-3】（2021秋•贺州期末）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．1a＜1b B．ab＜b2 C．ab＞a2【解题思路】根据不等式的基本性质，结合题意，判断选项中的命题是否正确即可．【解答过程】解：因为a＜b＜0，所以ab＞0，所以1b＜1a＜0因为a＜b＜0，所以ab＞b2＞0，选项B错误；因为a＜b＜0，所以a2＞ab＞0，即ab＜a2，选项C错误；因为a＜b＜0，所以1b＜1a＜0，所以−1b【题型3利用作差法比较大小】【方法点拨】(1)作差法比较的步骤：作差―→变形―→定号―→结论．(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论．【例3】（2022春•九江期末）已知a=2，b=7−3，c=6−2A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解题思路】运用不等式的基本性质直接比较两数的大小．【解答过程】解：∵a=2，b=7−∴由a−b=2+3−7由a−c=22−6且(2由b−c=(7+2)−(6+3)且(6+3)【变式3-1】（2022春•安徽期中）已知a＜b，x＝a3﹣b，y＝a2b﹣a，则x，y的大小关系为（）A．x＞y B．x＜y C．x＝y D．无法确定【解题思路】利用作差法直接化简判断即可．【解答过程】解：x﹣y＝a3﹣b﹣a2b+a＝a2（a﹣b）+（a﹣b）＝（a﹣b）（a2+1），又a＜b，则a﹣b＜0，又a2+1＞0，则x﹣y＝（a﹣b）（a2+1）＜0，故x＜y．故选：B．【变式3-2】（2021秋•靖远县期末）已知P＝x2+xy+y2，Q＝3xy﹣1，则（）A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．P，Q的大小关系不确定【解题思路】直接利用作差法和关系式的变换的应用求出结果．【解答过程】解：P﹣Q＝x2+xy+y2﹣3xy+1＝（x﹣y）2+1＞0．故P＞Q．故选：A．【变式3-3】（2021秋•滦南县校级月考）设m＞1，P＝m+4m−1，Q＝5，则P，A．P＜Q B．P＝Q C．P≥Q D．P≤Q【解题思路】利用作差法即可判断大小．【解答过程】解：P﹣Q＝m+4m−1−因为m＞1，所以（m﹣3）²≥0，m﹣1＞0，所以(m−3)2m−1≥0，所以P≥【题型4利用作差法比较大小的应用】【例4】（2022春•芜湖期末）甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则（）A．甲先到教室 B．乙先到教室 C．两人同时到教室 D．谁先到教室不确定【解题思路】比较走完路程所用时间大小来确定谁先到教室，故应把两人到教室的时间用所给的量表示出来，作差比较【解答过程】解：设步行速度与跑步速度分别为v1，v2，显然v1＜v2，总路程为2s，则甲用时间为sv1+而sv1+s故选：B．【变式4-1】（2021秋•金华期末）某次全程马拉松比赛中，选手甲前半程以速度a匀速跑，后半程以速度b速跑；选手乙前一半时间以速度a匀速跑，后半时间以速度b匀速跑（注：速度单位m/s），若a≠b，则（）A．甲先到达终点 B．乙先到达终点 C．甲乙同时到达终点 D．无法确定谁先到达终点【解题思路】根据题意，设全程的距离为2s，用s、a、b表示甲、乙的时间，用作差法分析可得答案．【解答过程】解：根据题意，设全程的距离为2s，对于甲，前半程s的时间为sa，后半程的时间为sb，则甲的时间t1对于乙，前一半时间以速度a匀速跑，后半时间以速度b匀速跑，则有a×t22+b变形可得t2=4sa+b，则有t1﹣t2=s(a+b)ab−4sa+b=sab(a+b)[（a+b）2﹣4又由a≠b，则t1﹣t2＞0，故乙先到达终点，故选：B．【变式4-2】（2021秋•杨浦区校级期中）现有A，B，C，D四个长方体容器，A，B的底面积均为x2，高分别为x，y；C，D的底面积均为y2，高分别为x，y（其中x≠y）．现规定一种两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜．问先取者在未能确定x与y大小的情况下有没有必胜的方案？若有的话，有几种？【解题思路】当x＞y时，利用不等式的性质可得：x3＞x2y＞xy2＞y3，即A＞B＞C＞D；当x＜y时，同理可得：y3＞y2x＞yx2＞x3，即D＞C＞B＞A；又x3+y3﹣（xy2+x2y）＞0．即可得出．【解答过程】解：①当x＞y时，则x3＞x2y＞xy2＞y3，即A＞B＞C＞D；在此种条件下取A，B能够稳操胜券．②当x＜y时，则y3＞y2x＞yx2＞x3，即D＞C＞B＞A；在此种条件下取D，C能够稳操胜券．③又x3+y3﹣（xy2+x2y）＝（x3﹣x2y）+（y3﹣xy2）＝（x﹣y）2（x+y）＞0．∴在不知道x，y的大小的情况下，取A，D能够稳操胜券，其他的都没有必胜的把握．故可能有1种，就是取A，D．【变式4-3】（2021秋•怀仁市校级月考）某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．【解题思路】根据两家的政策，求出坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，作差，即可得出结论．【解答过程】解：设该单位有职工n人（n∈N*），全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，则y1＝x+34x（n﹣1）=14x+34xn所以y1﹣y2=14x+34xn−45nx=14x当n＝5时，y1＝y2；当n＞5时，y1＜y2；当0＜n＜5时，y1＞y2．因此当单位去的人数为5时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．【题型5利用不等式的性质证明不等式】【方法点拨】(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．【例5】（2021春•迎泽区校级月考）证明：ab【解题思路】利用分析法，先证明(a【解答过程】证明：要证ab+即证(a+b−ab即证a+b≥2ab，即(【变式5-1】（2022春•库尔勒市校级期末）已知a＞1，求证：a+1+a−【解题思路】利用分析法即可证明结论【解答过程】解：要证a+1+a−只要证a+1+a﹣1+2a2−1＜4a，只要证a2−1＜a，只要证a2只要证明﹣1＜0，显然成立，故求证：a+1+a−【变式5-2】（2021秋•故城县校级月考）求证：（1）a2+b2+c2≥ab+bc+ac（2）（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）【解题思路】（1）利用做差法证明不等式的大小即可；（2）利用做差法和平方差公式即可证明不等式成立．【解答过程】证明：（1）∵a2+b2+c2﹣（ab+bc+ac）=12[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]≥∴a2+b2+c2≥ab+bc+ac；（2）∵（a2+b2）（c2+d2）﹣（ac+bd）2＝a2c2+a2d2+b2c2+b2d2﹣a2c2﹣2acbd﹣b2d2＝（ad﹣bc）2≥0，∴（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）．【变式5-3】用比较法证明以下各题：（1）已知a＞0，b＞0．求证：1a（2）已知a＞0，b＞0．求证：ba【解题思路】（1）作差可得1a（2）作差变形可得ba+ab−a−【解答过程】证明：（1）∵a＞0，b＞0，∴1a+1b−2ab=(1a)2（2）∵a＞0，b＞0，∴ba+ab＝（b﹣a）（1a−1b）＝（b﹣a）b−【题型6利用不等式的性质求取值范围】【方法点拨】同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性．【例6】（2021秋•武昌区校级月考）已知1≤a+b≤4，﹣1≤a﹣b≤2，求4a﹣2b的取值范围．【解题思路】根据题意需要配凑出4a﹣2b，所以结合题意，就用设未知数的方法求解即可．【解答过程】解：令4a﹣2b＝x（a+b）+y（a﹣b），所以4a﹣2b＝（x+y）a+（x﹣y）b．所以x+y=4，x−y=−2因为1≤a+b≤4，﹣3≤3（a﹣b）≤6，两式相加，所以﹣2≤4a﹣2b≤10．【变式6-1】（2022春•鸡冠区校级期末）已知−π2＜α＜β＜π2，求【解题思路】利用不等式的基本性质即可得出．【解答过程】解：∵−π2＜β＜π2，∴﹣π＜﹣2β＜π∴−3π2＜α−2β＜3π2．又∵α﹣β＜0【变式6-2】（2022春•宁江区校级期中）已知12＜a＜60，15＜b＜36，求a﹣b及ab【解题思路】利用不等式的基本性质即可得出．【解答过程】解：∵15＜b＜36，∴﹣36＜﹣b＜﹣15．∴12﹣36＜a﹣b＜60﹣15，∴﹣24＜a﹣b＜45．又136＜1b＜115，∴﹣24＜a﹣b＜45，13＜【变式6-3】（2021秋•普宁市校级月考）已知﹣2＜a≤3，1≤b＜2，试求下列各式的取值范围．（1）|a|；（2）a+b；（3）a﹣b；（4）2a﹣3b．【解题思路】根据绝对值运算可解决（1）；根据不等式性质可解决（2）（3）（4）．【解答过程】解：（1）0≤|a|≤3；（2）﹣1＜a+b＜5；（3）依题意得﹣2＜﹣b≤﹣1，又﹣2＜a≤3，相加得﹣4＜a﹣b≤2；（4）由﹣2＜a≤3得﹣4＜2a≤6①，由1≤b＜2得﹣6＜﹣3b≤﹣3②，①+②得，﹣10＜2a﹣3b≤3．专题2.1等式性质与不等式性质-重难点题型检测参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2021秋•洮南市校级月考）下列说法正确的是（）A．某人月收入x元不高于2000元可表示为“x＜2000” B．小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮可表示为“x＞y” C．变量x不小于a可表示为“x≥a” D．变量y不超过a可表示为“y＞a”【解题思路】某人月收入x元不高于2000元可表示为“x≤2000”，小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮可表示为“x＜y”，变量x不小于a可表示为“x≥a”，变量y不超过a可表示为“y≤a”．【解答过程】解：由题意知，某人月收入x元不高于2000元可表示为“x≤2000”，故选项A错误；小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮可表示为“x＜y”，故选项B错误；变量x不小于a可表示为“x≥a”，故选项C正确；变量y不超过a可表示为“y≤a”，故选项D错误；故选：C．2．（3分）（2022•义乌市模拟）已知实数a，b，a＞0，b＞0，则“a+b＜2”是“a＜2−bA．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】从充分性和必要性两个角度分别判断即可得出结论．【解答过程】解：∵a＞0，b＞0，a+b＜2，∴0＜a＜2﹣b，则a＜若a＜2−b，则两边同时平方可得，a＜2﹣b，即a+b＜∴“a+b＜2”是“a＜2−b”的充分必要条件．故选：3．（3分）（2022秋•南昌月考）若ab＞0，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＞b2 B．1a＞1b C．ba【解题思路】举反例a＝﹣1，b＝﹣2可判断ABD错误，利用基本不等式可判断C正确．【解答过程】解：对于A，若a＝﹣1，b＝﹣2，则a2＜b2，故A错误，对于B，若a＝﹣1，b＝﹣2，则1a＜1b，故B错误，对于C，∵ab＞0，∴ba＞0，ab＞0，又a＞b，∴ba+ab＞2ba⋅ab=24．（3分）（2021秋•张掖期末）若a＝（x+1）（x+3），b＝2（x+2）2，则下列结论正确的是（）A．a＞b B．a＜b C．a≥b D．a，b大小不确定【解题思路】利用作差法得到a﹣b＝﹣x2﹣4x﹣5，再利用二次函数的性质求解即可．【解答过程】解：∵a＝（x+1）（x+3），b＝2（x+2）2，∴a﹣b＝（x+1）（x+3）﹣2（x+2）2＝﹣x2﹣4x﹣5＝﹣[（x+2）2+1]＜0，∴a＜b，故选：B．5．（3分）（2021秋•洪山区校级月考）如图两种广告牌，其中图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，图（2）是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母a，b（a≠b）的不等式表示出来（）A．12(a2+C．12(a2【解题思路】利用三角形的面积计算公式、矩形的面积计算公式、基本不等式的性质即可得出．【解答过程】解：图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，面积S1=12a2+1图（2）是一个矩形，面积S2＝ab．可得：12（a2+b2）＞ab（a≠b）．故选：A6．（3分）（2022•连云区校级开学）设a，b，c是实数，x＝a2﹣2b+π3，y＝b2﹣2c+π6，z＝c2﹣2a+π2，则A．大于0 B．等于0 C．不大于0 D．小于0【解题思路】求出x+y+z，再利用反证法假设x，y，z都不大于0即x≤0，y≤0，z≤0，推出x+y+z的值大于0，出现矛盾，从而得到假设不正确，即可求解．【解答过程】解：∵x+y+z＝a2﹣2b+π3+b2﹣2c+π6+c2﹣2a+π2=（a﹣1）2+（b﹣1）2+（c﹣1）2+π﹣3＞0，假设x，y，z都不大于0即x≤0，y≤0，z≤0，根据同向不等式的可加性可得又x+y+z＞0与①式矛盾．所以假设不成立，即原命题的结论x，y，z中至少有一个大于0．故选：A．7．（3分）（2021秋•河南月考）已知2＜x＜4，﹣3＜y＜﹣1，则xx−2yA．（110，14） B．（14，23） C．（15，1） D【解题思路】把xx−2y变形为1【解答过程】解：xx−2y=11−2yx，∵2＜x＜4，∴14＜1x＜12，又﹣3＜y∴12＜−2yx＜3，则38．（3分）（2022春•海淀区校级期末）若a、b为实数，则下列命题正确（）A．若a＞b且ab≠0则1aB．若a＞b且ab≠0，则baC．若a＞b＞0，则a+1D．若a＞b，则a（a2+b2）＞b（a2+b2）【解题思路】取反例即可判断选项ABC的正误；对于D，易知a2+b2＞0，再由不等式的性质可判断．【解答过程】解：对于A，取a＝1，b＝﹣1，满足a＞b且ab≠0，但此时1a＞1对于B，取a＝1，b＝﹣1，满足a＞b且ab≠0，但此时ba=a对于C，取a=1，b=12，满足a＞b＞0，但此时对于D，由于a＞b，则a2+b2＞0，于是a（a2+b2）＞b（a2+b2），故选项D正确．故选：D．二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2021秋•朝阳月考）已知P＝a2+b2，Q＝2ab，R=(a+b)A．P≥R B．Q≥R C．P≤R D．P≥Q【解题思路】利用作差法可比较出大小．【解答过程】解：P﹣R＝a2+b2−(a+b)22=(a−b)22≥R﹣Q=(a+b)22−2ab=a2−2ab+因为P≥R，R≥Q，所以P≥Q，故D正确，故选：AD．10．（4分）（2021秋•大同期末）下列四个选项中，p是q的充分不必要条件的是（）A．p：x＞y，q：x3＞y3 B．p：x＞3，q：x＞2 C．p：2＜a＜3，﹣2＜b＜﹣1，q：2＜2a+b＜5 D．p：a＞b＞0，m＞0，q：b【解题思路】利用不等式的基本性质判断A，利用子集思想结合充分必要条件的定义判断B，利用举实例判断CD．【解答过程】解：对于A，∵x＞y⇔x3＞y3，∴p是q的充分必要条件，∴A错误，对于B，∵（﹣∞，3）⫋（﹣∞，2），∴x＞3是x＞2的充分不必要条件，∴B正确，对于C，当2＜a＜3，﹣2＜b＜﹣1时，则2＜2a+b＜5成立，反之，当a＝1，b＝2时，满足2＜2a+b＜5，∴p是q的充分不必要条件，∴C正确，对于D，当a＞b＞0，m＞0时，则b+ma+m−ba=反之，当a＝﹣2，b＝﹣1，m＝3时，b+ma+m=2，ba=12，满足b+ma+m＞ba，11．（4分）（2021秋•仪征市校级月考）已知实数x，y满足﹣3＜x+2y＜2，﹣1＜2x﹣y＜4，则（）A．x的取值范围为（﹣1，2） B．y的取值范围为（﹣2，1） C．x+y的取值范围为（﹣3，3） D．x﹣y的取值范围为（﹣1，3）【解题思路】根据﹣3＜x+2y＜2，﹣1＜2x﹣y＜4，分别求出各选项中参数的范围即可．【解答过程】解：﹣3＜x+2y＜2，﹣2＜4x﹣2y＜8，则﹣5＜5x＜10，即﹣1＜x＜2，故A正确；﹣4＜﹣2x﹣4y＜6，﹣1＜2x﹣y＜4，即﹣5＜﹣5y＜10，故﹣2＜﹣5y＜1，故B正确；x+y=3(x+2y)+(2x−y)5∈（﹣2，2），故C错误；x−y=−(x+2y)+3(2x−y)5∈（﹣12．（4分）（2022•沈河区校级模拟）下列说法正确的是（）A．若a＞b＞0，则1aB．若a＞b＞0，m＞0，则b+ma+mC．a＞b＞0，则a3﹣b3＞a2b﹣ab2 D．若a＞b＞0，则ac2＞bc2【解题思路】根据已知条件，结合作差法，以及特殊值法，即可求解．【解答过程】解：对于A，∵a＞b＞0，∴1a−1b=对于B，∵a＞b＞0，m＞0，∴b+ma+m−b对于C，∵a＞b＞0，∴a3﹣b3﹣a2b+ab2＝a2（a﹣b）+b2（a﹣b）＞0，故C正确，对于D，当c＝0时，ac2＝bc2，故D错误．故选：ABC．三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2021秋•和硕县校级月考）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于216m2，靠墙的一边长为xm，其中的不等关系可用不等式（组）表示为0＜x⩽18【解题思路】由条件，可知0＜x⩽18，然后根据菜园的面积不小于216，可得x⋅【解答过程】解：由条件，可知0＜x⩽18，因为要求菜园的面积不小于216，所以x⋅30−x2⩾216，所以14．（4分）（2021秋•清远期末）已知M＝a2+4a+1，N=2a−12，则M＞N．（填“＞”或“【解题思路】直接利用作差法比较代数式的大小关系．【解答过程】解：已知M＝a2+4a+1，N=2a−则M﹣N=a2+4a+1−2a+12=(a15．（4分）（2021秋•镇江期中）已知0＜α＜π2，π2＜β＜π，则2α−β3的取值范围是【解题思路】首先，确定2α与−β3的范围，然后求解2α【解答过程】解：∵0＜α＜π2，∴0＜2α＜π，∵π2＜β＜π∴−π3＜2α−β316．（4分）（2022春•安康期末）若a、b、c为实数，则下列命题正确的是②．（填序号）①若a＞b，c＞d，则ac＞bd②若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2③若a＜b＜0，则1a＜1b④若a＜b【解题思路】对于①，只有当a＞b＞0，c＞d＞0时才成立；对于②③由不等式性质可判断正误；对于④作差，通分可得到结果．【解答过程】解：对于①，只有当a＞b＞0，c＞d＞0时，不等式才成立；对于②，∵a＜b＜0，∴a2＞ab，b2＜ab由不等式的传递性得到：a2＞ab＞b2，故②正确；③中f(x)=1x在（﹣∞，0）上为减函数，因为a＜b＜0得f（a）＞f（故得到：1a＞1b，故③不正确，又ba−a∴(b+a)(b−a)ab＜0，∴ba＜四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）用不等式表示下列不等关系：（1）某段高速公路规定机动车限速80km/h至120km/h；（2）x的5倍与7的差大于3；（3）bg糖水中有ag糖，若再添上mg糖，则糖水变甜了．【解题思路】（1）根据某段高速公路规定机动车行驶最快速度和最慢速度列出不等式；（2）先求倍数后求差；（3）bg糖水中有ag糖（b＞a＞0），若再添mg糖（m＞0），浓度发生了变化，只要分别计算出添糖前后的浓度进行比较即得．【解答过程】解：（1）根据题意，得80≤v≤120；（2）根据题意，得5x﹣7＞3；（3）∵bg糖水中有ag糖，糖水的浓度为：abbg糖水中有ag糖（b＞a＞0），若再添mg糖（m＞0），则糖水的浓度为：a+mb+m又糖水变甜了，说明浓度变大了，∴ab18．（6分）下面是甲、乙、丙三位同学做的三个题目，请你看看他们做得对吗？如果不对，请指出错误的原因．甲：因为﹣6＜a＜8，﹣4＜b＜2，所以﹣2＜a﹣b＜6．乙：因为2＜b＜3，所以13＜1b＜12，又因为﹣6＜a＜丙：因为2＜a﹣b＜4，所以﹣4＜b﹣a＜﹣2．又因为﹣2＜a+b＜2，所以0＜a＜3，﹣3＜b＜0，所以﹣3＜a+b＜3．【解题思路】利用不等式的性质进行判断即可．【解答过程】解：甲乙丙做的都不对，甲同学做的不对．因为同向不等式具有可加性，但不能相减，甲同学对同向不等式求差是错误的．乙同学做的不对．因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号方向改变，由﹣6