广东省深圳市某中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题（含答案）

南实集团麒麟中学2024-2025学年度第一学期开学考试

九年级数学试题2024年9月

注意事项：

1.全卷共4页.

2.考试时间为90分钟，满分100分.

3.答题时，考生务必将姓名、班级、考号、考试科目、试卷类型用2B铅笔填涂在答题卡上，

并用黑色签字笔填写相应信息.请考生按要求在答题卷规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷

上答题一律无效.

第I卷（选择题共24分）

一、选择题（8小题，每小题3分，共24分）

1.下列分式是最简分式的是（）

2a2aa+ba2-ab

A.---B.—C.—3------yD.—

3a~b4ba~+b~a"-b2

2.已知关于x的一元二次方程机/-4x-2=0有两个不相等的实数根，则加的取值范围是（）

A.m>—2B.m>—2C.机N-2且加w0D.机>一2且机/0

3.下列说法：①四边相等的四边形一定是菱形；②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形；③对

角线相等的四边形一定是矩形④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两

部分.其中正确的有（）个.

A.4B.3C.2D.1

4.在4x4的正方形网格中，点4民。均为小正方形的顶点，老师要求同学们作边NC上的高.现有的工具

只有无刻度的直尺和圆规，两同学提供了如下两种方案，对于方案I,n,下列说法正确的是（）

方案II

①以点5为圆心适当长为半径画弧，交AC于点、D,E；①按如图方式取点尸，点尸为小正方形的顶点；

②连接AP交边/C于点。.8。即为所求.BG

②分别以点2E为圆心，大于长为半径画弧，两

即为所求.

弧交于点尸；

③连接5厂，交边NC于点G.

A.i可行、ii不可行B.i不可行、n可行c.I、ii都可行D.I、n都不可行

5.某个正六边形螺帽需要拧4圈才能拧紧，小梧用扳手的卡口卡住螺帽，通过转动扳手的手柄来转动螺帽（如

图所示）.以此方式把这个螺帽拧紧，他一共需要转动扳手的次数是（）

A.4B.16C.24D.32

6.若平行四边形的一边长为8cm,一条对角线的长为6cm,则另一条对角线长X的取值范围为（）

A.2cm<x<14cmB.5cm<x<11cmC.10cm<x<22cmD.4cm<x<28cm

7.如图，在平行四边形纸片48co中，对角线NC与8。相交于点瓦NAE5：二45。,50=4,将纸片沿对角

线NC对折，使得点8落在点8'的位置，连接£■',则。8'的长为（）

BC尸---------C

A.272B.2GC.472D.V5

8.如图，在正方形48c。中，£是边40中点，尸是边48上一动点，G是所延长线上一点，且

GF=EF.若40=4,则£6?+。62的最小值为（）

AED

BC

A.52B.60C.68D.76

第H卷（非选择题共76分）

二、填空题（5小题，每小题3分，共15分）

V2-1

9.已知分式/、/、，当》=___________时，分式的值为0.

（x-2）（1）

:加x+2相交于点Z1-1•，-1]

10.如图，平面直角坐标系中，经过点5（-4,0）的直线y=左％+6与直线歹二

则不等式加工+2<kx+b<0的解集为.

11.对于实数加、n,定义运算"※"：加※〃=机〃+例如，4^2=4x2x（4+2）=48.若西,》2

是关于x的一元二次方程5x+4=0的两个实数根，则项※/=.

12.如图，△48C中，8c=10,ZC—48=4,40是/氏4c的平分线，CDVAD,则△ADC面积的最

大值为•

13.如图，在△48C中，NC=90°,Z8=4,8C=2,£＞是48的中点，点E在边NC上，将34DE沿DE

翻折，使点4落在点H处，连接//'、A'B,当△///是等腰直角三角形时，43的长为.

三、解答题（本大题有7题，其中14题10分，15题6分，16题8分，17题8分，18题8分,

19题9分，20题12分，共61分）

14.用指定方法解下列方程：

（1）2/—5x+l=0（公式法）;

（2）x2-8x+1=0（配方法）.

（2_A\24,

15.先化简，再求值：-^―---------——且a的值满足〃+2。—8=0.

、a—4a+4a—2ja—2

16.如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，

△48C的顶点都在格点上.

(1)将LABC向右平移6个单位长度得到△44G，请画出△451G；

(2)画出△4名。］关于点o的中心对称图形△4与。?；

(3)若将△4BC绕某一点旋转可得到△a&C2，旋转中心的坐标为；

(4)以4民。,。为顶点的四边形是平行四边形且点。是歹轴上一点，则点。的坐标是

17.如图，将Y48C。的边延长至点£,使AB=BE,连接。瓦EC,QE交于点O.

(1)求证：LABDm4BEC；

(2)连接BD,若NBOD=2NA,求证：四边形8EC。是矩形.

18.三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文明

的母体，被誉为“长江文明之源”.为更好的传承和宣传三星堆文化，三星堆文创馆一次次打破了自身限定，

让文创产品充满创意.已知文创产品“青铜鸟文创水杯”有48两个系列，Z系列产品比5系列产品的售价

低5元，100元购买Z系列产品的数量与150元购买5系列产品的数量相等.按定价销售一段时间后发现B

系列产品按定价销售，每天可以卖50件，若8系列产品每降1元，则每天可以多卖10件.

(1)4系列产品和5系列产品的单价各是多少？

(2)为了使8系列产品每天的销售额为960元，而且尽可能让顾客得到实惠，求8系列产品的实际售价应定

为多少元/件？

19.探究不同长方形周长与面积的关系

【项目化情境与问题】

某学习小组在一次参观画展时，一同学发现作品甲的边框是矩形，它的长、宽、周长C和面积S分别如图所

示.根据以上，这个同学提出一个有趣问题，任意给定一个矩形/,是否存在另一个矩形8,它的周长和面

积分别是已知矩形A周长和面积的工，即或=邑=」是否成立？

2Q5力2

24

C甲专6

4甲

S甲=96

【项目支架与探究】

为了进一步深入探究提出的问题，小组成员对任务进行了如下分解，先从最简单情形入手，再逐次递进，最后

猜想得出结论.

探研究小组成员研究过后得知一定存在作品乙的矩形边框与原作品甲的矩形边框满足

究1特殊

J=相=L,则0=__________;S乙=___________.设作品乙的矩形边框的长为x,

情况Q邑2乙

宽为y,贝!Jx=__________；y=___________.

探研%在探究1得到作品乙的矩形边框数据的基础上，继续探究，是否存在作品丙的矩

究特殊

2形边框是作品乙的矩形边框周长和面积的使得金=良=!仍然成立？若存在，

情况2QS，2

请求出作品丙的矩形边框的长和宽.若不存在，请说明理由.

【项目成果】

任意给定一个矩形4,长为加，宽为1（加〉1）,若一定存在另一个矩形5,满足£2=还=4，则加的最

QS42

小值是.

20.如图，在平面直角坐标系中，点幺（2刀），点8（0,6）,点。（—6,0）,以48、4D为边作Y4BCD,点E

为5c中点，连接DE、AE.

备用图

（1）分别求出线段4E和线段所在直线解析式；

（2）点尸为线段ZE上的一个动点，作点8关于点尸的中心对称点尸，设点尸横坐标为a,用含a的代数

式表示点尸的坐标（不用写出a的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，

①当点F移动到△/£>£的边上时，求点P坐标；

②M为尸E中点，N为PA中点、,连接〃尸、版.请利用备用图探究，直接写出在点尸的运动过程中，

周长的最小值和此时点P的坐标.

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九年级数学试题

参考答案与试题解析

1.C.2.D.3.C.4.C.

5.C

解：根据题意的拧1圈需要转动6次，

•••正六边形螺帽需要拧4圈才能拧紧，

.••他一共需要转动扳手的次数是4x6=24（次），

6.C.

7.A

解：由折叠的性质可得，入4BE咨AAB'E,

ZBEA=ZB'EA

•••ZAEB=45°

ZBEB'=90°

ZDEB'=90°

•；BD=4,四边形48C。是平行四边形，

ED=B'E=2,

B'D=2V2,

8.B

解：过点G作。于〃，过G作交D4的延长线于交直的延长线于N,如图:

设AF=x,

•.•四边形4BC。为正方形，/。=4,点E为4。的中点，

AB=AD=BC=4,ZBAD=ZABC=90°,AE=DE=2,

ZMAB=ZNBA=90°,

又MN〃AB,GHLAB,

NM=NN=90°,AGHA=ZGHB=90°

四边形AHGM和四边形BHGN均为矩形，

AGHF=ZEAF=90°,

NGHF=NEAF=90°

在XHGF和AAEF中，JZHF=ZAFE,

GF=EF

£\HGF^/\AEF(AAS),

:.GH=AE=2,HF=AF=x,

MG=AH=2x,AM=GH=NB=2,

NG=BH=AB-AH=4-2x,

在Rt^EMG中，MG=2x,ME=AM+AE=4,

由勾股定理得：EG-=MG2+ME-=4x2+16,

在RtZ\CGN中，NG=4-2X,CN=BC+NB=6,

由勾股定理得：CG2=NG2+CN2=(4—2x)2+36=4x2—16》+52,

EG2+CG~=8X2-16X+68=8(X-I)2+60,

8(x-l)2>0,

.-.8(X-1)2+60>60,

EG"+CG2>60,

EG?+CG?的最小值为60.

9.-1।.10.-4,<x<——3.

2

11.20解：•.•西,》2是关于x的一元二次方程/一5%+4=0的两个实数根,

匹+%2=5,再％2=4

%※=玉％2(玉+)=4x5=20

12.10

解：如图：延长4民。。交点于£,

•/4D平分NA4C,

A

By-\----------^r

/j—D

E

/CAD=ZEAD

・.・CD±AD

/ADC=/ADE=90°

'/ADE=/ADC

在△4。£和4/。。中，1AD=AD,

ZEAD=/CAD

AADE^AADC(ASA),

,\AC=AE,DE=CD,

:.BE=AC-AB=AE-AB=4,

・.•DE=DC,

一SgDC~2SgEC，

・•・当时，面积最大，

即SaBDC最大面积=%><gxio><4=10,

13.V6+A/2.

解：如图1,由折叠得，DA=DA"

•.•。是48的中点，

DA=DB=DA',

：./\AA'B是RtAV,且ZAA'B=90°,

MAAE是等腰直角三角形，

EA=EA',ZEA'A=ZEAA'=45°,ZAEA'=90°,

AEAB=90°-45°=45°,

ZC=90°,

BC//EA',

过点8作垂足为M,则BC=ME=2,8M=EC,

在Rt^ABC中，AC=A/42-22=273,

设EC=x,则W=HW=x,/'E=x+2,ZE=2G—x,

因出S有x+2=2A/3-x,

解得x=G—1,

在RtZXHW中，AB=®BM=6（也-，=仇-6,

如图2,由题意得，HEC户是矩形，△Z'B尸是等腰直角三角形,

设EC=x,则4E=AE=2乒x,CF=BF-BC=x-2,

因止匕有x—2=2Vs—x,

解得x=6+1,

在RtZXHB尸中，A'B=41EC=V2（V3+1）=76+72,

14.解：（1）2%2—5x+1=0,

♦：a=2,b=-5,c=1,

A=Z?2—4ac=（—5）2—4x2x1=17>0,

5±V175±V17

/.x=---------=----------

2x24

5+V175-V17

X]=---,x2=---

（2）x~—8x+1=0,

-8x=-1,

x2—8x+16=-1+16,

(x-4>=15,

x—4=±VL5,

x-4=V15或x—4=-V15,

=

%]=4+Jl5,x24—Jl5.

(Q+2)(a2)aa—2

15.解：原式=

("2)2a—2Q(Q+2)

Q+2aQ—2

a—2a—2Q(Q+2)

2a—2

a-2Q(Q+2)

2

a2+2。

a?+2cl—8—0,

a?+2cl=8，

・.・原式=2=工.

84

16.解：(1)如图，△4月。1即为所求;

(2)如图，△4与。2即为所求;

（3）旋转中心"的坐标为（一3,0）；

（4）点。的坐标是（0,6）.

17.证明：（1）在平行四边形4BCD中，AD=BC,AB=CD,AB//CD,则

又AB=BE,

BE=DC,

：.四边形BEC。为平行四边形，

BD=EC.

.,.在△48。与△5EC中，

AB=BE

<BD=EC

AD=BC

:.△4BD0ABEC（SSS）

（2）由（1）知，四边形BECD为平行四边形，则。£>=0E,0C=08.

四边形ABCD为平行四边形，

ZA=/BCD，即乙4=AOCD.

又ZBOD=2ZA,ZBOD=ZOCD+ZODC,

ZOCD=ZODC,

OC=OD,

:.OC+OB=OD+OE,即=

平行四边形5ECZ）为矩形.

E

18.解：（1）设4系列产品的单价是x元/件，则5系列产品的单价是（x+5）元/件,

150

根据题意得：—

Xx+5

解得：x=10,

经检验，x=10是所列方程的解，且符合题意,

/.x+5=10+5=15（元）.

答：4系列产品的单价是10元/件，B系列产品的单价是15元/件;

(2)设8系列产品的实际售价应定为p元/件，则每天可以卖50+10(15-y)=(200-10y)件，

根据题意得：j(200-10v)=960,

整理得：/-20v+96=0,

解得：必=8,先=12,

又：要尽可能让顾客得到实惠，

y=8•

答：8系列产品的实际售价应定为8元/件.

19.解：探究1：C甲=56,S甲=96,

...。乙=28,5乙=48,

•••设长方形乙的长为x,宽为

2(x+y)=28,砂=48,

x+y-14,即x=14-y,

代入xy=48得：(14-j=48,

解得y=6或y=8(不合题意，舍去)，

x=8；

故答案为：28；48；8；6；

探究2：不存在作品丙的矩形边框是作品乙的矩形边框周长和面积的工，使得％=鼠=!仍然成立；理由

2Q52

如下：

要使分'成立，

c乙s乙2

.cC728S48

则C丙=3=5=14,S丙=57=5=24，

设长方形丙两条邻边长分别为a和7-a,

S丙=a,(7-a)=-a~+7a=24,

A=62-4ac=72-4x(-l)x(-24)=-47<0,

方程无解,

・•・不存在;

7m+1

c+a------

2

【项目成果】设长方形5的两边长分别为C,d则：《

7m

cd——

2

消去d得：2c2-(m+l)c+m=0,

/.A=62-4ac=[一(加+1)]2-4x2xm>0,

解得m<3-2A/2或冽23+2A/2,

*/m>1

/.m的最小值为3+2V2，

故答案为：3+2后.

20.解：（1）・・・/（2,0）,。（一6,0）,

/.AD=8,

•.•四边形为平行四边形，8（0,6）,

.-.C（-8,6）,

•.•点£为5C的中点，

，£（-4,6）,

设AE所在直线的解析式为y=klx+bl,

2kl+4=0

把/（2,0）,£（—4,6）代入得，,

—4左1+A=6

k——\

解得<1}

匠2

AE所在直线的解析式为y=—x+2；

设DE所在直线解析式为y=k2x+b2,

_6k2+<=°

把点。（一6,0）,£（-4,6）代入得，＜

—4k2+年=6

后2=3

解得《

也=18'

DE所在直线解析式为y=3x+18.

(2)所在直线的解析式为y=—x+2,点尸横坐标为a,

点P(a,—a+2),

设点,

•.•点8关于点尸的中心对称点8(0,6),

〃」

•.•ci—__+0,a°十।/2—+6，

22

整理得：X]=2a,%=-2。-2.F(2a,-2a-2)

(3)①当点尸在4D上时，

:点尸在4D上,

:.—2d—2=0,

解得〃=—1,

.♦.尸(-1,3)；

当点尸在。E上时，

vF(2a,-2a-2),且尸在DE上,

—2a—2=3x2a+18,

解得a=-2,

2

y

CEB

综上，尸(—1,3)或尸

②•••幺（2,0