专题03 分式方程（九大类型）（解析版）

第页专题03分式方程（九大类型）【题型1分式方程定义】【题型2分式方程的解】【题型3解分式方程】【题型4分式方程的增根】【题型5分式方程应用-工程问题】【题型6分式方程应用-行程问题】【题型7分式方程应用-销售问题】【题型8分式方程应用-方案问题】【题型9分式方程应用-其他问题】【题型1分式方程定义】1．（2022秋•九龙坡区校级月考）下列式子中是分式方程的是（）A． B． C． D．x2+1＝0【答案】B【解答】解：A、不是方程，故本选项不符合题意；B、是分式方程，故本选项符合题意；C、是整式方程，故本选项不符合题意；D、是整式方程，故本选项不符合题意．故选：B．2．（2022秋•泰山区校级月考）下列方程不是分式方程的是（）A．+x＝2+3x B．＝ C．﹣＝4 D．+＝1【答案】C【解答】解：A、方程分母中含未知数x，故A是分式方程；B、方程分母中含未知数x，故B是分式方程；C、方程分母中不含未知数，故C不是分式方程；D、方程分母中含未知数x，故D是分式方程；故选：C．3．（2022秋•巴彦县校级期末）下列关于x的方程中，不是分式方程的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：A、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符题意；B、分母中不含有未知数，是整式方程，故本选项符合题意；C、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符题意；D、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符题意．故选：B．4．（2021秋•逊克县期末）有下列方程：①；②；③；④．属于分式方程的有（）A．①② B．②③ C．③④ D．②④【答案】B【解答】解：①2x+＝10是整式方程，②x﹣＝2是分式方程，③﹣3＝0是分式方程，④+＝0是整式方程，所以，属于分式方程的有②③．故选：B．【题型2分式方程的解】5．（2023秋•东营区期中）若方程的根为x＝6，则m的值是（）A．0 B．3 C． D．1【答案】C【解答】解：∵方程的根为x＝6，∴将x＝6代入得，，解得．故选：C．6．（2023•槐荫区模拟）若关于x的方程+＝2的解为正数，则m的取值范围是（）A．m＜6 B．m＞6 C．m＜6且m≠0 D．m＞6且m≠8【答案】C【解答】解：原方程化为整式方程得：2﹣x﹣m＝2（x﹣2），解得：x＝2﹣，因为关于x的方程+＝2的解为正数，可得：，解得：m＜6，因为x＝2时原方程无解，所以可得，解得：m≠0．故选：C．7．（2022秋•朔城区期末）若关于x的分式方程无解，则n＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．【答案】A【解答】解：，去分母，得x+x+2＝n﹣1，合并同类项、系数化为1，得，由题意可知，分式方程的增根为x＝﹣2，即有，解得n＝﹣1．故选：A．8．（2023秋•海门市校级期中）关于x的方程的解是负数，则实数a的取值范围是（）A．a＞﹣1 B．a＞﹣1且a≠﹣ C．a≠﹣ D．a＞﹣1且a≠0【答案】B【解答】解：分式方程去分母得：x﹣a＝2x+1，解得：x＝﹣a﹣1，根据分式方程解为负数得：﹣a﹣1＜0且﹣a﹣1≠﹣，解得：a＞﹣1且a≠﹣．故选：B．9．（2023•美兰区一模）下列分式方程中，解为x＝﹣1的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：当x＝﹣1时，A．中，左边＝﹣2，右边＝﹣1，A不符合题意；B．中，x2﹣1＝0，分母等于0，分式无意义，B不符合题意；C．中，左边＝﹣1+1＝0＝右边，C符合题意；D．中，分母x+1＝0，D不符合题意．故选：C．10．（2022秋•南昌期末）若关于x的分式方程的解为x＝2，则m值为（）A．2 B．0 C．6 D．4【答案】C【解答】解：∵分式方程的解为x＝2，∴，解得m＝6．故选：C．11．（2023春•偃师市校级期末）已知关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范围为（）A．﹣3＜k＜0 B．k＞﹣3且k≠﹣1 C．k＞﹣3 D．k＜3且k≠1【答案】B【解答】解：关于x的分式方程化为整式方程为x﹣3（x﹣1）＝﹣k，解得x＝，∵关于x的分式方程的解为正数，∴＞0，即k＞﹣3，而分式方程有增根x＝1，当x＝1时，k＝﹣1，∴k的取值范围为k＞﹣3且k≠﹣1，故选：B．12．（2023春•建平县期末）若关于x的分式方程无解，则k的值为（）A． B．k＝1 C．或2 D．k＝0【答案】C【解答】解：，kx+2k﹣1＝2（x﹣1），（2﹣k）x＝2k+1，∵关于x的分式方程无解，∴分两种情况：当2﹣k＝0时，k＝2，当x﹣1＝0时，x＝1，把x＝1代入kx+2k﹣1＝2（x﹣1）中可得：k+2k﹣1＝0，∴k＝，综上所述：k的值为：2或，故选：C．【题型3解分式方程】13．（2022秋•汉阳区校级期末）解分式方程：（1）；（2）+1．【答案】（1）x＝；（2）无解．【解答】解：（1）原方程去分母得：（x+1）2＝x2﹣1+5，整理得：x2+2x+1＝x2﹣1+5，移项，合并同类项得：2x＝3，系数化为1得：x＝，经检验，x＝是分式方程的解，故原方程的解为x＝；（2）原方程去分母得：3x＝2x﹣1+3x+3，移项，合并同类项得：﹣2x＝2，系数化为1得：x＝﹣1，经检验，x＝﹣1是分式方程的增根，故原方程无解．14．（2023秋•东城区校级期中）解分式方程：．【答案】x＝3．【解答】解：原方程两边同时乘以（x﹣2）（2x﹣3），去分母得：2x﹣3＝3（x﹣2），去括号得：2x﹣3＝3x﹣6，移项，合并同类项得：﹣x＝﹣3，系数化为1得：x＝3，检验：把x＝3代入最简公分母（x﹣2）（2x﹣3）得：1×3＝3≠0，故x＝3是原方程的解．15．（2023春•历下区期中）解方程：（1）．（2）．【答案】（1）x＝4；（2）原方程无解．【解答】解：（1），方程两边都乘x（x+2），得2（x+2）＝3x，解得：x＝4，检验：当x＝4时，x（x+2）≠0，所以x＝4是原方程的解，即原方程的解是x＝4；（2），方程两边都乘x﹣2，得1＝﹣（1﹣x）﹣3（x﹣2），解得：x＝2，检验：当x＝2时，x﹣2＝0，所以x＝2是增根，即原方程无解．16．（2023秋•东营区期中）解分式方程．（1）；（2）．【答案】（1）x＝3；（2）无解．【解答】解：（1），解：方程两边同乘（4﹣x），得x﹣3﹣4+x＝﹣1，移项、合并同类项得2x＝6，解得x＝3，检验：当x＝3时，4﹣x＝4﹣3＝1≠0，所以x＝3是原分式方程的解．（2），解：方程两边同乘x（x﹣1），得3（x﹣1）+6x＝x+5，去括号得3x﹣3+6x＝x+5，移项、合并同类项得8x＝8，解得x＝1，检验：当x＝1时，x（x﹣1）＝0，所以x＝1是增根，原分式方程无解．17．（2023秋•隆回县期中）解方程：（1）；（2）．【答案】（1）x＝﹣1．（2）x＝0．【解答】解：（1）去分母得：x（x+2）﹣2＝x2﹣4，去括号得：x2+2x﹣2＝x2﹣4，移项、合并同类项得：2x＝﹣2，系数化1得：x＝﹣1．检验：当x＝﹣1时，x2﹣4＝﹣3≠0，∴分式方程的解为x＝﹣1．（2）去分母得：2（x﹣1）+3（x+1）＝1，去括号得：2x﹣2+3x+3＝1，移项、合并同类项得：5x＝0，系数化1得：x＝0．检验：当x＝0时，x2﹣1＝﹣1≠0，∴分式方程的解为x＝0．18．（2023秋•昆明期中）解方程：（1）；（2）．【答案】（1）x＝5；（2）无解．【解答】解：（1），x﹣2（x﹣1）＝﹣3，解得：x＝5，检验：当x＝5时，x﹣1≠0，∴x＝5是原方程的根；（2），5（x﹣1）+4x＝x+3，解得：x＝1，检验：当x＝1时，x（x﹣1）＝0，∴x＝1是原方程的增根，∴原方程无解．19．（2023秋•肥城市期中）解方程（1）；（2）．【答案】（1）无解；（2）x＝6．【解答】解：（1）解：，去分母得：11x﹣22＝﹣3（x﹣2），去括号，移项得：11x+3x＝6+22，合并同类项得：14x＝28，系数化为1得：x＝2，检验：当x＝2时，原方程无意义，∴原方程无解．（2）解：，去分母得：x﹣2＝4，移项合并同类项得：x＝6，检验：当x＝6时，原分式方程有意义，∴原分式方程的解是x＝6．20．（2023秋•乐亭县期中）已知分式方程，由于印刷问题，有一个数“▲”看不清楚．（1）若“▲”表示的数为6，求分式方程的解；（2）小华说“我看到答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“▲”代表的数．【答案】（1）x＝5；（2）原分式方程中“▲”代表的数为2．【解答】解：（1），方程两边同乘（x﹣3），得：6﹣（x﹣1）＝x﹣3，解得：x＝5，检验：当x＝5时，x﹣3≠0，所以x＝5是原分式方程的解；（2）设▲＝m，，方程两边同乘（x﹣3），得：m﹣（x﹣1）＝x﹣3，把x＝3代入m﹣（x﹣1）＝x﹣3，得：m﹣2＝0，解得：m＝2，∴原分式方程中“▲”代表的数为2．【题型4分式方程的增根】21．（2023秋•来宾期中）已知关于x的分式方程有增根，则k的值为（）A．﹣5 B．2 C．﹣2 D．5【答案】A【解答】解：去分母得：k+5＝x﹣2，∵分式方程有增根，∴x﹣2＝0，解得：x＝2，把x＝2代入k+5＝x﹣2得：k+5＝2﹣2，解得：k＝﹣5．故选：A．22．（2023春•秦都区期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（）A．0 B．1 C．2 D．﹣1【答案】D【解答】解：，3﹣（x+m）＝x﹣4，解得：x＝，∵分式方程有增根，∴x＝4，把x＝4代入x＝中得：4＝，解得：m＝﹣1，故选：D．23．（2023春•滕州市期末）已知关于x的分式方程有增根，则k的值为（）A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3【答案】C【解答】解：去分母得：k+3＝x﹣2，∵分式方程有增根，∴x﹣2＝0，解得：x＝2，把x＝2代入k+3＝x﹣2得：k+3＝2﹣2，解得：k＝﹣3，故选：C．24．（2023春•砀山县期末）若分式方程＝2+有增根，则a的值为（）A．4 B．2 C．1 D．0【答案】A【解答】解：已知方程去分母得：x＝2（x﹣4）+a，解得：x＝8﹣a，由分式方程有增根，得到x＝4，即8﹣a＝4，则a＝4．故选：A．25．（2023春•南明区校级期末）若关于x的方程有增根，则m的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3【答案】见试题解答内容【解答】解：∵方程有增根，∴当x﹣4＝0时符合题意，即x＝4是方程的增根，∴m+1﹣x＝x﹣4，∴m＝3．故选：D．26．（2023春•通川区校级期末）若方程有增根，则m的值是（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3【答案】C【解答】解：方程变形得：﹣＝0，去分母得：m﹣x+1＝0，解得：x＝m+1，由方程有增根，得到m+1＝4，即m＝3，则m的值为3．故选：C【题型5分式方程应用-工程问题】27．（2023春•锦州期末）为了改善锦州的交通状况，政府投资修建北外环公路．某筑路工程公司中标了一段3000m公路的路基工程，计划在规定时间完成．为了向“七，一”献礼，公司决定加快工程进度实际平均每天完成的工程量是原计划的1.2倍，结果提前10天完成任务，那么该筑路工程公司实际每天完成路基多少米？（要求用方程求解）【答案】60米．【解答】解：设该筑路工程公司实际每天完成路基x米，由题意得：，解得x＝60，经检验：x＝60是分式方程的解，答：设该筑路工程公司实际每天完成路基60米．28．（2023秋•南岗区校级月考）六年1班承担了学校操场的清扫工作，计划每天清扫200平方米，30天可以清扫完．（1）若学校要求25天清扫完，每天应清扫多少平方米？（2）若实际每天清扫的面积比计划每天清扫的面积提高了，实际多少天能清扫完整个学校操场？（3）若六年1班按照（2）的速度完成一半时，学校要求此计划提前8天完成，提速后每天清扫面积是多少平方米？【答案】（1）若学校要求25天清扫完，每天应清扫240平方米；（2）实际24天能清扫完整个学校操场；（3）提速后每天清扫面积是300平方米．【解答】解：（1）设若学校要求25天清扫完，每天应清扫x平方米，由题意可得：25x＝30×200，解得x＝240，答：若学校要求25天清扫完，每天应清扫240平方米；（2）设实际y天能清扫完整个学校操场，由题意可得：200（1+）y＝30×200，解得y＝24，答：实际24天能清扫完整个学校操场；（3）设提速后每天清扫面积是m平方米，由题意可得：+＝30﹣8，解得m＝300，经检验：m＝300是原分式方程的解，答：提速后每天清扫面积是300平方米．29．（2023•南岗区模拟）盛夏来临之际，服装加工厂甲、乙两个车间共同加工一款亚麻休闲装，且每人每天加工的件数相同，甲车间比乙车间少10人，甲车间每天加工服装400件，乙车间每天加工服装600件．（1）求甲、乙两车间各有多少人；（2）甲车间更新了设备，平均每人每天加工的件数比原来多了10件，乙车间的加工效率不变，在两个车间总人数不变的情况下，加工厂计划从乙车间调出一部分人到甲车间，使每天两个车间加工的总数不少于1300件，求至少要从乙车间调出多少人到甲车间？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设甲车间有x人，乙车间有（x+10）人，由题意得＝，解得：x＝20，经检验：x＝20是原分式方程的解，且符合题意，则x+10＝30，答：甲车间有20人，乙车间有30人；（2）设要从乙车间调出y人到甲车间，由题意得（20+y）（+10）+（30﹣y）≥1300，解得：y≥10．答：至少要从乙车间调出10人到甲车间．30．（2023•丹东）“畅通交通，扮靓城市”，某市在道路提升改造中，将一座长度为36米的桥梁进行重新改造．为了尽快通车，某施工队在实际施工时，每天工作效率比原计划提高了50%，结果提前2天成功地完成了大桥的改造任务，那么该施工队原计划每天改造多少米？【答案】施工队原计划每天改造6米．【解答】解：设施工队原计划每天改造x米，根据题意得：＝+2，解得x＝6，经检验，x＝6是原方程的解，答：施工队原计划每天改造6米．31．（2022秋•海兴县期末）为了尽快建一条全长11000米的道路，安排甲乙两队合作完成任务，最终乙队所修的道路比甲队所修的道路的两倍少1000米．（1）甲乙两队各修道路多少米？（2）实际修建过程中，乙队每天比甲队多20米，最终乙队完成任务时间是甲队完成任务时间的倍，乙队每天修建道路多少米？【答案】（1）甲队修道路4000米，乙队修道路7000米；（2）乙队每天修建道路70米．【解答】解：（1）设甲队修道路x米，则乙队修道路（2x﹣1000）米，由题意得：x+2x﹣1000＝11000，解得：x＝4000，则2x﹣1000＝7000，答：甲队修道路4000米，乙队修道路7000米；（2）设乙队每天修建道路x米，则甲队每天修建道路（x﹣20）米，由题意得：＝×，解得：x＝70，经检验，x＝70是原方程的解，且符合题意，答：乙队每天修建道路70米．【题型6分式方程应用-行程问题】32．（2023秋•延庆区期中）列方程解应用题：小东一家自驾车去某地旅游，手机导航系统为他们推荐了两条路线方案，方案一全程75km，方案二全程90km．汽车在方案二行驶的平均速度是在方案一行驶的平均速度的1.8倍，预计在方案二行驶的时间比方案一行驶的时间少半小时，求汽车在方案一行驶的平均速度．【答案】汽车在方案一行驶的平均速度为50km/h．【解答】解：设汽车在方案一行驶的平均速度为xkm/h，则在方案二行驶的平均速度为1.8xkm/h，由题意得：＝+，解得x＝50，经检验，x＝50是原方程的根，答：汽车在方案一行驶的平均速度为50km/h．33．（2023•邗江区一模）学校组织学生到距离为15千米的公园参加露营活动，一部分同学骑自行车先走，40分钟后其余同学乘坐大巴前往，结果他们同时到达，如果大巴士的平均速度是自行车平均速度的3倍，问：大巴士与自行车的平均速度分别是每小时多少千米？【答案】自行车的平均速度是每小时15千米，大巴士的平均速度是每小时45千米．【解答】解：设自行车的平均速度是每小时x千米．则大巴士的平均速度是每小时3x千米．由题意：﹣＝，解得：x＝15，经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意，∴3x＝3×15＝45，答：自行车的平均速度是每小时15千米，大巴士的平均速度是每小时45千米．34．（2023秋•肇源县期中）甲、乙两城间的铁路路程为1600千米，经过技术改造，列车实施了提速，提速后比提速前速度增加了20千米/时，列车从甲城到乙城行驶时间减少4小时，这条铁路在现有条件下安全行驶速度不得超过140千米/时，请你用学过的知识说明在这条铁路的现有条件下列车是否还可以再次提速．【答案】见试题解答内容【解答】解：设提速前的列车速度为xkm/h．则：＝+4．解之得：x＝80．经检验，x＝80是原方程的解．所以，提速前的列车速度为80km/h．因为80+20＝100＜140．所以可以再提速．35．（2023•邗江区二模）某校甲、乙两个班的同学以班级为单位分别乘坐大巴车去某基地参加研学活动，此基地距离该校90千米，甲班的甲车出发10分钟后，乙班的乙车才出发，为了比甲车早到5分钟，乙车的平均速度是甲车的平均速度的1.2倍，求乙车的平均速度．【答案】乙车的平均速度是72千米/时．【解答】解：设甲车的平均速度是x千米/时，则乙车的平均速度是1.2x千米/时，根据题意，得＝+，解得x＝60．经检验，x＝60是原方程的解，此时1.2x＝72．答：乙车的平均速度是72千米/时．36．（2023•朝阳区校级一模）小颖乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车原路返回，出租车的平均速度比公共汽车多20千米/时，若小颖回来路上所花的时间比去时所用时间节省了，求公共汽车的平均速度．【答案】60千米/时．【解答】解：设公共汽车的平均速度为x千米/时，则出租车的平均速度为（x+20）千米/时，根据题意得：×（1﹣）＝，解得：x＝60，经检验，x＝60是所列方程的解，且符合题意．答：公共汽车的平均速度为60千米/时．【题型7分式方程应用-销售问题】37．（2023秋•普陀区校级期中）多多果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，由于水果畅销，很快售完，第二次用1430元购买了一批水果，每千克的进价比第一次提高了10%，所购买的水果的数量比第一次多20千克，求第一次购买水果的进价是每千克多少元？【答案】第一次购买水果的进价是每千克5元．【解答】解：设第一次购买水果的进价是每千克x元，则第二次购买水果的进价是每千克（1+10%）x元，依题意得：﹣＝20，解得：x＝5，经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意，答：第一次购买水果的进价是每千克5元．38．（2023春•舞钢市期末）某服装店老板到厂家选购甲、乙两种品牌的童装准备进行销售．每套甲品牌的童装比乙品牌的童装进价多25元，用2000元购进甲种品牌的童装数量是用750元购进的乙种品牌的童装数量的2倍．（1）求甲、乙两种品牌的童装每套进价分别是多少元？（2）若甲品牌童装每套的售价为130元，乙品牌童装每套售价为95元，服装店老板去进货时决定购进甲品牌的童装数量是乙品牌童装数量的2倍还多4套，两种童装全部售出后要使总利润不少于1230元，至少购进甲品牌的童装多少套？【答案】（1）甲品牌每套进价是100元，乙品牌每套进价75元；（2）至少购进甲品牌的童装32套．【解答】解：（1）设甲品牌每套进价是x元，乙品牌每套进价（x﹣25）元，根据题意得，，解得x＝100，经检验，x＝100是原方程的解，100﹣25＝75（元），答：甲品牌每套进价是100元，乙品牌每套进价75元；（2）设购进甲品牌童装a套，则购进乙品牌童装套，根据题意得，（130﹣100）a+（95﹣75）×≥1230，解得a≥31.75，答：至少购进甲品牌的童装32套．39．（2023秋•沙坪坝区校级月考）成都大运会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款文创纪念品，已知A、B两款纪念品的进价分别为30元/个、25元/个．（1）网店第一次用1400元购进A、B两款纪念品共50个，求A款纪念品购进的个数；（2）大运会临近结束时，网店打算把A款纪念品降价20%销售，则降价后销售A款纪念品要获得销售额800元，比按照原价销售要多卖4个才能获得同样多的销售额，求A款纪念品降价以前的售价．【答案】（1）30个；（2）50元．【解答】解：（1）设网店第一次购进x个A款纪念品，则购进（50﹣x）个B款纪念品，根据题意得：30x+25（50﹣x）＝1400，解得：x＝30．答：网店第一次购进30个A款纪念品；（2）设A款纪念品降价以前的售价为y元，则降价后的售价为（1﹣20%）y元，根据题意得：﹣＝4，解得：y＝50，经检验，y＝50是所列方程的解，且符合题意．答：A款纪念品降价以前的售价为50元．40．（2023春•高陵区月考）教育部印发的《义务教育课程方案（2022年版）》，将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来，某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的1.5倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少5捆．（1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．（2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元，学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，所花的费用不超过2400元，求在菜苗基地购买A种菜苗至少多少捆．【答案】（1）20元；（2）60捆．【解答】解：（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，根据题意得：﹣＝5，解得x＝20，经检验，x＝20是原方程的解，答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元；（2）设购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗（100﹣m）捆，20m+30（100﹣m）≤2400，解得：m≥60，∴所花的费用不超过2400元，在菜苗基地购买A种菜苗至少60捆．答：菜苗基地购买A种菜苗至少60捆．41．（2023春•渭滨区期末）疫情防控形势下，人们在外出时都应戴上口罩以保护自己免受新型冠状病毒感染，某药店用4750元购进若干包一次性医用口罩，很快售完，该店又用7500元钱购进第二批这种口罩，所进的包数比第一批多50%，每包口罩的进价比第一批每包口罩的进价多0.5元，求购进的第二批医用口罩有多少包？【答案】购进的第二批医用口罩有750包．【解答】解：设购进的第一批医用口罩有x包，则＝﹣0.5．解得：x＝500．经检验x＝500是原方程的根并符合实际意义．所以（1+50%）x＝750．答：购进的第二批医用口罩有750包．42．（2023•禅城区校级三模）2022年10月16日，习总书记在第二十次全国代表大会上的报告中提出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车的进价是每辆B型汽车的进价的1.5倍，若用3000万元购进A型汽车的数量比2400万元购进B型汽车的数量少20辆．（1）A型和B型汽车的进价分别为每辆多少万元？（2）该公司决定用不多于3600万元购进A型和B型汽车共150辆，最多可以购买多少辆A型汽车？【答案】（1）A型汽车的进价为每辆30万元，B型汽车的进价为每辆20万元；（2）最多可以购买60辆A型汽车．【解答】解：（1）设B型汽车的进价为每辆x万元，则A型汽车的进价为每辆1.5x万元，依题意得：，解得：x＝20，经检验，x＝20是方程的解，且符合题意，则1.5x＝1.5×20＝30，答：A型汽车的进价为每辆30万元，B型汽车的进价为每辆20万元；（2）设购买辆A型汽车m辆，则购买（150﹣m）辆B型汽车，依题意得：30m+20（150﹣m）≤3600，解得：m≤60，答：最多可以购买60辆A型汽车．43．（2023•迎泽区校级二模）某中学开学初在商场购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元．（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元；（2）该中学决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3060元，那么该中学此次最多可购买多少个B品牌足球？【答案】（1）购买一个A品牌的足球需要50元，购买一个B品牌的足球需要80元；（2）该中学此次最多可购买20个B品牌足球．【解答】解：（1）设购买一个A品牌的足球需要x元，则购买一个B品牌的足球需要（x+30）元，依题意得：＝2×，解得：x＝50，经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，∴x+30＝80．答：购买一个A品牌的足球需要50元，购买一个B品牌的足球需要80元．（2）设该中学此次可以购买m个B品牌足球，则可以购买（50﹣m）个A品牌足球，依题意得：50×（1+8%）（50﹣m）+80×0.9m≤3060，解得：m≤20．答：该中学此次最多可购买20个B品牌足球．【题型8分式方程应用-方案问题】44．（2022秋•廉江市期末）“疫情未结束，防疫不放松”某工厂准备生产A和B两种防疫用品，已知A种防疫用品每箱成本比B种防疫用品每箱成本多500元．经计算，用6000元生产A种防疫用品的箱数与用4500元生产B种防疫用品的箱数相等．请解答下列问题．（1）求A，B两种防疫用品每箱的成本；（2）该工厂计划用不超过90000元同时生产A和B两种防疫用品共50箱，且B种防疫用品不超过25箱，该工厂有几种生产方案？【答案】（1）A种防疫用品每箱的成本为2000元，B种防疫用品每箱的成本为1500元；（2）该工厂有6种生产方案．【解答】解：（1）设B种防疫用品每箱的成本为x元，则A种防疫用品每箱的成本为（x+500）元，根据题意得：＝，解得：x＝1500，经检验，x＝1500是所列方程的解，且符合题意，∴x+500＝1500+500＝2000．答：A种防疫用品每箱的成本为2000元，B种防疫用品每箱的成本为1500元．（2）设生产B种防疫用品m箱，则生产A种防疫用品（50﹣m）箱，根据题意得：，解得：20≤m≤25，又∵m为正整数，∴m可以为20，21，22，23，24，25，∴该工厂有6种生产方案．45．（2023•五通桥区模拟）某超市购进甲、乙两种商品，购买1个甲商品比购买1个乙商品多花6元，并且花费400元购买甲商品和花费100元购买乙商品的数量相等．（1）求购买一个甲商品和一个乙商品各需多少元；（2）商店准备购买甲、乙两种商品共40个，并要求商品个数为正整数，若甲商品的数量不少于乙商品数量的3倍，并且购买甲、乙商品的总费用不低于230元且不高于266元，那么超市有几种购买方案？哪种方案费用少？【答案】（1）购买一个甲商品需8元，一个乙商品需2元；（2）超市有2种购买方案：①购买甲商品30个，乙商品10个；②购买甲商品31个，乙商品9个；方案①费用最低．【解答】解：（1）设购买一个甲商品需x元，则购买一个乙商品需（x﹣6）元，由题意得：＝，解得：x＝8，经检验，x＝8是原方程的解，且符合题意，则x﹣6＝8﹣6＝2，答：购买一个甲商品需8元，一个乙商品需2元；（2）设购买甲种商品a个，则购买乙种商品（40﹣a）个，由题意得：，解得：30≤a≤31，∵a为整数，∴a＝30或31．∴超市有2种购买方案：①购买甲商品30个，乙商品10个，费用为：30×8+10×2＝260（元）；②购买甲商品31个，乙商品9个，费用为：31×8+9×2＝2