河南省新乡市多校联考2025届高三上学期调研考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省新乡市多校联考2025届高三上学期调研考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若为纯虚数，则（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗B〖解析〗因为为纯虚数，所以且，得，故．故选：B.2.已知向量，且，则（）A.4 B.3 C.2 D.1〖答案〗C〖解析〗由向量，可得，因为，可得，解得．故选：C.3.设集合，若，则的取值范围是（）A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题可知，由，可得，所以．故选：A.4.函数的最大值为（）A. B. C. D.0〖答案〗C〖解析〗由题意可得，所以的最大值为．故选：C.5.已知某圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为的扇形，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设圆锥的母线长为，则圆锥的底面半径，侧面展开图的扇形弧长，即圆锥底面的周长，因此，即又因为，故，所以关于单调递增，验证选项可知当时，符合题意．故选：D.6.已知函数在区间内单调递增，则的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗易知当时，单调递增，由题意，需在上单调递增，且，即．若，则，解得；若，则，满足题意；若，则恒成立．综上，的取值范围是．故选：A.7.设，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗.故选：C.8.设抛物线的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，，，则l的斜率是（）A.±1 B. C. D.±2〖答案〗D〖解析〗下图所示为l的斜率大于0的情况．如图，设点A，B在C的准线上的射影分别为，，，垂足为H．设，，则．而，所以，l的斜率为．同理，l的斜率小于0时，其斜率为．另一种可能的情形是l经过坐标原点O，可知一交点为，则，可求得，可求得l斜率为，同理，l的斜率小于0时，其斜率为．故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，则双曲线与有相同的（）A.焦点 B.焦距 C.离心率 D.渐近线〖答案〗CD〖解析〗对于选项A、B：设，易知的左、右焦点坐标分别为和，而的标准方程为，故其左、右焦点坐标分别为和，显然和的焦点和焦距均不相同，故A，B错误；对于选项C、D：和的离心率均为，渐近线方程均为，故C，D正确．故选：CD.10.随机投掷一枚质地均匀的骰子3次，记3次掷出的点数之积为，掷出的点数之和为，则（）A.事件“”和“”相等 B.事件“”和“”互斥C.为奇数的概率为 D.的概率为〖答案〗ACD〖解析〗对于A，事件“”和“”都相当于掷出两个1点和一个2点，故A正确；对于B，事件“”和“”都包含掷出两个1点和一个4点，故B错误；对于C，为奇数等价于“3次掷出的点数都为奇数”，因此其概率为，故C正确；对于D，事件“”的对立事件为“或”，，，因此，故D正确．故选：ACD.11.已知函数的定义域为，且其图象是一条连续不断的曲线，，记为的导函数，则下列说法正确的是（）A.B.为奇函数C.若，则D.若在上单调递减，则恰有三个零点〖答案〗ABD〖解析〗对于A，令，则，故A正确；对于B，令，得，令，得，所以，即为奇函数，故B正确；对于C，令，得，令，得，所以，故C错误；对于D，因为在上单调递减，又，所以存在，满足在上单调递增，在上单调递减，因此在上只有一个零点1，又是奇函数，所以恰有三个零点，故D正确．故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.2024年7月14日13时，2024年巴黎奥运会火炬开始在巴黎传递，其中某段火炬传递活动由包含甲、乙、丙在内的5名火炬手分四棒完成，若甲传递第一棒，最后一棒由2名火炬手共同完成，且乙、丙不共同传递火炬，则不同的火炬传递方案种数为______．〖答案〗10〖解析〗最后一棒可以是除甲、乙、丙之外的2人，也可以是从乙、丙中选1人，从除甲、乙、丙之外的2人中选1人组成，所以最后一棒的安排方案有：种；安排最后一棒后，剩余两人安排在中间两棒，方案有：种，由分步计数乘法原理，不同的传递方案种数为：种.13.在数列中，，且，则实数的取值范围是______．〖答案〗〖解析〗由题意知，解得．14.已知正数满足，则的最小值为______．〖答案〗1〖解析〗由，得，记，其中，原不等式化为，所以，所以，即．所以，当且仅当，即时取“”，所以的最小值为1．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，内角所对的边分别为，且．（1）求；（2）若，求面积的最大值．解：（1）因为，由余弦定理可得，由正弦定理可得，所以，又因为，所以．（2）因为且，由余弦定理得，即又因为，当且仅当时，等号成立，即，解得，所以的面积，即面积的最大值为．16.氮氧化物是一种常见的大气污染物，下图为我国2015年至2023年氮氧化物排放量（单位：万吨）的折线图，其中年份代码1~9分别对应年份2015~2023．已知，，，．（1）可否用线性回归模型拟合与的关系？请分别根据折线图和相关系数加以说明．（2）若根据所给数据建立回归模型，可否用此模型来预测2024年和2034年我国的氮氧化物排放量？请说明理由．附：相关系数．解：（1）从折线图看，各点落在一条直线附近，因而可以用线性回归模型拟合与的关系，由题意知，相关系数．故可以用线性回归模型拟合与的关系．（2）可以预测2024年的氮氧化物排放量，但不可以预测2034年的氮氧化物排放量．理由如下：①2024年与所给数据的年份较接近，因而可以认为短期内氮氧化物排放量将延续该趋势，故可以用此模型进行预测；②2034年与所给数据的年份相距过远，而影响氮氧化物排放量的因素有很多，这些因素在短期内可能保持不变，但从长期看很有可能会变化，因而用此模型预测可能是不准确的．17.如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为矩形，且平面平面分别为棱的中点．（1）证明：平面；（2）若，且二面角的大小为120°，求的值．（1）证明：如图，取棱的中点，连接．因为是棱的中点，所以且．又因为四边形是矩形，是棱的中点，故且，所以四边形是平行四边形，所以．又平面平面，故平面．（2）解：取棱的中点，则在正三角形中，，所以平面．以为坐标原点，的方向分别为轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系设，则．所以．设平面的法向量为，则即可取．设平面的法向量为，则即可取．由题设知，故，即．18.已知椭圆的左、右焦点分别为，且，过点作两条直线，直线与交于两点，的周长为．（1）求的方程；（2）若的面积为，求的方程；（3）若与交于两点，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值．解：（1）设椭圆的半焦距为，由题意知，所以，的周长为，所以，所以，故的方程为．（2）易知的斜率不为0，设，联立，得，所以．所以，由，解得，所以的方程为或．（3）由（2）可知，因为的斜率是的斜率的2倍，所以，得．所以，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为．19.已知函数，其中不全为0，并约定，设，称为的“伴生函数”．（1）若，求；（2）若恒成立，且曲线上任意一点处的切线斜率均