苏科版2024-2025学年九年级数学上册 圆 （专项练习）（培优练）

专题2.3圆（专项练习）（培优练）

一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.（2024九年级下•全国•专题练习）如图，在RtAABC中，ZC=90°,AB=10cm,若以点C为圆心，CB

的长为半径的圆恰好经过AB的中点D,则AC的长等于（）

A.5cmB.6cmC.5后cmD.5^cm

2.（2024•浙江杭州•一模）如图，在中，ZACB=90°,AC=12,BC=5,以点B为圆心，BC为

半径画弧交边A3于点P,则AP的长为（）

A.5B.6C.7D.8

3.（2024九年级•全国•竞赛）直径为4cm的圆中有一条长为2cm的弦，则圆心到这条弦的距离为（）.

A.1cmB.y/2cmC.V3cmD.2cm

4.（23-24九年级上•山东聊城•期中）如图，AB,CD是。。的弦，延长AB,CD相交于点E,己知

ZE=30°,ZAOC=100°,则的度数是（）

5.（23-24九年级上•吉林•期末）如图，Q4是半径，3为上一点（且不与点。，A重合），过点8作

的垂线交。。于点C,以OB,为边作矩形QBC。，连接若3。=5,BC=4,则A3的长为（）

A.8B.6C.4D.2

6.（2020•江苏苏州•模拟预测）如图，扇形AO3中，ZAOB=90°,半径。1=6,C是人台的中点，CD//OA,

交A3于点。，则8的长为（）

A.272-2B.72C.2D.60-6

7.（2024•湖南衡阳•一模）如图，在Rt^ABC中，ZACB=90。,ZA=30。，。是A3边上的高，AB=4,

若圆C是以点C为圆心，2为半径的圆，那么下列说法正确的是（）

A.点。在圆C上，点A,8均在圆C外B.点。在圆C内,点A,8均在圆C外

C.点A,B,。均在圆C外D.点A在圆C外，点。在圆C内，点B在圆C上

8.（2024・河南周口•模拟预测）如图，AB为半圆。的直径AB=4,点C为半圆。上一点，且Zfl4C=6O。,

以点A为圆心，以适当的长为半径画弧分别交AC于点以，交直径A3于点N,分别以点M、N为圆心，

大于:儿火的长为半径作弧，两弧相交于点P,作射线AP交半圆。于点O,过点。作交半圆。于

点Q,连接CQ,则CQ的长为（）

A.273B.73C.2D.2亚

9.（23-24九年级上•山东济宁•期中）如图①，点A,3是。。上两定点，圆上一动点P从圆上一定点5出

发，沿逆时针方向匀速运动到点A,运动时间是x（s）,线段AP的长度是y（cm）.图②是V随x变化的关

系图象，则图中山的值是（）

10.（2024•安徽马鞍山•一模）如图，在RtA4CB中，ZACB=90°,ZA=60°,AC=3,点。是斜边A3上

的动点，将AACD沿直线。翻折得到AECD,连接BE,则△3DE周长的最小值为（）

A.9-3A/3B.3+36C.9D.6+373

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

11.（2024九年级下•江苏•专题练习）如图，在扇形AOB中，。为弧A8上的点，连接AD并延长与的

延长线交于点C,若CD=Q4,ZC4O=76°,贝|NAOC=

12.（22-23九年级上•江苏,期中）已知NAPE,有一量角器如图摆放，中心。在巴4边上，为0。刻度线,

为180。刻度线，角的另一边PE与量角器半圆交于C,。两点，点C,。对应的刻度分别为160。，68°,

则ZAPE=

13.（23-24九年级下•上海•阶段练习）已知矩形ABCD中，AB=12,AD=5,分别以A,C为圆心的两圆

外切，且点D在OA内，点8在0c内，那么0C半径r的取值范围是

14.（17-18九年级上•江苏盐城•阶段练习）已知点尸为平面内一点，若点P到。。上的点的最长距离为5,

最短距离为1,则0。的半径为.

15.（2024•江苏扬州•一模）如图，点。是边长为2的正方形ABCD边8上一动点，连接40,点方关于4。

的对称点为。连接AD,OD'.若以。为圆心，OC为半径的。。过△AOD直角边的中点，则。。的

半径为.

16.（23-24九年级上•安徽黄山・期末）如图,在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0,12）,点8的坐标为（5,0）,

动点尸在以A为圆心，7为半径的圆周上运动，连接8尸.

（1）当动点2与点5距离最远时，此时线段肝的长度为；

（2）连接OP,当AOBP为等腰三角形时，则尸点坐标为.

17.（2024•安徽合肥•三模）如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,ZB=300,AC=2,点。是3c的中点,

点E是边A3上一动点，沿DE所在直线把ABDE翻折到AB力E的位置，B，D交AB于点、F,连接AQ.

（2）若AAB'F为直角三角形，则正的长为.

18.（2024•江西景德镇•三模）如图，在AABC中，ZG4B=60°,ZB=75°,AB=4,平分/CAB交BC

于点。，在AB边上存在一点E（不与点3重合），作ADBE关于直线。E的对称图形为若点F落

在44BC的边上，则DE的长为

三、解答题（本大题共6小题，共58分）

19.（8分）（24-25九年级上•全国•课后作业）如图，AB是。。的直径，AC是。。的弦，AB=2,

ABAC=30°.在图中作弦AD,使45=1,并求NC4D的度数.

20.（8分）（23-24九年级上•辽宁大连•期中）如图，点A,8,C,。在。。上，连接。4,OC,若NQ4B=60。,

ZABC=ZAOC,AO=BC,求证：四边形。ABC是菱形.

21.（10分）（23-24九年级上•广西南宁•期中）如图，在RtZXABC中，ZC=90°,30平分/ASC,点。在

A3上，以点。为圆心，。5为半径的圆经过点。，交BC于点、E.连接。。，则半径8=03.

（1）求证：OD±AC；

22.（10分）（23-24九年级上•全国•课后作业）如图，Rt^ABC的两条直角边3c=15cm,AC=20cm,

斜边AB上的高为CD.若以C为圆心，分别以a=llcm,2=12cm,4=13cm为半径作圆，试判断。点

与这三个圆的位置关系.

23.（10分）（18-19九年级上•江苏盐城・期中）如图，矩形A8CD中AB=3,AD=4.作。E/AC于点E,

作于点F.

（1）求AF、AE的长；

（2）若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、尸五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，求OA

的半径，的取值范围.

24.（12分）（23-24九年级上•江苏连云港•期中）【深度阅读】苏格兰哲学家托马斯•卡莱尔（1795-1881）

曾给出了一元二次方程/+6x+c=0的几何解法：如图1,在平面直角坐标系中，已知点A（0,l）,

以A3为直径作0尸.若0尸交x轴于点”（加,0）,N（n,0）,贝。mw为方程尤?+/+C=0的两个实数根.

【自主探究】（1）由勾股定理得，A”=12+疡，BM2=c2+（-b-m^,AB2=（l-cf+b2,在

中,AM?+BAf2=AB?,所以12+疗+/=（1—c）2+6?,化简得：根2+为〃+c=0.同理可得_

所以机，〃为方程尤2+"+c=0的两个实数根.

【迁移运用】（2）在图2中的龙轴上画出以方程Y-3x-2=0两根为横坐标的点M,N.

（3）己知点A（0，l）,5（4,-3）,以AB为直径作。C.判断0c与x轴的位置关系，并说明理由.

【拓展延伸】（4）在平面直角坐标系中，已知两点A（O,a）,B（-b,c）,若以A3为直径的圆与x轴有两个

交点M,N,则以点N的横坐标为根的一元二次方程是一

参考答案:

1.D

【分析】本题主要考查圆的基本性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理，熟练掌握圆的基本性质、直

角三角形斜边中线定理及勾股定理是解题的关键.

连接CD,由直角三角形斜边中线定理可得CD=,然后可得ACDB是等边三角形，则有BD=3C=5cm,

进而根据勾股定理可求解.

【详解】解：连接如图所示：

回点。是AB的中点，ZC=90°,AS=10cm,

BCD=BD=-AB=5cm,

2

0CD=BC,

回CD=BD=BC=5cm,

在Rt^ACB中，由勾股定理可得AC=y]AB2-BC2=5^cm，

故选：D.

2.D

【分析】本题考查了勾股定理，圆的基本性质，由勾股定理得到他=13,由题意得到族=3C=5,即可

求解，掌握勾股定理是解题的关键.

【详解】解：EZACB=90°,AC=12,BC=5,

0AB=7AC2+BC2=13>

回以点8为圆心，BC为半径画弧交边A3于点P,

团BP=BC=5,

SAP=AB-BP=13-5=8,

故选：D.

3.C

【分析】本题主要考查了圆，等边三角形，含30。的直角三角形，熟练掌握圆直径与半径的关系，等边三

角形判定和性质，含30。的直角三角形性质，是解决问题的关键

画图，根据半径等于直径的一半求出。4、。8的值，结合A3的值推出AOAB是等边三角形，推出AC=1,

ZAOC=30°，根据含30。的直角三角形性质即得OC=也

【详解】如图，设。。的直径为45=4,弦为AB=2,OCLAB于点C,连接。8,

贝"。4=03=以0=2,

2

0OA=OB=AB，

回△OAB是等边三角形，

0AC=-AB=1,ZA(9B=60°,

2

0?AOC-1AOB30?,

2

ROC=6AC=6

故选：c.

4.C

【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，圆心角等知识.明确角度之间的数量关系是解题的

关键.

如图，连接OROD、AC,由三角形内角和求NOAC+/OC4=180。—NAOC,

Z.EAO+ZECO=180°-ZE-(Zft4C+ZOCA),

ZAOB+ZCOD=180°-(ZO4B+ZOK4)+180°-(Z.OCD+ZODC),根据

ZBOD=360°-ZAOC-(ZAOB+NCOD),计算求解即可.

【详解】解：如图，连接08、OD、AC,

0ZOAB=ZOBA,NOCD=NODC,Z.OAC+Z.OCA=180°-ZAOC=80°,

ElZEAO+ZECO=180°-ZE-(ZOAC+ZOCA)=70°,

0NOAB+ZOBA+ZOCD+NODC=2x70°=140°,

0ZAOB+ZCOD=180°-(ZOAB+NOBA)+180°-(ZOCD+NODC)=220°,

0ZBOD=360°-ZAOC-(ZAOB+NCOD)=40°,

回的度数为40°,

故选：C.

5.C

【分析】本题主要考了矩形的性质，勾股定理，连接OC,先根据矩形的性质和圆的性质得到NC®C=90。,

BC=OD=4,OC=BD,由勾股定理得到最后由AB=Q4-03,即可得到答案.熟练掌握矩形的

性质，添加恰当的辅助线是解题的关键.

【详解】如图，连接OC,

0ZOBC=90°,OC=BD=5,BC=OD=4,

在Rt^O3C中，由勾股定理得：OB=JoC?-BC?=-4?=3，

046=04-05=5-3=2,

故选：D.

6.D

【分析】连接0C,延长CD交0B于点E,如图，易得MOB、0COE,EIBDE都是等腰直角三角形，然后根

据等腰直角三角形的性质求出CE与DE的长，从而可得答案.

【详解】解：连接0C,延长CD交0B于点E,如图，

BZAOB^90°,C是A2的中点，

00COE=45°,

S1CD//OA,ZAOB=90°,

0CE0OB,

EEIOCE=I3COE=45°,

0CE=OE=（9c=—x6=3A/2,

22

[?]BE=OB—OE=6-372，

回0A二OB,ZAOB=90°,

酿ABO=45°,

回团BDE=回ABO=45°,

回EB二ED=6—3A/Z，

团CD二CE—DE=30-（6-30）=60-6.

故选：D.

【点睛】本题考查了圆心角和弧的关系、等腰直角三角形的判定和性质等知识，属于常考题型，熟练掌握

等腰直角三角形的判定和性质是解此题的关键.

7.D

【分析】本题考查了含有30。角的直角三角形，勾股定理，点与圆的位置关系.由题干条件得出两个直角

三角形中含30。角所对的直角边等于斜边的一半，即8。=工43与利用勾股定理即可求解出

22

AC,CD,再根据点与圆的位置关系判断即可

【详解】在RtZWBC中，ZA=30°,则8C=；A3=；x4=2,

AC=VAB2-BC2=2G

SCD1AB,ZACB=90°

0ZBCD=90°-ZB=ZA=30°.

0BD=-BC=-x2=l.

22

:.CD=y/BC2-BD2=6

圆C是以点C为圆心，2为半径的圆,

CD=y/3<2,BC=2,AC=243>2,

二点A在圆C外，点。在圆C内，点8在圆C上

故选：D.

8.D

【分析】本题考查了基本作图，圆的有关概念，等边三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识.连接CO,

可得△期是等边三角形，由作图得3。平分/ABC,求出/。。。=90。，再根据勾股定理求解.

【详解】解：连接CO,

EIQ4=OC,ZBAC=60°,

0AOCA是等边三角形,

0ZAOC=60°.

由作图得：8。平分/ABC,

0ACAD=ABAD=-ABAC=30°.

2

SOQ//AD,

回/80。=/朋£>=30°,

EINCOD=90°.

^OC=OQ=^AB=2,

0C2=722+22=2>/2.

故选D.

9.D

【分析】本题考查的是动点图象问题，涉及了弧长公式，等边三角形的判定和性质.根据图②得：当x=2

时，y=AP=6,此时AP为。。的直径；当工=帆时，y=AP=3,可求出圆的半径，从而得到AOAB是等

腰直角三角形，再根据当尸点走到点A,O,尸三点共线的位置，求出点尸走过的弧长，从而得到点尸的

运动速度，再根据当工="时，AAOP是等边三角形，可求出当>=3时，点尸走过的弧长，即可求解.

【详解】解：根据图②得：当工=2时，y=AP=6,此时AP为。。的直径；当工=加时，y=AP=3,

团圆的半径OA=OB=-AP=3,

2

当尤=0时，AP=AB=3^/2，

SOA'+OB2=AB2,

团AQ4B是等腰直角三角形，

当P点走到点A,0,尸三点共线的位置，即点M处时，如图,

图①

QQ*77"xaq

此时点P走过的弧长为£==万cm,

1802

3冗3冗

团点P的运动速度为q-+2=：-cm/s,

团当％=根时，y=AP=3,

团止匕时。4=QB=AP=3,

团此时AAOP是等边三角形，

团NAQP=60。，

w上八十一田口”1/»(180-60+90)x^x37

团当y=3时，点尸走过的弧长为^-----------------=-7rcm,

1802

73万14

团相=一——=—.

243

故选：D

10.B

【分析】此题考查了勾股定理，直角三角形30度角的性质，熟练掌握各性质是解题的关键：

利用直角三角形30度角的性质及勾股定理求出AB,BC,根据折叠的性质得到DE=AD,推出△3DE的周

长=48+3"，当BE最短时，△皮)E的周长最小，以点C为圆心，AC长为半径作圆，则点C,E,B三

点共线时，BE最短,由此得到答案.

【详解】回在RtaACB中，ZACB=90°,NA=60。，AC=3,

0AS=2AC=6,BC=7AB2-AC2=373-

由翻折得：DE=AD，

ABDE的周长=BD+DE+BE=BD+AD+BE=AB+BE,

则当BE最短时，△5DE的周长最小,

以点C为圆心，AC长为半径作圆，则点C,E,8三点共线时，的最短,

0BE=BC-CE=34-3,

回△fiDE的周长=42+2£=6+36—3=3+3石,

故选：B.

【详解】本题考查了等腰三角形的判定和性质以及三角形外角的性质，解题的关键是正确添加辅助线构造

等腰三角形.连接。。，根据等腰三角形的性质得出NA=/ADO,进而求出/C,再利用三角形的内角和

求出—AOC.

【解答】解：连接OD,

,/OA=OD,

:.ZADO=ZA=16°,

・.・CD=Q4,

CD=OD,

ZC=/COD=-ZADO,

2

.\ZC=38°,

/.ZAOC=180°-76°-38°=66°.

故答案为：66.

【分析】利用点C。对应的刻度分别为160。，68°,求出NCOD,/COP,再根据OC=QD求出NOCD,

利用外角的性质得到NOCD=Z.COP+ZAPE,从而得解.

【详解】解：如图，连接0。，OC,

0ZCOD=ZAOC-ZAOD=92°,NCOP=180°-ZAOC=20°,

0OC=OD,

0ZOCD=ZODC=|x(180°-ZCOD)=.1x(1800-92o)=44°,

0NOCD=NCOP+ZAPE,

0TAPE=ZOCD-NCOP=24°,

故答案为：24.

【点睛】本题考查等边对等角，三角形外角的定义与性质，圆心角等知识，根据刻度找出相应的圆心角并

计算其他角度是解题的关键.

13.5<r<8

【分析】本题主要考查了两圆相切的性质以及点和圆的位置关系，求出0A的半径是本题解题的关键.

根据勾股定理求出AC的长，再根据以A,C为圆心的两圆外切得出OA的半径，最后根据点和圆的位置

关系，求出,的取值范围即可.

由勾股定理得，AC=\lAB2+AD2=13>

,以A,C为圆心的两圆外切，

的半径为AC-r=13-厂，

,点。在0A内，

AZ)v13—r,

r<8,

••・8在OC内，

BC<r,

/.r>5,

/.5<r<8.

故答案为：5<r<8.

14.3或2

【分析】本题应分两种情况进行讨论，当P在圆内，直径长度为5+1=6,半径为3；当P在圆外，直径长

度为5-1=4,半径为2.

【详解】解：回当尸在圆内，直径长度为5+1=6,半径为3,

当尸在圆外，直径长度为5-1=4,半径为2,

回0。的半径为3或2.

故答案为：3或2.

【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，在解答此题时要注意分类讨论.

2T5

15.§或了

【分析】本题主要考查正方形的性质，圆的有关概念，对称的性质以及勾股定理等知识，根据对称的性质

得AO注A。,。。=OO,运用SSS证明AAD09二”£>0,得？AD091ADO90?,设。。的半径OC=x,

贝OD=2-尤，根据过AAODT直角边的中点列方程求解即可

【详解】解：回四边形ABCD是正方形，

0AD=CD=2,1ADC90?,

团点D与N关于AO的对称，

0DW=DO,AD=AD=2,

又AO=AO,

0AAD^O^AADO(SSS),

07AZJ0O2ADO90?,

设。。的半径OC=x,则QD=2-尤，

①当。。过"OD直角边D'O的中点时，则有：

2-x

=%,

2

2

解得，x=-,

所以，此时。。的半径为:；

②当。。过△AOD直角边切的中点时，则有：12+(2-%)2=X2

解得，尤=4，

所以，此时。。的半径为

4

综上，0。的半径为?:或彳5；

34

故答案为：［2或15

34

16.20(0,5)或-,12+或-,12---—j

【分析】本题考查了点到圆上点的最值，等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，注意分类讨

论.

(1)连接AB,当点P在线段54延长线上时，3尸最长，由勾股定理求出AB的长，即可求得3P最大值；

(2)分三种情况考虑：OB=OP,易得此时点尸的坐标；OP=BP,过P作尸E_Lx轴于E,过尸作PNLy

轴于M连接AP；设ON=a,利用勾股定理建立方程即可求解；

OB=BP,此种情况不存在.

【详解】解：(1)如图，连接AB,

当点P在线段54延长线上时，BP最长,

此时BP=AB+AP；

回点A的坐标为(0,12),点3的坐标为(5,0),

EIOA=12,OB=5,

由勾股定理得：AB=JQV+OB?=13；

团AP=7,

0BP=AB+AP=13+7=2O；

故答案为：20.

(2)分三种情况：

当O3=OP时，如图,

此时点P在y轴上，且在点A下方，

SOP=OA-AP=12-1=5=OB

团点P的坐标为(0,5)；

当OP=3尸时，

如图，过尸作轴于E,过尸作PNJ.〉轴于N,连接AP；

贝OE==|,NPEO=ZPNO=/NOE=90°,

回四边形PNOE是矩形，

EIPN=OE=*；

2

设ON=a,则A2V=。4一ON=12—a,

在RtZXPAN中，由勾股定理得：+(12-“)2=7?,

解得：q=12+

团点P的坐标为

当OB=BP,BP的最小值为13-7=6>5,此种情况不存在.

6

17.币-拒1或不

【分析】（］）找到点3’的运动轨迹，用三角形三边关系确定AB的最小值即可;

（2）分两种情形画出图形，构造直角三角形用勾股定理解决问题.

【详解】解：（1）由题意可得，CD=BD=B'D,

二3'在以。为圆心8为半径的圆上，如图一所示：

图一

在点2'运动过程中，在AAD?中，由三边关系得,

AB'2AD—B'D，

在变化过程中，AO和B'D保持不变，

故A9的最小值为AD-3Z）,即如图二所示:

在RtZ\ABC中，ZB=30°,AC=2,

BC=2y/3,AB=4,

CD=BD=B'D=LBC=6,

2

在RtaACD中，AC=2,CD=y/3,

22

AD=y/AC+CD=卜+阴=^/7，

故AB,的最小值为AD-B'D=Jl-y/3.

（2）AAB'P为直角三角形，分两种情况:

@ZAFB'=90°，

B'

图三

在RtAB。尸中，BD=6，ZB=30°,

BF=~,

2

3

设3E1=x,EF=——%,

2

3

在RSBZ厂中，Z£BT=30°,EF=--x,B,E=x,

解得，x=l

即3E=x.

（2）ZAB/D=90°,过E点作EH_LM交A9的延长线与“点，如图四所示:

图四

由折叠的性质可知，ZDBE^ZDB'E=30°,

ZAB'D=90°,

:.ZAB'E=900+30°=120°,

ZEB'H=60°-

设BE=B'E=x,

・•・在RtAB'EV中，B'H=-x,HE=—x,

22

在RtAACD和RtZxAB'D中

[AD=AD

[CO=B'D

RLACZ^RtAABZ）（HL）

.­.AB'=AC=2>

在RtA4〃E中，AH=2+-x,HE=—x,AE=4-X,

22

++~~x=（4-xJ,

解得：x=g.

综上，BE的长是1或g.

【点睛】本题考查翻折变换，勾股定理解直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是看

出运动点的轨迹，学会分类讨论的思想解决问题.

18.2或2近或4

【分析】判断得出点方在以点。为圆心，长为半径的圆上，分三种情况讨论，画出图形，利用含30

度角的直角三角形以及勾股定理求解即可.

【详解】解：回AD平分ZG4B=60°,

团NCW=NBW=30。，

团N5=75。，

⑦ZADB=180。—/BAD—NB=75。=/B,

团AD=AB=4，

由折叠的性质得小=QB,而D3是定长，

回点厂在以点。为圆心，DB长为半径的圆上，当点可在边AB上时，如图,

回。于点E,

ODE,=；A£)=2；

当点尸在边AC上时，有两种情况，

当E、尸在如图的生、外的位置时，作DH_LAC,

团40平分一区4。，

®DH=DE\=2,

又回。工=。3,

[?]PXADHF2=P1ADE1B(HL),

出/HDF2=NE\DB,

国DF]=DB,/DBF】=75。,

团NO48=75。，

回/RDB=180。一ADBFX-/DF1B=30°,

团ZHDF2=NE[DB=/警B=15。，

团ZDHA=NDE]A=90°,NgAH=60°,

团NEQH=360°-ZDHA-NDE】A—ZE}AH=120°,即ZHDF2+ZF2DEi=120。，

团。，

/E[DB+AF2DEX=ZF2DB=120

团ZF2DE2=ZBDE2,

ElZBDE2=^ZF2DB=60°,

0NEQE?=ZBDE2-ZE.DB=45°,

回△£>&纥是等腰直角三角形，

团DEX=2,

22

ffl£>E2=V2+2=2A/2；

当E、尸在如图的与、鸟的位置时（石3与A重合），

团DE3=DA=4；

若尸在边BC上时，此时对应的E点不在43上，此情况不存在，

综上，£>E的长为1或0或4.

故答案为：2或2近或4.

【点睛】本题考查了轴对称的性质，含30度角的直角三角形以及勾股定理，等腰直角三角形的判定和性

质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键.

19.图见解析，NC4D的度数为30。或90°

【分析】此题主要考查了等边三角形的判定与性质，以及圆有关的概念，注意有两种情况，不要漏解

以点A为圆心，以49长为半径画圆交。。于点2、D2,连接AR,AA,则A2或A3即为所求作的弦

AD.由作图与圆的的有关概念得出A，=4。=2。，从而得AAOR是等边三角形，进而得出N，AO=60。,

ZCAD2=ZBAD2+ZBACf进而得出答案.

【详解】解：如图，以点A为圆心，以AO长为半径画圆交。。于点2、。2,连接AD1,AD2,则AR或

A3即为所求作的弦

连接OR,OD2.

^\ADX=AO=DXO,

团△AO。1是等边三角形，

团ND"=60。

回NR4C=30。

0/CAD】=ABAD,-ABAC=30°.

同理：ZCAD2=ZBAD2+ABAC=90°.

综上所述，NC4Z＞的度数为30。或90。.

20.见解析

【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，圆的性质，菱形的判定.熟练掌握菱形的判定是解题的关

键.

如图，连接OB,由。4=OBZ(MB=60°,可得AOAB是等边三角形，则。4=AB,OA=AB=BC=OC,

进而可证四边形Q4BC是菱形.

【详解】证明：如图，连接。8,

0Q4=(9B,NQ4B=60°,

回是等边三角形,

团Q4=AB,

国AO=BC,

^\OA=AB=BC=OCf

团四边形。4BC是菱形.

21.⑴证明见解析；

(2)S四边形oocE=24A/5.

【分析】(1)证明。D〃3C,得到NODC+NC=180。，即可求证；

(2)连接0E,过点E作E尸，OD于点/，可证明四边形CDEE为矩形，得到所=CD=4百，CE=DF,

利用勾股定理求得。尸=4,判断四边形ODCE是直角梯形，代入梯形面积计算公式即可求解；

本题考查了圆的性质，角平分线的定义，平行线的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，构造辅助

线，利用勾股定理求得是解题的关键.

【详解】(1)证明：回3D平分/ABC,

SZABD^ZCBD,

团OB=OD,

⑦NOBD=NODB,

^ZODB=ZCBD,

也OD〃BC,

ZODC+ZC=180°,

0ZC=9O°,

^ZODC=90°,

BOD±AC；

(2)解：连接OE,过点E作跖，OD于点尸，则NE㈤=90。，

ADC

ElZFDC=NC=ZEFD=90°,

团四边形CDFE为矩形，

0EF=CD=4A/3,CE=DF,

团OE=OB=8,

0OF=\IOE2-EF2^^82-（4^）2=4,

团DF=OD—OF=8—4=4,

^CE=DF=4,

⑦OD〃BC,ZFDC=ZC=90°f

团四边形。DCE是直角梯形，

回S四边形ODCE=gx（4+8）X46=24A/3.

22.当以q=Hcm为半径作圆时，。点在这个圆的外部；当以4=12cm为半径作圆时，。点在这个圆上;

当以g=13cm为半径作圆时，。点在这个圆的内部

【分析】根据勾股定理得到Afi=25cm,再由等面积法求出CD="£=12cm,结