广东省肇庆市2023-2024学年高二年级下册期末考试数学试卷（解析版）

广东省肇庆市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

注意事项：

1.本试卷共150分，考试时间120分钟.

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上.回答选择题时，选

出每小题(答案》后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的(答案』标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他K答案X标号.回答非选择题时，将k答案》写在答

题卡上，写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.若函数/(x)=e'—x—1(e为自然对数的底数)，则/'(0)=()

A.-1B.OC.1D.2

［答案XB

k解析》函数/(x)=e「x—1,求导得了'(x)=ex—1,所以尸(0)=0.

故选：B

n(ad-bc)2

2.已知某独立性检验中，由力之,n=a+b+c+d计算出

(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)

/=4，若将2x2列联表中数据a,4c,d分别变成2a,2瓦2c,2d,计算出的力2=%；,

则()

22

A.Z；=ZiB./=2/

c.4=2/D./=4%：

k答案》B

〃(ad-be)2

K解析工因为力；=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，

2n(2ax2d-2bx2c)22n(ad-bc)~

所以/==2%；.

(2a+2b)(2c+2d)(2a+2c)(2》+2d)(a+》)(c+d)(a+c)(b+d)

故选：B

3.求整数的正整数因数时可将其改写成若干个质数的乘积，例如12=3x22,12的正整数

因数只需分别从｛3°,3号,｛2°,21,2z｝中各选一个元素相乘即可，则500的正整数因数的个

数为()

A.12B.15C.16D.18

(答案］A

n解析H因为500=22x53,

由题意可知：500的正整数因数只需分别从{2°2,22},{5°5,52,53}中各选一个元素相乘

即可，

所以500的正整数因数的个数为3x4=12.

故选：A.

4.已知函数/（x）=sinx+co&x—2x,若a==〃ln3）,c=,则

a,b,c的大小关系为（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>c>aD.c>b>a

K答案』B

K解析U（x）=cosx-sinx-2-V2cosIx+1-2<0,

所以/（九）在R上单调递减.

因为lgg(0,ln3)Ine=1,(—1)°=1,

所以lgg<(—l)。<ln3,所以>/(ln3),即a>c>b.

故选：B.

3

5.已知随机变量X8（4,2），若方差。（x）="则P（X=2）的值为（）

3927

A.---B.---C.---D.一

128256256

K答案』D

3

k解析】由X5（4,/?）,得£>（X）=4p（l-p）="

13

解得尸=:或。=:，

44

所以P（X=2）=C；x（：）2xg）2=W•故选：D

6.直线y=2x+a与曲线/（x）=Zz?+x—21nx相切于点（2,/（2））,则成的值为

()

A.~2B.-21n2

C.-In2D.2-ln2

(答案』c

2

[解析X因为/(%)=灰2+x—21nx,所以7•'(x)=2"+l——,

依题意/'(2)=4b+l—1=2,解得6=；,

/(2)=4Z?+2—21n2=4+“，解得a=-2In2,

所以〃Z?=-ln2.

故选：C

7.若(1—2%)2024=4+6%+外/+F%024%2024,贝!J|Q0|+|1%。2」=

()

A.4048B.22024C.1D,32024

K答案1D

K解析】(1—2%严24的展开式的通项公式为(+]=c；020・(一2%)'(r=0,1,2,,2024),

22024

结合(1-2%严4=%+axx+a2x+…+a2Q24x,知％,%，%，…，4023均为负值，

••||I|dy|I|^^21I***|^^20241^1。CLyId?I.♦♦|^^2022^^2023+^^2024，

令X=得。〃一生+

—1,B?24=%—]+^2+々2022一々2023+々2024，

故|%|+同+同+…|。2024|=32四,

故选：D.

8.已知函数/(力=2靖—秋2(。＞0,且awl,e为自然对数的底数)恰有两个极值点

X1,X2(X,<X2),则实数a的取值范围是(

Ak)

C.(e,+co)

[答案XD

K解析》因为/(力=2优--，所以/'(x)=2a”na-2ex,因为函数“力恰有两个

极值点X］、尤2，

所以/'(x)=2aYln«-2ex有两个变号零点，

即方程a*Ina=ex有两个不相等的实数根，

令g(x)=a1na,则g(x)=a」na的图象与直线y=ex有两个不同的交点,

因为g'(x)=优(In〃)2，设g(%)二优Ina过原点的切线的切点为(七,%)，

则切线方程为y-a%Ina=(intz)2(%-%),

则0_〃与Ina=a与(lna/(=_/)，

所以/lni=l,

即%0=-=log”,

ma

所以切线斜率左(Ina)?="ogae(lna)2=e0na)2,

当a>l时左<e,贝U(lna)2<i,

解得1<a<e；

当Ova<i时左<e,贝！J(lna)2<i,

解得

e

综上可得实数a的取值范围是,11°(1,e).

故选：D

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.下列关于一元线性回归的叙述正确的有()

A.若相关系数r=-0.98,则y与龙的相关程度很强

B.残差图中的残差比较均匀地分布在以取值为。的横轴为对称轴的水平带状区域内，说明

选用模型比较合适

C.决定系数R2越大，模型的拟合效果越差

D.经验回归直线与=院+6经过所有样本点(.J,.)

K答案UAB

K解析工对于A,1日越接近于1,相关性越强，A正确；

对于B,残差图中的残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域

内，

拟合效果较好，选用模型比较合适，B正确；

对于C,决定系数尺2越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，C错误；

对于D,样本点(%,%)分布在经验回归直线§=限+*附近，D错误.

故选：AB

io.己知西,马，七是互不相等的正数，随机变量x,y的分布列如下表所示,

XX]%

Pabc

西+芍X+毛X+%3

Y2x

222

Pabc

若"c既成等差数列也成等比数列，X,Y的期望和方差分别为£（X）,E（F）和

D（x）,D（y）,则（）

A.£（X）=E（F）B,E（X）＞£（F）

C.D（X）＜D（y）D.D（X）＞D（y）

K答案UAD

（解析》因。，仇。既成等差数列也成等比数列，则有＜"=守'①

b1=ac,②

将①代入②中，化简整理得，（a—c）2=0,则有a=c,

回代入①，可得b=a,由分布列可知a+Z?+c=l,故得，a=b=c=-.

3

依题意，E（X）=§（X］+々+W），

八1/X|+X＞x+X.羽+%3\1/\

石⑺=§（七^+吃3」+==§a+%+%）,

故E（y）=E（X）,故A正确，B错误；

=|{[x-E(X)]222

D(X)1+[X2-E(X)]+[X3-E(X)]}

1121212

=3{[七一](项+工2+尤3)]+[々一](%+工2+%3)]+以一§(项+%2+尤3)]}

———[(2再—%2—当了+(2%2-%—*3I+(2/一入2-F]，

而。（丫）二|｛［与2-E（r）］2+［三产-£（r）］2+［受产—£（7）］2｝

=g｛［X+々+%3）/+_；（石+/+鼻）］2+［石一:（%+/十,）『｝

=X—[(2%—%2—X])2+(2羽-X]一%)~+QX]—X,—)]

可得，D(X)=4D(Y)>0,则得£>(X)>D(F),故D正确，C错误.

故选：AD.

11.微分方程(由导函数求原函数)是微积分的重要分支，例如根据导函数了=也，逆

X

用复合函数的求导法则得y=(ln%)2+a(4为常数).已知函数/(%)的导函数/'(%)满

足疗(力+/(力=]竺，且〃e)=L则下列说法正确的有()

xe

A.r(e)=O

B.若g(x)=w(x),则g，(x)=]g|L+c](C为常数)

c.%=e是函数/(尤)的极值点

D.函数/(%)在(0,+“)上单调递减

(答案》ABD

Ini*11

K解析』对于A,由靖(x)+/(x)=上，当％=e时，夕(e)+/(e)=—,而〃e)=—,

xee

则/'(e)=0,A正确；

对于B,g'(x)=V'(x)+/(X)=-----,且(C为常数)，B正确;

X

对于CD,由选项B知，j/(x)=Q11；)+c,又/(e)=,，则c=；,

y(x)=an；+l,求导得/(x)——"1；[1)2wo,当且仅当％=e时取等号,

因此函数/(X)在(0,+8)上单调递减，无极值点，C错误，D正确.

故选：ABD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.设随机变量X服从正态分布N(5,4),且尸(X<2)=0.1,则P(2WXW8)=

K答案》0.8

K解析工因为X服从正态分布N(5,cr2),且P(X<2)=0.1,

则4=5,且----=5,

2

所以尸（2VXV8）=1—2尸（X<2）=0.8.

故［［答案》为：0.8.

13.用模型、=。工h拟合一组数据，令z=lny,将模型转化为经验回归方程

z=0.1x+3,则。•左=.

k答案HO.le3

K解析U因为>=两边取自然对数可得Iny=ln（ad）=Ax+Ina,

令z=lny,可得z=b;+lna,又z=0.1x+3,

所以左=0.1,lna=3,所以a=e3,

所以。•左=0.1c3■

故［答案》为：O.le3

14.抛掷一校质地均匀的正四面体骰子（四个面上分别标有数字1,2,3,4）,底面的点数

为1记为事件A,抛掷〃次后事件A发生奇数次的概率记为匕，则《=,鸟024=

11（\V025

K答案』①一②上―上

42\1）

K解析》抛掷1次后事件A发生奇数次，只能是发生1次，6=%

抛掷〃次后事件A发生1,3,5,7,

抛掷n次后事件A发生奇数次的概率记为P.

当〃为偶数时，

当〃为奇数时'-叱上「+叱偌「+端信「++*「

构造二项式+

n-3n

33

+CnI++c

令X=1,1=

3+

+cn

两式做差得1-2C；

可得*

因为〃=2024,

1（XV025

所以

故（答案X为：--[-?025.

42\1）

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.己知函数/（x）=l+alnx-x（aeR）.

（1）当a=2时，求/（%）的极值；

（2）讨论“X）的单调性.

解：（1）当4=2时，则/（x）=l+21nA-—x,

92—x

可知八大）的定义域为（o,+“），且/（X）=——1=--，

令/々x）＞。，解得0＜光＜2；

令/'（x）＜0,解得%＞2；

可知了（力在（0,2）内单调递增，在（2,+8）内单调递减,

所以/（九）的极大值为/（2）=21n2—l,无极小值.

（2）由题意可知：“X）的定义域为（0,+"）,

且广（力=金—1=/,

XX

若aWO,则/'（力=匕＜0,可知“力在（0,+“）内单调递减;

若a>0,令解得0<x<a；

令/'(x)<0,解得x>。；

可知/(%)在(0,。)内单调递增，在(a,+8)内单调递减；

综上所述：若aWO,/(力在(0,+。)内单调递减；

若a>0,〃龙)在(O,a)内单调递增，在(。,内)内单调递减.

16.小华同学设置手机密码的六位数字时，准备将兀(兀笈3.14159)的前6位数字(1,

1,3,4,5,9)按照一定的顺序进行设置.

(1)记事件A：相同的数字相邻，求事件A发生的概率P(A)；

(2)记事件B：相同的数字不相邻，求事件8发生的概率P(3)；

(3)记事件C：相同数字不相邻，且相同数字之间只有一个数字，求在事件8发生的条

件下，事件。发生的概率可。⑻.

解：(1)依题意，在事件A中，要求两个1需相邻，故只需要将其看成一个元素与另外四个

数字全排即可，

A51

有A：=120种方法，由古典概型概率公式可得：P(A)=--^=-;

C6A43

(2)在事件8中，要求两个1不能相邻，故只需先将这两个1对另外4个数字产生5个

空中进行插空，

再对这四个数字进行全排即可，有C；A：种方法，由古典概型概率公式可得：

*二

C闺3

(3)在事件。中，要求相同数字不相邻，且相同数字之间只有一个数字，

故只需先在3,4,5,9中选出1个数字放在两个1之间，再看成1个元素，与另外3个元

素共4个元素全排即可，

4

有C：A：种方法，由古典概型概率公式可得:叱）=第

16A415

4

由条件概率公式可得，P(C|B)=^^=^-=|.

1(JD)45

3

17.如图，在正方体ABC。-4耳£。的顶点处各挂一盏灯笼，每秒有且只有一个顶点处

的灯笼被点亮，下一秒被点亮的灯笼必须与上一个顶点相邻(在同一条棱上)，且每个相邻

顶点的灯笼被点亮的概率相同，下一盏灯笼被点亮上一盏自动熄灭.若初始亮灯点（〃=0）

位于点A处，第1n秒亮灯点在底面ABCD上的概率为P„.

（1）求<和鸟的值;

（2）推测月，与匕+i的关系，并求出月,的表达式.

解：（1）依题意第一秒灯点等可能的在顶点8、。、&处，其中在底面ABCD上的顶点为

2

B>D,所以片二§,

2

第一秒灯点在顶点为3、。处（概率为《二1）,第二秒灯点在底面ABC。上的概率为

第一秒灯点在顶点为A处（概率为第二秒灯点在底面ABCD上的概率为

3、"9

415

所以第二秒灯点在底面ABC。上的概率《=§+§=§；

（2）第九秒亮灯点在底面A6CD上的概率为匕，

在底面A与G。上的概率为1-匕，

2111

所以展井

所以匕M—匕—所以］匕—1］是以公比为:的等比数列，

所以则匕=T+X£T

18.己知函数/（1）=*—ae*（。22,e是自然对数的底数）.

（1）设直线/为曲线y=/（x）的切线，记直线/的斜率的最大值为g（a）,求g（a）的最大

值;

(2)已知In2ao.693,设时=]+=r(x),xe1n〉ln[],,N="y=r(x),xe(ln[,ln]

求证：NQM.

解：⑴由题意可知：〃尤)的定义域为R,且/'(x)=2x—ae，,

令=则/?(%)的定义域为R,B-h'(x)=2-aex,

因为a»2,令〃(x)>0,解得x<ln—；令〃(x)<0,解得x>ln—；

aa

可知/z(x)在内单调递增，在(lnm,+co]内单调递减，

则/z(x)的最大值为/z1ln2]=21n2—2=-21na+21n2—2,

可知g(。)=-21n〃十21n2—2,〃22,且g在[2,+oo)内单调递减，

所以g(〃)的最大值为g(2)=-2.

124

(2)由已知a22,则In——<In—vln—,

aaa

由(1)可知：/'(x)在In^JnZ内单调递增，

VaaJ

且r(ln-V]=_41na」,“ln3=_21na+21n2_2,

Va)ava)

可知M=1-41n〃-L-21nQ+21n2-2)；

又因为了’(%)在(ln2,ln3]内单调递减，且广伉与二-21n〃+41n2-4,

\aaJ\a)

可知N=(—21na+41n2—4,—21na+21n2—2)；

目|-4Ina—|f-2ln〃+41n2-4)=—2Inci-----4In2+4,

a)a

[<>-|io

令/(a)=-21na------41n2+4,a22,贝UF'(a\=-----F—=——=<。，

aaaa

7

可知尸(a)在[2,+(功内单调递减，则F(a)<F(2)=--61n2«-0.658<0,

即一4Ina—v—2Ina+4In2—4,

a

所以NUM.

19.某省高考自2024年起数学考试多选题（题号9~11）的计分标准是：每道题满分6分，

全部选对得6分，部分选对得部分分（若某道题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3

分；若某道题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分），错

选或不选得0分.每道多选题共4个选项，正确R答案》是选两项或选三项.统计规律显

示：多选题正确k答案』是“选两项”的概率是没有同学选四项.甲、乙两个同学参加

了考前模拟测试，己知两同学第9题选的全对，第10~11题还不确定对错.

（1）假设甲同学第10题随机选了两个选项，第