甘肃省武威市凉州区2023-2024学年高一上学期开学考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1甘肃省武威市凉州区2023-2024学年高一上学期开学考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）1.二次根式＝－a成立的条件是（）A.a>0 B.a<0 C.a≤0 D.a是任意实数〖答案〗C〖解析〗因为，所以.故选：C.2.若，则的值是（）A.-3 B.3 C.-9 D.9〖答案〗A〖解析〗依题意，所以，所以.故选：A.3.不等式的解集为（）A. B.或C. D.或〖答案〗B〖解析〗依题意可得，故，解得或，所以不等式的解集为或.故选：B．4.关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值范围是（）A. B. C. D.且〖答案〗B〖解析〗根据题意可知；，由韦达定理可得，解得.故选：B.5.下列四个函数图象中，当时，函数值随自变量的增大而减小的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以只用观察轴左边的图像，函数值随自变量的增大而减小，说明图像从左到右看，图像一直在下降，观察选项，只有D符合.故选：D.6.在同一平面直角坐标系中，函数与的图象的公共点的个数是（）A.3个 B.1个 C.2个 D.0个〖答案〗D〖解析〗联立与可得，则，由于，所以，故方程无实数根，所以与的图象没有公共点.故选：D.7.若一个所有棱长相等的三棱柱，它的主视图和俯视图分别是正方形和正三角形，则左视图是（）A.菱形 B.正方形 C.矩形 D.正三角形〖答案〗C〖解析〗因为正视图和左视图等高，俯视图的宽等于左视图正三角形的高，而主视图和俯视图分别是正方形和正三角形，所以左视图的长和宽不相等，所以左视图是矩形.故选：C.8.若是方程的两个根，则的值是（）A.2 B.－1 C.－2 D.1〖答案〗A〖解析〗由韦达定理可得，所以.故选：A.9.函数和的图象如图所示，有下列四个说法：①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么；④如果时，那么.其中正确的是（）A.①④ B.① C.①② D.①③④〖答案〗A〖解析〗当三个函数的图象依和次序呈上下关系时，可得，所以，若，可得，所以①正确；当三个函数的图象依，和次序呈上下关系时，或，所以，若，可得，所以②错误；由于当三个函数的图象没有出现和次序的上下关系，所以③错误；当三个函数的图象依和次序呈上下关系时，，所以，若时，可得，所以④正确.故选；A．10.已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两个实数根，则（m+2)(n+2）的最小值是（）.A.7 B.11 C.12 D.16〖答案〗D〖解析〗∵m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两个实数根，∴m+n=2t，mn=t2﹣2t+4，∴（m+2)(n+2）=mn+2（m+n）+4=t2+2t+8=（t+1)2+7．∵方程有两个实数根，∴△=（﹣2t)2﹣4（t2﹣2t+4）=8t﹣16≥0，∴t≥2，∴（t+1）2+7≥（2+1)2+7=16．故选：D．11.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的格点上，那么的值为（）A. B. C. D.4〖答案〗D〖解析〗如图中、，所以，所以.故选：D.12.将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图像为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，可得函数的大致图像如图所示，将其向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得函数图像为C选项中的图像.故选：C.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.若函数在上具有单调性，则实数的取值范围是________.〖答案〗或〖解析〗因为的对称轴为，若函数在上具有单调性，则或，解得：或.14.已知关于的不等式组的解集为，则的值为_______.〖答案〗〖解析〗由题意得：，则，解得，所以.15.设是方程两实根，是关于的方程的两实根，则=____，=_____.〖答案〗〖解析〗由于是方程的两实根，所以①；由于是关于的方程的两实根，所以②.由①②解得.16.边长为1的正八边形面积为______.〖答案〗〖解析〗如图，将正八边形补成正方形，由正八边形的性质可得，，则，所以，故为全等的等腰直角三角形，且，所以，，所以八边形的面积为.三、解答题（共70分.）17.将下列角度与弧度进行互化：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.解：（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.18.（1）化简：；（2）化简：；（3）先化简，再求值：，其中.解：（1）.（2）.（3），当时，原式.19.为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“A.书画类、B.文艺类、C.社会实践类、D.体育类”.现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题：（1）本次被抽查的学生共有______名，扇形统计图中“A.书画类”所占扇形的圆心角的度数为______度；（2）请你将条形统计图补全；（3）若该校七年级共有600名学生，请根据上述调查结果估计该校学生选择“C.社会实践类”的学生共有多少名？（4）本次调查中抽中了七（1）班王芳和小颖两名学生，请用列表法或画树状图法求她们选择同一个项目的概率.解：（1）由扇形统计图中可知：D体育类占比为，条形统计图中可知，D体育类有20人，故本次被抽查的学生共有：名，扇形统计图中“A.书画类”所占扇形的圆心角的度数为.（2）B类人数是：名，补全条形统计图如图所示.（3）从条形统计图可看出“C.社会实践类”的学生有8人，故600名学生中，估计“C.社会实践类”的学生数为名，答：估计该校学生选择“C.社会实践类”的学生共有96名.（4）所有可能的情况如下表所示：由表格可得：共有16种等可能的结果，其中王芳和小颖两名学生选择同一个项目的结果有4种，∴王芳和小颖两名学生选择同一个项目的概率.20.已知是一元二次方程的两个实数根.（1）是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（2）求使的值为整数的实数的整数值.解：（1）假设存在实数，使得成立，一元二次方程的两个实数根，，(不要忽略判别式的要求)，由韦达定理得，，但，不存在实数，使得成立.（2），要使其值是整数，只需要能被整除，故，即，，21.已知当时，函数的最大值为5，求实数的值.解：，其图象的对称轴方程为，顶点坐标为，图象开口方向由决定.若，函数图象开口向下，如图所示，当时，函数取得最大值，即，解得或（舍去）.故.若，函数图象开口向上，如图所示，∵，∴当时，函数取得最大值，即，解得或（舍去），故综上，或.22.如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接，.点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴，垂足为点H，交于点Q，过点P作交x轴于点E，交于点F.（1）求A，B，C三点的坐标.（2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形?若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由.（3）请用含m的代数式表示线段的长，并求出m为何值时有最大值.解：（1）在中，令，得，令，得，所以.（2）因为，所以由勾股定理可知，设直线的方程为，把代入方程中，得，解得，所以直线的方程为，设点Q的坐标，当时，则有，解得，舍去