河北省2025届高三上学期大数据应用调研联合测评（I）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省2025届高三上学期大数据应用调研联合测评（I）数学试题一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集是实数集，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依题意，，则，又，所以.故选：B.2.设为虚数单位，复数满足，则（）A.2 B. C.4 D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，所以，故选：A.3.已知向量，且，则（）A.2 B.-2 C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，又因为，所以，所以，故选：C.4.已知正项等比数列满足，则数列前10项和为（）A255 B.511 C.1023 D.2047〖答案〗C〖解析〗设等比数列的公比为，由，得又因为各项均为正数，所以所以，因此，故选：C.5.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，等号两边同时除以，得到，即，故选：A.6.已知某圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，高为，若某一球的体积与该圆台体积相同，则该球的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由已知圆台的体积为，设该球的半径为，则，，所以该球的表面积，故选：C.7.现从环保公益演讲团的6名教师中选出3名，分别到三所学校参加公益演讲活动，则甲、乙2名教师不能到学校，且丙教师不能到学校的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗6名教师选出3人分别到三所学校的方法共有种.甲、乙2名教师不能到学校，且丙教师不能到学校的：第一种情况：若丙去校，有种选法；第二种情况，若丙不去校，则校有种选法，校有种选法，校有种选法，共有种，所以一共有种.所以由古典概型可得，所求概率.故选：D.8.给定函数，用表示中的最大者，记作，若，则实数的最大值为（）A. B.1 C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可得，，等价于恒成立，设恒成立，设，令，则，解得，单调递减，时，单调递增，.，则时，单调递减，时，单调递增，，解得，所以实数的最大值为1.故选：B.二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已为随机变量，且，其中，则下列命题正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则〖答案〗ACD〖解析〗对于A，由正态分布的期望公式得，，故A正确；对于B，由正态分布的方差公式得，，故B错误；对于C，由正态分布的对称性得，，所以，故C正确；对于D，由，则，根据方差的性质知，分布更集中，所以，故D正确.故选：ACD.10.设函数为函数的极大值点，则下列结论正确的是（）A.B.若为函数的极小值点，则C.若有三个解，则的取值范围为D.当时，〖答案〗ABC〖解析〗A选项，因为为函数的零点，且为函数的不变号零点，由数轴穿根法，及极值点定义可得，故A正确；B选项，，可得，画出的大致图象如图，为极小值点，故，解得，所以B正确；C选项，，由有三个解，则，解得，故C正确；D选项，由以上分析可得，时单调递增，因为时，，所以，所以D错误.故选：ABC.11.已知曲线（如图所示）过坐标原点，且上的点Px,y满足到两个定点，的距离之积为4，则下列结论正确的是（）A.B.C.周长的最小值为8D.的面积最大值为2〖答案〗ABD〖解析〗由题意，,即，对于A，因曲线过原点，将O0,0代入，解得，故A正确；对于B，在中，令，则得，解得，或，由图知，，故B正确；对于C，因，当且仅当时等号成立，此时点，由图知，此时不能构成三角形，即取不到最小值4，则周长也取不到最小值8，故C错误；对于D，由上分析可得，，即，即，整理得，，解得，设，由可得.则，故当时，有最大值1，此时，有最大值为，所以D正确.故选：ABD.三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知双曲线的左､右焦点分别是，若双曲线右支上点满足，则该双曲线的离心率为__________.〖答案〗〖解析〗在双曲线中，，所以，即，所以，又，所以又点双曲线右支上，所以，解得，由双曲线定义可知，，所以，所以离心率.13.若为函数图象上的一点，，则MN的最小值为__________.〖答案〗〖解析〗设，，即曲线在点处的切线的斜率为，直线的斜率为，当曲线在点处的切线与直线垂直时，MN最小，即，即，设，，令，则，即hx在0,1上单调递增，1,+故，在0,+∞恒成立，，，当且仅当，即时等号成立，在0,+∞上单调递增，又因为，，，即时，MN最小，最小值为.14.已知是三个集合，且满足，则满足条件的有序集合对的总数是__________.（用数字作答）〖答案〗1024〖解析〗集合的子集共有个，因为，所以集合有32种情况，集合有32种情况，所以满足条件的有序集合对的总数是.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）15.设的内角的对边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若，且的面积为，求的周长.解：（1）由，，又，，得（2）由已知可得，，可得.又由余弦定理可得，化简得，，联立解得，所以的周长为.16.如图，在四棱锥中，四边形为矩形，底面，是的中点，点在棱上，且.（1）证明：；（2）若二面角的余弦值为，求.（1）证明：因为底面底面，所以.因为四边形为矩形，所以.因为，平面,平面,所以平面.因为平面，所以.在中，是的中点，则.因为，平面,平面,所以平面.因为平面，所以.又因为，平面,平面,所以平面.因为平面，所以.（2）解：方法一：以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，设，则，所以，由（1）知为平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，则即令，则，所以，所以，解得，即.方法二：由（1）可得平面因为平面平面，所以.所以为二面角的平面角.所以，设，则，所以，解得，即.17.已知椭圆焦点在轴上，离心率为，对称轴为坐标轴，且经过点.（1）求椭圆的方程；（2）若过的直线交椭圆于两点，求的取值范围.解：（1）依题意，可设椭圆的方程为.由得，又因为，所以，则，因为椭圆经过点，代入上述方程解得，则，所以椭圆方程为.（2）由（1）可知：，当斜率不存在时，若点与重合，与重合.此时.若点与重合，与重合，则.当直线斜率存在时，设直线，联立得消去可得，显然，则，可得，整理可得，因为，可得，令，则，解得，即，所以.综上，的取值范围为.18.已知函数.（1）求证；（2）求方程解的个数；（3）设，证明.（1）证明：令，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以当时，单调递增，则，所以得证.（2）解：由得，即，令，所以函数的零点个数，即为方程解的个数，，令，即，解得，-0+单调递减单调递增因为，所以在上有唯一一个零点，又，所以在上有唯一一个零点.综上所述，方程有两个解.（3）证明：由（1）知，，令，则，即，设，则满足，所以，即，所以所以即.19.定义二元数，将所有的二元数按照从小到大排列后构成数列.（1）求；（2）对于给定的，是否存在，使得，成等差数列？若存在求出满足的条件；若不存在，请说明理由；（3）若，求.解：（1）令，得令，得，令，得，令，得，令，得，令，得（2）若成等差数列，则，即.当时，