人教A版高中数学(必修第一册)培优讲义+题型检测专题2.5 一元二次函数、方程和不等式全章综合测试卷-基础卷+提高卷（教师版）

第第页第二章一元二次函数、方程和不等式全章综合测试卷-基础篇参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2022秋•南昌月考）“ab＞0”是“ba+A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】由ab＞0可得a＞0b＞0或a＜0b＜0，从而可得ba+【解答过程】解：由ab＞0可得a＞0b当a＞0b＞0时，由基本不等式可得ba当a＜0b＜0时，ba＞0当ba+ab≥2时，设t=ba，则有t+1t≥2，由对勾函数的性质可得t＞0，即ba＞0，可得ab＞0，所以必要性满足．故2．（5分）（2022秋•凉州区校级月考）设b＞a＞0，则下列不等关系正确的是（）A．1a＜1b B．0＜ab＜1 C．a【解题思路】利用特殊值可判断A，C，D；利用不等式的性质可判断B．【解答过程】解：令a＝2，b＝3，满足b＞a＞0，但1a=12＞1b=13，a+b＝5＜2b＝由b＞a＞0，得1b＞0，所以1＞a3．（5分）（2022春•九江期末）已知a=2，b=7−3，c=6−2A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解题思路】运用不等式的基本性质直接比较两数的大小．【解答过程】解：∵a=2，b=7−∴由a−b=2+3−7由a−c=22−6且(2由b−c=(7+2)−(6∴a＞c＞b，故选：B．4．（5分）（2022秋•凉州区校级月考）已知a，b为正实数且a+b＝2，则baA．32 B．2+1 C．52 【解题思路】由已知可知ba+【解答过程】解：因为a，b为正实数且a+b＝2，所以ba+2b=ba+a+bb=ba+ab+1≥2ba5．（5分）（2022•民勤县校级开学）已知二次函数y＝x2﹣2ax+a2﹣2a﹣4（a为常数）的图象与x轴有交点，且当x＞3时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（）A．a≥﹣2 B．a＜3 C．﹣2≤a＜3 D．﹣2≤a≤3【解题思路】直接根据二次函数的性质求解即可．【解答过程】解：∵二次函数y＝x2﹣2ax+a2﹣2a﹣4（a为常数）的图象与x轴有交点，且当x＞3时，y随x的增大而增大，∴Δ=(−2a)2−4(a2−2a−4)≥0−−2a2×1≤36．（5分）（2022秋•本溪期中）不等式mx2+4mx﹣4＜0对于∀x∈R恒成立，则m的取值范围是（）A．﹣1＜m≤0 B．﹣1＜m＜0 C．﹣1≤m＜0 D．﹣1≤m≤0【解题思路】对m进行分类讨论，结合不等式恒成立的等价条件即可得到结论．【解答过程】解：当m＝0时，不等式等价为﹣4＜0，此时不等式满足题意；当m≠0时，不等式恒成立等价为m＜0Δ=16m2+16m＜0，解得m综上，m的取值范围是﹣1＜m≤0．故选：A．7．（5分）（2022春•双鸭山期末）已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣2，4），则不等式cx2﹣bx+a＜0的解集是（）A．{x|x＜−12或x＞14} B．{x|C．{x|x＜−14或x＞12} D．{x【解题思路】由已知结合二次方程与二次不等式的关系可得a，b，c的关系及范围，然后结合二次不等式的求法即可求解．【解答过程】解：由题意得a＜0−2+4=−ba−2×4=ca，所以b＝﹣2a＞0，所以不等式cx2﹣bx+a＝﹣8ax2+2ax+a＜0，即8x2﹣2x﹣1＜0，解得−14＜x＜8．（5分）（2022•福田区校级开学）已知抛物线y=12x2﹣bx+c，当x＝1时，y＜0；当x＝2时，y＜①b2＜2c；②若c＞1，则b＞3③已知点A（m1，n1），B（m2，n2）在抛物线y=12x2﹣bx+c上，当m1＜m2＜b时，n1＞n④若方程12x2﹣bx+c＝0的两实数根为x1，x2，则x1+x2＞3其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解题思路】由题意可知Δ＞0，可判断①，由当x＝1时y＜0可判断②，由二次函数的单调性可判断③，由韦达定理可判断④．【解答过程】解：∵a=12＞0对于①，∵当x＝1时，y＜0；当x＝2时，y＜0，∴抛物线与x轴有两个不同的交点，∴Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣2c＞0，∴b2＞2c，故①错误；对于②，∵当x＝1时，y＜0；当x＝2时，y＜0，∴12−b+c＜0，∴b＞当c＞1时，则b＞32，故对于③，抛物线的对称轴为直线x＝b，且开口向上，当x＜b时，y的值随x的增大而减小，∴当m1＜m2＜b时，n1＞n2，故③正确；对于④，∵方程12x2﹣bx+c＝0的两实数根为x1，x2，∴x1+x2＝2b由②可知，当c＞1时，则b＞32，∵c不一定大于1∴x1+x2不一定大于3，故综上，正确的有②③，共2个，故选：B．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2022秋•平遥县校级月考）已知1a＜A．ab＞a﹣b B．ab＜﹣a﹣b C．ba+ab【解题思路】取a=−12，b＝﹣2可判断A；取a＝﹣2，b＝﹣3可判断B；根据基本不等式可判断C【解答过程】解：因为1a＜1b＜0，所以b对于A，取a=−12，b＝﹣2，则ab＝1，a﹣b=32，此时ab＜a对于B，取a＝﹣2，b＝﹣3，则ab＝6，﹣a﹣b＝5，此时ab＞﹣a﹣b，故B错误；对于C，因为b＜a＜0，所以ba＞0，ab＞0，且对于D，ba−ab=b210．（5分）（2022•天元区校级开学）若正实数a，b满足a+b＝1，则下列说法正确的是（）A．ab有最小值14 B．a+bC．1a+2b+12a+b有最小值43 D．a2【解题思路】由已知结合基本不等式及其变形形式分别检验各选项即可判断．【解答过程】解：由正实数a，b满足a+b＝1，则ab≤当且仅当a=b=12时，等号成立，所以ab的最大值为14由(a+b当且仅当a=b=12时，等号成立，所以a+b有最大值由1a+2b当且仅当a=b=12时，等号成立，所以1a+2b+1由a2当且仅当a=b=12时，等号成立，所以a2+b2有最小值12故选：BCD．11．（5分）（2022•蕉城区校级开学）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OC＝2OB，则下列结论正确的为（）A．abc＜0 B．a+b+c＞0 C．ac﹣2b+4＝0 D．OA•OB=【解题思路】利用函数图象开口以及对称轴方程可判断A，将x＝1代入函数，可判断B，根据OC＝2OB，设A（x1，0）（x1＜0），B（x2，0），（x2＞0），得B（−1代入函数可判断C，根据韦达定理可判断D，即可解．【解答过程】解：根据图象，则a＞0，又对称轴x=−b2a＜0，则b＞0，又c则abc＜0，故A正确，当x＝1时，y＝a+b+c，不能说明y的值是否大于0，故B错误，设A（x1，0）（x1＜0），B（x2，0），（x2＞0），∵OC＝2OB，∴﹣2x2＝c，∴x2=−12c，∴B（−12c，0故ac﹣2b+4＝0，故C正确，当y＝0时，ax2+bx+c＝0，方程的两个根x1，x2，则x1•x2=−即OA•OB=−ca，则D12．（5分）（2021秋•金华期末）已知关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤﹣2或x≥3}，则下列说法正确的是（）A．a＜0 B．ax+c＞0的解集为{x|x＞6} C．8a+4b+3c＜0 D．cx2+bx+a＜0的解集为{x|−【解题思路】由不等式与方程的关系得a＜0−2+3=−ba−2×3=ca，从而可得b＝﹣a，c＝再依次对四个选项判断即可．【解答过程】解：∵不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤﹣2或x≥3}，∴a＜0−2+3=−ba−2×3=ca，即b＝﹣a，ax+c＞0可化为ax﹣6a＞0，即x﹣6＜0，故ax+c＞0的解集为{x|x＜6}，故选项B错误；8a+4b+3c＝8a﹣4a﹣18a＝﹣14a＞0，故选项C错误；cx2+bx+a＜0可化为﹣6ax2﹣ax+a＜0，即6x2+x﹣1＜0，故不等式的解集为{x|−12＜x故选项D正确．故选：AD．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2022秋•凉州区校级月考）已知M＝x2﹣3x，N＝﹣3x2+x﹣3，则M，N的大小关系是M＞N．【解题思路】利用作差法直接比大小．【解答过程】解：M﹣N＝（x2﹣3x）﹣（﹣3x2+x﹣3）＝4x2﹣4x+3＝（2x﹣1）2+2＞0，∴M＞N，故答案为：M＞N．14．（5分）（2022春•新都区期末）关于x的不等式ax2+bx+2≥0的解集是{x|x≤1或x≥2}，则a+b＝﹣2．【解题思路】根据题意可知关于x的方程ax2+bx+2＝0的解集是{1，2}，以此列方程求出a，b的值，再求出a+b即可．【解答过程】解：根据题意可知关于x的方程ax2+bx+2＝0的解集是{1，2}，所以−ba=1+2=32a=1×2=2，解得a=1b=−3，所以a+b15．（5分）（2022•南京模拟）已知a＞0，b＞0，则(a+b)(2a+8b)【解题思路】利用基本不等式所需的“积为定值”即可求解．【解答过程】解：∵a＞0，b＞0，∴(a+b)(2当且仅当2ba=8ab，即b＝2a时，等号成立，∴故答案为：18．16．（5分）（2021秋•石鼓区校级月考）已知二次函数y＝x2+bx+c图象如图所示．则不等式bx2﹣cx+3≤0的解集为（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．【解题思路】利用二次函数图象可得b、c，再解不等式．【解答过程】解：根据图象可得，﹣1和2是x2+bx+c＝0的两根，可得，﹣b＝1，b＝﹣1，c＝﹣2，则bx2﹣cx+3≤0等价于﹣x2+2x+3≤0，即x2﹣2x﹣3≥0，则解集为（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2022•南京模拟）比较ab+b【解题思路】做差化简，分情况讨论比较大小．【解答过程】解：（ab+ba）﹣（=a(a−b)−b(∵a＞0，b＞0，∴a+b＞0，ab＞0，又∵（a−b）2≥∴(a+b)(a−b)18．（12分）（2022春•南充期末）当a≤0时，解关于x的不等式ax2+（1﹣2a）x﹣2≥0．【解题思路】对于二次项含参的一元二次不等式，需要对二次项系数a是否为零进行讨论，进而求解即可．【解答过程】解：由不等式ax2+（1﹣2a）x﹣2≥0化简可得（ax+1）（x﹣2）≥0．由于二次项系数含参，故进行如下讨论：①当a＝0时，原不等式化简为：x﹣2≥0，解得x≥2．②当a＜0时，不等式为：（ax+1）（x﹣2）≥0．解得方程（ax+1）（x﹣2）＝0的两根分别为为x1=−1a，x则：当a=−12时，解为：x当−12＜a＜当a＜−12时，综上所述，当a＝0时，解集为{x|x≥2}．当a=−12时，解集为{x|x当−12＜当a＜−119．（12分）（2022春•青铜峡市校级期末）（1）已知x＞3，求4x−3（2）已知x，y是正实数，且x+y＝1，求1x【解题思路】（1）配凑可得4x−3（2）利用基本不等式中的“乘1法”，即可得解．【解答过程】解：（1）∵x＞3，∴x﹣3＞0，∴4x−3当且仅当4x−3=x−3，即x＝5时取等号，∴4x−3（2）∵x，y∈R+，∴1x当且仅当y=3x，即x=3−12，y=3−20．（12分）（2022春•兴庆区校级期末）已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）＝2x，且f（0）＝1．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在[t，t+1]（t∈R）的最小值g（t）的表达式．【解题思路】（1）由f（0）＝1，设函数为f（x）＝ax2+bx+1（a≠0），代入f（x+1）﹣f（x）＝2x，求出a，b，由此能求出函数解析式；（2）由对称轴求出函数的单调区间，分类讨论，能求出函数f（x）在[t，t+1]（t∈R）的最小值g（t）的表达式．【解答过程】解：（1）由f（0）＝1，设函数为f（x）＝ax2+bx+1（a≠0），∵二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）＝2x，∴f（x+1）﹣f（x）＝a（x+1）2+b（x+1）﹣ax2﹣bx＝2ax+a+b＝2x，∴2a=2a+b=0，∴a=1b=−1，∴f（x）＝x2﹣x（2）f（x）＝x2﹣x+1的对称轴为x=1∴f（x）在区间（﹣∞，12]上单调递减，在区间（12，+f（x）在x∈[t，t+1），t∈R上，当t≤−12时，f（x）min＝f（t+1）＝t2+当−12＜t＜12时，f（x）min当t≥12时，f（x）min＝f（t）＝t2﹣t综上，函数f（x）在[t，t+1]（t∈R）的最小值g（t）的表达式为：g(t)=t21．（12分）（2022•连云区校级开学）已知函数f（x）＝x2+2ax+1．（1）当a＝1时，求函数f（x）在x∈[﹣2，2]上的最大值与最小值；（2）若f（x）在x∈[﹣1，2]上的最大值为4，求实数a的值．【解题思路】（1）a＝1时，求出f（x）的解析式，根据二次函数的对称性可知在x＝﹣1处取得最小值，在x＝2处取得最大值；（2）该二次函数是开口向上的抛物线，所以最大值必定在区间的两端，分别求解可得a的值．【解答过程】解：（1）当a＝1时，f（x）＝x2+2x+1＝（x+1）2，对称轴为x＝﹣1，当x∈[﹣2，2]时，f（x）min＝f（﹣1）＝0，f（x）max＝f（2）＝9；（2）因为f（x）是开口向上的抛物线，所以f（﹣1）和f（2）中必有一个是最大值，若f（﹣1）＝1﹣2a+1＝2﹣2a＝4，a＝﹣1，若f(2)=4+4a+1=4，a=−14，所以a＝22．（12分）（2022春•东城区校级月考）请回答下列问题：（1）若关于x的不等式x2﹣3x+2a2＞0（a∈R）的解集为{x|x＜1或x＞b}，求a，b的值．（2）求关于x的不等式ax2﹣3x+2＞5﹣ax（a∈R）的解集．【解题思路】（1）由题意可是1和b为方程x2﹣3x+2a2＝0的两根，利用韦达定理得以方程组，解得即可；（2）不等式为ax2+（a﹣3）x﹣3＞0，即（ax﹣3）（x+1）＞0，讨论a＝0，a＞0，a＝﹣3，a＜﹣3，﹣3＜a＜0，由二次不等式的解法，即可得到所求解集．【解答过程】解：（1）∵关于x的不等式x2﹣3x+2a2＞0（a∈R）的解集为{x|x＜1或x＞b}，∴1和b为方程x2﹣3x+2a2＝0的两根，∴1+b=31×b=2a2（2）关于x的不等式ax2﹣3x+2＞5﹣ax（a∈R），即ax2+（a﹣3）x﹣3＞0，即（ax﹣3）（x+1）＞0，当a＝0时，原不等式解集为{x|x＜﹣1}；当a≠0时，方程（ax﹣3）（x+1）＝0的根为x1=3∴①当a＞0时，3a＞−1，∴原不等式的解集为{x|x＞3a或②当﹣3＜a＜0时，3a＜−1，∴原不等式的解集为{x|3a＜③当a＝﹣3时，3a=−1，∴原不等式的解集为④当a＜﹣3时，3a＞−1，∴原不等式的解集为{x|﹣1＜x第二章一元二次函数、方程和不等式全章综合测试卷-提高篇参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2022春•大名县校级期末）如果a，b，c，d∈R，则正确的是（）A．若a＞b，则1a＜1b B．若a＞b，则ac2C．若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd【解题思路】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．【解答过程】解：对于A，令a＝1，b＝﹣1，满足a＞b，但1a＞1对于B，当c＝0时，ac2＝bc2，故B错误，对于C，a＞b，c＞d，由不等式的可加性可得，a+c＞b+d，故C正确，对于D，令a＝1，b＝﹣1，c＝1，d＝﹣1，满足a＞b，c＞d，但ac＝bd，故D错误．故选：C．2．（5分）（2021秋•肥城市期中）已知a≥0，设P=a+1−aA．P＞Q B．P≥Q C．P＜Q D．P≤Q【解题思路】由a+2+【解答过程】解：∵a+2+a+1＞a+1即a+2−a+1＜a+1−a，即3．（5分）（2022秋•浙江月考）已知正实数x，y满足1x+4y+4=x+yA．13−2 B．2 C．2+13 D【解题思路】由题意可得1x+4y=x+y−4，再将两边同时乘以x+y【解答过程】解：∵正实数x，y满足1x+4y∴(1x+4y当且仅当yx=4xy，即y＝2x，又1x+4y+4=x+y∴（x+y）2﹣4（x+y）≥9，解得x+y≥2+13，∴x+y的最小值为2+13．故选：4．（5分）（2021秋•商洛期末）若函数f（x）＝x2+bx+c满足f（1）＝0，f（﹣1）＝8，则下列判断错误的是（）A．b+c＝﹣1 B．f（3）＝0 C．f（x）图象的对称轴为直线x＝4 D．f（x）的最小值为﹣1【解题思路】把f（1）＝0，f（﹣1）＝8代入f（x）＝x2+bx+c可求得b、c值，然后可解决此题．【解答过程】解：把f（1）＝0，f（﹣1）＝8代入f（x）＝x2+bx+c得b+c+1=0−b+c=7，解得b=∴f（x）＝x2﹣4x+3，∴f（3）＝32﹣4×3+3＝0，f（x）图象的对称轴为直线x＝2，f（x）的最小值为f（2）＝22﹣4×2+3＝﹣1．由上分析可知ABD对，C错．故选：C．5．（5分）（2021秋•寿光市校级月考）若不等式（a﹣3）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对于一切x∈R恒成立，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，2] B．[﹣2，2] C．（﹣22，22） D．（﹣∞，2）【解题思路】讨论二项式系数为0时和不为0时对应不等式恒成立，此时a的取值范围是什么．【解答过程】解：当a﹣3＝0，即a＝3时不等式化为2x﹣4＜0，解得x＜2，不满足题意；当a≠3时，须满足a−3＜∴﹣22＜a＜22；综上，实数a的取值范围是（﹣22，22）．故选：C6．（5分）（2021•南山区校级开学）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0，正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解题思路】由已知结合二次函数的性质分别检验各选项即可判断．【解答过程】解：由图象可知，a＜0，−b2a=1，c＞0，所以b＝﹣2a＞0，所以abc＜由图象可知，抛物线与x轴有2个交点，故Δ＝b2﹣4ac＞0，②正确；因为f（﹣2）＝4a﹣2b+c＝8a+c＜0，③正确；因为f（﹣1）＝a﹣b+c＞0，f（2）＝4a+2b+c＞0，所以5a+b+2c＞0，④正确．故选：B．7．（5分）（2022秋•江苏月考）已知关于x的不等式ax2+bx+4＞0的解集为(−∞，m)∪(4m，+∞)，其中A．﹣4 B．4 C．5 D．8【解题思路】先根据答案在两根之外判定开口向上，即a＞0，再根据韦达定理求出a＝1，把b表示成m的函数，求出b的取值范围，最后求出ba【解答过程】解：ax2+bx+4＞0的解集为(−∞，则a＞0，且m，am是方程ax2+bx+4＝0的两根，根据韦达定理m⋅4m=4m+4m=−ba=−b，b=8．（5分）（2021秋•让胡路区校级期末）已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0解集为{x|﹣2＜x＜3}，则下列说法错误的是（）A．a＜0 B．不等式ax+c＞0的解集为{x|x＜6} C．a+b+c＞0 D．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集为{x|【解题思路】由题意得a＜0−2+3=−ba−2×3=ca，从而可得b＝﹣a，c＝﹣6【解答过程】解：∵不等式ax2+bx+c＞0解集为{x|﹣2＜x＜3}，∴a＜即b＝﹣a，c＝﹣6a（a＜0），故选项A中的说法正确，不等式ax+c＞0可化为x﹣6＜0，故其解集为{x|x＜6}，故选项B中的说法正确，a+b+c＝a﹣a﹣6a＝﹣6a＞0，故选项C中的说法正确，不等式cx2﹣bx+a＜0可化为6x2﹣x﹣1＜0，故其解集为{x|−13＜x＜12}二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2022秋•香洲区校级月考）下列说法正确的是（）A．若a＞b，c＜0，则a2c＜b2c B．若a＞b，c＜0，则a3c＜b3c C．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2 D．函数y=|x|+5|x|+4【解题思路】由已知结合不等式的性质及基本不等式分别检验各选项即可判断．【解答过程】解：由a＞b，但a2与b2的大小无法确定，A错误；若a＞b，则a3＞b3，因为c＜0，则a3c＜b3c，B正确；若a＜b＜0，则由不等式性质可得a2＞ab＞b2成立，C正确；因为|x|+4≥4，所以|x|+4≥2，y=|x|+5|x|+4故选：BC．10．（5分）（2022•连云区校级开学）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（5，0），下列说法正确的是（）A．c＜0 B．b2﹣4ac＜0 C．x＝3时函数y＝ax2+bx+c取最小值 D．图象的对称轴是直线x＝3【解题思路】根据所给的图象可知，抛物线开口向上，与y轴的交点在y轴的正半轴，由过A（1，0），B（5，0），可知对称轴的方程以及最值情况．【解答过程】解：当x＝0时，y＝c，由二次函数的图象可知，图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，即c＞0，故A错误；因为图象与x轴有两个不同的交点，所以Δ＝b2﹣4ac＞0，故B错误；因为二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（5，0），所以对称轴方程为x=1+52=3，故D正确；结合图象可知，在x＝3故选：CD．11．（5分）（2022春•安徽期中）若不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），则下列说法正确的是（）A．a＜0 B．a+b+c＞0 C．关于x的不等式bx2+cx+3a＞0解集为（﹣3，1） D．关于x的不等式bx2+cx+3a＞0解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）【解题思路】将不等式转化为方程，再利用图象即可求解．【解答过程】解：A：ax2+bx+c＞0的解集是（﹣1，2），则a＜0，正确．B：由题意知令f（x）＝ax2+bx+c，由f（x）＝ax2+bx+c＞0的解集是（﹣1，2），可得f（1）＝a+b+c＞0，正确．C：由题意知ax2+bx+c＝0的解是x＝﹣1，2，则由韦达定理得ba=−1，ca=−2，即bx2+cx+3a＞0变为﹣ax2﹣2ax+3a＞0，即x2+2x﹣3＞0，即x＜﹣3或关于x的不等式bx2+cx+3a＞0解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），C错误，D正确．故选：ABD．12．（5分）（2022春•辽宁期末）已知ax2+bx+c＞0的解集是（﹣2，3），则下列说法正确的是（）A．不等式cx2+bx+a＜0的解集是(−1B．123b+4+b的最小值是C．若m2−m＞b+4b+3有解，则m的取值范围是m＜﹣1D．当c＝2时，f（x）＝3ax2+6bx，x∈[n1，n2]的值域是[﹣3，1]，则n2﹣n1的取值范围是[2，4]【解题思路】根据给定条件，得到b＝﹣a，c＝﹣6a，a＜0，解不等式判定A；利用均值定理判断B；利用对勾函数求范围，判断C；探讨二次函数的值域判断D．【解答过程】解：∵ax2+bx+c＞0的解集是（﹣2，3），∴﹣2，3是关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根，且a＜0，∴−ba=1ca=−6，∴b＝﹣a，c＝﹣6对于A，不等式cx2+bx+a＜0化为6x2+x﹣1＜0，解得−12＜对于B，b＞0，123b+4+b=123b+4+13（3当且仅当123b+4=13(3b+4)，即对于C，b＞0，令b+3=t＞3，则b+4b+3=t+1t在t∈即有b+4b+3＞43，∵m解得m＜12−121+对于D，当c＝2时，b＝﹣a=13，则f（x）＝3ax2+6bx＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2f（x）max＝f（1）＝1，依题意，n1≤1≤n2，由f（x）＝﹣3得x＝﹣1或x＝3，∵f（x）在[n1，n2]上的最小值为﹣3，∴n1＝﹣1，1≤n2≤3或﹣1≤n1≤1，n2＝3，∴2≤n2﹣n1≤4，故D正确．故选：ABD．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2021秋•石鼓区校级月考）已知x＞2，x+ax−2（a＞0）最小值为3．则a＝1【解题思路】先变形得到x+ax−2=x﹣2【解答过程】解：∵x＞2，∴x﹣2＞0，∴x+ax−2=x﹣2+ax−2+当且仅当x﹣2=ax−2，即x＝2+a时取等号，∴x+ax−2（a＞0∵x+ax−2（a＞0）最小值为3，∴2a+2＝3，∴a=14．（5分）（2022•天元区校级开学）正数a，b满足1a+2b=2，若存在a，b满足不等式2a+b＜x2+3x有解，则实数x的取值范围为{x|x＞1或x【解题思路】先根据基本不等式求得2a+b的最值，再结合已知求出实数x的取值范围即可．【解答过程】解：∵正数a，b满足1a∴2a+b=12（2a+b）（1a+2b）=12（4+当且仅当b＝2a时等号成立，∵不等式2a+b＜x2+3x有解，∴x2+3x＞4，解得x＞1或x＜﹣4，∴实数x的取值范围为{x|x＞1或x＜﹣4}．故答案为：{x|x＞1或x＜﹣4}．15．（5分）（2022•铁西区校级开学）已知不等式﹣2x2+bx+c＞0的解集{x|﹣1＜x＜3}，若对任意﹣1≤x≤0，不等式﹣2x2+bx+c+t≤4恒成立．则t的取值范围是（﹣∞，﹣2]．【解题思路】由题意可知﹣1和3是方程﹣2x2+bx+c＝0的两根，即可求出b＝4，c＝6，则对任意﹣1≤x≤0，不等式﹣2x2+bx+c+t≤4恒成立，转化为t≤2x2﹣4x﹣2在x∈[﹣1，0]上恒成立，令y＝2x2﹣4x﹣2，根据二次函数的性质求出最小值即可得出答案．【解答过程】解：∵不等式﹣2x2+bx+c＞0的解集{x|﹣1＜x＜3}，∴﹣1和3是方程﹣2x2+bx+c＝0的两根，∴−1+3=b2−3=−c2，解得b=4c=6，∵对任意﹣1≤x≤0，不等式﹣2x2+bx∴t≤2x2﹣4x﹣2在x∈[﹣1，0]上恒成立，令y＝2x2﹣4x﹣2，二次函数开口向上，对称轴为直线x＝1，∴y＝2x2﹣4x﹣2在[﹣1，0]上单调递减，∴当x＝0时，ymin＝﹣2，∴t的取值范围是（﹣∞，﹣2]．16．（5分）（2022•雨花区校级开学）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＜0；③9a﹣b+c＝0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8，其中正确的结论有4个．【解题思路】根据抛物线图象判断参数符号判断①，由顶点坐标可得b＝4a、c＝﹣5a，进而判断②③；由a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，即可判断④；讨论ax2+bx+c＝±1，结合根与系数关系求四个根的和判断⑤．【解答过程】解：∵抛物线的开口向上，则a＞0，对称轴在y轴的左侧，则b＞0，交y轴的负半轴，则c＜0，∴abc＜0，①错误；∵抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a），∴−b2a=−2，4ac−∴b＝4a，c＝﹣5a，∴抛物线的解析式为y＝ax2+4ax﹣5a，∴4a+2b+c＝4a+8a﹣5a＝7a＞0，②正确；9a﹣b+c＝9a﹣4a﹣5a＝0，③正确；∵抛物线y＝ax2+4ax﹣5a交x轴于（﹣5，0），（1.0），∴若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1，④正确；若方程|ax+bx+c|＝1有四个根，设方程ax2+bx+c＝1的两根分别为x1，x2，则x1+x22=−2，可得x1+x2＝﹣4，设方程ax2+bx+c＝﹣1的两根分别为x3，可得x3+x4＝﹣4，所以这四个根的和为﹣8，⑤正确．故答案为：4．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2021秋•和硕县校级月考）比较下列各题中两个代数式的大小：（1）x2+2x+6与2x2﹣4x+16；（2）x2+y2+2与2（x+2y﹣2）．【解题思路】（1）利用作差法即可比较大小；（2）利用作差法即可比较大小．【解答过程】解：（1）∵（x2+2x+6）﹣（2x2﹣4x+16）＝﹣x2+6x﹣10＝﹣[（x﹣3）2+1]＜0，∴x2+2x+6＜2x2﹣4x+16；（2）∵（x2+y2+2）﹣2（x+2y﹣2）＝（x﹣1）2+（y﹣2）2+1＞0，∴x2+y2+2＞2（x+2y﹣2）．18．（12分）（2022春•满洲里市校级期末）设a，b，c均为正数，且a+b＝1．（1）求1a（2）证明：2−【解题思路】（1）由已知结合乘1法及基本不等式即可求解；（2）法一：证明：由柯西不等式即可直接证明，法二：结合分析法，要证明2−a+2−b≤6，只需证明(2−a【解答过程】解：（1）∵a，b均为正数，且a+b＝1，∴1a当且仅当ba=2ab，即a=2−1，b=2（2）法一：证明：由柯西不等式可得，（2﹣a+2﹣b）（12+12）≥（2−a+即(2−a+2−b法二：证明：（分析法）要证明2−a+2−b只需证明4−a−因为(2−a)(2−b)≤2−a+2−b2=32，当且仅当2﹣综上所述：2−19．（12分）（2022春•浙江期中）已知关于x的不等式ax2+bx﹣3＞0（a，b∈R）．（1）若不等式的解集为(−1，−35)（2）若b＝a﹣3，求此不等式的解集．【解题思路】（1）根据不等式的解集与对应方程的关系，列方程组求出a、b的值．（2）把b＝a﹣3代入不等式，利用分类讨论法求出不等式的解集．【解答过程】解：（1）因为不等式ax2+bx﹣3＞0的解集为(−1，所以﹣1和−35是方程ax2+bx﹣3＝所以−1−35=−ba−1×(−35)=−（2）b＝a﹣3时，不等式为ax2+（a﹣3）x﹣3＞0，即（ax﹣3）（x+1）＞0，当a＝0时，解不等式得x＜﹣1；当a＞0时，不等式化为（x−3a）（x+1）＞0，且3a＞−1，解不等式得x＜﹣当a＜0时，不等式化为（x−3a）（x+1）＜若a＝﹣3，则3a=−1，不等式化为（x+1）2＜若﹣3＜a＜0，则3a＜−1，解不等式得3a＜若a＜﹣3，则3a＞−1，解不等式得﹣1＜综上知，a＝0时，不等式的解集为（﹣∞，﹣1）；a＞0时，不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3a，+∞a＝﹣3时，不等式的解集为∅；﹣3＜a＜0时，不等式的解集为（3a，﹣1a＜﹣3时，不等式的解集为（﹣1，3a20．（12分）（2022秋•定边县校级月考）已知函数f（x）＝x2+ax+3．（1）若函数f（x）对任意实数x∈R都有f（1+x）