贵州省2024年高三下学期高考模拟信息卷数学试题（一）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1贵州省2024年高三下学期高考模拟信息卷数学试题（一）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，又，所以.故选：D.2.（）A. B. C.2 D.5〖答案〗B〖解析〗因为，所以，故选：B.3.已知向量，，且，则的坐标可以是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设，因为，所以①，又，得到，又，所以②，联立①②解得或，所以的坐标可以是，故选：A.4.已知数列满足，则“数列是递增数列”的充要条件是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，由，得到，所以“数列an是递增数列”的充要条件是，故选：B.5.为了美化广场环境，县政府计划定购一批石墩．已知这批石墩可以看作是一个圆台和一个圆柱拼接而成，其轴截面如下图所示，其中，，则该石墩的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如图，过点作于，因为，，所以，，所以圆台的体积为，又圆柱的体积为，所以该石墩的体积为，故选：D.6.若函数在上单调，则的最大值为（）A. B. C.1 D.〖答案〗D〖解析〗，则，函数在上单调，所以，解得：，所以的最大值为.故选：D.7.将除颜色外完全相同的2个红球和1个白球随机放入2个不同的盒子中，每个盒子中至少放入1个球，则2个红球分别放入不同盒子中的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗将除颜色外完全相同的2个红球和1个白球随机放入2个不同的盒子中，每个盒子中至少放入1个球，则基本事件有：（红1，白红2），（白，红1红2），（红2，白红1），则2个红球分别放入不同盒子中包含了（红1，白红2），（红2，白红1），所以由古典概型的公式得概率为：.故选：A.8.已知，，．若，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可得，因为，，则，可得，即，则，令，则，整理得，解得或（舍去），即，解得．故选：B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，，则（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗对于A，根据在单调递增，结合，知，A正确．对于B，根据在单调递增，结合，知，B错误．对于C，根据在单调递增，结合，知，C错误．对于D，根据，结合，知，则，即，D正确．故选：AD.10.在正方体中，分别为，，，，的中点，则（）A.平面 B.平面C.平面平面 D.平面平面〖答案〗ABC〖解析〗对于A，连接，如图，因为是，的中点，所以，易知四边形是平行四形边，又是，的中点，所以，故，又平面，平面，所以平面，故A正确；对于B，连接，如图，在正方体中，易知，又平面，所以平面，因为平面，故，又易知，所以，同理：，则，因为，平面，所以平面，对于C，连接，因为是，的中点，所以，同理：，又在正方体中，易得，所以，又平面，平面，所以平面，同理可证，进而可证平面，因为平面，所以平面平面，故C正确；对于D，假设平面平面，因为平面，所以平面，显然不成立，故D错误.故选：ABC.11.已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与交于两点，点为点在上的射影，线段与轴的交点为，的延长线交于点，则（）A. B.C. D.直线与相切〖答案〗ABD〖解析〗由题知，，设，则，对于选项A，因为，所以，令，得到，所以，故，又，所以，所以选项A正确，对于选项B，由选项A知，所以，令，得到，所以，故，又，所以，故选项B正确，对于选项C，在中，，又由选项A知直线为的中垂线，所以，得到，所以选项C错误，对于选项D，因为，由，消得到，因为，所以直线与相切，故选项D正确，故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.的展开式中，二项式系数最大的项的系数是______.（用数字作答）〖答案〗〖解析〗因为，所以二项式系数最大的项为第项，又的展开式的通项公式为，令，得到，所以二项式系数最大的项的系数是.13.我们把离心率为的双曲线称为“黄金双曲线”．已知“黄金双曲线”，则的虚轴长为__________．〖答案〗〖解析〗因为，即，解得，所以的虚轴长为.14.若直线与曲线相切，则的最小值为__________.〖答案〗〖解析〗因为，所以，设切点为，则，由，得，，则，代入，得，则，令，则，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，所以，故.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在三棱台中，平面ABC，，，．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求直线与平面所成角的正弦值．解：（1）依题意，以点C为圆点，所在直线分别为建立如图所示空间直角坐标系在三椄台中.因为，，，所以所以设异面直线与所成角为则，所以，即直线与所成角的余弦值是（2）设直线与平面所成角为，则，平面的法向量为，，所以，令则,所以，所以，即直线与平面所成角的正弦值是.16.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求；（2）若，的面积为3，求.解：（1）由余弦定理，得，由正弦定理，得，因为，所以，则，即，显然，所以.（2）因为，所以，则由，得，因为，所以，所以，即，由，得，则，即，因为的面积为3，所以，则，解得（负值舍去），所以.17.某学校举行数学学科知识竞赛，第一轮选拔共设有，，，，五道题，规则为每位参赛者依次回答这五道题，每答对一题加20分，答错一题减10分；若连续答错两道题或五道题全部答完，则第一轮选拔结束．假设参赛者甲同学答对，，，，的概率分别为，，，，，且各题回答正确与否相互之间没有影响．（1）记为甲同学本轮答题比赛结束时已答题的个数，求的分布列及数学期望；（2）第一轮比赛结束后，若参赛者在第一轮出现过连续答对三道题或总分不低于70分，则可进入下一轮选拔，求甲同学能进入下一轮的概率．解：（1）由题可得可能取值为：2，3，4，5，，，，，的分布列如下：2345所以.（2）设，，，，分别代表第1，2，3，4，5个问题，用表示甲同学第个问题回答正确；用表示甲同学第个问题回答错误；由题意得，，，，，记甲同学能进入下一轮为事件，则.18.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，，过点作两条斜率互为相反数的直线，分别交于不同的两点．（1）求的标准方程；（2）证明：直线的斜率为定值，并求出该值．（1）解：设，且，因为，又，所以，解得，又点在上，所以①，又②，联立①②，解得，所以的标准方程为.（2）证明：设直线的方程为，直线的方程为，由，消得到，所以，得到，所以，同理可得，，所以为定值，即直线的斜率为定值，定值为.19已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若，且，证明：，且．（1）解：的定义域为R，由题意，得，x∈R，当时，恒成立，在R上单调递增；当，且当时，，单调递减；当时，，单调递增．综上，当时，在R上单调递增；当时，在区间上单调递减，