人教版九年级数学上册专项复习：圆与四边形综合（解析版）

专题29圆与四边形综合

1.若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为“奇妙四边形”，如图1,四边形

ABCD^,^AC=BD,AC±BD,则称四边形ABC。为奇妙四边形，根据“奇妙四边形”对角线互

相垂直的特征可得“奇妙四边形”的一个重要性质：“奇妙四边形”的面积等于两条对角线乘积的一半,

根据以上信息回答：

⑴写出一种你所知道的特殊四边形中是“奇妙四边形”的图形名称.

⑵如图2,已知四边形A8CD是“奇妙四边形”，且A,8,C,。在。。上，若。。的半径为6,ZBCE>=60°,

求“奇妙四边形22CD的面积，

(3)如图3,己知四边形ABC。是“奇妙四边形”，且A,B,C,。在。。上，作。于M,请猜

测OM与4。的数量关系，并证明你的结论.

【答案】(1)正方形

⑵54

(3)0M=1AD,证明见解析

【分析】(1)根据正方形的性质即可证明判断.

(2)如图2中，连接。8、OD,作OHL5D于〃，则解直角三角形求出8，再根据

奇妙四边形的面积等于两条对角线乘积的一半计算即可.

(3)结论：OM=LAD.如图3中，连接08、0C、。4、OD,作0E_LA。于E.证明ABOM也

2

△OAE(AAS)即可解决问题.

(1)

,/正方形的两条对角线互相垂直且相等，

正方形是“奇妙四边形”，

故答案为：正方形

(2)

如图2中，连接03、0D,作O"_L3O于"，则

图2

,/ZBOD=2NBCD=2x60。=120。，

U：OB=OD,

：.ZOBD=30°,

在放△03H中，

9：ZOBH=30°,

：.OH=-OB=3

2f

:・BH=60H=36

•:BD=2BH=6y[i,

：.AC=BD=6y/3

・•・“奇妙四边形的面积=,%。3。=54.

2

(3)

结论：OM=-AD.

2

理由如下：如图3中，连接。3、OC、04、0D,作OE_LAO于E.

图3

9

：OE_LADf

:・AE=DE,

■:/B0C=2/BAC,

，：OB=OC,

.•.△OB。是等腰三角形，

：.ZBOC=2ZBOM,

：.ZBOM=ABAC,

同理可得NAOE=ZABD,

VBZ)±AC,

ZBAC+ZABZ)=90°,

JZBOM+ZAOE=90°,

9：ZBOM+ZOBM=90°,

：.ZOBM=ZAOE,

在△BOM和△OAE1中

ZOBM=ZAOE

<ZOMB=ZAEO

OB=OA

：./\BOM^/\OAE(AAS),

：.OM=AE,

：.AD=20M,

：.OM=-AD.

2

【点睛】本题主要考查了垂径定理、30。角直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、“奇妙四

边形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题.

2.如图，四边形A5CD为菱形，以为直径作。。交A5于点R连接。5交。。于点〃，过点

。作。。的切线交于点E

⑴求证：AF=CE；

(2)若BQ2,DH=小,求。。的半径.

【答案】(1)见解析

【分析】(1)连接OR根据菱形的性质可得AD=CO,AD//BC,ZA=ZC.再由切线的性质，可

得NCED=/ADE=90。.可证得△£»!方丝△0CE.即可求证；

(2)连接A〃，DF,根据等腰三角形的性质可得5。=2。"=26.在心反4。尸和及△灰)/中，根

据勾股定理，即可求解.

(1)

证明：如图，连接OR

・・•四边形ABC。为菱形，

：.AD=CD,AD//BC,ZA=ZC.

・・・OE是。。的切线，

・・・ZADE=90°.

\9AD//BC,

：.ZCED=ZADE=90°.

TA。是。。的直径，

・•・ZDFA=90°.

：.ZAFD=ZCED=90°.

ZAFD=ZCED

在△ZMb和△OCE中，(ZA=ZC

AD=CD

：.ADAF^ADCE(AAS).

：.AF=CE.

(2)

解：如图，连接AH,DF,

D

-----B

TA。是。。的直径，

，ZAHD=ZDM=90°.

•：AD=AB,DH=5

：.BD=2DH=2y/5.

在Rt^ADF和RtxBDF中，

由勾股定理，得£＞卢="）2一4产，DF2=BD2_BF2f

J.ACP-AF^BD^BF2.

.'.AD2-（AD—BF）2=802—B尸.

AD2-（A。-2）2=（2府-22.

：.AD=5.

.••。。的半径为：.

【点睛】本题考查了圆的综合，涉及了圆周角定理，菱形的性质，切线的性质，三角形全等的性质

和判定，勾股定理等知识，解答本题的关键是根据勾股定理列方程解决问题.

3.如图，四边形ABC。是。的内接四边形，且对角线3。为直径，过点A作。的切线AE,与

C£）的延长线交于点E,已知ZM平分/跳出.

⑴求证：AE1DE；

⑵若。的半径为5,CD=6,求A。的长.

【答案】（1）证明见解析

⑵2君

【分析】（1）连接04先证明。4//£史，结合。即可证AEJLDE；

(2)作。尸，CD,则四边形。4E尸是矩形，且。尸二;。。=3,由此可求得。石的长，在Rt一OD方

中，勾股定理求出。尸，即AE的长，在心人位加中，利用勾股定理求AD.

(1)

证明：如图，连接。4,

•••AE是。切线，

JOA±AE.

TDA平分N3DE,

：.ZADE=ZADO.

又・・・。4=。。，

:.ZOAD=ZADOf

：.ZOAD=ZADEf

：.OX//DE,

又OAYAE,

：.AE±DE.

解：过点。作。尸，CD于耳.

ZOAE=ZAEF=ZOFE=90°,

二•四边形Q4£F是矩形，

/.EF=OA=5,AE=OF.

OFLCD,

/.DF=FC=-CD=3,

2

：.DE=EF-DF=5-3=2f

在狡/r>中，OFZOU—DF?=:52—32=4,

・•・AE=OF=4,

在RdAE。中，AD=炉+M="2+2?=25

.♦.AD的长是2石.

【点睛】本题考查了圆的内接四边形，圆的切线的性质，垂径定理，勾股定理，解决本题的关键是

灵活运用相关性质定理.

4.四边形ABCD内接于1O,AC为其中一条对角线.

(1)如图①，若NBM)=70。，BC=CD,求NC4D的度数；

(2)如图②，若经过圆心O,CE为。的切线，8为AC的中点，NDCE=40°,求/BCE的大

小.

【答案】⑴NGW=35°

⑵/3CE=155。

【分析】(1)根据圆心角、弧、弦之间的关系即可解答；

(2)连接0C,由切线的性质可得NOCE=90。，即可求出NOCD=50。.再根据等边对等角即可求出

ZODC=50°,从而由圆内接四边形对角互补可求出NABC=130。.根据2为4c的中点，可得出

AB=BC,从而可求出NACB=25。.最后由N3CE=NACB+NACD+NDCE1求解即可.

(1)

解：,四边形ABCD内接于：。，BC=CD,ZBAD=10°

BC=CD>

：.ABAC=ACAD=-ABAD=35°；

2

⑵

如图，连接OC.

•:CE为。的切线，

NOCE=90。.

NDCE=40。，

・•・ZOCD=90°-ZDCE=50°.

〈A。经过圆心O,

：.OC=OD,ZACD=90°f

：.ZODC=ZOCD=50°.

ZABC^-ZODC=180°,

ZABC=180°-50°=130°.

・・,8为AC的中点，

AB=BC，

：.AB=BC,

：.ZACB=1(180°-ZABC)=25°.

/.ZBCE=ZACB+ZACD+ZDCE=25°+90°+40°=155°.

【点睛】本题为圆的综合题.考查圆心角、弧、弦之间的关系，切线的性质，圆内接四边形的性质，

圆周角定理以及等腰三角形的性质.熟练掌握圆的相关知识点，会连接常用的辅助线是解题关键.

5.数学课上老师提出问题：“在矩形ABCD中，AB=4,BC=10,E是AB的中点，P是BC边上

一点，以尸为圆心，PE为半径作P,当成等于多少时，尸与矩形ABCD的边相切？

小明的思路是：解题应分类讨论，显然：P不可能与边AB及BC所在直线相切，只需讨论：P与边

AD及CD相切两种情形.请你根据小明所画的图形解决下列问题：

图1图2

(1)如图1,当CP与AO相切于点T时，求3尸的长；

(2)如图2,当二尸与C。相切时，

①求的长；

②若点2从点8出发沿射线3c移动，连接A。，M是A。的中点，则在点。的移动过程中，直接

写出点〃在(P内的路径长为.

【答案】⑴BP=26

(2)①4.8；②9.6

【分析】(1)连接尸T,由。尸与AO相切于点T,可得四边形ABPT是矩形，即得尸T=AB=4=PE,

在R3BPE中,用勾股定理即得2尸=26；

(2)①由。P与CD相切，有PC=PE,设BP=x,贝UPC=PE=10-x,在RaBPE中，由勾股定理得

x2+22=(10-x)2,即可解得BP=4.8；②点M在。尸内的路径为EM,过尸作PN_LEM于N,由EM

是4相。的中位线，可得四边形BPNE是矩形，即知EN=B尸=4.8,故EM=2EN=9.6.

(1)

连接尸T,如图：

尸与4D相切于点T,

：.ZATP=90°,

•.•四边形ABCO是矩形,

，ZA=ZB=90°,

...四边形ABPT是矩形，

：.PT=AB=^PE,

是AB的中点，

：.BE=^AB=2,

在Rtt^BPE中，BP=^PE2-BE2=Jd-于=2下)；

(2)

①•.•(DP与CD相切，

：.PC=PE,

设BP=x,贝UPC=PE=10-x,

在RfABPE中，BP2+BE2=PE2,

.\x2+22=(10-x)2,

解得x=4.8,

・・・5P=4.8；

②点Q从点B出发沿射线8C移动，M是AQ的中点，点M在O尸内的路径为EM,过尸作PNLEM

于N,如图：

由题可知，EM是的中位线,

C.EM//BQ,

：.NBEM=900=NB,

•:PNLEM,

:・NPNE=90。,EM=2EN,

・・・四边形8PNE是矩形，

:・EN=BP=A8,

：.EM=2EN=9.6.

故答案为：9.6.

【点睛】本题考查矩形与圆的综合应用，涉及直线和圆相切、勾股定理、动点轨迹等，解题的关键

是理解M的轨迹是AAB。的中位线.

6.如图，在四边形A8CZ)中，AD//BC,ADLCD,AC=AB,。。为△ABC的外接圆.

(1)如图1,求证：是。。的切线；

(2)如图2,CD交00于点E,过点A作AGL2E,垂足为尸，交BC于点G.

①求证：AG=BG；②若49=4,CD=5,求GP的长.

图1图2

9

【答案】(1)见解析；(2)①见解析；②尸G=g

O

【分析】(1)连接04，OB,0C,由AC=AB,OA^OA,0C=0B可证出AOAC2△042(SSS),

利用全等三角形的性质可得出NO4C=/048,即AO平分/BAC,利用垂径定理可得出AOLBC,

结合可得出ADLAO,由此即可证出A£)是。。的切线；

(2)①连接AE,由圆内接四边形对角互补结合/BCE=90。可得出NBAE=90。，由同角的余角相

等可得出/BAG=/AE8,结合可得出/BAG=N4BC,再利用等角对等

腰可证出AG=2G；

②由NAOC=NAFB=90。，ZACD^ZABF,AC=AB可证出AAOC妾△ARB(44S),利用全等三

角形的性质可求出AF,BF的长，设FG=x,在中，利用勾股定理可求出x的值，此题得

解.

【详解】证明：(1)连接。4、OB、0C,如图1,

图1

•：AC=AB,OA=OAfOC=OB,

：./\OAC^/\OAB,

：.ZOAC=ZOAB,

：.AO.LBCf

\9AD//BC,

：.AD.LAO,

・・・AO是。。的切线；

(2)①连接AE,如图2,

图2

■:AD//BC,ADVCD,

：.BCLCD,

：.ZBCE=90°,

・・・3E是直径，

・•・/BAE=90。,

：.ZBAG+ZEAF=90°,

又•：AFLBE,

：.NAEB+NEAF=90。,

・•・ZBAG=ZAEBf

丁ZABC=ZACB=ZAEBf

：.ZBAG=ZABCf

：.AG=BG；

@\-AC=AB,ZACD=ZABF,ZADC=ZAFB=90°,

：.AADC^AAFB,

：.AF=AD=4fBF=CD=5,

设/G=x,贝！JAG=G3=x+4,

在放A6尸G中，由勾股定理可得:

x2+52=（%+4）2,

9

解得：x=g，

o

9

FG=~.

8

【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定

义，平行线的性质，圆内接四边形，等腰三角形的判定以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用全

等三角形的性质及垂径定理，找出A0L2C；（2）①利用等角的余角相等及圆周角定理，找出N2AG

=ZABC；②在MABPG中，利用勾股定理求出FG的长.

7.如图，A8是。。的直径，AC是弦，P为A8延长线上一点，NBCP=/BAC,NAC8的平分线

交。。于点。，交A3于点E,

D

（1）求证：PC是。。的切线；

（2）求证：APEC是等腰三角形；

（3）若AC+BC=2时，求C。的长.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）0

【分析】（1）连接0C,根据圆周角定理可得NACB=90。，根据等腰三角形等边对等角以及已知条

件证明ZBCP+Z0cB=90。即可；

（2）根据题意以及角平分线定义求得/PEC=/PCE即可得出结论；

（3）连接8。，作。0，4。,£^，。3,垂足为河，N,先证明-AMD也一3ND（HL）,然后证明四边

形CMDN为正方形，结合已知可得出结论.

【详解】解：连接OC,

D

•「AB为直径,

・•・ZACB=90°,

JZACO^ZOCB=90°,

•：OA=OC,

：.ZBAC=ZACO.

丁/BCP=NBAC,

：.ZBCP=ZACO

：.ZBCP+ZOCB=90°f即NOCP=90。，

・・・PC是。。的切线；

(2)VZBCP=ZBAC,

NACB的平分线交。。于点O,

:./ACD=NBCD,

VZPCE=ZPCB+/BCD,

ZPEC=ZBAC+ZACD,

：.NPEC=NPCE,

・•・△PEC是等腰三角形；

(3)连接BO,作。M_LAC,£W_LCB,垂足为M,N,

•「CD平分NAC6,DM±AC,DN±CBt

**-DM=DN,AD=BD,

AD=BD,

丁ZAMD=ZBND=90°,

.・.，AMD空BND(HL),

ZDMC=ZMCN=ZCND=90°,

・・・四边形QWON为矩形，

・.•DM=DN,

・,・矩形OWZW为正方形，

/.CN=—CD,

2

AC+BC=CM+AM+CB=2CN,

AC+BC=6CD,

,/AC+BC=2,

•*.CD=丘.

【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，角平分线的性质，等腰三角形等边对等角，正方形

的判定与性质，解直角三角形等知识点，熟练运用以上知识点性质及定理是解题的关键.

8.如图，AB,AD是：。的弦，AO平分Z&W.过点2作）。的切线交40的延长线于点C,连

接8,BO.延长50交：。于点E,AD交于点/，连接AE,DE.

（1）求证：8是：。的切线;

（2）^AE=DE=3,求AF的长.

【答案】（1）见解析；（2）主叵

2

【分析】（1）欲证明CO是。。的切线，只要证明/COO=NCBO=90。，由△COBgZkC。。即可解

决问题.

（2）先证明/BAO=NOAD=ND4E=/ABO=30,在放"E尸中利用30度性质以及勾股定理即可解

决问题.

【详解】解：（1）如图，连接

BC为。的切线，

：.ZCBO=90°.

AO平分ZE4D,

OA=OB=OD，

.•.N1=N4=N2=N5,

:.ZBOC=ZDOC,

OB=OD

在△BOC和LDOC中v/BOC=/DOC

OC=OC

:.ABOC=ADOC,

.\ZCBO=ZCDO=90°,

AE=DE，

「.N3=N4,

N1=N2=N4,

/.Z1=Z2=Z3.

仍为C。的直径.

,\ZBAE=90°,

.•.Nl=N2=N3=N4=30。，

:.ZAFE=90°.

在MAAFE中，AE=3,N3=30。，

13

:.EF=-AE=-,

22

AF=《AE?-EF。=

【点睛】本题考查切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，

解题的关键是正确寻找全等三角形，发现特殊角30。，属于中考常考题型.

9.如图，已知ABC内接于O,AB是（O的直径，。£＞八2。于点口，延长DO交I。于点F,连

接OCAP.

(1)求证：OD=^AC-

(2)填空：

①当NB=时，四边形OC4B是菱形;

②当NB=时，AB=2^/2OD.

【答案】(1)见解析；(2)①30。；②45°

【分析】(1)由垂径定理易证8=a>,进而可证明OD是△ACB的中位线，问题得证；

(2)①要四边形OC477是菱形，mJOC=CA=AF=OF,即△AOC为等腰三角形，Z2=60°,那

么4=30。；②由等腰直角三角形的性质即可得到结论.

【详解】解：(1)证明：

3c于点D,

CD=BD,

AO=BO,

:.OD是△ACS的中位线，

:.OD=-AC；

2

(2)解：当4=30。时，四边形OC4尸是菱形.

理由如下：

Zl=30°,AB是直径，

:.ZBCA=90°,

.2=60。，而OC=Q4,

O4C是等边三角形，

二.OA=OC=CA,

又•，分别是6cA4的中点，

:.DO//CA,

.•.N2=N3=6(mOC=Q4=AF.

.•.一0LF是等边三角形,

:.AF=OA=OF,

，OC=C4=AF=OF,

四边形0C4尸是菱形；

②当4=45。时，AB=2^OD,

Zl=45°,

on，3c于点D,

28是等腰直角三角形，

:.OB=41OD，

AB=2QB=2s/2OD.

故答案为：30°,45°.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定、等边三角形的判定与性质、菱形的判定、圆周角定理、三角形

中位线定理；熟练掌握全等三角形的判定和菱形的判定，证明三角形是等边三角形是解决问题的关

键.

10.如图，五边形ABCDE内接于0O,CF与。。相切于点C,交AB延长线于点F.

(1)若AE=DC,ZE=ZBCD,求证：DE=BC；

(2)若OB=4,AB=BD=DA,ZF=45°,求CF的长.

【答案】(1)见解析；(2)CF=4+2万.

【分析】(1)由圆心角、弧、弦之间的关系得出AE=DC，由圆周角定理得出NADE=NDBC,证

明AADE名ZiDBC,即可得出结论；

(2)连接CO并延长交AB于G,作OHLAB于H,则NOHG=/OHB=90。，由切线的性质得出

NFCG=90。，得出ACFG、AOGH是等腰直角三角形，得出CF=CG,OG=0OH,由等边三角

形的性质得出NOBH=30。，由直角三角形的性质得出0H=g0B=l,OG=照,即可得出答案.

【详解】(1)证明：；AE=DC,

AE=DC

.*.ZADE=ZDBC.

在AADE和ADBC中，

ZADE=ZDBC

，/E=/BCD.

AE=DC

：.AADE^ADBC(AAS).

；.DE=BC；

(2)解：连接CO并延长交AB于G,作OH_LAB于H,如图所示：则NOHG=NOHB=90。，

・；CF与。O相切于点C,

.\ZFCG=90°.

,/ZF=45°,

.♦.△CFG、AOGH是等腰直角三角形，

；.CF=CG,OG=V2OH.

VAB=BD=DA,

AABD是等边三角形，

/ADB=60°.

ZAOB=2ZADB=120°

ZBOH=IZBOA=60°,

ZOBH=30°

/.OH=|OB=2.

；.OG=2&.

.•.CF=CG=OC+OG=4+20.

D

H7B尸

【点睛】本题主要考查了圆的综合应用，准确计算是解题的关键.

11.如图，AABC为。。的内接三角形，BC为。O的直径，在线段OC上取点D(不与端点重合),

作DG_LBC,分别交AC、圆周于E、F,连接AG,已知AG=EG.

(1)求证：AG为。O的切线；

(2)已知AG=2,填空：

①当四边形ABOF是菱形时，ZAEG=°；

②若OC=2DC,AAGE为等腰直角三角形，则AB=.

【答案】(1)证明见解析；(2)①60,②40.

【分析】(1)连接OA,证明NOAG=90。，即可证得AG为。。的切线；

(2)①连接OA,AF,OF,当四边形ABOF为菱形，则AAOB为等边三角形，从而求出/ACB,

ZDEC的度数，根据对顶角相等即可得到/AEG的度数；

②若△AGE为等腰直角三角形，则可以得出ADEC,AABC均为等腰三角形，通过证明四边形AODG

是矩形，得到DC=AG,从而得到BC的长度，根据等腰直角三角形的性质，即可求出AB的长.

【详解】(1)证明：连接OA.

VOA=OC,

.".ZOAC=ZOCA,

VGA=GE,

・・・NGAE=NGEA,

VDG±BC,

・・・NEDC=90。，

・・・NOCA+NDEC=90。，

NCED=NGEA=NGAE,

.,.ZOAC+ZGAE=90°,

.,.ZOAG=90°,

AOAXAG,

JAG是。。的切线.

(2)①如图2中，连接OA,AF,OF.

•・,四边形ABOF是菱形，

.\AB=BO=OF=AF=OA,

•••△ABO是等边三角形，

.,.ZB=60°,

VBC是直径，

・・・NBAC=90。

・・・ZACB=90°-60°=30°,

VEDXBC,

・・・NDEC=90。-NACB=60。,

・•・NAEG=NDEC=60。.

故答案为60.

②如图3中，连接OA.

，/AEG=ZDEC=NDCE=45。，

.•.△EDC,△ABC都是等腰直角三角形，

VOB=OC,

.\AO±OC,

.../AOD=NODG=NG=90°,

四边形AODG是矩形，

.".AG=OD=2,

；.OC=2OD=4,

；.BC=2OC=8,

；.AB=AC=40,

故答案为4拒.

【点睛】本题是圆的综合题，考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，等腰直角三角形的性质，圆

的有关知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键.

12.如图，在AABC中，4=60。，。是AABC的外接圆，过点A作；。的切线，交CO的延长线

(2)填空:

①若AC=6,MC=；

②连接敏，当NAMB的度数为时，四边形AM3C是菱形.

【答案】（1）见解析；（2）①66,②60。.

【分析】（1）连接OA,根据圆周角定理求出NAOC=120。，得到NOCA的度数，根据切线的性质

求出NM的度数，根据等腰三角形的性质得到答案；

（2）①作AGLCM于G,根据直角三角形的性质求出AG的长，根据勾股定理求出CG,得到答

案.

②证明AABM和AABC是等边三角形，得出AM=AC=BC=BM,即可得出结论.

【详解】解：（1）证明：连接Q4,如图1：

：40是(。的切线，

/.NQ4M=90°,

,/ZB=60°,

ZAOC=120°,

'：OA=OC,

：.ZOCA=ZOAC=30°,

NAOM=60。，

：.ZM=30°,

：.ZOCA=ZM,

：.AM=AC；

(2)①作AG1.CM于G,如图2：

图2

VZOCA=30°,AC=6,

.\AG=yAC=3,

；.CG=/AG=36，

贝UMC=2CG=65

故答案为：6G.

②当NAMB的度数为60。时，四边形AMBC是菱形；理由如下:

VZAMB=60°,

ZMAC+ZAMB=180°,

；.AC〃BM,

.\ZABM=ZBAC,

.二△ABM是等边三角形，ZBAC-ZMAC-ZMAB=60°=ZABC,

.*.AM=BM,△ABC是等边三角形，

.-.BC=AC,

；.AM=AC=BC=BM,

四边形AMBC是菱形；

故答案为：60°.

【点睛】本题是圆的综合题目，考查的是切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理、

平行线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定等知识；熟练掌握圆的切线性质和圆

周角定理是解题的关键.

13.如图，在ABC中，以A3为直径的.O经过点C,过点C作。的切线CE,点。是,O上不与点

AB、C重合的一个动点，连接AD、CD、BD.

(1)求证:ZACE=ZADC；

（2）填空:

①当NDCB=时，△ABD为等腰直角三角形：

②当ZDOB=时，四边形0c4D为菱形.

【答案】⑴见解析；（2）①45。②120。

【分析】（1）连接OC根据等腰三角形的性质得到N0C2=/02C,根据平行线的性质得到

=90°.再根据切线的性质定理及圆周角定理即可得到结论；

（2）①根据圆的对称性由BD=AD可得弧BD=MAD,再由圆周角定理得NDCB=NDCA,进

而得解；

②由菱形可得OD=AD,结合OD=OA,证得AOAD为等边三角形，则/OAD=60。，最后根据圆

周角定理即可得解.

【详解】解：（1）如图，连接。C

OB=OC,

ZOCB=ZOBC,

QAB>g(。的直径,

ZACB=90°,

ZOCA+ZOCB^90°,

CE是(。的切线，

ZOCE=90°,

.-.ZOCA+ZACE=90°,

ZACE=ZOCB,

ZABC=ZADC,

:.ZACE=ZADC

(2)①•..△相£＞为等腰直角三角形，

，AD=DB,

...弧AD=MDB,

ZACD=ZDCB=gZACB,

VZACB=90°,

AZDCB=45°,

②•••四边形OC4D为菱形，

；.OD=AD,

XVOD=OA,

；.OD=OA=AD,

•••AAOD为等边三角形，

.".ZOAD=60°,

VZOAD=^-ZDOB,

/.ZDOB=120°.

【点睛】本题考查了圆的对称性、圆周角定理、直径的性质和切线的性质定理，熟练掌握性质定理

是解题的关键.

14.如图，已知是］。的直径，PC切。于点尸，过A作直线AC,PC交：。于另一点D,连

接B4、PB.

(1)求证："平分NC4B；

(2)若尸是直径AB上方半圆弧上一动点，的半径为2,则

①当弦AP的长是时，以A,O,P,C为顶点的四边形是正方形；

②当A尸的长度是时，以A,D,O,P为顶点的四边形是菱形.

c

o

D"-------/

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【答案】(1)见解析；(2)①2亚；②(万或§万.

【分析】(1)首先根据切线的性质得出。尸，尸C,进而判定ACOP,利用平行的性质进行等角转

换，即可得出"平分NG"；

(2)①根