高考数学（理）一轮讲义第50讲椭圆

第50讲椭圆考纲要求考情分析命题趋势1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．2．了解圆锥曲线的简单应用，了解椭圆的实际背景．3．理解数形结合的思想.2017·全国卷Ⅲ，102017·浙江卷，22016·江苏卷，101.求解与椭圆定义有关的问题，利用椭圆的定义求轨迹方程，求椭圆的标准方程，确定椭圆焦点的位置．2．求解与椭圆的范围、对称性有关的问题；求解椭圆的离心率，求解与椭圆的焦点三角形有关的问题.分值：5～12分1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2)))的点的轨迹叫做__椭圆__．这两个定点叫做椭圆的__焦点__，两焦点间的距离叫做椭圆的__焦距__．集合P＝{M|eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF1))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF2))＝2a}，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．(1)若__a＞c__，则集合P为椭圆；(2)若__a＝c__，则集合P为线段；(3)若__a＜c__，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(x2,b2)＋eq\f(y2,a2)＝1(a＞b＞0)图形性质范围__－a__≤x≤__a__，__－b__≤y≤__b____－b__≤x≤__b__，__－a__≤y≤__a__对称性对称轴：__坐标轴__，对称中心：__(0,0)__顶点A1__(－a,0)__，A2__(a,0)__，B1__(0，－b)__，B2__(0，b)__A1__(0，－a)__，A2__(0，a)__，B1__(－b,0)__，B2__(b,0)__轴长轴A1A2的长为__2a__，短轴B1B2的长为__2焦距eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝__2c__离心率e＝__eq\f(c,a)__，e∈__(0,1)__a，b，c的关系c2＝__a2－b2__1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(×)(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．((3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(×)(4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．(√)解析(1)错误．由椭圆的定义知，当该常数大于eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))时，其轨迹才是椭圆，而常数等于eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))时，其轨迹为线段F1F2，常数小于eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))时，不存在图形．(2)正确．由椭圆的定义得，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))＝2a，又eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2c，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2a＋2c.(3)错误．因为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)，所以e越大，则eq\f(b,a)越小，椭圆就越扁．(4)正确．由椭圆的对称性知，其关于原点中心对称也关于两坐标轴对称．2．(2017·浙江卷)椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的离心率是(B)A．eq\f(\r(13),3) B．eq\f(\r(5),3)C．eq\f(2,3) D．eq\f(5,9)解析根据题意知，a＝3，b＝2，则c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(5)，∴椭圆的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),3)，故选B．3．设P是椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))＝(C)A．4 B．8C．6 D．18解析依定义知eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))＝2a＝6.4．若方程eq\f(x2,5－m)＋eq\f(y2,m＋3)＝1表示椭圆，则m的范围是(C)A．(－3,5) B．(－5,3)C．(－3,1)∪(1,5) D．(－5,1)∪(1,3)解析由方程表示椭圆知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－m＞0，,m＋3＞0，,5－m≠m＋3，))解得－3＜m＜5且m≠1.5．已知F1，F2是椭圆C的左，右焦点，点P在椭圆上，且满足eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))＝2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))，∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为__eq\f(\r(3),3)__.解析在△PF1F2中，由正弦定理得sin∠PF2F1＝1，即∠PF2F1＝eq\f(π,2)，设eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))＝1，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))＝2，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F2F1))＝eq\r(3)，所以离心率e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(\r(3),3).一椭圆的定义椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))，通过整体代入可求其面积等．【例1】(1)如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是(A)A．椭圆 B．双曲线C．抛物线 D．圆(2)已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且eq\o(PF1,\s\up6(→))⊥eq\o(PF2,\s\up6(→)).若△PF1F2的面积为9，则b＝__3__.解析(1)由折叠过程可知点M与点F关于直线CD对称，故eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PM))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF))，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PO))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PO))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PM))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(OM))＝r，由椭圆的定义可知，P点的轨迹为椭圆．(2)设eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))＝r1，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))＝r2，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r1＋r2＝2a，,r\o\al(2,1)＋r\o\al(2,2)＝4c2，))∴2r1r2＝(r1＋r2)2－(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2))＝4a2－4c2＝4b2.又∵S△PF1F2＝eq\f(1,2)r1r2＝b2＝9，∴b＝3.二椭圆的标准方程求椭圆的标准方程的方法求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量．即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．【例2】求满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)过点(eq\r(3)，－eq\r(5))，且与椭圆eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1有相同的焦点；(2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5,3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点；(3)经过两点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(5,2)))，(eq\r(3)，eq\r(5))．解析(1)椭圆eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4.由椭圆的定义知，2a＝eq\r(\r(3)－02＋－\r(5)＋42)＋eq\r(\r(3)－02＋－\r(5)－42).解得a＝2eq\r(5).由c2＝a2－b2可得b2＝4.所以所求椭圆的标准方程为eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1.(2)设椭圆的长半轴长，短半轴长，焦距分别为2a,2b,2由已知条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝5＋3，,2c2＝52－32，))解得a＝4，c＝2，∴b2＝12.故椭圆方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1或eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,12)＝1.(3)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n＞0，m≠n)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))2m＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2n＝1，,3m＋5n＝1，))解得m＝eq\f(1,6)，n＝eq\f(1,10).∴椭圆方程为eq\f(y2,10)＋eq\f(x2,6)＝1.三椭圆的几何性质求椭圆离心率的方法(1)直接求出a，c，从而求解e，通过已知条件列方程组，解出a，c的值．(2)构造a，c的齐次式，解出e，由已知条件得出a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．(3)通过特殊值或特殊位置，求出离心率．【例3】(1)(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(A)A．eq\f(\r(6),3) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(2),3) D．eq\f(1,3)(2)已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的两个焦点，P在椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1上，且满足eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是(C)A．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1)) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2))) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))解析(1)以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，由原点到直线bx－ay＋2ab＝0的距离eq\f(2ab,\r(b2＋a2))＝a，得a2＝3b2，所以C的离心率e＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(\r(6),3)，故选A．(2)由椭圆的定义得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))＝2a，平方得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))2＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))2＋2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))＝4a2.①又∵eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝c2，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))cos∠F1PF2＝c2.②由余弦定理得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))2＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))2－2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))cos∠F1PF2＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))2＝4c2.③由①②③，得cos∠F1PF2＝eq\f(c2,2a2－3c2).又∵0＜cos∠F1PF2≤1，∴e≤eq\f(\r(2),2).∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2)),2)))2＝a2，∴2a2－3c2≤a2，a2≤3c2，e≥eq\f(\r(3),3)，故椭圆离心率的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2)))，故选C．四直线与椭圆的综合问题直线与椭圆综合问题的常见题型及解题策略(1)求直线方程．可依题设条件，寻找确定该直线的两个条件，进而得到直线方程．(2)求面积．先确定图形的形状，再利用条件寻找确定面积的条件，进而得出面积的值．(3)判断图形的形状．可依据平行、垂直的条件判断边角关系，再依据距离公式得出边之间的关系．(4)弦长问题．利用根与系数的关系、弦长公式求解．(5)中点弦或弦的中点．一般利用点差法求解，注意判断直线与椭圆是否相交．【例4】已知点A(0，－2)，椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(\r(3),2)，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为eq\f(2\r(3),3)，O为坐标原点．(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．解析(1)设F(c,0)，由条件知，eq\f(2,c)＝eq\f(2\r(3),3)，得c＝eq\r(3).又eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.故E的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．将y＝kx－2代入eq\f(x2,4)＋y2＝1，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.当Δ＝16(4k2－3)＞0，即k2＞eq\f(3,4)时，x1,2＝eq\f(8k±2\r(4k2－3),4k2＋1)，从而eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PQ))＝eq\r(k2＋1)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x1－x2))＝eq\f(4\r(k2＋1)·\r(4k2－3),4k2＋1).又点O到直线PQ的距离d＝eq\f(2,\r(k2＋1))，所以△OPQ的面积S△OPQ＝eq\f(1,2)d·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PQ))＝eq\f(4\r(4k2－3),4k2＋1)，设eq\r(4k2－3)＝t，则t＞0，S△OPQ＝eq\f(4t,t2＋4)＝eq\f(4,t＋\f(4,t))，因为t＋eq\f(4,t)≥4，当且仅当t＝2，即k＝±eq\f(\r(7),2)时等号成立，且满足Δ＞0，所以当△OPQ面积最大时，l的方程为y＝eq\f(\r(7),2)x－2或y＝－eq\f(\r(7),2)x－2.1．已知椭圆mx2＋4y2＝1的离心率为eq\f(\r(2),2)，则实数m＝(D)A．2 B．2或eq\f(8,3)C．2或6 D．2或8解析显然m＞0且m≠4，当0＜m＜4时，椭圆长轴在x轴上，则eq\f(\r(\f(1,m)－\f(1,4)),\r(\f(1,m)))＝eq\f(\r(2),2)，解得m＝2；当m＞4时，椭圆长轴在y轴上，则eq\f(\r(\f(1,4)－\f(1,m)),\r(\f(1,4)))＝eq\f(\r(2),2)，解得m＝8.2．椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1的一条渐近线与椭圆C交于A，B两点，且AF⊥BF，则椭圆C的离心率为__eq\r(3)－1__.解析不妨取双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1的一条渐近线的方程为y＝eq\r(3)x，则∠AOF＝60°，记椭圆C的左焦点为F1(－c,0)，依题意得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(OA))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(OB))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(OF))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(OF1))＝c，所以四边形AFBF1为矩形，△AFO是正三角形，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF))＝c，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF1))＝eq\r(3)c，则椭圆C的离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(FF1)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF))＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF1)))＝eq\f(2c,c＋\r(3)c)＝eq\r(3)－1.3．(2018·甘肃兰州模拟)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为eq\f(\r(2),2).直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积为eq\f(\r(10),3)时，求k的值．解析(1)由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,\f(c,a)＝\f(\r(2),2)，,a2＝b2＋c2，))解得b＝eq\r(2)，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，))得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，x1＋x2＝eq\f(4k2,1＋2k2)，x1x2＝eq\f(2k2－4,1＋2k2)，所以|MN|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝eq\f(2\r(1＋k24＋6k2),1＋2k2).又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝eq\f(|k|,\r(1＋k2))，所以△AMN的面积为S＝eq\f(1,2)|MN|·d＝eq\f(|k|\r(4＋6k2),1＋2k2)，由eq\f(|k|\r(4＋6k2),1＋2k2)＝eq\f(\r(10),3)，解得k＝±1.4．(2018·湖北武汉起点调研)如图，已知椭圆Γ：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1左，右焦点分别为F1，F2，过点F1，F2分别作两条平行直线AB，CD交椭圆Γ于点A，B，C，D.(1)求证：|AB|＝|CD|；(2)求四边形ABCD面积的最大值．解析(1)设直线AB的方程为：x＝my－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将x＝my－1代入3x2＋4y2＝12中得(3m2＋4)y2－6my－9＝0设C(x3，y3)，D(x4，y4)，∵AB∥CD，∴CD的方程为x＝my＋1，代入3x2＋4y2＝12中得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0由①②知|y1－y2|＝|y3－y4|，∵|AB|＝eq\r(1＋m2)|y1－y2|，|CD|＝eq\r(1＋m2)|y3－y4|，∴|AB|＝|CD|.(2)由(1)知四边形ABCD是平行四边形，∴S▱ABCD＝4S△AOB，S△AOB＝eq\f(1,2)·|OF1|·|y1－y2|，∴S▱ABCD＝2·|y1－y2|＝2eq\r(y1＋y22－4y1·y2)＝24eq\r(\f(1＋m2,3m2＋42))＝24eq\r(\f(1,91＋m2＋\f(1,1＋m2)＋6))，设t＝1＋m2，f(t)＝9t＋eq\f(1,t)＋6(t≥1)，则f′(t)＝9－eq\f(1,t2)＝eq\f(9t2－1,t2)>0，∴f(t)在[1，＋∞)上递增，f(t)min＝f(1)＝16，故m＝0时，四边形ABCD面积取最大值6.易错点忽略椭圆中x，y的取值范围错因分析：忽略椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上的点P(x，y)的坐标满足－a≤x≤a，－b≤y≤b这一条件可能致错．【例1】设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e＝eq\f(\r(3),2)，已知点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))到这个椭圆上的点的最远距离是eq\r(7)，求这个椭圆的方程．解析依题意，可设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，则e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝1－eq\f(b2,a2)＝eq\f(3,4)，所以eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,4)，即a＝2b.设椭圆上的点(x，y)到点P的距离为d，则d2＝x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))2＝a2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(y2,b2)))＋y2－3y＋eq\f(9,4)＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,2)))2＋4b2＋3.由于点(x，y)在椭圆上，所以有－b≤y≤b，若b＜eq\f(1,2)，则当y＝－b时，d2有最大值，于是(eq\r(7))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(3,2)))2，从而解得b＝eq\r(7)－eq\f(3,2)＞eq\f(1,2)，与b＜eq\f(1,2)矛盾，所以必有b≥eq\f(1,2)，此时当y＝－eq\f(1,2)时，d2有最大值，所以4b2＋3＝(eq\r(7))2，解得b2＝1，a2＝4，于是所求椭圆的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.【跟踪训练1】(2018·湖北黄冈高三调考)若点O和点F分别为椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))的最大值为(C)A．2 B．3C．6 D．8解析由椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，可得点F(－1,0)，设P(x，y)，－2≤x≤2，则eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))＝(x，y)·(x＋1，y)＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x2,4)))＝eq\f(1,4)x2＋x＋3＝eq\f(1,4)(x＋2)2＋2，当且仅当x＝2时，eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))取得最大值6.课时达标第50讲[解密考纲]对椭圆的定义、标准方程及几何性质的考查，以选择题或填空题的形式出现．一、选择题1．如果x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是(A)A．(0,1) B．(0,2)C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)解析x2＋ky2＝2转化为椭圆的标准方程，得eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,\f(2,k))＝1，∵x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，∴eq\f(2,k)>2，解得0<k<1.故选A.∴实数k的取值范围是(0,1)．故选A．2．(2018·山东济南质检)已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为eq\f(1,2)，且它的长轴长等于圆C：x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是(A)A．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 B．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1C．eq\f(x2,4)＋y2＝1 D．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1解析由x2＋y2－2x－15＝0，知r＝4＝2a所以a＝2.又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，所以c＝1，则b2＝a2－c2＝3.因此椭圆的标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.3．设F1，F2是椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝eq\f(3a,2)上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为(C)A．eq\f(1,2) B．eq\f(2,3)C．eq\f(3,4) D．eq\f(4,5)解析由题意可得|PF2|＝|F1F2|，所以2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)a－c))＝2c，所以3a＝4c，所以e＝eq\f(3,4).4．(2018·福建厦门模拟)椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,3)＝1(a>0)的右焦点为F，直线y＝x＋m与椭圆E交于A，B两点，若△FAB的周长的最大值是8，则m＝(B)A．0 B．1C．eq\r(3) D．2解析设椭圆的左焦点为F′，则△FAB的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|≤|AF|＋|BF|＋|AF′|＋|BF′|＝4a＝8，所以a＝2，当直线AB过焦点F′(－1,0)时，△FAB的周长取得最大值，所以0＝－1＋m，所以m＝1.故选B5．已知椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上点A满足AF2⊥F1F2.若点P是椭圆C上的动点，则eq\o(F1P,\s\up6(→))·eq\o(F2A,\s\up6(→))的最大值为(B)A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(3\r(3),2)C．eq\f(9,4) D．eq\f(15,4)解析设向量eq\o(F1P,\s\up6(→))，eq\o(F2A,\s\up6(→))的夹角为θ.由条件知|AF2|＝eq\f(b2,a)＝eq\f(3,2)，则eq\o(F1P,\s\up6(→))·eq\o(F2A,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)|eq\o(F1P,\s\up6(→))|cosθ，于是eq\o(F1P,\s\up6(→))·eq\o(F2A,\s\up6(→))要取得最大值，只需eq\o(F1P,\s\up6(→))在向量eq\o(F2A,\s\up6(→))上的投影值最大，易知此时点P在椭圆短轴的上顶点，所以eq\o(F1P,\s\up6(→))·eq\o(F2A,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)|eq\o(F1P,\s\up6(→))|cosθ≤eq\f(3\r(3),2).故选B．6．从椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是(C)A．eq\f(\r(2),4) B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(3),2)解析由题意可设P(－c，y0)(c为半焦距)，kOP＝－eq\f(y0,c)，kAB＝－eq\f(b,a)，由于OP∥AB，∴－eq\f(y0,c)＝－eq\f(b,a)，y0＝eq\f(bc,a)，把Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，\f(bc,a)))代入椭圆方程得eq\f(－c2,a2)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(bc,a)))2,b2)＝1，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2＝eq\f(1,2)，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).故选C．二、填空题7．若F1，F2分别是椭圆E：x2＋eq\f(y2,b2)＝1(0<b<1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为__x2＋eq\f(3y2,2)＝1__.解析设点A在点B上方，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝eq\r(1－b2)，则可设A(c，b2)，B(x0，y0)，由|AF1|＝3|F1B|，可得eq\o(AF1,\s\up6(→))＝3eq\o(F1B,\s\up6(→))，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2c＝3x0＋c，,－b2＝3y0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－\f(5,3)c，,y0＝－\f(1,3)b2，))代入椭圆方程可得eq\f(251－b2,9)＋eq\f(1,9)b2＝1，解得b2＝eq\f(2,3)，故椭圆方程为x2＋eq\f(3y2,2)＝1.8．已知椭圆的方程是x2＋2y2－4＝0，则以M(1,1)为中点的弦所在直线方程是__x＋2y－3＝0__.解析设过点M(1,1)的方程为y＝kx＋(1－k)，代入x2＋2y2－4＝0得(1＋2k2)x2＋(4k－4k2)x＋(2k2－4k－2)＝0，所以eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(1,2)·eq\f(4k2－4k,1＋2k2)＝1，解得k＝－eq\f(1,2)，故所求直线方程为y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(3,2)，即x＋2y－3＝0.9．如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为__eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)，1))__.解析设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，∠B1PA2为钝角，即eq\o(B2A2,\s\up6(→))，eq\o(F2B1,\s\up6(→))所夹的角为钝角，∴(a，－b)·(－c，－b)<0，得b2<ac，即a2－c2<ac，故eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2＋eq\f(c,a)－1>0，即e2＋e－1>0，e>eq\f(\r(5)－1,2)或e<eq\f(－\r(5)－1,2)，又0<e<1，∴eq\f(\r(5)－1,2)<e<1.三、解答题10．(2018·河南洛阳一模)设椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为eq\f(3,5).(1)求C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为eq\f(4,5)的直线被C所截线段的中点坐标．解析(1)将(0,4)代入C的方程得eq\f(16,b2)＝1，∴b＝4，由e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,5)，得eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(9,25)，即1－eq\f(16,a2)＝eq\f(9,25)，∴a＝5，∴C的方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.(2)过点(3,0)且斜率为eq\f(4,5)的直线方程为y＝eq\f(4,5)(x－3)，设直线与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)．将y＝eq\f(4,5)(x－3)代入椭圆C的方程，得eq\f(x2,25)＋eq\f(x－32,25)＝1，即x2－3x－8＝0，∴x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(3,2)，y0＝eq\f(y1＋y2,2)＝eq\f(2,5)(x1＋x2－6)＝－eq\f(6,5)，即线段AB的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(6,5))).11．(2018·广州五校联考)已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率e＝eq\f(\r(2),2)，且经过点(eq\r(6)，1)，O为坐标原点．(1)求椭圆E的标准方程；(2)圆O是以椭圆E的长轴为直径的圆，M是直线x＝－4在x轴上方的一点，过M作圆O的两条切线，切点分别为P，Q，当∠PMQ＝60°，求直线PQ的方程．解析(1)∵eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，∴a2＝2c2，a2＝2b2，又椭圆E经过点(eq\r(6)，1)，∴eq\f(6,a2)＋eq\f(1,b2)＝1，解得a＝2eq\r(