辽宁省沈阳市杏坛中学2024-2025学年度上学期九年级10月份月考数学试卷

2024-2025学年度上学期九年级阶段练习（一）数学（时间：120分钟满分：120分）一、单选题（每小题3分，共30分）1．将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（）A． B．C． D．2．一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（）A． B．且C． D．且3．小明热爱研究鸟类，每年定期去北京各个湿地公园观鸟．从他的观鸟记录年度总结中摘取部分数据如表所示．设小明从2020年到2022年观测鸟类种类数量的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（）观鸟记录年度总结2020年：观测鸟类150种2021年：观测鸟类2022年：观测鸟类216种A． B．C． D．4．一个盒中有9个红球，8个白球，7个黑球，10个黄球，这些球除了颜色外都一样，现从中任取一球，则在以下事件中，可能性最小的是（）A．取出的一个球是红球 B．取出的一个球是白球C．取出的一个球是黑球 D．取出的一个球是黄球5．某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果0.25的实验最有可能的是（）A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”B．挪一枚一元硬币，落地后正面朝上C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球D．挪一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是46．如图的两个四边形相似，则的度数是（）A． B． C． D．7．宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形，分别取，的中点，，连接；以点为圆心，以为半径画弧，交的延长线于点；作，交的延长线于点，则下列矩形是黄金矩形的是（）A．矩形 B．矩形 C．矩形 D．矩形8．已知三个数1，2，，如果再添上一个数，使它们能组成一个比例式，那么这个数不可以的是（）A． B． C． D．9．如图，已知：，，，的度数为（）A． B． C． D．10．如图，中，为上的一点，在下列四个条件中：①﹔②﹔③；④，能满足和相似的条件是（）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③二、填空题（每小题3分，共15分）11．若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为________．12．等腰三角形的边长是方程的解，则这个三角形的周长是________．13．两个相似三角形的一组对应边分别为和，如果较小三角形的周长为，那么较大三角形的周长为________．l4．如图，五线谱是由等距离的五条平行横线组成的．如果直线上的三个点、、都在横线上，且、两点间的距离为4，那么、两点间的距离为________．15．如图，与中，，，，交于，点在边上．给出下列结论：①﹔②；③；④其中正确的结论是________．（填写所有正确结论的序号）．三、解答题（每小题5分，共10分）16．（10分）解方程：（1）（2）17．（8分）如图，均匀的正四面体的各面依次标有1，2，3，4四个数字．小明做了60次投掷试验，结果统计如下：朝下数字1234出现的次数16201410（1）计算上述试验中“4朝下”的频率是_______；（2）随机投掷正四面体两次，请用列表或画树状图法，求两次朝下的数字之和大于4的概率．18．（9分）已知关于的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若此方程有一个负数根，的取值范围是________．19．（8分）如图，用一长为24米的篱笆围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，其中一面利用墙（墙的最大可用长度为15米）．如果要围成面积为45平方米的花圃，那么的长是多少米？20．（8分）如图，在中，是角平分线，点是边上一点，且满足．（1）证明：．（2）若，，的长________．21．（8分）某商店销售一种进价为每千克15元的草莓，若售价为20元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在20元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克，为了保障顾客利益，规定销售价不得高于进价的3倍．（1）当涨价3元时，每月销售草莓________千克；（2）当月利润为6000元时，每千克草莓售价为多少元？22．（12分）如图，在中，，，﹐是上一点，，点从出发沿方向，以的速度运动至点处，线段将分成两部分，其中一部分与相似，设运动时间为．（1）当在线段上运动时，________，当在线段上运动时，________（请用含的代数式表示）；（2）求出满足条件的所有值．23．（12分）如图，为正方形边上任一点，于点，在的延长线上取点，使，连接，．（1）如图1，若正方形的边长为6，，的长度________．（2）如图2，当点为的中点时，求证：（3）如图1，当时，的值________．2024-2025学年度上学期九年级阶段练习（一）数学参考答案1．【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程作边写成完全平方形式即可．【解答】解：，，．故选：A．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．2．【分析】根据判别式即可求出答案．【解答】解：由题意可知：且，∴且，故选：B．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．3．【分析】根据2020年观测鸟类种类数量年观测鸟类种类数量，列出一元二次方程即可．【解答】解：由题意得：．故选：D．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．4．【分析】根据题意分析可得：一个盒中有9个红球，8个白球，7个黑球，10个黄球，黑球数目最少；求得相应的概率，比较即可．【解答】解：根据概率公式可得：A、取出的一个球是红球的概率；B、取出的一个球是白球的概率；C、取出的一个球是黑球的概率；D、取出的一个球是黄球的概率．故选：C．【点评】此题考查概率即可能性大小的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．5．【分析】根据统计图可知，试验结果在0.17附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为0.17者即为正确答案．【解答】解：A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明陆机出的是“剪刀”的概率为，故A选项错误；B、掷一枚一元硬币，落地后正面朝上的概率是；故B选项错误：C、暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球的概率为，故C选项错误：D、挪一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4的概率为，故D选项正确．故选：D．【点评】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．6．【分析】根据相似多边形的对应角相等求出的度数，根据四边形内角和等于计算即可．【解答】解：∵两个四边形相似，∴，∵四边形的内角和等于，∴，故选：A．【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应角相等、对应边相等是解题的关键．7．【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得的长，再根据求得的长，最后根据与的比值为黄金比，判断矩形为黄金矩形．【解答】解：设正方形的边长为2，则，，在直角三角形中，∴∴∴，∴矩形为黄金矩形，故选：D．【点评】本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念．解题时注意，宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，图中的矩形也为黄金矩形8．【分析】根据“两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段”判断即可．【解答】解：A．，能组成一个比例式，不合题意：B．，能组成一个比例式，不合题意：C．1，2，，，不能组成一个比例式，符合题意：D．，能组成一个比例式，不合题意；故选：C．【点评】本题考查了成比例的线段，熟知：两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．9．【分析】根据相似三角形的性质得到，，结合图形计算，得到答案．【解答】解：∵，∴，，∴，故选：D．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．10．【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断．【解答】解：当，公共，所以；当，公共，所以；当，即，公共，所以；当，即，而，所以不能判断和相似．故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．二．填空题（共5小题）11．【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵是关于的一元二次方程的一个根，∴，∴，∴．故案为：2024．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．12．【分析】由等腰三角形的边长是方程的解，解此一元二次方程即可求得等腰三角形的腰与底边的长，注意需要分当2是等腰三角形的腰时与当4是等腰三角形的腰时讨论，然后根据三角形周长的求解方法求解即可．【解答】解：∵，∴，解得：或，∵等腰三角形的边长是方程的解，∴当2是等腰三角形的腰时，，不能组成三角形，舍去：当4是等腰三角形的腰时，，则这个三角形的周长为．当边长为2的等边三角形，得出这个三角形的周长为．当边长为4的等边三角形，得出这个三角形的周长为．∴这个三角形的周长为10或6或12．故答案为：10或6或12．【点评】此题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程的解法．解题的关键是注意分类讨论你思想的应用．解一元二次方程，因式分解等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转换成一元一次方程是解此题的关键．13．【分析】由两个相似三角形的一组对应边分别为和，可求得相似比，又由相似三角形的周长的比等于相似比，较小三角形的周长为，即可求得答案．【解答】解：∵两个相似三角形的一组对应边分别为和，∴相似比为：，∴周长比为：，∵较小三角形的周长为，∴较大三角形的周长为：．【点评】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的周长比等于相似比定理的应用是解此题的关键．14．【分析】过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于点，交点所在的平行横线于点，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，求解即可．【解答】解：如图，过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于点，交点所在的平行横线于点，则，即，解得．故答案为：2．【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用平行线分线段成比例定理，找准等量关系是解题关键．15．【分析】先根据已知条件证明，从中找出对应角或对应边．然后根据角之间的关系找相似，即可解答．【解答】解：在与中∵，，∴，∴，∴；由，，可知：；∵，∴，由可得，∴．综上可知：①③④正确．【点评】本题考查相似三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．三．解答题（共7小题）16．【分析】（1）根据试验中“4朝下”的总次数除以总数即可得出答案：（2）列表列举出所有的可能的结果，然后利用概率公式解答即可．【解答】解（1）“4朝下”的频率：，故答案为：；（2）随机投掷正四面体两次，所有可能出现的结果如下：第一次第二次12341（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）2（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）3（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）4（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）总共有16种结果，每种结果出现的可能性相同，而两次朝下数字之和大于4的结果有10种．∴（两次朝下的数字之和大于4）．【点评】本题主要考查列表法与树状图法求概率，以及频率的意义，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．17．【分析】（1）进行判别式的值得到，利用非负数的性质得，然后根据判别式的意义可判断方程总有两个实数根；（2）先求出方程的解，再根据题意得出答案即可．【解答】（1）证明：依题意，得．∵，∴方程总有两个实数根；（2），可得，解得，，若方程有一个根为负数，则，故．【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式之间的关系是解题的关键．18．【分析】设的长为米，则米，根据长方形的面积公式列出方程，解方程即可得到答案．【解答】解，设的长为米，则米，根据题意得：，整理得：，解得：，，当时，米，符合题意，当时，米，符合题意，∴的长是3米或5米．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．19．【分析】（1）证出．根据相似三角形的判定可得出结论：（2）由相似三角形的性质可得出，则可得出答案【解答】（1）证明：∵是的角平分线，∴．∵，∴．（2）解：∵，∴，∵，，∴，∴．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．20．【分析】（1）由月销售量（销售单价），可求解；（2）设每千克苹果售价为元，由利润每千克的利润销售的数量，可列方程，即可求解．【解答】解：（1）当售价为23元/千克时，每月销售苹果千克；答：每月销售苹果470千克．故答案为：470；（2）设每千克苹果售价为元，由题意可得：，∴，解得或，∵销售价不得高于进价的3倍，∴，∴每千克苹果的售价为30元，答：每千克苹果售价为30元．【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，有理数混合计算的