江苏省南通市名校联盟2025届新高三暑期学习（全国普通高考调研模拟测试）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省南通市名校联盟2025届新高三暑期学习（全国普通高考调研模拟测试）数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合，，则的元素个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗D〖解析〗因为，且，则，或，且，所以，或，因为，则或，当，时，，当，时，，当且时，，当，且，，则，当，且，,时，，则当，即，或，综上，所以的元素个数为4故选：D.2.已知，，则点B到直线AC的距离为（）A. B. C.2 D.3〖答案〗C〖解析〗因为，，所以，，，，所以在方向上的投影为，，所以点B到直线AC的距离为.故选：C.3.设，函数与直线交于点．若曲线y=fx与轴上方（不含轴）的正三角形的两条边相切，则的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由于都在直线上，故平行于轴，再由是偶函数，可设，.据已知可得是y=fx的切线，故.所以由可知，故，从而.由于，故的方程为，令，得，所以.从而根据已知条件，点在轴上方，这就说明命题等价于.故所求取值范围是.故选：D.4.现有一份由连续正整数（可重复）组成的样本，其容量为m，满足上四分位数为28，第80百分位数为30，则m的最小值为（）A.24 B.25 C.28 D.29〖答案〗D〖解析〗对于A，若样本容量的最小值为24，则，，则第个数据的平均数应为，第个数据应为，由是连续的正整数，显然不符合情况，故A错误；对于B，若样本容量的最小值为25，则，，则第19个数据应为，第个数据均为，由是连续的正整数，矛盾，故B错误；对于C，若样本容量的最小值为28，则，，则第个数据均为，第23个数据应为，由是连续的正整数，矛盾，故C错误；对于D，若样本容量的最小值为29，则，，则第22个数据应为，则第个数据应为，所以第个数据应该是29，符合题意，故D正确；故选：D.5.在递增数列中，，．已知表示前n项和的最小值，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意在递增数列an中，，，则，故，则或，结合题意取；又，则或，结合题意取；同理，则或，结合题意取，同理，则或，结合题意取，同理，则或，结合题意取，同理可得，，，故an前9项和最小值，可得，故选：C.6.在锐角中，已知，则B，C的大小关系为（）A. B. C. D.无法确定〖答案〗A〖解析〗在锐角中，由，得，则，整理得，于是，由正弦定理得，由余弦定理得，而，因此，所以.故选：A.7.已知标准椭圆上P，Q两点的切线方程分别为，，则直线PQ的斜率为（）A. B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗设椭圆方程为，，联立消去得①，则②，联立消去得③，则④，联立②④解得，代入①得，解得，所以，代入③得，解得，所以，所以.故选：D.8.若满足在上恒成立的a唯一，则整数b的值为（）A.3 B. C.4 D.〖答案〗A〖解析〗不妨设，，对于A，，满足在上恒成立的a唯一，当时，在上单调递减，则，即，与矛盾；当时，令得；若，即，有在上单调递减，则，即，与矛盾；若，即，，在上单调递增；，在上单调递减；，，，；可知，解得，符合题意，A正确；对于B，当时成立，只需验证，，当时，在上单调递增，则，即，与矛盾；当时，令得；若，即，有在上单调递增，则，即，可知不唯一，B错误；对于C,D，，满足在上恒成立的a唯一，则当时，在上单调递减，则，即，与矛盾；当时，令得；若，即，有在上单调递减，则，即，与矛盾；若，即，，在上单调递增；，在上单调递减；，，，；可知，解得，不符合题意，C，D错误；故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知的外接圆圆心在AC边上，内切圆半径为，且．设D为AC边上动点，将沿BD向上翻折，得到四面体ABCD，记为M，其体积为V．则（）A.的外接圆面积为4πB.M不可能是正三棱锥C.M的外接球球心不可能在其棱上D.V取最大值时，〖答案〗ABD〖解析〗的外接圆圆心在AC边上，则是为直角的直角三角形，中点是的外接圆圆心，又，则，，设，内切圆半径为，可得，即.的外接圆半径，面积为，故A正确.若是正三棱锥，则一定是等腰三角形，又，即是等边三角形，此时点与点重合，为正三棱锥的底面，而侧棱，所以不可能是正三棱锥，故B正确.取，将翻折到时，此时，，，，即，取中点为，则，是的外接球球心，故C错误.以为原点，，为轴，轴正方向建立平面直角坐标系，则，，，设，将沿BD向上翻折，当平面平面时，点到底面的距离最大，过作，则为四面体的高，直线方程为，，，，设，，设，，则在上单调递减，又，，一定存在，使，且，而，所以当时，，递增；当时，，递减；则的最大值是.因此当点更靠近点，时，有最大值，即取最大值时，，故D正确.故选：ABD.10.已知抛物线Γ：的焦点为F，P为Γ上一动点．过F且斜率大于0的直线与Γ交于不同的两点A，B，且满足，．则下列说法错误的是（）A.直线AB的倾斜角大于60°B.若，则C.点P可能在第一象限D.直线PB的横截距不可能是〖答案〗AC〖解析〗抛物线Γ：的焦点为F1,0，直线过F且斜率大于0，设直线方程为，，联立，化简得，由韦达定理，设，，，代入韦达定理得，又点不在直线上，则，即只有，当，即时，有实数解，且存在点，又，则点在第四象限，故C错误.设直线的斜率为，则，直线的倾斜角小于等于，故A错误.若，则，，代入，解得，，所以，即，故B正确.取，则直线的直线方程为，联立，化简得，方程其中一个根为点纵坐标，则另一根为，若另一根为点纵坐标，则，此时，代入方程无解，所以与无法垂直，则不存在这样过的直线，即直线的横截距不可能是，故D正确.故选：AC.11.已知函数，记时的极值点为（且的值均不同）．则下列说法错误的是（）A.满足有唯一零点的唯一 B.无论取何值，都没有过原点的切线C.若，则 D.若，则〖答案〗BD〖解析〗设，则，故对有，对有.所以在上递减，在0,+∞上递增，从而，即.我们有，故对有，对有.所以在上递减，在上递增.从而有极小值点，故.由于，故.若，此时，而，故对有.所以.这就表明在和上各有一个零点，从而至少有两个零点；若，则根据的单调性，知存在唯一的零点.对于A，当时，有，所以，从而至少有两个零点；当时，有，所以，从而至少有两个零点；当时，有，所以，从而存在唯一的零点.这就表明当且仅当时，的零点唯一，故A正确；对于B，由于当时，在1,0处的切线过原点，故B错误；对于C，若，由于，故.设，则，故对有，对有.所以hx在上递增，在上递减.由已知有，故可不妨设，而，故.再设，则，且，.而对有.所以在上递增，从而对有；所以在上递增，从而对有；所以φx在上递增，从而对有，即.从而有.根据hx的单调性，知，故.所以，故C正确；对于D，根据前面的讨论，恒有成立，所以.这就得到，故D错误.故选：BD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知复数，若，则______．〖答案〗〖解析〗由得，由求根公式得，当时，，所以，当时，，所以，综上，13.甲和乙玩小游戏测试他们的默契度．在一轮游戏中，他们各写下一个三位数，分别记为A和B．当以下任一条件成立时，他们“不默契”，否则“心有灵犀”：①A、B中相同的数字少于两个（如147和289）②A、B中相同的数字不少于两个，但不都在相同的数位上（如147和174）根据以上内容判断：在本轮游戏中，甲和乙“心有灵犀”的概率为______．〖答案〗〖解析〗由题知，当A、B中至少有两个数字相同，且在相同数位上时，甲和乙“心有灵犀”.不妨记，当A、B中有三个数字相同时，有1种情况；当A、B中只有两个数字相同时，若百位和十位相同，有9种情况，若百位和个位相同，有9种情况，若十位和个位相同，有8种情况，所以，当A、B中只有两个个数字相同时，有种情况.综上，当时，有种情况使得甲和乙“心有灵犀”.因为三位数共有个，所以当时，甲和乙“心有灵犀”的概率为，又因为甲写出每一个三位数且甲和乙“心有灵犀”的事件互斥，例如：事件“且甲和乙“心有灵犀””和事件“且甲和乙“心有灵犀””互斥.所以，甲和乙“心有灵犀”的概率为.14.给定一种有穷正整数列的延伸机制Ξ，如图所示：记经Ξ延伸后得到的无穷数列为an，则______．〖答案〗〖解析〗记第个连续串的长度分别是，则，.从而，即，，.根据等比数列知识，得到，，.由于，.所以.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.俱乐部是具有某种相同兴趣的人进行社会交际、文化娱乐等活动的团体和场所．一些顶尖的俱乐部不仅对会员的要求非常严苛，加入也要经过现任会员邀请并接受资格测试和对个人素养、社会地位等的综合考察．研究人员通过模型预测某俱乐部标准资格测试的参试成绩（总计100份），绘制成下表（已知B卷难度更大）：某俱乐部标准资格测试参试成绩预测不及格及格良好优秀A卷ab164B卷201262（1）若至少有5%的把握认为及格率与试卷难度无关，求a的最小值；（2）在预测的40份B卷参试成绩中随机挑选3份，记不及格的份数为X①求X的分布列及数学期望；②人教A版选择性必修第三册第80页上写道：对于不放回抽样，当n远远小于N时…此时，超几何分布可以用二项分布近似．近似指的是期望还是方差？试判断并说明理由．附：，其中．α0.0500.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828解：（1）根据表中数据得列联表：不及格及格合计A卷a60B卷202040合计100零假设为：及格率与试卷难度无关.由题知，，整理得，解得，依题意知，，所以a的最小值为.（2）①在预测的40份B卷参试成绩中，不及格和及格各20份，由题知，的可能取值有，，，得X的分布列为：0123所以.②当n远远小于N时,超几何分布与二项分布近似指的是方差，由①知，若进行放回抽样，则，，放回抽样和不放回抽样期望相等，所以近似指的是方程.当n远远小于N时，每次抽取后对N的影响非常小，此时放回与不放回对概率影响可以忽略不计，所以，此时超几何分布与二项分布近似.16.已知定义在上的函数，．（1）分别说明，gx的单调性；（2）若函数存在唯一极小值点，求的取值范围．解：（1）由题可得：，当时，在上恒成立，所以在上单调递减；当时，令，解得：，令，解得：，所以在上单调递减；在上单调递增，综上，当时在上单调递减；当时，在上单调递减；在上单调递增；由题可得：，令，解得：，令，解得：，所以在上单调递减；在上单调递增（2）令，则，令，则，①当时，在上恒成立，故当时，，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，所以有唯一极大值点，没有极小值点，不满足题意；②当时，在恒成立，在上单调递增，，故当时，，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以有唯一极小值点，满足题意；③当时，令，解得：，令，解得：x>-lna，故在上单调递减，在上单调递增，则，令，解得，当时，在上恒成立，由②可知有唯一极小值点，满足题意；当时，，，，又因为在上单调递减，在上单调递增，所以存在唯一实数，，使得，，又，故当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减当时，，在上单调递增，所以的极小值点为，，不唯一，不满足题意；综上，的取值范围.17.已知无限高圆柱．如图，四边形内接于其底面⊙O，P为其内一动点（包括表面），且平面平面，．（1）是否存在点使得直线平面？试判断并说明理由．（2）若，二面角的大小为，求最大时直线与平面所成角的余弦值．解：（1）不妨假设存在点使得直线平面，因为平面，所以，又四边形ABCD内接于，所以，在平面PAD上作直线于，因为平面平面，平面平面平面，所以平面，又因为平面，故，又平面平面，所以平面.而平面平面，故，不垂直，与题意矛盾.所以不存在点使得直线平面.（2）因为，所以，取AB中点，连接OF延长交于，则，所以四点共线，则，即，因为为AB中点，所以，则。则，所以，同理可证，所以是等边三角形.法一：以为坐标原点，，向上为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设半径为，其中，所以，设平面PAB的法向量m=则取，可得，取平面ABCD的一个法向量所以，解得，则取，设平面PAD的法向量，则，取，又，解得，设直线的方向向量，则，取，可得，所以，由题意可知平面ABCD时AP取得最大值，则，所以，解得舍），则，设平面PBD的法向量则，取，可得，设直线PC与平面PBD所成的角为，所以，因为，所以，故最大时直线PC与平面PBD所成角的余弦值为.法二：设在底面上投影为，直线PA与底面所成角为半径为，由三余弦定理及三正弦定理得，因为，则所以为定值，而，所以取最大值时，取最大值即与重合时，故直线平面ABCD，此时有，作直线BD于，连接PH，作于，所以，因为平面ABCD，所以，又因为平面，所以平面BDH，而平面CDH，所以，又因为平面，所以平面BDH，则即为直线PC与平面BDH所成角的平面角，所以，故取最大时直线PC与平面PBD所成角的余弦值为.18.已知焦点为F的抛物线Γ：，圆F与Γ在第一象限的交点为P，与x正，负半轴分别交于点H，G．直线PH，直线PF与Γ的另一交点分别为M，N，直线MN与直线PG交于点T．（1）若，证明：；（2）若，求的取值范围．（1）证明：由题意知，设，则，由得，又，所以，设直线的方程为，由可得，则，又因为，所以．，直线的方程为，由得，由，得．所以，所以，所以，所以为锐角；又，所以，所以为钝角，故；（2）解：因为，由（1）知F1,0，设，则，，，，，所以直线的方程为，作，垂足为，则，直线的方程为，将直线与的方程联立，得解得．所以，所以，由相似三角形的性质可得，故，因为，所以（当且仅当时等号成立），故，即的面积的取值范围为．19.小学我们都学过质数与合数，每一个合数都能分解为若干个质数的积，比如，等等，分解出来的质数称为这个合数的质因子，如2，3都是6的质因子．在研究某两个整数的关系时，我们称它们是互质的，如果它们没有相同的质因子．例如25的质因子只有5，而36的质因子只有2，3，所以25，36是互质的