湖北省十堰市郧阳区2024届高三下学期5月月考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省十堰市郧阳区2024届高三下学期5月月考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以.故选：A.2.若，则（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，所以，所以，故选：B.3.展开式中的系数为（）A. B.5 C.15 D.35〖答案〗A〖解析〗若要产生这一项，则当在中取1时，再在中取2个、取4个1，当在中取时，再在中取3个、取3个1，所以展开式中的系数为.故选：A.4.已知是等比数列，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设等比数列an的公比为，因为，所以，得到，所以，由，得到，所以，故选：C.5.某单位设置了a，b，c三档工资，已知甲、乙、丙三人工资各不相同，且甲的工资比c档高，乙的工资比b档高，丙领取的不是b档工资，则甲、乙、丙领取的工资档次依次为（）A.a，b，c B.b，a，c C.a，c，b D.b，c，a〖答案〗B〖解析〗由丙领取的不是b档工资，乙的工资比b档高，可得只有甲领取的是b档工资；又由甲的工资比c档高和乙的工资比b档高推出乙只能领取档工资；而从甲、乙、丙三人工资各不相同可推出丙只能领取c档工资；所以甲、乙、丙领取的工资档次依次为b，a，c.故选：B.6.三棱锥中，平面，．若该三棱锥的最长的棱长为9，最短的棱长为3，则该三棱锥的最大体积为（）A. B. C.18 D.36〖答案〗C〖解析〗因为平面，平面，所以，，故，因为，所以，故，则该三棱锥的最长的棱为，故，最短的棱为或，当最短的棱为，即时，由勾股定理得，故，故，当且仅当时，等号成立，故三棱锥体积为，当最短的棱为，即时，设，则，则，故，三棱锥体积为，当且仅当，即时，等号成立，当最短的棱为，即时，设，则，则，故，三棱锥体积为，当且仅当，即时，等号成立，综上，该三棱锥的最大体积为18.故选：C.7.在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在C上，且，，则C的离心率为（）A. B. C.3 D.2〖答案〗D〖解析〗如图所示，根据双曲线的定义，，，在中，由余弦定理得,即，又因，所以，所以，即.在中，由余弦定理得，，且,所以，化解得，即，，，所以，即，则故离心率.故选：D.8.已知函数的定义域为R，且，则下列结论一定成立的是（）A. B.为偶函数C.有最小值 D.在上单调递增〖答案〗C〖解析〗由于函数的定义域为R，且，令，则，得，时，恒成立，无法确定，A不一定成立；由于不一定成立，故不一定为偶函数，B不确定；由于的对称轴为与的位置关系不确定，故在上不一定单调递增，D也不确定，由于表示开口向上的抛物线，故函数必有最小值，C正确，故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某同学投篮两次，第一次命中率为．若第一次命中，则第二次命中率为；若第一次未命中，则第二次命中率为．记为第i次命中，X为命中次数，则（）A. B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗对于A，易知，故A正确；对于D，易知，故D正确；对于B、C，易知可取，则,，所以，，故B正确；C错误；故选：ABD.10.已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆半径为R．若，且，则（）A. B.面积的最大值为C. D.边上的高的最大值为〖答案〗AD〖解析〗在中，由及正弦定理，得，而，则，由余弦定理得，而，解得，对于A，，A正确；对于B，显然，当且仅当时取等号，，B错误；对于C，，C错误；对于D，令边上的高为，则，解得，D正确.故选：AD.11.已知函数，则（）A.曲线在处的切线斜率为B.方程有无数个实数根C.曲线上任意一点与坐标原点连线的斜率均小于D.在上单调递减〖答案〗BCD〖解析〗对于A，，则，故，A错误；对于B，由于为周期函数，当时，，故的图象大致如图示：结合图象可知，当x增大到一定数值满足后，大于的数将有无数个满足，B正确；对于C，设为y=fx上任意一点，则，由于，故，由于时，，故曲线y=fx上任意一点与坐标原点连线的斜率在时才取到正值，则时，取正值时，，取负值时，显然成立；设，则，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，故，由于取等号条件和取等号条件不一致，故，C正确；对于D，设，则，故在上单调递减，则，则；设，，故在1,+∞上单调递减，D正确，故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.数列满足，若，，则数列的前20项的和为______．〖答案〗210〖解析〗数列满足，若，，则，所以数列的奇数项、偶数项分别构成以1，2为首项，公差均为2的等差数列所以数列的前20项的和为.13.在正四棱柱中，，，M，N分别是，中点，则平面MNC1截该四棱柱所得截面的周长为______．〖答案〗〖解析〗延长相交于点，连接交于点，连接，因为正四棱柱中，，，M，N分别是，的中点，所以MN=AM2+AN因为∽，，故，，在上取点，连接，则，同理可知，所以四边形为平行四边形，故四点共面，则平面MNC1截该四棱柱所得的截面为五边形，，同理，故截面周长为.14.已知抛物线与圆相交于四个不同的点，则r的取值范围为______，四边形面积的最大值为______．〖答案〗〖解析〗联立，由题意知该方程有两个不等正根，即，所以；如图所示，由图形的对称性，不妨设，易知四边形为等腰梯形，其面积为，又点在抛物线上则有：，而，所以，，则，令，则，令，易得时，此时单调递增，时，此时单调递减，即，则，时取得等号.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2019年至2023年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2019年至2023年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5．（1）根据散点图判断，和哪一个适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）中的判断结果，建立y关于x的回归方程；（3）根据（2）的结果，估计2024年的企业利润．参考公式及数据；，，，，，，解：（1）由散点图的变化趋势，知适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型；（2）由题意得：，，，，所以；（3）令，，估计2024年的企业利润为99.25亿元．16.如图，在三棱台中，平面平面，，，．（1）求三棱台的高；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求．解：（1）作于点O，因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面，即为三棱台高，又因为平面，所以，连接，因为，，所以，，平面，所以平面，又平面，所以，，，所以，，所以三棱台的高为；（2）以O为原点，在面内，作，以，，所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，设平面的法向量为，则，可取，设，则，设直线与平面所成角为，，化简得，解得，或（舍去，因为，则，所以），所以．17.已知函数，其中且．（1）若是偶函数，求a的值；（2）若时，，求a的取值范围．解：（1）由题意，，即，解得，或（舍），经检验时，是偶函数，所以a的值为；（2）当时，，成立；当且时，，，又已证，故此时符合题意；当时，，因为函数都是增函数，所以函数f'x在上单调递增，且，故存在，使得当时，，从而单调递减，所以，存在，使得，此时不合题意．综上所述，且．18.已知点在椭圆上，到的两焦点的距离之和为．（1）求的方程；（2）过抛物线上一动点，作的两条切线分别交于另外两点．（ⅰ）当为的顶点时，求直线在轴上的截距（结果用含有的式子表示）；（ⅱ）是否存在，使得直线总与相切．若存在，求的值；若不存在，说明理由．解：（1）由题意，得．又在上，得，从而，故E的方程为．（2）（ⅰ）当为的顶点时，，不妨设在第一象限，直线的方程为，联立的方程为，可得．由，得．联立直线的方程与抛物线的方程，可得，则点的纵坐标为，由对称性知，故直线在轴上的截距为．（ⅱ）要使（2）中的直线与相切，必有，即，解得或（舍去）．设Px1,y1，Qx2,y直线方程为，即．联立椭圆方程可得，由可得，即．同理可得．因为直线同时经过点，所以的直线方程为．联立椭圆方程可得，于是