2022-2024年高考数学试题分类汇编：概率与统计（理）（解析版）

三年真题

12就率S疙制（理）

后第鲁母。绢您俺

考点三年考情（2022-2024）命题趋势

2024年上海夏季高考数学真题

2024年高考全国甲卷数学（理）真题

2022年高考全国乙卷数学（理）真题

考点1:独立性检验与

2022年高考全国甲卷数学（文）真题

回归分析

2023年天津高考数学真题

2024年上海夏季高考数学真题

2024年天津高考数学真题

2022年新高考全国I卷数学真题

2024年天津高考数学真题

考点2：条件概率、全从近三年的高考卷的考查情况来

2022年新高考全国II卷数学真题

概率公式、贝叶斯公

2024年上海夏季高考数学真题看，本节是高考的热点，特别是

式

2022年新高考天津数学高考真题

解答题中，更是经常出现.随着

2023年高考全国甲卷数学（理）真题

2024年新课标全国II卷数学真题计算机技术和人工智能的发展，

考点3：信息图表处理

2022年高考全国甲卷数学（理）真题概率统计逐步成为应用最广泛的

考点4：频率分布直方2023年新课标全国II卷数学真题数学内容之一.这部分内容作为

图2022年新高考天津数学高考真题

高考数学的主干内容之一，会越

2024年新课标全国II卷数学真题

2023年北京高考数学真题来越受到重视.主要以应用题的

考点5：概率最值问题

2022年新高考北京数学高考真题方式出现，多与经济、生活实际

2022年高考全国乙卷数学（理）真题

相联系，需要在复杂的题目描述

2022年高考全国甲卷数学（理）真题

2022年高考全国乙卷数学（理）真题中找出数量关系，建立数学模型，

年高考全国甲卷数学（文）真题

2024并且运用数学模型解决实际问

2023年高考全国乙卷数学（理）真题

2022年新高考全国I卷数学真题题.

考点6：古典概型与几

2023年高考全国乙卷数学（文）真题

何概型

2022年高考全国甲卷数学（文）真题

2023年天津高考数学真题

2024年高考全国甲卷数学（理）真题

2024年新课标全国I卷数学真题

2024年新课标全国II卷数学真题

2023年新课标全国II卷数学真题

考点7：正态分布与相

2022年新高考全国II卷数学真题

互独立

2024年新课标全国I卷数学真题

考点8：平均数、中位

2023年高考全国乙卷数学(理)真题

数、众数、方差、标

2023年新课标全国I卷数学真题

准差、极差

2024年北京高考数学真题

考点9：求离散型随机

2022年高考全国甲卷数学(理)真题

变量的分布列与期望

2022年新高考浙江数学高考真题

考点10：概率递推问

2023年新课标全国I卷数学真题

题与概率综合问题.

曾窗用缀。阖滔送温

考点1:独立性检验与回归分析

1.(2024年上海夏季高考数学真题)为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000

名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：

时间范围学业成绩[0,0.5)[0.5,1)[1,1.5)[1.5,2)[2,2.5)

优秀5444231

不优秀1341471374027

(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？

(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长(精确到0.1)

(3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关?

(附：X2=------r,---—T,----八其中〃=a+b+c+d,>3.841)^0.05.)

[a+b)[c+d)[a+c)[b+d)\'

【解析】(1)由表可知锻炼时长不少于1小时的人数为占比179+：43+28==25,

则估计该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数为29000x)=12500.

(2)估计该地区初中生的日均体育锻炼时长约为

10.5+11+1.51„1.5+22+2.5

—X139+X191+xl79+--------x43+x28»0.9.

58022222

则估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长为0.9小时.

(3)由题列联表如下:

口，2)其他合计

优秀455095

不优秀177308485

合计222358580

提出零假设"o：该地区成绩优秀与日均锻炼时长不少于1小时但少于2小时无关.

其中@=0.05.

580x(45x308-177x50)2

Z2-3.976>3.841.

―95x485x222x358

则零假设不成立,

即有95%的把握认为学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关.

2.（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、

乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：

优级品合格品不合格品总计

甲车间2624050

乙车间70282100

总计96522150

⑴填写如下列联表:

优级品非优级品

甲车间

乙车间

能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品

的优级品率存在差异？

（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率。=0.5,设万为升级改造后抽取的"件产品的优级品率.如果

»>p+1.65）四3,则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生

Vn

产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（同。12.247）

n(ad-bc¥

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K->k]0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【解析】（1）根据题意可得列联表:

优级品非优级品

甲车间2624

乙车间7030

可得^=150（26x3。-24x70）2q=4.6875,

50x100x96x5416

因为3.841<4.6875<6.635,

所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有99%的把握认为甲，乙两车间产品的

优级品率存在差异.

（2）由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为9需6=0.64,

用频率估计概率可得p=0.64,

又因为升级改造前该工厂产品的优级品率P=Q5,

则p+1.65、严=0.5+1.65、归E

»0.5+1.65x05«0.568，

\nV15012.247

可知》>/+].65y1—0）,

所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.

3.（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估

计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：n?）和材

积量（单位：n?）,得到如下数据：

样本号i12345678910总和

根部横截面积玉0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

材积量为0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

101010

并计算得WX=0.038,£弁=16158,£龙»=0.2474.

i=li=li=l

（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；

（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186mz.已

知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.

£（七一丁）（》一力____

附：相关系数r=IJ"“，J1.896"1.377.

\应尤「元茂（%-区）2

Vi=li=l

【解析】(1)样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值7=苛=006

39

样本中10棵这种树木的材积量的平均值歹=*=0.39

据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0。6m°,

平均一棵的材积量为0.39m3

10

-可（％-区）

i=l

（2）

[To2io

区（不一可力%一刃2

Vi=li=l

=0.2474-10x0.06x0.39=。。134°0.0134”

7(0.038-10X0.062)(1.6158-10X0.392)70.00018960.01377

贝1!”0.97

(3)设该林区这种树木的总材积量的估计值为KT?,

又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，

可得039=于-'解之得y=1209m3.

则该林区这种树木的总材积量估计为1209m3

4.(2022年高考全国甲卷数学(文)真题)甲、乙两城之间的长途客车均由A和8两家公司运营，为了解

这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：

准点班次数未准点班次数

A24020

B21030

(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；

(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关?

附：K、——幽也——,

(〃+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（K2..k）0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

【解析】(1)根据表中数据，A共有班次260次，准点班次有240次,

设A家公司长途客车准点事件为

24012

则尸阳=丽

13

B共有班次240次，准点班次有210次,

设B家公司长途客车准点事件为N,

2107

则尸（N）=旃

8

A家公司长途客车准点的概率为二；

7

5家公司长途客车准点的概率为g

O

（2）列联表

准点班次数未准点班次数合计

A24020260

B21030240

合计45050500

n{ad-bcf

(〃+Z?)(c+d)(a+c)(Z?+d)

=500x（240x3。-21。、2。）1205>2.7。6,

260x240x450x50

根据临界值表可知，有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.

5.（2023年天津高考数学真题）莺是鹰科的一种鸟，《诗经・大雅・旱麓》日：“莺飞戾天，鱼跃余渊”.莺尾花

因花瓣形如莺尾而得名，寓意鹏程万里、前途无量.通过随机抽样，收集了若干朵某品种莺尾花的花萼长度

和花瓣长度（单位：cm）,绘制散点图如图所示，计算得样本相关系数为r=Q8642,利用最小二乘法求得

相应的经验回归方程为y=0.750k+0.6105,根据以上信息，如下判断正确的为（）

72

6.8

花6.4

瓣6.0

长5.6

度52

4.8

4.4

4.85.25.66.06.46.8727.6

花萼长度

A.花瓣长度和花萼长度不存在相关关系

B.花瓣长度和花萼长度负相关

C.花萼长度为7cm的该品种莺尾花的花瓣长度的平均值为5.8612cm

D.若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8642

【答案】C

【解析】根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，A选项错误

散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，B选项错误，

把x=7代入y=0.7501.x+0.6105可得y=5.8612cm,C选项正确；

由于r=0.8642是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据的

相关系数不一定是0.8642,D选项错误

故选：C

6.（2024年上海夏季高考数学真题）已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正

确的是（）

A.气候温度高，海水表层温度就高

B.气候温度高，海水表层温度就低

C.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势

D.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势

【答案】C

【解析】对于AB,当气候温度高，海水表层温度变高变低不确定，故AB错误.

对于CD,因为相关系数为正，故随着气候温度由低到高时，海水表层温度呈上升趋势，

故C正确，D错误.

故选：C.

7.（2024年天津高考数学真题）下列图中，线性相关性系数最大的是（）

【答案】A

【解析】观察4幅图可知，A图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较

好，呈现明显的正相关，值相比于其他3图更接近1.

故选:A

考点2：条件概率'全概率公式'贝叶斯公式

8.（2022年新高考全国I卷数学真题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫

生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时

在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：

不够良好良好

病例组4060

对照组1090

（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，2表示事件“选到的人患有该疾

病”.缁2与段的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R

尸(A|B)P(X|豆)

(i)证明:

P(A|B)P(A|B)

（ii）利用该调查数据，给出尸（AIB）,P（AI豆）的估计值，并利用（i）的结果给出R的估计值.

n(ad-be)1

附K?=

(a+b)(c+d){a+c)(b+d)

P(K->k]0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

Mad-bc?_200(40x90-60x10)2

【解析】（1）由已知K?==24,

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)50x150x100x100

又尸(K,26.635)=0.01,24>6,635,

所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.

P(B|A)晅[Z)_尸(AB)P(A)P(通)P(N)

(2)①因为R=

P(B|A)P(B|A)-P(A)P(AB)P(A)P(AB)

3S厘3

P(B)P(AB)P(B)P(AB)

所以灭

P(A|B)

(ii)

由已知?(A|3)=&,P(A|B)=—,

100100

-60--90

又尸(A|5)=——,P(A\B)=——，

100100

在尸

所以NRR=-(A=-I-'------P--(-A--\-Bh)=6

P(A\B)P(A|B)

9.（2024年天津高考数学真题）A氏CD,石五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到A的概率为

已知乙选了A活动，他再选择8活动的概率为.

【答案】||

【解析】解法一：列举法

从五个活动中选三个的情况有：

ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共10种情况,

其中甲选到A有6种可能性：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,

则甲选到A得概率为：尸=搐=|；

乙选A活动有6种可能性：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,

其中再选则8有3种可能性：ABC,ABD,ABE,

31

故乙选了A活动，他再选择8活动的概率为：=

62

解法二：

设甲、乙选到A为事件乙选到5为事件N,

r23

则甲选到A的概率为尸（四）=m=不

乙选了A活动，他再选择5活动的概率为P（N|M）=g^=S=:

可

小依山位

故答案为：-3；万1

10.（2022年新高考全国H卷数学真题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年

龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：

（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）;

（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间［20,70）的概率；

（3）已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间［40,50）的人口占该地区总人口的16%.从该

地区中任选一人，若此人的年龄位于区间［40,50）,求此人患这种疾病的概率.（以样本数据中患者的年龄位

于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.

【解析】（1）平均年龄元=（5x0.001+15x0.002+25x0.012+35x0.017+45x0.023

+55x0.020+65x0.017+75x0.006+85x0,002）xl0=47.9（岁）.

（2）设4=｛一人患这种疾病的年龄在区间［20,70）｝,所以

p⑷=1-p（A）=1-（0.001+0.002+0.006+0,002）xlO=1-0.11=0.89.

（3）设3="任选一人年龄位于区间［40,50）”，C=“从该地区中任选一人患这种疾病”，

则由已知得：

P（B）=16%=0.16,P（C）=0.1%=0.001,P（B|Q=0.023x10=0.23,

则由条件概率公式可得

从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间［40,50）,此人患这种疾病的概率为

P（C⑶=*=冬°尸⑻Q=0001x0^=0.0014375X0,0014

P（B）P（B）0.16

11.（2024年上海夏季高考数学真题）某校举办科学竞技比赛，有AB、C3种题库，A题库有5000道题，

8题库有4000道题，C题库有3000道题.小申已完成所有题，他A题库的正确率是0.92,8题库的正确率

是0.86,C题库的正确率是0.72.现他从所有的题中随机选一题，正确率是.

【答案】0.85

【解析】由题意知，A,B,C题库的比例为：5:4:3,

各占比分别为白5,4门三3，

121212

543

则根据全概率公式知所求正确率P=丘*0.92+—x0.86+—x0.72=0.85.

故答案为：0.85.

12.（2022年新高考天津数学高考真题）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A

的概率为;己知第一次抽到的是4则第二次抽取A的概率为

11

【答案】赤17

【解析】由题意，设第一次抽到A的事件为B,第二次抽到4的事件为C,

1

则“3（7）=±><」=,,2（2）=巴=-1-,尸（。|2）=^^=翠=-^.

''52512215213V'P（B）17

13

故答案为：――；

22117

13.（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑

雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学

也爱好滑冰的概率为（）

A.0.8B.0.6C.0.5D.0.4

【答案】A

【解析】同时爱好两项的概率为05+0.6-0.7=0.4,

记“该同学爱好滑雪”为事件A，记“该同学爱好滑冰”为事件B,

贝（j尸（A）=0.5,尸（AB）=0.4,

所以尸（HA）=^^=—=0.8.

P（A）0.5

故选:A.

考点3:信息图表处理

14.（2024年新课标全国H卷数学真题）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得

到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表

亩产量[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1050,1100)[1100,1150)[1150,1200)

频数61218302410

根据表中数据，下列结论中正确的是（）

A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kg

B.100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%

C.100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间

D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间

【答案】C

【解析】对于A,根据频数分布表可知，6+12+18=36<50,

所以亩产量的中位数不小于1050kg,故A错误；

对于B,亩产量不低于1100kg的频数为24+10=34,

所以低于1100kg的稻田占比为1量00产-34=66%,故B错误；

对于C,稻田亩产量的极差最大为1200-900=300,最小为1150-95。=200,故C正确；

对于D,由频数分布表可得，平均值为

^x（6x925+12x975+18xl025+30xl075+24xll25+10xll75）=1067,故D错误.

故选；C.

15.（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解

讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社

区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图:

100%.

95%4

90%

树85%

建80%*讲座前

田75%*-•讲座后

70%*-

65%*

60%t-.................一*........一0一...............................

nv-------1-------1-------1-------1-------1-------1-------1-------1-------1------1—

V12345678910

居民编号

贝U（）

A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%

B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%

C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

【答案】B

【解析】讲座前中位数为：>70%,所以A错;

讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%,4个85%,剩下全部大于等于90%,所以讲座后问卷答题的正确率

的平均数大于85%,所以B对；

讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，所

以C错；

讲座后问卷答题的正确率的极差为100%-80%=20%,

讲座前问卷答题的正确率的极差为95%-60%=35%>20%,所以D错.

故选:B.

考点4：频率分布直方图

16.（2023年新课标全国II卷数学真题）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学

指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：

频率/组距频率/组距

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值C,将该指标大于C的人判定为阳性，小于或等于C的人判

定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c);误诊率是将未患病者判定为阳

性的概率，记为虱C).假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.

⑴当漏诊率P(c)=0.5%时，求临界值c和误诊率q(c)；

(2)设函数f(c)=Mc)+q(c)，当ce[95,105]时，求/(c)的解析式，并求/(c)在区间[95,105]的最小值.

【解析】(1)依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为5x0.002>0.5%,所以95<c<100,

所以(c—95)x0.002=0.5%,解得：c=97.5,

q(c)=0.01x(100-97.5)+5x0.002=0.035=3.5%.

(2)当ce[95,100]时，

f(c)=p(c)+4(c)=(。-95)X0.002+(100-c)x0.01+5x0.002=-0.008c+0.82>0.02；

当cw(100,105]时，

f(c)=p(c)+q(c)=5x0.002+(c-100)x0.012+(105-c)x0.002=0.01c-0.98>0.02,

f-0.008c+0.82,95<c<l00

故《)=4,

[0.01c-0.98,100<c<105

所以〃c)在区间[95,105]的最小值为0.02.

17.(2022年新高考天津数学高考真题)为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿

者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序

分别编号为第一组，第二组，…，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第

二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为()

频率

砺

0.24

0.16

0.08

121314151617舒张压/kPa

【答案】B

【解析】志愿者的总人数为，.“二，八，=50,

所以第三组人数为50x0.36=18,

有疗效的人数为18-6=12.

故选：B.

考点5：概率最值问题

18.(2024年新课标全国H卷数学真题)某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体

规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；

若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未

投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概

率为P，乙每次投中的概率为外各次投中与否相互独立.

(1)若。=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率.

(2)假设。<p<q,

(i)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

(ii)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

【解析】(1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1

次，

・・・比赛成绩不少于5分的概率p=(1-0.63)(1-0.53)=0.686.

(2)(i)若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为用-OF]/,

若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为？=1-

-.■()<p<q,

，埼一2=q3-(q-pq)3-p3+(p-pq)3

=(4一0(/++(“-mA+(p-pq)(q-pq)]

=(P-4)(3p%2_3plq-3pq2)

=3pq(p—q)(pq—p-q)=3Pq(p-q)[(l-p)(l-q)-1]>0,

；.1>今,应该由甲参加第一阶段比赛.

(ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩X的所有可能取值为0,5,10,15,

P(X=O)=(l-p)3+[l-(l-p)3].(l-^)3,

32

P(X=5)=[l-(l-p)]c^.(l-?),

P(X=10)=[1-(1-犷)C；/(1一q),

P(X=15)=[1—(1-pF]/,

；.E(X)=15[1-(l-p)3]q=15(p3-3p2+3°).q

记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩y的所有可能取值为0,5,10,15,

同理E(X)=15(/_3/+3q)M

E(X)-E(Y)=151pq(p+q)(p-q)-3pq(p-q)]

=l5(p-q)pq(p+q-3),

因为。<P<4,贝!Jp_q<0,^+«?-3<l+l-3<0,

贝ij(p-4)pq(p+q-3)>o,

•••应该由甲参加第一阶段比赛.

19.(2023年北京高考数学真题)为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价

格变化数据，如下表所示.在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“，表示

“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同.

时段价格变化

第1天到第20天-++0---++0+0--+-+004-

第21天到第40天04-4-0---4-4-04-04----+0-+

用频率估计概率.

(1)试估计该农产品价格“上涨”的概率；

(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的.在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天

中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；

(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响.判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不

变”的概率估计值哪个最大.(结论不要求证明)

【解析】(1)根据表格数据可以看出，40天里，有16个+,也就是有16天是上涨的，

根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为：g=。4

（2）在这40天里，有16天上涨，14天下跌，10天不变，也就是上涨，下跌，不变的概率分别是。.4,0.35,

0.25,

于是未来任取4天，2天上涨，1天下跌，1天不变的概率是C；X0.42XC；X0.35X0.25=0.168

（3）由于第40天处于上涨状态，从前39次的15次上涨进行分析，上涨后下一次仍上涨的有4次，不变的

有9次，下跌的有2次，

因此估计第41次不变的概率最大.

20.（2022年新高考北京数学高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩

达到9.50m以上（含9.50m）的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、

丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：

甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25；

乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；

丙：9.85,9.65,9.20,9.16.

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.

（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；

（2）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；

（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）

【解析】（1）由频率估计概率可得

甲获得优秀的概率为04,乙获得优秀的概率为0.5,丙获得优秀的概率为0.5,

故答案为04

（2）设甲获得优秀为事件4,乙获得优秀为事件A2,丙获得优秀为事件4

---------3

p（x=0）=P（A44）=0.6X0.5X0.5=.，

p（x=I）=P（A44）+mAA）

Q

=0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=——,

20

p（x=2）=p（A44）+P（A44）+P（4&A）

7

=0.4x0.5x0.5+0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=——,

20

P（X=3）==0.4X0.5x0.5=—.

的分布列为

X0123

3872

p

20202020

38727

石(X)=0x——+lx——+2x——+3x——=

202020205

（3）丙夺冠概率估计值最大.

11

因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为了，甲获得9.80的概率为二:,

410

乙获得9.78的概率为!.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.

6

21.（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互

独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为P1，P2，P3,且。3＞小＞。1＞。.记该棋手连胜两盘的

概率为p,则（）

A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛，p最大

C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大

【答案】D

【解析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，

记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为！，

则此时连胜两盘的概率为A

贝1P甲=g[（1-。2）PlPl（1一）]+；[0一）P1。2+Pl（1一）]

="（必+03）-2R。2P3；

记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为P乙,

则P乙=（1-Pl）P2P3+P1P2（1-）=02（0+乌）-2Plp2P3

记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为P丙

1

贝1P丙=（1-R）。3P2+PlP3（1一）=0（R+。2）-2Plp2P3

贝!1尸甲一。乙=Pl（A+2）-2Plp2P3—（Pi+0）-2Plp2P3]=（Pi-％）P3＜0

。乙一。丙=P2（Pl+）-20。2。3一[。3（口+）-2Plp2P3]=（。2-2）P1＜°

即P甲＜P乙，P乙＜P丙，

则该棋手在第二盘与丙比赛，。最大.选项D判断正确；选项BC判断错误;

〃与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.

故选：D

考点6：古典概型与几何概型

22.（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的

概率为.

【答案】*

【解析】从正方体的8个顶点中任取4个，有〃=C；=70个结果，这4个点在同一个平面的有根=6+6=12个,

故所求概率尸=m'=3]2=26.

n7035

故答案为：—.

23.（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、

乙都入选的概率为.

3

【答案】—03

10

【解析】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3,从5名同学中随机选3名，

有：（甲，乙，1）,（甲，乙，2）,（甲，乙，3）,（甲，1,2）,（甲，1,3）,（甲，2,3）,（乙，1,2）,（乙，1,

3）,（乙，2,3）,（1,2,3）,共10种选法；

3

其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率P=木.

3

故答案为：~

解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为C；=10

3

甲、乙都入选的方法数为C；=3,所以甲、乙都入选的概率尸=历

3

故答案为：—

24.（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排

尾的概率是（）

A.-B.-C.1D.-

4323

【答案】B

【解析】解法一：画出树状图，如图，

乙

甲丙丁

AAA

丙丁乙丁乙丙丙丁甲丁甲丙

T丙丁乙丙乙丁丙丁甲丙甲

T

甲乙丙

AAA

乙丁甲丁甲乙乙丙甲丙甲乙

丁乙丁甲乙甲丙乙丙甲乙甲

由树状图可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24种排法,

其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，

Q1

故所求概率尸=五=1

解法二：当甲排在排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1种，共2种；

当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种，共2种；

于是甲排在排尾共4种方法，同理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题意;

基本事件总数显然是A；=24,

根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为盘Q=彳1

故选：B

25.（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设。为平面坐标系的坐标原点，在区域｛（无，刈

随机取一点，记该点为4