第六章导数及其应用复习课课件高二下学期数学人教B版选择性

第2课时导数及其应用复习课人教B版

数学选择性必修第三册知识梳理构建体系知识网络

要点梳理

1.什么是平均变化率?提示:一般地,若函数y=f(x)的定义域为D,且x1,x2∈D,x1≠x2,y1=f(x1),y2=f(x2),则称Δx=x2-x1为自变量的改变量;称Δy=y2-y1(或Δf=f(x2)-f(x1))为相应的因变2.导数或瞬时变化率的概念是什么?3.导数的几何意义是什么?提示:如果将函数y=f(x)的图象看成曲线(称为曲线y=f(x)),而且曲线y=f(x)在点A(x0,f(x0))处的切线为l,则Δx很小时,B(x0+Δx,f(x0+Δx))是A附近的一点,割线AB的斜率是

,则当Δx无限接近于0时,割线AB的斜率将无限趋近于切线l的斜率.这就是说,f'(x0)就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处(也称在x=x0处)的切线的斜率,根据直线的点斜式方程可知,切线的方程是y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).4.根据基本初等函数的导数公式,请完成下表.基本初等函数导函数f(x)=C(C为常数)f'(x)=0f(x)=xαf'(x)=αxα-1f(x)=sinxf'(x)=cosxf(x)=cosxf'(x)=-sinxf(x)=exf'(x)=exf(x)=ax(a>0)f'(x)=axlnaf(x)=lnx

f(x)=logax(a>0,且a≠1)

5.导数的运算法则有哪些?提示:若f'(x),g'(x)存在,则有:(1)[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);(2)[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);6.如何求复合函数的导数?提示:复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx'=yu'ux',即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.7.导数与函数的单调性有什么关系?提示:一般地,(1)如果在区间(a,b)内,f'(x)>0,则曲线y=f(x)在区间(a,b)内对应的那一段上每一点处切线的斜率都大于0,曲线呈上升状态,因此f(x)在区间(a,b)内是增函数,如图所示.(2)如果在区间(a,b)内,f'(x)<0,则曲线y=f(x)在区间(a,b)内对应的那一段上每一点处切线的斜率都小于0,曲线呈下降状态,因此f(x)在区间(a,b)内是减函数,如图所示.8.函数的极值是如何定义的?提示:一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,设x0∈D,如果对于x0附近的任意不同于x0的x,都有(1)f(x)<f(x0),则称x0为函数f(x)的一个极大值点,且f(x)在x0处取极大值;(2)f(x)>f(x0),则称x0为函数f(x)的一个极小值点,且f(x)在x0处取极小值.极大值点与极小值点都称为极值点,极大值与极小值都称为极值.9.导数与函数的极值点有什么关系?提示:(1)一般地,如果x0是y=f(x)的极值点,且f(x)在x0处可导,则必有f'(x0)=0.(2)一般地,设函数f(x)在x0处可导,且f'(x0)=0.①如果对于x0左侧附近的任意x,都有f'(x)>0,对于x0右侧附近的任意x,都有f'(x)<0,那么此时x0是f(x)的极大值点.②如果对于x0左侧附近的任意x,都有f'(x)<0,对于x0右侧附近的任意x,都有f'(x)>0,那么此时x0是f(x)的极小值点.③如果f'(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为正号(或均为负号),则x0一定不是y=f(x)的极值点.10.函数的极值点与最值点有什么关系?提示:一般地,如果函数y=f(x)在定义域内的每一点都可导,且函数存在极值,则函数的最值点一定是某个极值点;如果函数y=f(x)的定义域为[a,b]且存在极值,函数y=f(x)在(a,b)内可导,那么函数的最值点要么是区间端点a或b,要么是极值点.11.如何利用导数解决实际问题中的优化问题?提示:用导数解决优化问题的基本思路是:优化问题→用函数表示数学问题→用导数解决数学问题→优化问题的答案.【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)求f'(x0)时,可先求f(x0),再求f'(x0).(×)(2)曲线在某点处的切线不一定与曲线只有一个公共点.(√)(3)f'(x)>0是f(x)为增函数的充要条件.(×)(4)函数的导数越小,函数的变化越慢,函数的图象就越“平缓”.(×)(5)若函数f(x)在某个区间内恒有f'(x)=0,则f(x)在此区间内为常数函数.(√)(6)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.(×)(7)对于可导函数f(x),f'(x0)=0是x0为极值点的充要条件.(×)(8)开区间上的单调连续函数无极值和最值.(√)专题归纳核心突破专题整合

专题一

导数的几何意义及其应用【例1】

已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程;(2)若直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点的坐标.解:(1)∵f'(x)=3x2+1,∴曲线在点(2,-6)处的切线的斜率为f'(2)=3×22+1=13,∴切线的方程为y+6=13(x-2),即y=13x-32.求曲线的切线方程的题目主要有以下两种类型:(1)求曲线y=f(x)在一点P(x0,y0)处的切线方程,此时点P(x0,y0)为切点.当切线斜率存在,即函数f(x)在x0处可导时,切线斜率为f'(x0),有唯一的一条切线,对应的切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0);当切线斜率不存在时,对应的切线方程为x=x0.(2)求曲线y=f(x)过一点P(x0,y0)的切线方程,此时切线经过点P,点P可能是切点,也可能不是切点.解决此类问题的关键是设出切点的坐标,利用待定系数法求出切点的坐标,进而求出切线的方程.反思感悟专题二

利用导数研究函数的单调性

即a≤2x3在区间[2,+∞)内恒成立.∴a≤(2x3)min=16.∴实数a的取值范围是(-∞,16].已知函数的单调性求参数的取值范围的两种思路(1)转化为不等式在某区间上的恒成立问题,即f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立,用分离参数求最值或函数性质求解,注意验证使f'(x)=0的参数是否符合题意.(2)构造关于参数的不等式求解,即令f'(x)≥0(或f'(x)≤0)求得用参数表示的单调区间,结合所给区间,利用区间端点列不等式求参数的取值范围.反思感悟【变式训练2】

设函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11).(1)求a,b的值;(2)讨论函数的单调性.解:(1)f'(x)=3x2-6ax+3b.∵f(x)的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11),∴f(1)=-11,f'(1)=-12,(2)由(1)得,f'(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3).令f'(x)>0,解得x>3或x<-1.令f'(x)<0,解得-1<x<3.故当x∈(-∞,-1)和x∈(3,+∞)时,f(x)单调递增;当x∈(-1,3)时,f(x)单调递减.专题三

利用导数研究函数的极值、最值

解:(1)f'(x)=3x2+3(1-a)x-3a=3(x-a)(x+1),令f'(x)=0,解得x1=-1,x2=a.因为a>0,所以x1<x2.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表.x(-∞,-1)-1(-1,a)a(a,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗所以当x=-1时,f(x)有极大值2,即3a+2b=3.(2)当0<a<3时,由(1)知,f(x)在区间[0,a)内单调递减,在区间(a,3]内单调递增,已知函数的极值,确定参数时应注意两点:(1)根据极值点处导数值为0和极值两个条件可列出方程组,用待定系数法求解.(2)因为导数值为0不能推出此点就是极值点,所以利用上述方程组求出解后必须验证根的合理性.反思感悟【变式训练3】

若函数f(x)=ax2+2x+blnx在x=1和x=2时取极值.(1)求a,b的值;专题四

用导数研究不等式的恒成立、能成立问题【例4】

已知两个函数f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x3+5x2+4x,x∈[-3,3],k∈R.(1)若对∀x∈[-3,3],都有f(x)≤g(x)成立,求实数k的取值范围;(2)若∃x∈[-3,3],使得f(x)≤g(x)成立,求实数k的取值范围;(3)若对∀x1,x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2),求实数k的取值范围.解:(1)设h(x)=g(x)-f(x)=2x3-3x2-12x+k,则问题转化为当x∈[-3,3]时,h(x)≥0恒成立,即h(x)min≥0.令h'(x)=6x2-6x-12=0,解得x=2或x=-1.∵h(-3)=k-45,h(-1)=k+7,h(2)=k-20,h(3)=k-9,∴h(x)min=k-45≥0,∴k≥45.(2)依题意,∃x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,即∃x∈[-3,3],使h(x)=g(x)-f(x)≥0成立,∴h(x)max≥0,即k+7≥0,∴k≥-7.(3)依题意,f(x)max≤g(x)min,易知f(x)max=f(3)=120-k,g(x)min=g(-3)=-21,∴120-k≤-21,∴k≥141.不等式的恒成立、能成立问题的解题技巧将不等式的恒成立、能成立问题,转化为求最值问题.常见的转化类型如下:(1)∀x1∈[a,b],∀x2∈[c,d],f1(x1)>f2(x2)⇔f1(x)min>f2(x)max.(2)∃x1∈[a,b],∃x2∈[c,d],f1(x1)>f2(x2)⇔f1(x)max>f2(x)min.(3)∀x1∈[a,b],∃x2∈[c,d],f1(x1)>f2(x2)⇔f1(x)min>f2(x)min.(4)∃x1∈[a,b],∀x2∈[c,d],f1(x1)>f2(x2)⇔f1(x)max>f2(x)max.反思感悟【变式训练4】

设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0).(1)求f(x)的最小值h(t);(2)若h(t)<-2t+m对t∈(0,2)恒成立,求实数m的取值范围.解:(1)∵f(x)=t(x+t)2-t3+t-1(x∈R,t>0),∴当x=-t时,f(x)取最小值f(-t)=-t3+t-1,即h(t)=-t3+t-1.(2)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,由g'(t)=-3t2+3=0,得t=1或t=-1(舍去后者).当t变化时,g'(t),g(t)的变化情况如下表.t(0,1)1(1,2)g'(t)+0-g(t)↗极大值↘∴g(t)在区间(0,2)内的最大值为g(1)=1-m.∵h(t)<-2t+m在区间(0,2)内恒成立,∴g(t)<0在区间(0,2)内恒成立,∴1-m<0,解得m>1.故m的取值范围为(1,+∞).专题五

利用导数证明不等式【例5】

已知函数f(x)=x2-(a-2)x-alnx(a∈R).(1)讨论函数y=f(x)的单调性;(2)当a=1时,证明:对任意的x>0,f(x)+ex>x2+x+2.(1)解:函数f(x)的定义域为(0,+∞),当a≤0时,f'(x)>0对任意x∈(0,+∞)恒成立,所以函数f(x)在区间(0,+∞)内单调递增.(2)证明:当a=1时,f(x)=x2+x-ln

x.要证明f(x)+ex>x2+x+2,只需证明ex-ln

x-2>0.设g(x)=ex-ln

x-2,当x变化时,g'(x)和g(x)变化情况如下表.x(0,x0)x0(x0,+∞)g'(x)-0+g(x)↘极小值↗构造函数证明不等式的方法(1)移项法:证明不等式f(x)>g(x)(或f(x)<g(x))可转化为证明f(x)-g(x)>0(或f(x)-g(x)<0),进而构造辅助函数h(x)=f(x)-g(x).(2)主元法:对于(或可化为)f(x1,x2)≥A的不等式,可选x1(或x2)为主元,利用x1与x2的关系,构造函数g(x1)(或g(x2)).(3)放缩法:若所构造的函数的最值不易求解,则可先将要证明的不等式进行放缩,再重新构造函数.反思感悟【变式训练5】

设函数f(x)=ax2-(x+1)lnx,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为0.(1)求a的值;专题六

利用导数研究方程的根(或函数的零点)【例6】

已知函数f(x)=x3+ax2+b的图象上一点P(1,0),且在点P处的切线与直线3x+y=0平行.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)在区间[0,t](0<t<3)上的最大值和最小值;(3)关于x的方程f(x)=c在区间[1,3]上恰有两个实根,求实数c的取值范围.解:(1)f'(x)=3x2+2ax.因为曲线在点P(1,0)处的切线与直线3x+y=0平行,所以f'(1)=3+2a=-3,解得a=-3.又点P(1,0)在f(x)的图象上,所以-2+b=0,所以b=2.所以f(x)=x3-3x2+2.(2)由(1)得f'(x)=3x2-6x.由f'(x)=0,得x=0或x=2.①若0<t≤2,则f'(x)≤0在区间[0,t]上恒成立,f(x)在区间[0,t]上单调递减,所以f(x)max=f(0)=2,f(x)min=f(t)=t3-3t2+2.②若2<t<3,则当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表.x0(0,2)2(2,t)tf'(x)0-0+

f(x)2↘-2↗t3-3t2+2故f(x)min=f(2)=-2,f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个.因为f(t)-f(0)=t3-3t2=t2(t-3)<0,所以f(x)max=f(0)=2.(3)令g(x)=f(x)-c=x3-3x2+2-c,则g'(x)=3x2-6x=3x(x-2).当x∈[1,2)时,g'(x)<0;当x∈(2,3]时,g'(x)>0.要使g(x)=0在区间[1,3]上恰有两个实根,反思感悟对于方程的根(或函数零点)的个数的相关问题,可以利用导数和数形结合思想来求解.解决此类问题的一般步骤如下:(1)构造适当的函数,这是求解此类问题的关键点和难点,并求其定义域;(2)求出导数,得到单调区间和极值点;(3)作出函数的大致图象,进行观察;(4)数形结合,挖掘隐含条件,列出不等式(组)求解.高考体验

考点一

导数的几何意义及应用1.(2021·新高考Ⅰ)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则(

)A.eb<a

B.ea<b

C.0<a<eb

D.0<b<ea解析:设切点(x0,y0),因为y'=ex,设g(x)=ex(a-x+1)-b,则g'(x)=ex(a-x)=0,解得x=a,所以g(x)在区间(-∞,a)内单调递增,在区间(a,+∞)内单调递减.由g(a)>0,得ea>b.结合4个选项,可知选D.答案:D答案:C3.(2022·全国新高考Ⅰ)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是

.

∴Δ=a2+4a>0,解得a>0或a<-4.故a的取值范围是(-∞,-4)∪(0,+∞).答案:(-∞,-4)∪(0,+∞)考点二

利用导数判断函数的单调性4.(2023·新高考Ⅱ)已知函数f(x)=aex-lnx在区间(1,2)上单调递增,则a的最小值为(

)A.e2

B.e

C.e-1

D.e-2设g(x)=xex,则g'(x)=(x+1)ex>0在区间(1,2)内恒成立,所以函数g(x)=xex在区间(1,2)内单调递增,所以g(x)>g(1)=e,答案:C5.(2021·全国甲高考)设函数f(x)=a2x2+ax-3lnx+1,其中a>0.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若y=f(x)的图象与x轴没有公共点,求a的取值范围.(1)当a=2时,求f(x)的单调区间;(2)若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点,求a的取值范围.考点三

利用导数判断函数的极值、最值7.(2023·新高考Ⅰ)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)内单调递减,则a的取值范围是(

)A.(-∞,-2] B.[-2,0) C.(0,2] D.[2,+∞)解析:方法一(导数法):由题意知,在f(x)=2x(x-a)中,f'(x)=(2x-a)2x(x-a)ln

2,由函数在(0,1)内单调递减,知(2x-a)2x(x-a)·ln

2≤0在(0,1)内恒成立,即2x-a≤0在(0,1)内恒成立,即a≥(2x)max,所以a≥2.故选D.方法二(复合函数法):因为函数y=2x在R上是增函数,要使复合函数答案:D8.(2019·全国Ⅲ高考)已知函数f(x)=2x3-ax2+b.(1)讨论f(x)的单调性;(2)是否存在a,b,使得f(x)在区间[0,1]的最小值为-1且最大值为1?若存在,求出a,b的所有值;若不存在,说明理由.(2)满足题设条件的a,b存在.①当a≤0时,由(1)知,f(x)在[0,1]单调递增,所以f(x)在区间[0,1]的最小值为f(0)=b,最大值为f(1)=2-a+b.此时a,b满足题设条件当且仅当b=-1,2-a+b=1,即a=0,b=-1.②当a≥3时,由(1)知,f(x)在[0,1]单调递减,所以f(x)在区间[0,1]的最大值为f(0)=b,最小值为f(1)=2-a+b.此时a,b满足题设条件当且仅当2-a+b=-1,b=1,即a=4,b=1.考点四

利用导数研究不等式的恒成立、能成立问题9.(2020·全国Ⅰ高考)已知函数f(x)=ex+ax2-x.(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;解:(1)当a=1时,f(x)=ex+x2-x,f'(x)=ex+2x-1.故当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0.所以f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.所以g(x)在(0,2)单调递增,而g(0)=1,故当x∈(0,2)时,g(x)>1,不合题意.考点五

利用导数证明不等式10.(2021·新高考Ⅰ)已知函数f(x)=x(1-lnx).(1)讨论f(x)的单调性;(1)解:由条件知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-ln

x.当x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.即在区间(0,1)内,函数f(x)单调递增;在区间(1,+∞)内,函数f(x)单调递减.

方法二:f(x)在点(e,0)处的切线φ(x)=e-x,令F(x)=f(x)-φ(x)=2x-xln

x-e,x∈(0,e),F'(x)=1-ln

x>0,所以F(x)在区间(0,e)内单调递增,即F(x)<F(e)=0,所以当x∈(0,e)时,f(x)<φ(x).令t=f(x1)=f(x2),则t=f(x2)<φ(x2)=e-x2⇒t+x2<e.又t=f(x1