人教A版高中数学(必修第一册)培优讲义+题型检测专题2.2 基本不等式-重难点题型精讲及检测（原卷版）

第第页专题2.2基本不等式-重难点题型精讲1.两个不等式eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，eq\r(ab)≠eq\f(a＋b,2)，即只能有a2＋b2>2ab，eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2).2．基本不等式与最值已知x，y都是正数，(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P)；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．【题型1对基本不等式的理解】【方法点拨】(1)不等式成立的条件：a，b都是正数．(2)“当且仅当”的含义：①当a＝b时，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)的等号成立，即a＝b⇒eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)；②仅当a＝b时，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)的等号成立，即eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)⇒a＝b.【例1】对于不等式：①4+6＞25，②x+1x≥2A．①③正确，②错误 B．②③正确，①错误 C．①②错误，③正确 D．①③错误，②正确【变式1-1】若实数a、b满足a＞b＞0，下列不等式中恒成立的是（）A．a+b＞2ab B．a+b＜2ab C．a2+2b＞2ab D．a2+2【变式1-2】若a＞0，b＞0，a+b＝2，则（）A．ab≥1 B．a+b≥2 C．a2+b2≥2 【变式1-3】已知a＞0，b＞0，a+2b＝1，则下列选项错误的是（）A．0＜b＜12C．ab的最大值是18 D．a2+b2的最小值是【题型2利用基本不等式证明不等式】【方法点拨】(1)利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果．(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到．(3)解题时要注意技巧，当不能直接利用不等式时，可将原不等式进行组合、构造，以满足能使用基本不等式的形式．【例2】已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，求证：(1+1【变式2-1】已知a，b∈R+，设x=ab，y=（1）xy≥ab；（2）x+y≤a+b．【变式2-2】已知a＞0，b＞0．（1）若1a+9b=1，求证：a（2）求证：a+b+1≥ab【变式2-3】设a，b，c＞0，且ab+bc+ca＝1，求证：（1）a+b+c≥3（2）abc+b【题型3利用基本不等式求最值（无条件）】【方法点拨】(1)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形、合理拆分项或配凑因式．(2)若多次使用基本不等式，等号成立的条件应相同．【例3】已知a＞1，则a+4A．5 B．6 C．32 D．【变式3-1】y=x+4x(x≥1)A．2 B．3 C．4 D．5【变式3-2】函数y=3x+4A．8 B．7 C．6 D．5【变式3-3】若a＞0，b＞0，求baA．2 B．2 C．22 D．【题型4利用基本不等式求最值（有条件）】【例4】已知a，b为正实数且a+b＝2，则baA．32 B．2+1 C．52 【变式4-1】若正实数y满足2x+y＝9，则−1A．6+429 B．−6+429 C．【变式4-2】已知正实数x，y满足1x+4y+4=x+yA．13−2 B．2 C．2+13 D【变式4-3】已知正实数a、b满足a+b＝4，则(a+1A．22+2 B．4 C．254 【题型5利用基本不等式求参数】【例5】已知x＞0，y＞0且1x+4y=1，若x+y＞m2A．[9，+∞） B．（﹣∞，﹣3] C．[1+∞） D．（﹣9，1）【变式5-1】已知x＞0、y＞0，且2x+1y=1，若2x+y＜m2﹣A．（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞） B．（﹣9，1） C．[﹣9，1] D．（﹣1，9）【变式5-2】已知正实数a、b满足1a+1b=m，若(a+A．{2} B．[2，+∞） C．（0，2] D．（0，+∞）【变式5-3】设x＞0，y＞0，设2x+3y=1，若3x+2y＞m2A．{x|x≤﹣6或x≥4} B．{x|x≤﹣4或x≥6} C．{x|﹣6＜x＜4} D．{x|﹣4＜x＜6}【题型6利用基本不等式解决实际问题】【方法点拨】解决实际问题时，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．【例6】用一段长为32m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？【变式6-1】如图，计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为x，宽为y．（1）若菜园面积为72，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？（2）若使用的篱笆总长度为30，求1x【变式6-2】迎进博会，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左、中、右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60000cm2，四周空白的宽度为10cm，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm．（1）试用栏目高acm与宽bcm（a＞0，b＞0）表示整个矩形广告面积Scm2；（2）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值．【变式6-3】如图设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为40cm，把△ABC沿AC向△ADC翻折成为△AEC，AE交DC于点P．设AB＝xcm．（Ⅰ）若DP＞13（Ⅱ）设△ADP面积为S，求S的最大值及相应的x的值．专题2.2基本不等式-重难点题型检测一．选择题1．函数f(x)=5x+20A．10 B．15 C．20 D．252．若实数x、y满足x2+y2＝1+xy，则下列结论中，正确的是（）A．x+y≤1 B．x+y≥2 C．x2+y2≥1 D．x2+y2≤23．下列函数中，最小值为2的是（）A．y=x+1x B．y＝x2﹣2xC．y=x2+14．设a＞0，b＞0，若a+3b＝5，则(a+1)(3b+1)abA．93 B．2 C．62 D．435．已知正实数a，b满足4a+b+1b+1=1A．6 B．8 C．10 D．126．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为（）A．a+b2≥ab(a＞0C．a+b2≤a2+7．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若不相等的两个正实数a，b满足a+b＝4，且1a+1bA．t≤1 B．t＜1 C．t≤2 D．t＜28．若x＞0，y＞0，且2x+1y=1，x+2y＞m2A．﹣8＜m＜1 B．m＜﹣8或m＞1 C．m＜﹣1或m＞8 D．﹣1＜m＜8二．多选题9．下列函数最小值为2的是（）A．y＝x+1x B．yC．y＝x2+1x2 D10．若正数a，b满足a+b＝1，则13a+2A．67 B．47 C．27 11．已知x＞0，y＞0，且x+y+xy﹣3＝0，则错误的是（）A．xy的取值范围是[1，9] B．x+y的取值范围是[2，+∞） C．x+4y的最小值是3 D．x+2y的最小值是412．已知x＞0，y＞0，且2x+y＝2，若mm−1≤x+2yxy对任意的x＞0，y＞A．14 B．98 C．127 三．填空题13．已知x＞2，x+ax−2（a＞0）最小值为3．则a＝14．已知正实数a，b满足ab+a+b＝3，则2a+b的最小值为．15．直角三角形的斜边长为5时，其面积有最（大或小）值，为．16．有下列4个关于不等式的结论：①若x＜0，则x+1x≤−2；②若x∈R，则x2+2x2+1≥2；③若x∈R，则|x+1x|≥2；④四．解答题17．已知x∈（0，+∞）．（1）求y=x+1（2）求y=x2+2x+3x的最小值，以及18．已知实数a＞0，b＞0，a+2b＝2．（1）求1a（2）求a2+4b2+5ab的最大值．19．若a＞0，b＞0，a+b＝1．求证：（1）4a+1b≥9；20．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．（1）若菜园面积为18m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？（2）若使用的