2022届中考数学专项突破：有关圆的问题压轴题（全国解析版）

有关圆的问题压轴题-2022届中考数学压轴大题专项

突破(全国通用解析版)

专题有关圆的常见压轴题

1.(2021•长沙市雅礼实验中学九年级月考)在平面直角坐标系xOy中，作。。

分别交X轴y轴于点A、3,点C在第三象限且在圆上，。是弦A3的中点，OD

的长为还.

2

(1)如图1所示，求半径的长度；

(2)如图1所示，若圆心。到弦的距离OE=2逐，求C点的坐标；

(3)如图2所示，C点坐标同第(2)问，P是x轴下方的一个动点，使得N3PC：

NBOC=1：2,四边形03PC的面积是否存在最大值？若存在请算出面积，并直

接写出尸点坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)5；(2)C(-4,-3)；(3)存在，四边形03PC面积最大值为20+5逐；

P(-4-y/5,-8-2^)

【解题思路分析】(1)利用直角三角形斜边上的中线的性质即可求解；

(2)设C为(x,y),由3(0,-5),求得E(1,宁)，再利用两点之间的距

离公式列方程求解即可；

(3)分点P在。。上和点尸在与。。等半径同弦的。/上，利用四边形的

面积公式以及相似三角形的判定和性质即可求解.

【解析】解：(1)'：OA=OB,ZAOB=9Q°,

：.ZOAB=45°,

：.OA=^AB,

2

经过圆心。点，。是AB的中点，

：.OD±AB,

AB=20D,

：.OA=^-AB=41OD=5-,

(2)'JOELBC,

••.E是BC的中点，

：.B(0,-5),设。为(x,y),贝UE为(j,^),

"：OC=5,

.*.x2+y2=25,

"：OE=245,

：.(X)2+(^-5)2=80,

/.尤2+y2-10y+25=80,

/.25-10y+25=80,

解得y=-3,x=±4,

因为C在第三象限，...C(-4,-3)；

(3)ZBPC：ZBOC=1：2,

①当P点在。。上，此时不构成四边形OBPC,不符合题意,

②。点在如图所示的上(OM与。。是等圆)，

当点P在的延长线上时，四边形O8PC面积最大，此时，OP垂直平分BC,

，：OE=2#,

：.ME=OE=245,

,OP=2x2岔+5=4有+5,

VC(-4,-3),

.".BC=2右，

•*.四边形05PC面积最大值为:。尸•BC=20+5后，

综上所述四边形OBPC面积最大值为20+5百,

过点p作尸G，y轴于点G,

在RtAOEB中，0E=275,B0=5,

EB=4BO^-OE1=75，

ZBOE=NPOG=90。,ZOEB=ZOGP=90°,

:.丛OEBs丛OGP,

.BEOEOB

''PG-OP'

.V52755

"~PG~~OG~4^5+5?

：.PG=4+A/5,OG=8+2A/5,

：.P(-4-6,-8-275).

2.（2021•哈尔滨德强学校九年级月考）△ABC内接于。。，弦CDLA3于点E,

AF±BC于点R交弦CD于点G.

（1）如图1,求证：DE=EG；

（2）如图2,连接3D、OF,若BD=^FG,求证：R9平分NARC；

（3）如图3,在（2）的条件下，点H在线段CG上，连接FH,若ZCFH=ZABD,

FH=46,CG=10,求线段0G的长.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）710

【解题思路分析】（1）连接AD,根据同弧所对的圆周角相等，可得ZB=ZD,

根据同角的余角相等可得NB=ZAGE,进而可得ND=ZAGE,根据等角对等边以

及三线合一即可得证；

（2）连接BG,AO,CO,由（1）可得BG=BD,结合已知条件可得？G3尸45?即

可求得GR=Bb，进而证明△CFG0A4FB可得CP=CF,进而证明AAO产三AC"

即可证明R9平分/AFC；

（3）过尸点作电LCG于点乙，过点。分别作BC,A尸的垂线，垂足为M,N,根据

等角的余角相等可得4GL=NCFL,进而根据tan4GL=tanNC也列出比例式，求

得GL,进而可得CF=2GF,在R/ACFG中，勾股定理求得依，进而求得BC,由

垂径定理可得MC=MB=gBC=3行，根据已知条件结合（2）的结论，可得四边

形N/OM是正方形，进而在Rr^NOG中，勾股定理即可求得。G.

【解析】（1）连接AD,如图，

D-------------

•.­AC=AC,

:.NB=ND,

-.-AB±CD,AF1BC,

:.ZB+ZBAF=90°,ZBAF+ZAGE=90,

:.NB=ZAGE,

:.ZD=ZAGE,

AD=AG9

•・,AE1GD,

:.DE=EG,

(2)连接BG,AO,CO,如图，

由⑴可得=

:.BG=BD,

：BD=y[2FG,

BG=>f2FG,

.—GF0

..sin/GBF=----=----,

BG2

.-.ZGBF=45°,

QAF1BC,

:./BGF=45。,

:.GF=BF,

・；AB上CD,AFLBC,

NBAF+ZABF=90°,ZEAG+ZAGE=90°,Z.CFG=ZAFB,

.\ZABF=ZAGE,

・.・ZCGF=ZAGE,

:.ZABF=ZCGF,

:.ACFG沿AAFB,

:.CF=CF,

在AA。尸和ACO9中，

AF=CF

<AO=CO,

FO=FO

AAOF=ACOF^

,\ZAFO=ZCFO,

.•.O尸平分NA/C,

(3)如图，过b点作包，CG于点L,

•1,AD=AD，

,\ZABD=ZACD,

・.・ZCFH=ZABD,

.\ZCFH=ZACD9

NFHG=/HFC+NFCH=ZACD+/FCH=ZACF,

vZAFC=90°,

由（2）可得AF=CF,

:.ZACF=ZFHG=45°,

•/FH=W,

LF=LH=FHsin45。=4,

・・•AF±AC,FL±CD9

AFGL+ZGFL=90°,ZFGL+CFL=90°,

:./FGL=/CFL,

/.tanZ.FGL=tanZCFL,

nnFLCL

GLFL

♦・・CG=10,

^GL=x,则CL=10—x,

.410—%

■■一二\，

x4

解得％=2或x=8,

•;CF=AF>FG,

/.tanZFGC>l,

..%=2,

/.tanZFGC=2,

:.CF=2GF,

在RtACFG中，

FG1+FC-=CG2,

即FG2+（2FG）2=1（）2,

解得尸G=2布（负值舍去），

.­.BF=FG=275,

BC=BF+FC=6>j5,

过点。分别作BC,AP的垂线，垂足为如图,

：.MC=MB=-BC=345,

2

/平分NA尸C,

ZOFN=ZOFM=45°,

:.ON=NF,FM=OM,

NF=OFsm45°=MF,

：.ON=NF=FM=OM,

二四边形N770M是正方形,

:.FM=FC-FM=非，

:.NG=GF-NF=2亚-亚=也，

:.OG=NO,

Rt^NOG中，

OG=ylNO2+NG2=V2A^G=A/10>

OG=V10.

3.（2021•广东惠州一中九年级一模）如图，AABC内接于。。，/CBG=ZA,CD

为直径，0C与相交于点E,过点E作EZU3C,垂足为尸，延长。交GB的

延长线于点尸，连接

（1）求证：PG与。。相切：

⑵若第4求器的值;

（3）在（2）的条件下，若。。的半径为4,PD=OD,求召C的长.

【答案】（1）见解析；（2）:;（3）5-2.

【解题思路分析】（1）要证PG与。。相切只需证明NO3G=90。，由N84C与

NBDC是同弧所对圆周角且N3DC=ND5。可得/CBG=NDBC,结合

ZDBC+ZOBC=90°即可得证；

（2）求R器F需将BE与0C或0C相等线段放入两三角形中,通过相似求解可得，

FFBF1

作0MLAC、连接04,ffiABEF^^0AM^--=—,由AM=：AC、OA=OC

AMOA2

EF_BE

知，一发，结合77；=!即可得；

_HJAC-o

(3)RtADBC中求得BC=4V3、ZDCB=3Q°,在RtAEFC中设EF=x,知EC=2x、

FC=&、BF=4g-继而在RtA3ER中利用勾股定理求出x的，从而得

出答案.

【解析】(1)证明：如图，连接0B,

OB=OD,

:.NBDC=NDBO,

•;ABAC=NGBC、NBDC=NBAC,

:.ZGBC=ZBDC,

•.•CD是。。的直径，

/.ZDBC=90°,

ZDBO+ZOBC=90°,

:.ZGBC+ZOBC=90°,

:.NGBO=90。,

二PG与。。相切；

(2)解：过点。作于点连接。L,

VOC=OA,OMLAC,

：.ZAOM=/COM=-ZAOC,

2

AC=AC9

:.ZABC=-ZAOC,

2

：.ZEBF=ZAOM,

又ZEFB=Z.OMA=90°,

:.\BEF^\OAM,

EFBE

~AM~~OA

•：AM=-AC,OA=OC,

2

EFBE

(3)解：-.-PD=OD9ZPBO=90°,

.\BD=OD=4,

在RtAD5c中，BC=y/CD2-BD2=V82-42=4A/3,

又・；OD=OB,

・•.ADO5是等边三角形，

.\ZDOB=60°9

・・・ZDOB=ZOBC+ZOCB,OB=OC,

ZOCB=-ZDOB=30°9

EC=2EF,由勾股定理FC=^EC2-EF2=V4EF2-EF2=#>EF

.•・设£/二%,则EC=2x、FC=6X,

:.BF=4yf3-^j3x9

且0C=4,

OC4

BE=5,

在RtABEF中，BE2=EF2+BF2,

25=/+(46-瓜y,

整理得4/-24x+23=0

△=242-16x23=208>0

24±4巫_6土历

..X—6-V13,

2

:.EC=6-岳.

4.(2021•福建永春•九年级学业考试)如图，矩形A3CD是。。的内接矩形，

。。半径为5,AB=8,点、E、E分别是弦CD、5c上的动点，连结班ZEAF

始终保持等于45°.

备用图

(1)求AD的长度.

1Q

(2)已知DE=不，求3R的长度.

(3)试探究AAER的面积是否存在最小值，若存在，请求出它的最小值；若不

存在，请说明理由.

【答案】(1)AD=6；(2)BR=2；(3)ZkAER的面积存在最小值，最小值48后

-48.

【解题思路分析】(1)连接3。，根据矩形性质及圆周角定理可得答案；

(2)过点E作EGLAE交AP的延长线于点G,过点G作分别交直

线。C、AB点V、N,由矩形性质及余角性质得NEGM=NAED,然后由全等三

角形的性质及相似三角形的判定与性质可得答案；

(3)过点E作即，A3于H,交AR于点P,作△APE的外接圆。/,连接£4、

IP、IE,过/作/Q,CD于点Q,设。/的半径为r,根据直角三角形的性质及三

角形面积公式可得答案.

【解析】(1)如图，连接3D,

在矩形A3CD中，ZDAB=9Q°,

.•.3。是。。的直径，

:。。半径为5,

:.BD=10,

•'-AD=y/BD2-AD2=6；

(2)如图，过点E作EGLAE交AR的延长线于点G,过点G作分

别交直线。C、点“、N,

在矩形ABCD中，ZD=ZDAB=9Q°,

：.NEMG=N£>=90。，

四边形ADMN是矩形，

ZEGM+ZMEG=90°,

：.ZAED+ZMEG=90°,

：.NEGM=ZAED,

在△AEG中，ZEAF=45°,

：.ZEAF=ZEGF=45°,

：.AE=EG,

：.AAED^AEGM(44S),

1Q

.\MG=DE=—,EM=AD=6,

4812

：.AN=DE+EM=—,NG=MN-MG=—,

'：MN//AD//BC,

，△ABFsAANG,

.BFAB

"NG~AN，

解得BF=2；

(3)△AER的面积存在最小值，理由如下：

过点E作EH1AB于H,交AF于点P,作^APE的外接圆。/,连接IA、IP、IE,

过/作/Q,CD于点Q,设。/的半径为r,

'：ZEAF=45°,

：.Z£/P=90°,N/EP=45°,ZIEQ=45°,

.'.EP=V2r,IQ—^-r,

"：IA+IQ>AD,

r+r>6,

2

/.r>12-672,

5AAEF=；AB・EP=4er,

**•SAAEF>45/2（12-6夜），

••AEF>48A/2-489

AAEF的面积存在最小值，最小值4872-48.

5.（2021•福建泉州•九年级模拟预测）如图1,在直角坐标系皿V中，直线/与

X、y轴分别交于点44,0）、3（0,9两点，4AO的角平分线交y轴于点。.点C为

直线/上一点，以AC为直径的OG经过点O,且与X轴交于另一点E.

(i)求证：y轴是OG的切线；

(2)请求。G的半径厂，并直接写出点C的坐标；

(3)如图2,若点尸为。G上的一点，连接A尸，且满足/曲=45。，请求出取

的长？

【答案】(1)见解析；(2)r=|；C的坐标为(1,4)；(3)EF=；6.

【解题思路分析】(1)要证明y轴是。G的切线，只需要连接G。后证明GD,08即

可.

(2)由(1)可知GD//O4,则△5DG-ABQA,设半径为厂后，利用对应边的比相

等列方程即可求出半径厂的值，再证明△BMCsABOA,由此可求得点C的坐标.

(3)由于N£E4=45。，所以可以连接CE、B构造直角三角形.再过点A作

AHYEF,然后利用勾股定理即可求出跖的长度.

【解析】(1)证明：如图，连接GO,

•••/OAB的角平分线交y轴于点，

ZGAD=ZDAO,

：GD=GA,

:.ZGDA=ZGAD,

:.ZGDA=ZDAO,

:.GD//OA,

ZBDG=ZBOA=90°,

•••GD为半径，

・”轴是。G的切线；

(2)解:"(4,0),B(0,y),

;3=4,OB=y,

AB=VOA2+OB2=^42+(y)2

在R1AAO3中，由勾股定理可得：

设半径GD=G4=r,则8G=g-r,

■.■GD//OA,

:.ABDG^ABOA,

.DGBG

"04"AB'

20

------r

.r_j----

一4・20，

T

20“20、

——r=4(-----r),

33

5

BC=AB-AC=—-2x-=-,

323

如图，过点C作轴于点跖,则CA///OA,

o\7

.MCBMBC

"~OA~~OB~1AB'

MCBM3

,"T=16"=20'

3

4

解得：MC=1,BM=~,

164

OM=OB-BM=-------=4.

33

的坐标为(1,4)；

(3)解：如图，过点A作曲，跖于H,连接CE、CF,

•••AC是直径，

.-.AC=2x|=5,ZAEC=ZAFC=90°,

ZFEA=45°,

:.ZFCA=ZFEA=45°,

•••在H/AACF中，由勾股定理可知：AF2+CF2=

2AF2=25,

AAF=|V2(舍负)，

AF=CF=^yf2,

设OE=a,则AE=4-Q,

ZAEC=ZAOB=90°,

：.CE//OB,

AACE〜AA5O，

.AE_CE

"'OA~~OB'

4-a_CE

4一迈,

T

4

,\CE=-(4-a),

;在H/AACE中，由勾股定理可知：CE2+AE2=AC2,

/.学4-4+（4-4=25,

解得：a=l或〃=7（不合题意，舍去），

AE=4—4=3,

VAHLEF,NFEA=45。,

ZFEA=ZEAH=45°9

:•EH=AH,

在R3AEH中，由勾股定理可得：AH2+EH2=AE2,

2EH2=9,

:，EH=：氏（舍负），

/.AH=EH=3血,

.一.在RtZXAFH中，由勾股定理可知：FH=L一用=后扬2一弓扬2=2&,

:.EF=EH+FH=-yl2+2s/2=->/2.

22

6.（2021•北京人大附中九年级月考）在平面中，对于。C以及它的弦尸Q,若

存在正方形CDE尸，使点。在弦尸。上，点E在OC上，则称正方形CDE尸是OC

关于弦PQ的一个“联络正方形”

下图中的正方形CDEF即为。C关于弦PQ的一个“联络正方形”

在平面直角坐标系xOy中，已知点C的坐标为（4,3）,点尸的坐标为&0）（fN4）,以

C为圆心，CP为半径的圆与x轴的另一个交点为Q.

（1）当7=2时，判断。C关于弦尸。的“联络正方形”是否存在（直接回答）；

（2）当f=O时，（DC关于弦尸。的“联络正方形"为C£>",求点E的坐标；

（3）当。C关于弦尸。的“联络正方形”为8命存在，且点E在抛物线y=x-l上

时，直接写出此时点尸的坐标.

【答案】(1)(DC关于弦尸。的“联络正方形”不存在；证明见详解；(2)点E的

坐标为(1-巫，巫)或(1+巫，-恒)；(3)点口的坐标为(1,3)或(1,

2222

6).

【解题思路分析】(1)连接。E,当/=2时，点尸(2,0),点C(4,3)先求出

3<CD<Vi3,根据四边形CDER为正方形，可求。应30=加>如即可；

(2)过E、C分别作EHLx轴于H,CG±x轴于G,先证△HED注△GDC(AAS),

可得EH=DG,HD=CG,由Z=0,点P(0,0),点C(4,3),利用勾股定理求

出OP="73=5，由点E在圆上，可得。E=0P=5,。。=半，利用勾股定理

求出DGZCD-CG。』,分当点E在第二象限或第四象限时即可求解；

2

(3)过点/作RMLGC交延长线于先证△EHD名AFMC名ACGD,可得

EH=MC=DG,HD=FM=CG=3,设点。Cm,O')用相表示点E(m-3,4-m)可列

方程4-"片(m-3)2-1,解方程即可求解.

【解析】解：(1)连接。E,

当f=2时，点尸(2,0),点C(4,3)

/.CP=^(4-2)2+32=J13,

点。在尸。上，

.*.3<CD<V13,

•.•四边形CDER为正方形，

•*-0E=7CD2+ED2=y/2CD，

0E>3y/2=屈>耳,

...点E在。C外，

OC关于弦PQ的“联络正方形”是不存在;

(2)过E、C分别作轴于H,CGLx^G,

：.ZHED+ZHDE=90°,

:四边形CDEF为正方形，ZEDC=90°,ED=CD,

：.ZHDE+ZGDC=90°,

：.ZHED=ZGDC,

在^^£。和4GDC中，

ZHED=ZGDC

<ZEHD=ZDGC,

ED=DC

：./^HED^AGDC(AAS),

：.EH=DG,HD=CG,

,.♦/=0,点P(0,0),点C(4,3),

/.OP=^42+32=5-

•点E在圆上,

：.0E=0P=5,

,•,四边形CDEF为正方形,

0E=yJcD2+ED2=叵CD，

.•.。。=述，

2

在R3DCG中，DG=y/cD2-CG2=J—-32=—,

4W2J2

当点E在第二象限，PG=4,HD=CG=3,EH=DG=^-,

2

：.PH=HD-PD=HD-(PG-DG)=3-(4-巫)=巫-1,

22

...点E(＞巫，巫)，

22

当点E在第四象限时，PH=PG-HG=PG-(HD-DG)=4-(3--)=1+—,

22

.•.点E(1+巫，一巫)，

22

y

(3)过点/作EA/LGC交延长线于M,

由(2)△EHD^ADGC

ZMFC+ZMCF=90°,

:四边形CDER为正方形，ZFCD=90°,FC=CD,

：.ZMCF+ZGCD=90°,

：.ZMFC=ZGCD,

在4^0。和4CGD中，

ZMFC=ZGCD

-ZFMC=ZCGD,

CF=DC

••.△FMgACGD(A4S),

，△EHDgAFMC经△CGD

：.EH=MC=DG,HD=FM=CG=3,

设点。(m,0),

DG=4-m,

：.OH=HG-OG=CG+DG-OG=4-m+3-4=3-m,

，点E(zn-3,4-m),

.,.4-〃7=(m-3)2-l,

解得m=4或m=l,

当冽=1时，点E(-2,3)满足条件，止匕时DG=3=CA/,

点F的横坐标X=OG-FM=4-3=1,纵坐标y=MG=MC+CG=3+3=6,

.,.点F(1,6),

当m=4时，点E(l,0)满足条件，止匕时DG=0=CAf,

点F的横坐标x=OG-FM=4-3=1,纵坐标y=MG=MC+0=3+0=3,

点1(1,3),

7.（2021•重庆实验外国语学校九年级模拟预测）已知四边形ABCD内接于。O,

AB=AD.

（1）如图1,求证：点A到“两边的距离相等；

（2）如图2,已知3。与AC相交于点E,3。为。。的直径.

①求证：tanACAD=黑；

BE

②若NCBD=30。，AD=36,求AE的长.

图1图2

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②AE=3屈-3亚

【解题思路分析】（1）连接AC,由等弦对等弧，等弧对等角得ZACB=NACD,

即可得证；

(2)①由CD=CD,得到/C4D=/C5Z),由直径所对的圆周角是直角，可推得

tanZCAD=tanZCJBD=!|；过点。作。Q//EC,交2C延长线于点Q,根据角的关系证

明CD=CQ,又由。Q//EC,得到警=手，进一步等量代换得警=累，即可得证；

DR,JDCDE.±>C

(2)②由第一小问知NC4D=NCBO=30。，tanNCAD=^=3，设£>匹=。，贝ljBE=吗,

BE3

由条件求出3。的值，建立等量关系，分别求出DE的值，再证明ABAESACDE,

根据相似三角形线段成比例得笔二与,代入相关数值求解即可.

【解析】证明：(1)如图1,连接AC,

…AB=AD，

:.ZACB=ZACD,

"点A到NC两边的距离相等;

(2)①；CD=CD，

:.ZCAD=ZCBD,

QBD为直径，

:.ZBCD=90°,

BD

tanACAD=tanZ.CBD=,

BC

如图2,过点。作DQ//EC,交2c延长线于点Q,

0

图2

/.ZACB=ZQ,ZACD=ZCDQ,

（1）

又由知：ZACB=ZACD9

：.ZCDQ=ZQ9

:.CD=CQ,

:CE//DQ,

.DECQ

一

.DECD

DE

tanNCAZ）-,

BE

②如图,

由（2）①得：ZCAD=ZCBD^30°,

则tanNG4D=警=。，

JonJ

设DE=a,则成=耳，

Q3D为直径，

.\ZBAD=90°,

-,AB=AD=3y/2,

:・BD=6,

a+=6,

解得：a=36-3,

:.DE=3»-3,BE=9-36,

又/BCD=90。,

CD=BD-sinNCBD=3,

・.・NBDC=ABAC,ZABD=ZACD,

:.\BAE^\CDE,

.DECD

'~AE~~AB'

AE=(3&-3).半=3#一30.

8.(2021•杭州市采荷中学九年级二模)在NBC中，ZACB=90°,以3C为直径

的。O交A3于点D.

(1)如图①，以点8为圆心，3C为半径作圆弧交于点M,连结CM,若

ZABC=66。，求ZACAf；

(2)如图②，过点。作。O的切线DE交AC于点E,求证：AE=EC-

(3)如图③，在⑴(2)的条件下，若tan4=力求名皿：的值.

【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)y

【解题思路分析】(1)由三角形内角和角的计算问题；

(2)证明A£»O=AECO(S4S),则OE=CE,得到=即可求解；

(3)设BC=3x,AC=4x,AB=5x,则ED=EC=；AC=AE=2x,由AAMH^AABC,

22

得至USMCM=gxACxA«/=gx4xtx=9x,同理可得：SMUE=|AE-D/=|X2A:X||X=^|X,

即可求解.

【解析】解：(1)由题意知，BC=BM,

•rZABC=66°,

:.ZBMC=ZBCM=G1°,又ZACB=90°,

/.ZACM=ZACB-ZBCM=90°-67°=33°；

(2)如图2,・・・DE为圆。的切线，连接

则ZEDO=ZECO=90。，OD=OC9OE=OE,

:.\EDO=\ECO{SAS),

DE—CE,

•・・ZBDO+ZADE=90。，ZDBC+ZA=90。，^ZDBO=ZBDO.

：.ZA=ZADE.

AE=DE,

:.AE=CE；

(3)过M作AC的垂线交AC于H,过。作AC的垂线交AC于/,连接CD,

•・・NACD+NA=90°,ZACD+/DCB=90°,

3

/.tanZ.DCB-tanZA=—,

4

设3C=3x,AC=4x,AB=5x,则EQ=EC=；AC=AE=2x,

而AM=AB—MB=AB—BC=5x-3x=2光，

•・・MHIIBC,

贝I],

5

=

则SAACM=gXACxMH=^x4xx-|x~~^,

•.DI"BC,

..AADI^AABC,

同理可得：。，嘤盯

i14R4R

贝U5诏=5钻心/=5'2工、石方=石/,

所以^&ADESiACM=W-

9.（2021・浙江温州・九年级期末）如图，已知在四边形ABCD中，ZA=ZB=90°,

以co为直径的。。交AB于点E,尸（点E在点尸上方），连结EC,ED,FD,FD

与EC交于点G.

(1)求证：AADF^AEDC；

(2)^AD=1,AB=4,BC=3.

①求。歹的长；

②求EG:CG.

【答案】(1)见解析；(2)①厢；②1：5.

【解题思路分析】(1)由直径所对的圆周角是90。，得到NCED=90。，再由同弧

所对的圆周角相等得到ZAFD=ZECD,据此证明AADF^AEDC;

(2)①过点。作DWLBC于点由勾股定理解得CD的长，再证明

△AED-ABCE,由相似三角形的对应边成比例解得AE=1,BE=3,由勾股定理

解得DE的长,再根据（1）中AADFS^EDC,由相似三角形的性质解得DF=M；

②连接CF,证明△DEGSZXCFG,△EGFs^DGC,由相似三角形的对应边成比

例解题即可.

【解析】（1）证明：•••CD是。。的直径，

,-.ZC£D=90°.

vZA=90°,

:.ZCED=ZA.

•••ZAFD与ZECD都是OE所对的圆周角，

:.ZAFD=ZECD,

AADFs^EDC.

（2）解：①过点。作3c于点“，如图.

ADr---

E^/'X\

B铲---飞

,:4)=1,AB=4,BC=3,

:.DH=4,07=3—1=2,

:.CD=&FK=28

vZ£>E4+ZBEC=90°,/BCE+/BEC=90。,

:.ZDEA=ZBCE.

-.•ZA=ZB=90°,

:.AAED^ABCE9

.AD_AE

\'AD=1,BC=3

:.AEBE=3.

*:AE-\-BE=AB=,点E在点尸上方，

:.AE^1,BE=3,

.\DE=A/12+12=&・

由（1）知，AADF^AEDC,

ADDE

'~DF~~DC"

即J_=卑，

DF2行

DF=y/10.

②连接CP,如图.

B

•；DF=M,AD=1,ZA=90°,

:.AF=3,BF=1.

:.AD=AE=BF=l,EF=2,BE=BC=3,DE=-Ji,CF=M.

ZDEC=ZDFC=90°,NDGE=ZCGF,

△DES4CFG,

,EG_DGDE_

"Tu-CG-CF_7io'

ZFEC=Z.GDC,NEGF=ZDGC,

:.△EGFsWGC,

EGGF_EF_2_45

••丽―布一庆一双一丁‘

EGDG如如

--------------------=--------X--------,

DGCG55

:.EG:CG=1:5.

10.（2021•宜兴市实验中学九年级二模）问题提出：

（1）如图①，在AA5C中，N3AC=90。，AB=4,AC=39若AD平分ZBAC交CB

于点。，那么点。到AC的距离为.

AB

D

图①图②图③

问题探究：

(2)如图②，四边形ABCD内接于。0,AC为直径，点5是半圆AC的三等分点

(弧A3<弧BC),连接班>,若皿平分ZABC,且3。=8,求四边形ABCD的面积.

问题解决：

(3)为把“十四运”办成一届精彩圆满的体育盛会很多公园都在进行花卉装扮，

如图③所示是其中一块圆形场地O。，设计人员准备在内接四边形A38区域内

进行花卉图案设计，其余部分方便游客参观，按照设计要求，四边形ABC。满足

ZABC=60。，AB=AD,<AZ)+DC=10(其中2WDC<4),为让游客有更好的观

体验，四边形ABC。花卉的区域面积越大越好，那么是否存在面积最大的四边形

ABCD?若存在，求出这个最大值，不存在请说明理由.

17

【答案】(1)y;(2)32；(3)存在,2473

【解题思路分析】(1)根据角平分线的性质和等积法可求出点。到AC的距离；

(2)连接03,根据题意得ZAO3=60。，作利用解直角三角形可求A3

的长，通过解直角三角形分别求出BC,AD,CD的长，再根据面积公式求解即

可；

(3)过点A作于点N,AMLDC,交DC的延长线于点航，连接AC,

可得端边形AB6=S四边形3CM,根据面积法求出关于面积的二次函数关系式，根据二次

函数的性质求出最值即可.

【解析】解：(1)如图，设点。到AC和45的距离分别为DE,DF,

B

D

"AD平分NBAC

：.DE=DF

SAABC=gag.AC=gx4x3=6,SMBC=S^+S^=^AC-DE+^AB-DF

：.-(3+4)-DE=6

:,DE若，即点。到AC的距离为

1?

故答案为：-y;

(2)连接。3,

•••点B是半圆AC的三等分点(弧AS〈弧BC),

ZAOB=60°

：.ZADB=ACB^30°

•..AC是。0的直径，

ZABC=90°

•；BD平分NABC

，ZABD=NCBD=45°

过点A作AE±BD于点E,则ZBAE=ZABE=45°

：.AE=BE

ApL

AE=BE=x,则。E=--------=瓜

tan30°

*.*BD=BE+DE=x+6x=8

.*.x=4\/3-4

AB=42AE=476-40

ZADB=ACB=30°

/.BC=第AB=1272-4娓

,.•3。平分/43。

ZABD=ZCBD

AD=CD

：.AD=CD

'：AE±DE

AD2=DE2+AE2

VAE=4A/3-4,DE=瓜=12-痴

122

：.AD=(12-4A/3)+(4A/3-4)=256-128力

*'•.=S^.+=—AB*BCH—AD*CD=—AB*BCH—AD2

四12形AtBfCr。nAADBCA/i/yC2222

=1(476-40)(12A/2-4A/6)+1(256-128厢

=64君-96+128-646

=32；

(3)过点人作ANLBC于点N,AMLDC,交DC的延长线于点舷，连接AC,

'：AB=AD

：.ZACB=ZACD

：.AM=AN

：.△ABN/AADM

••S四边形ABC。一S四边形ANCAf

：AN=AM,ZBCA=ZDCA,AC=AC

：.AACN^AACM

•c—9c

••u四边形V4CM一乙2AACAf

ZABC=60°

?.ZADC=120°

/.ZADM=60°,ZMAD=3Q°

DM=x,则AD=2x,AM=DM・tan60°=氐,CD=10-2x,CM=10-尤

=2

,•S四边形3CM=25AAeM2x—x6x(10一％)=—A^(X—10%)

•.*2<DC<4

/.2<10-2%<4,SP3<x<4

•抛物线对称轴为x=5

...当x=4时，有最大值，为-石x(16-40)=246

11.(2021•广西南宁十四中九年级开学考试)如图，A8是。O的直径，弦COLAS

于点E,点f是。0上一点，且BC=CF.连接以，FD,FD交AB于点、N.

(1)若BE=1,CD=6,求。。的半径；

(2)求证：AF=AN；

(3)连接此并延长，交AB的延长线于点P,过点。作。。的切线，交的延

长线于点求证：ONOP=OEOM.

【答案】(1)5；(2)见解析；(3)见解析.

RFCF

【解题思路分析】⑴连接AC,BC,BD,通过证明△BCEs△c,可得生=与，

CEAE

可求AE的长，即可求。。的半径；

(2)通过证明△3DE咨可得/DBN=/DNB,即可证AN=AR可得

△ANR为等腰三角形；

(3)通过证明^ODESAODM,可得。O2=OE・OM,通过证明^PCOS^CNO,

可得CC^MPSON,即可得结论.

【解析】解：(1)如图，连接AC,BC,BD,

,：CDLAB,A3是直径

/.BC=BD,CE=DE」CD=3

2

...NBCD=ABAC,且ZBEC=ZCEA

：./XBCEsMAE

.BECE13

••---=----，即Hn-=----,

CEA£3AE

：.AE=9

：.AB=AE+BE=1O

AOO的半径为5；

(2),/BC=BD=CF,

：.ZBCD=ZBDC=ZCDF,>DE=DE,ZBED=ZNED=90°

:.△BDEWANDE(ASA)

：./DBN=/DNB,BE=EN

VZDBA=ZDFA,/BND=/FNA

：.ZFNA=ZDFA

：.AN=AF；

(3)如图，连接NC,CO,DO,

•..MD是切线，

：.MD±DO,

：.ZMDO=ZDEO=90°,ZDOE=ZDOE

：.AMDO^ADEO

.DOMO

''~EO~~DO'

：.OD2=OE*OM

'：AE=EN,CDLAO

...ZBNC=ZCBN,

：.ZCBP=ZCNO,

BC=CF,

：.4B0C=ZBAF

CO//AF

：.ZPCO=ZPFA

..•四边形BB是圆内接四边形

/.NPBC=NPFA

：.ZPBC=ZPFA=ZPCO=ZCNO,且NPOC=/COE

，丛CNOs丛pco

.CONO

■*P0-CO）

CO2=PO>NO,

：.ON・OP=OE・OM.

12.（2021•湖南师大附中博才实验中学九年级二模）定义：三角形一边上的点

将该边分为两条线段，且这两条线段的乘积等于这个点到这边所对顶点连线段的

平方，则称这个点为这个三角形该边的“好点”，如图1,在AA5C中，点。是BC

边上的一点，连接AD,若4)2=BZ).CD,则称点。是4LBC中边3c的“好点”•

(1)如图1,在AA5C中，BC=4,若点。是边8c的“好点”，且班＞=1,则线段

AD的长是;

(2)若一次函数y=x+6与反比例函数＞=2交于A,8两点，与y轴交于点c,

X

若点C是AA5o中边A3的“好点”，求6的值；

(3)如图2,9Be的外接圆是圆。，点H在边上，连接8并延长，交圆。

于点D,若点H是ABCD中边8的“好点”，由//加，圆。的半径为广，且r=30〃，

求黑的值.

【答案】(1)6；(2)±72;(3)y

【解题思路分析】⑴根据“好点”的定义知代入即可；

(2)设x+8」，则/+法_1=0,设A(w,x,+b),B(X,x+b),表示出AC,BC的

X22

长，可得AC8C=2|哂1=2,再根据“好点”定义即可得出答案；

ATJ

(3)连接AD,可证AACRSADBH,得=,再根据点H是ABCO中C£＞边上

DrLDrl

的"好点”，得BH?=CH•DH,则=设由=〃?，则。1=3a，BD=2m,勾

股定理得=访=2鬲，再求出8=需=个3fn,即可解决问题.

【解析】解：(1)VBC=4fBD=1,

:.CD=BC—BD=3,

由题可知：AD2=BDCD=3,

AD=A/3,

故答案为

设A（西,玉+力），B（X2,九2+力，

令1=0,贝4）=%+^=/?,

「.CW）,

「.AC="不2+%2=夜|不|,

BC=Jx：+02=I%2I，

/.AC-BC=21x,-x21=2,

由题可知：OC2=ACBC=2,

・・・oc>o,

OC=A/2,

b=±^/29

（3）连接A。，

•.•ZCAH=ZHDB,ZAHC=ZBHD,

.AHCH

:.AHBH=CHDH,

•・•点”是ABC。中CD边上的“好点”,

BH2=CH-DH,

:.AHBH=BH2,

：.AH=BH,

：.OH.LAB,

又,：OHI/BD,

,\AB±BD,

，AZ）是圆。的直径，

■.■r=3OH,

没OH=m,

则OA=3m,BD=2m,

在RtDAOH中，

AH=VOA2+OW2=2向，

BH=2-Jlm,

在RtABHD中，

HD=ylBH2+BD2=2屈，

,・・点H是ABCD中8边上的“好点”,

,„„_BH246

..CH------------jn,

4^/3

..CH_3_2.

DH2y/3m3

13.（2021•福建省福州延安中学九年级月考）已知A3是。O的直径，点C是

。。上一点，。是弧3c的中点，射线3。与射线AC交于点P.

（1）如图1,

①判断△R4B的形状，并说明理由；

②若AC=3,BC=4,求AD的长；

（2）如图2,若点。在弦AD上，便，48于石，E/UAC于交AD于点G,

连接产。、CG,求证：PQ//CG.

【答案】（1）①△以3为等腰三角形，理由见解析；②2若；（2）见解析

［解题思路分析】（1）①只需要证明△ADP^AADB即可得到AP=AB,则△PAB

为等腰三角形；

②先利用勾股定理求出AB,然后求出CP,从而可以求出最后利用勾股定

理求出AD即可;

ApAQ

(2)先证明△ARGS/VIE。，得到弁=777,再证明△AERS/VLCB,得到

ANAQ

AFAE上ACA八miA/AE更=如即也=如

SAB=AP,则丁=其可以证得

AC-ABAC/\rAEAPAQAP

△CAG^APAQ,由此求解即可.

【解析】解：（1）①△以3为等腰三角形，理由如下:

是弧的中点,

BD=CD>

：.ZFAD=ZBAD,

「AB是。。的直径，

ZADB=9Q°,

：.ZADP=ZADB=90°,

X'：AD=AD,

.,.△ADP咨AADB(ASA),

：.AP=AB,

：.^PAB为等腰三角形；

②：A3是。。的直径，

ZACB=90°,

•*-AB=y/AC2+BC2=5，ZBCP=90°,

CP^AP-AC^AB-AC^2,

PB=\IPC2+BC2=2若，

由①得△ADP^AADB,贝ljPD=BD=45,

AD=JAB?-BD2=275；

(2)'：EF±AC,QE1AB,

：.ZAFE=ZAEQ=90°,

又：ZBAD=ZFAD,

：.^AFG^/XAEQ,

.AFAG

"~AE~~AQ,

'：EFLAC,BC±AC,

：.EF//BC,

AAEF^AACB,

.AF