湖南省长沙市六校2025届高三上学期八月开学联合检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省长沙市六校2025届高三上学期八月开学联合检测数学试题一、单选题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，（）A. B. C.D.〖答案〗C〖解析〗解不等式，得，解得或，则或，而，所以.故选：C.2.若复数z满足则（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗由得，所以，故选：B.3.已知，若，则等于（）A.6 B.5 C.4 D.3〖答案〗A〖解析〗因为，所以，又因为，所以，解得.故选：A.4.已知，，（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，又，所以，所以，故A，C，D错误.故选：B.5.已知圆锥的母线为，侧面展开所成扇形的圆心角为，则此圆锥体积为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设圆锥底面圆的半径为，则，解得，圆锥的高为，则此圆锥体积为.故选：B.6.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由于函数在上递增，故需满足，解得.7.将函数的图象向左平移个单位长度后，再把图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若与的图象关于轴对称，则的一个单调递增区间为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意可得，由于与的图象关于轴对称，所以，令，解得，取，则，故选：C.8.已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（）A. B.方程有解C.是偶函数 D.是偶函数〖答案〗C〖解析〗对于A，因为函数的定义域为，且满足，取，得，则，取，得，则，故错误；对于B，取，得，则，所以，以上各式相加得，所以，令，得，此方程无解，故B错误.对于CD，由知，所以是偶函数，不是偶函数，故C正确，错误.故选：C.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.若随机变量服从标准正态分布，，则（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗对于A，B,因为，所以，A正确，B错误对于C,D由对称性有，所以，C错误，D正确,,故选：AD.10.已知函数，则（）A.有两个极值点B.有一个零点C.点是曲线的对称中心D.直线是曲线的切线〖答案〗BC〖解析〗选项A：则恒成立，故单调递增，故不存在两个极值点，故选项A错误.选项B:又单调递增，故有一个零点，故选项B正确，选项C：故点是曲线的对称中心，故选项C正确，选项D：令，即，令，则令，则当则当切线斜率为切点为则切线方程为：与不相等，当时同样切线方程不为，故选项D错误.故选：BC.11.“脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术，更是中国传统戏曲文化的重要载体．如图，“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线C．半圆的方程为，半椭圆的方程为．则下列说法正确的是（）A.点A在半圆上，点B在半椭圆上，O为坐标原点，OA⊥OB，则△OAB面积的最大值为6B.曲线C上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7C.若，P是半椭圆上的一个动点，则cos∠APB的最小值为D.画法几何的创始人加斯帕尔·蒙日发现：椭圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都在与椭圆同中心的圆上．称该圆为椭圆的蒙日圆，那么半椭圆扩充为整个椭圆：后，椭圆的蒙日圆方程为〖答案〗ABD〖解析〗对于A，因为点A在半圆上，点B在半椭圆上，O为坐标原点，OA⊥OB，则，，则，当位于椭圆的下顶点时取等号，所以△OAB面积的最大值为6，故A正确；对于B，半圆上的点到点的距离都是，半椭圆上的点到点的距离的最小值为，最大值为，所以曲线C上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7，故B正确；对于C，是椭圆的两个焦点，在△PAB中，，由余弦定理知：，当且仅当时取等号，所以cos∠APB的最小值为，故C错误；对于D，由题意知：蒙日圆的圆心O坐标为原点(0，0)，在椭圆：中取两条切线：和，它们交点为，该点在蒙日圆上，半径为此时蒙日圆方程为：，故D正确．故选：ABD．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为________．〖答案〗〖解析〗因为双曲线的渐近线方程为，所以，所以双曲线的离心率.13.函数与函数公切线的斜率为__________.〖答案〗1或〖解析〗不妨设公切线与函数的切点为，与函数的切点为；易知，，因此公切线斜率为，因此，可得，即又易知，整理可得，即，即，解得或；因此可得斜率为或.14.已知三个正整数和为8，用表示这三个数中最小的数，则的期望__________.〖答案〗〖解析〗设这三个正整数分别为，则题意可得，所以随机变量可能取值为1和2，用隔板法可求得：事件总情况为种，当时，分两种情况：①三个数中只有一个1，有种；②三个数中有两个1，有种，所以时，；当时，也分两种情况：①三个数中只有一个2，有种；②三个数中有两个2，有种，所以时，，所以.四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知△ABC中，分别为内角的对边，且.（1）求角的大小；（2）设点为上一点，是的角平分线，且，，求的面积.解：（1）在△ABC中，由正弦定理及得：，..由余弦定理得，又，所以.（2）是的角平分线，，由可得因为，，即有，，故.16.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．（1）证明：平面平面PBC；（2）若直线AF与平面PAB所成的角的余弦值为，求点P到平面AEF的距离．（1）证明：方法一：因为底面ABCD，平面ABCD，所以．因为ABCD为正方形，所以，又因为，平面PAB，平面PAB，所以平面PAB．因为平面PAB，所以．因为，E为线段PB的中点，所以，又因为，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC．又因为平面AEF，所以平面平面PBC．方法二：因为底面ABCD，平面PAB，所以平面底面ABCD又平面底面，，平面ABCD，所以平面PAB．因为平面PAB，所以．因为，E为线段PB的中点，所以．因为，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC，又因为平面AEF，所以平面平面PBC解法三：因为底面ABCD，，以A为坐标原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则，设，则，所以，，，，设为平面AEF的法向量，则所以取，则，，则，设为平面PBC的法向量，则所以取，则，，则，因为，所以,所以平面平面PBC.（2）（基于（1）解法一、二）因为底面ABCD，，以A为坐标原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则，易知是平面PAB的法向量设，则，所以，，所以，即，得，所以，设为平面AEF的法向量，则，所以平面AEF的法向量，又因为，所以点P到平面AEF的距离为所以点P到平面AEF的距离为．（另解）由（1）可知，是直线AF与平面PAB所成的角，所以，解得，故F是BC中点．所以，，，的面积为，因为，的面积为，设点P到平面AEF的距离为h，则有，解得，所以点P到平面AEF的距离为．（基于（1）解法三）易知是平面PAB的法向量，所以，即，解得，所以，又因为，所以点P到平面AEF的距离为所以点P到平面AEF的距离为．17.已知，是过点的两条互相垂直的直线，且与椭圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D两点．（1）求直线的斜率k的取值范围；（2）若线段，的中点分别为M，N，证明直线经过一个定点，并求出此定点的坐标．解：（1）根据题意直线，的斜率均存在且不为0，直线，分别为，，联立得，由得，则或，同理，则，所以k的取值范围为．（2）设，，由（1）得，所以，则，所以，则，同理，则直线的方程为，化简整理得，因此直线经过一个定点．18.已知函数.（1）讨论的导函数的单调性；（2）若对任意恒成立，求的取值范围.解：（1）由题可知.设，则.①当时，在上恒成立，所以在上单调递增.②当时，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增.综上所述，当时，是上的增函数，当时，在上是减函数，在上是增函数.（2）①当时，在上单调递增，，则在上单调递增，故成立；②当时，，所以在上单调递增，，则单调递增，故成立；③当时，当时，在上单调递减，又，所以在上单调递减，则不成立.综上，的取值范围为.19.某企业的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立．当控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）．（1）若，且每个元件正常工作的概率．①求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和期望；②在设备正常运行的条件下，求所有元件都正常工作的概率．（2）请用表示，并探究：在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，能否通过增加控制系统中元件的个数来提高设备正常运行的概率．解：（1）①因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为0，1，2，3；因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，所以，所以，，，，所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为0123控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为，②设“设备正常运行”为事件“所有元件都正常工作”为事件则在设备正常运行的条件下