福建省莆田某中学2025届高三年级上册返校考试数学试卷（含答案解析）

福建省莆田第一中学2025届高三上学期返校考试数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合U=R,/={x|x=2",〃wN},5=|x|x(x-2)>o|,贝()

A.{0}B.{2}C.{0,2}D.{0,1,2}

2.函数/(x)=罢K，xe[-2,2]的大致图象是()

3.已知/'（x）是定义在R上的奇函数，且在［0,+8）单调递增，若/（膜）＜0,则x的取值范

围是（）

A.（0,1）B.（1,10）C.。,+8）D.（10,+8）

4.南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶

等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差

数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”•现有高阶等差数列，其

前7项分别1,7,15,27,45,71,107,则该数列的第8项为（）

A.161B.155C.141D.139

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2

5.已知a=log062,6=log20.6,c=0.6,则

A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b

6.下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小

木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球

在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格

子从左到右分别编号为0,1,2,3,4,5用X表示小球落入格子的号码，则下面计算错误的是（

B-P(X=5)/

D.D(X)=：

C.

—1,x>0

7.已知函数/(x)=13，若加<〃，且/(加)=/(〃)，则〃一加的取值范围是（）

—x+l,x<0

[2

।「3131>

A.ln2,In—I—B.ln2,ln-+-C.ln2D.

232t'323J

2023

8.已知函数/(x)=ln+X-1,则。)

i=l2024

2023

A.B.-2023C.-1012D.-2024

2

二、多选题

9.使得“a>b”成立的充分不必要条件可以是（）

A.a>b—1B.—<—C.-\[a>D.O.30-1<0.3i

ab

10.设函数/(x)=(x-l)2(x-4),则()

A.x=l是/'（x）的极小值点

B.〃2+x)+/(2-x)=-4

试卷第2页，共4页

C.不等式-4</（2x-l）<0的解集为｛x|l<x<2｝

D.当0<x<］时，/(sinx)>/(sin2x)

11.已知定义域为此的函数/(x)满足：①若》<九则/(x)</(y)；②对一切正实数

,则「

C.Vx>y>0,恒有/+成立

D.存在正实数%,使得/(须)<0成立

填空题

2x,x<0

12.设函数/1）=1,则函数/（x）=/（无）+x的零点个数是______.

—,x>0

、X

13.已知一个底面半径为力的圆锥，其侧面展开图为半圆，则该圆锥的体积为.

14.若实数满足4x2+/+xy=l,则2x+y的最大值为.

四、解答题

15.已知数列｛%｝,但｝中，4=4,b,=-2,｛%｝是公差为1的等差数列，数歹是

公比为2的等比数列.

⑴求数列低｝的通项公式；

⑵求数列低｝的前”项和配

16.设函数/卜)=办-1"在x=l处的切线垂直P轴.

⑴求函数/(》)的单调区间；

(2)若x>l,证明：f(x)<ex-,-x+l.

17.某公司采购部需要采购一箱电子元件，供货商对该电子元件整箱出售，每箱10个.在采

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购时，随机选择一箱并从中随机抽取3个逐个进行检验.若其中没有次品，则直接购买该箱

电子元件；否则，不购买该箱电子元件.

⑴若某箱电子元件中恰有一个次品，求该箱电子元件能被直接购买的概率；

(2)若某箱电子元件中恰有两个次品，记对随机抽取的3个电子元件进行检测的次数为X,

求X的分布列及期望.

18.如图，四棱锥尸-/BCD中，力4，平面/8四，底面是边长为2的菱形，

(1)证明：£6//平面尸/。；

⑵求平面NFG与平面PBC夹角的余弦值；

(3)设直线尸C与平面4FG的交点为。，求PQ长度.

19.已知函数=(ox?+x+a(aeR)

a

(1)若。20,函数/(X)的极大值为丁求。的值；

(2)若对任意的aWO,/(x)V61n(x+l)在xe[0,+8)上恒成立，求实数6的取值范围.

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参考答案:

题号12345678910

答案CCABCBDACDBD

题号11

答案BCD

1.C

【分析】根据题意，分析A集合为大于等于0的偶数集，求解B集合，计算补集，再求交

集.

【详解】集合U=R,因为集合4为大于等于0的偶数集，集合3={x|x<0或x>2},

所以％8={x|0VxV2},ZcQ3={0,2}.

故选：C.

【点睛】本题考查集合的补集和交集运算，属于基础题.

2.C

【分析】根据函数图像，判断函数为奇函数，/(1)>0,/(2)<0依次排除A,B,D,得到

答案.

【详解】由于“-》)=手学?=-学■)，故函数为奇函数，排除D选项，

/(1)=等>0,故排除B选项，

2

/⑵=/cos2<0排除A选项，

故选：C.

3.A

【分析】利用奇函数性质及其单调性可得1驮<0,解对数不等式即可求得结果.

【详解】根据奇函数性质可知/(x)在R上单调递增，且/'(0)=0；

因此不等式/(g)<0可化为/(口)</(0),

即lgx<0,解得0<x<l.

所以x的取值范围是(0,1).

故选：A

4.B

【分析】利用已知条件，推出数列的差数列的差组成的数列是等差数列，转化求解即可.

答案第1页，共13页

【详解】令数列：1,7,15,27,45,71,107,…为数列｛%｝,于是%=107,

依题意，数列｛%+「%｝为：6,8/2,18,26,36,…，于是%-。6=36

数列｛(%+2-%)-(%-%)｝为：2,4,6,8,10,…是等差数列,(%-&)=12,

贝|/一%=(%—&)+12=36+12=48,因止匕g=%+48=107+48=155,

所以该数列的第8项为155.

故选：B

5.C

【详解】C=0,62>0.

Z?=log20.6<0,J.Z7=log20.6>log20.5=-l,gpfee(-1,0),

所以c>6>a.

故选C.

6.B

【分析】分析可知X〜利用独立重复试验的概率公式可判断AB选项；利用二项

分布的期望和方差的公式可判断CD选项.

【详解】设4="向右下落”，则彳="向左下落"，*/）=尸（/）=5，

因为小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数，

而小球下落的过程中共碰撞小木钉5次，所以X~台3,；），

对于A：尸（X=0）=11—g]=],故A正确；

对于B：P（X=5）=gJ=：,故B错误；

对于C：E（X）=5x：=g,故C正确；

对于D：r>（X）=5x1^l-^=1,故D正确；

故选：B.

7.D

答案第2页，共13页

【分析】根据函数解析式画出函数图象，由/(加)=/(〃)可得"?=](e"-2),因此

9,4?4

n-m=-je'+??+j,构造函数g(x)=+尤+$xe(0,ln2]并利用导数求出其在定义域

内的值域即可得〃-加的取值范围.

【详解】画出函数/(x)的图象，令〃")=〃")=/可得当"(0』时，满足题意;

令解得x=ln2,由机〈”可知机e1—1,0,"e(0,ln2]；

因此由〃加)=/(〃)可得[加+l=e〃-1,即加二§(e〃—2)；

所以〃—m=〃_2)=_2e〃+〃+&,

3V733

令g(x)=一|e4

+XH----,Xe(0,ln2],

3

则g'(x)=-§e，+l,令g[x)=0,解得x=lna，

当x40,lng时，g'(x)>0,可知g(x)在(0,ln|上单调递增，

当xe[ln，ln2时，g'(x)<0,可知g(x)在卜n|,ln2上单调递减;

因此g(x)在X=ln；处取得极大值，也是最大值，因此

g(x)<gfln|'|=-l+ln|+g=ln-|个；

kJND乙D

24244

而g(0)=-§+0+]=]，g(ln2)=--+ln2+-=ln2；

又因为e?<(2拒『=2,,所以£<2,可得ln/=g<ln2,

所以可得.<g(x)Wln：+J即”-俏的取值范围是公,出不+金.

故选：D

【点睛】关键点点睛：一是会画图，会利用函数解析式画出其图象，寻求解题思路;

答案第3页，共13页

二是会构造函数，将两函数值相等求自变量的差的取值范围问题，转化为求新构造函数的值

域，对新函数求导，判断其单调性从而求得其值域.

8.A

【分析】先根据函数性质可得当xe(0,1)时，/(l-x)+/(x)=-l,最后应用分组求和即可.

【详解】当xe(0,l)时，l-xe(0,l),」-＜0,/(x)=ln—+X-1,

x-11-x

所以/(x)=ln---+l-x-l+ln—^+x-l=Inf-~~--^^＞1-1=-l,

x1-xIx1-x)

则幻焉”心卜盛卜”箫、

2023//1),(2023X2023

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是分析得了(I-x)+/(x)=-1,从而得解.

9.CD

【解析】因为判断的是充分不必要条件，所以所选的条件可以推出。＞6,且。＞6无法推出

所选的条件，由此逐项判断即可.

【详解】A.因为。＞6-1不能推出，但可以推出〃＞6-1,所以。＞6-1是。＞b成立

的必要不充分条件，故不满足；

B.因为不能推出(例如：。=-1,6=1),且。＞6也不能推出(例如：

abab

ci—1,Z?——1),

所以！＜2是a＞b成立的既不充分也不必要条件，故不满足；

ab

C.因为夜＞新即。＞620能推出a＞b，且a＞方不一定能推出及＞血(例如：a=l,b=-1),

所以。＞扬是a＞方成立的充分不必要条件，故满足;

D.因为函数＞=03在尺上单调递减，所以0.3力＜0.3"可以推出即。＞6+1,

所以0.3所1＜0.3"可以推出。＞b,且a＞b不一定能推出O.31＜0.3〃(例如：a=1,6=1),

所以0.3"一＜Of是a＞&成立的充分不必要条件，故满足，

故选：CD.

【点睛】结论点睛：充分、必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：

答案第4页，共13页

(i)若。是4的必要不充分条件，则g对应集合是。对应集合的真子集；

(2)若。是4的充分不必要条件，则。对应集合是g对应集合的真子集；

(3)若P是1的充分必要条件，则0对应集合与4对应集合相等；

(4)若。是4的既不充分也不必要条件，则。对应集合与4对应集合互不包含.

10.BD

【分析】对于A：求导，利用导数判断;'(x)的单调性和极值；

对于B：根据解析式代入运算即可；对于C：取特值检验即可；

对于D：分析可得0<sin2x<sinx<l,结合/("的单调性分析判断.

【详解】对于选项A：因为/(x)的定义域为R,

且=2(x-l)(x-4)+(x-l)*=3(x-l)(x-3),

当xe(l,3)时，f\x)<0;当或xe(3,+8)时，&)>。;

可知/'(尤)在(-叫1),(3,+向上单调递增，在(1,3)上单调递减，

所以x=l是函数/(X)的极大值点，故A错误；

对于选项B：因为/'(2+x)+/(2-无)=(x+l)2(尤-2)+(1-X)2(-X-2)=-4,故B正确；

对于选项C：对于不等式-4</(2x-l)<0,

因为„=即》=,为不等式一4<〃2xT)<0的解，但x=：e(l,2),

所以不等式-4</(2x-l)<0的解集不为{x[l<x<2},故C错误；

对于选项D：因为0<%<5，贝!]0<sinx<l,

J3.sinx-sin2x=sinx(l-sinx)>0,可得0<sit?x<sinx<],

因为函数/(x)在(0,1)上单调递增，所以/(sinx)>/®!!%),故D正确；

故选：BD.

11.BCD

【分析】对于AB,由赋值法即可判断；对于C,由基本不等式结合函数新定义即可判断;

对于D,取x“=：(〃eN*,〃22),利用函数性质得到〃匕)=/"⑴-«1)[

答案第5页，共13页

结合d=即可判断

【详解】对于A,在/‘叫")’)中，令x=>=1,可得/(1)=/(1),无法确定/(1)

的值，A错;

对于B,令x=!，y=j,代入条件②中，取=17A=!，即Ji

24x+y1+13/-

24、

B对；

2(x+疔

对于C,当x>y>0时，2xy<12J_x+,,且当x<y时，/(x)</(y),则

x+yx+y2

C对;

2

2

对于D,=—(«GN*,W>2),由于_n-12

7x2n

n'„-i+尤”+1n

;72—1

/(%)：/(X"+J=/12x,iX“M]=/(匕)，从而/(x,T)J(x“)J(x用)成等差数列，即

21Xn-\+Xn+17

/(占),/卜2),…J(X“)…成等差数列,

即/(X,)=小)+("-D(/七)一/k))=/(121“OI力

而公差d=/1gj-/(l)<。，所以当〃充分大时，可使〃x“)<0,D对.

故选：BCD.

【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键在于得到〃七)=/⑴+(〃-1)]/[£|-/(1)]以及

由此即可顺利得解.

12.2

【分析】首先根据题意，将函数尸(x)=/(x)+x的零点个数问题转化为方程〃x)=f解的

答案第6页，共13页

2x,x<0

个数，最后转化为函数/(、)=1的图像和直线v=r交点的个数问题来解决，这样

——>0

-x

比较直观，容易理解.

'2\x<0

【详解】解：在同一个坐标系中画出函数/(%)=1的图像和直线V=T,

——,x>0

2x,x<0

而函数尸(x)=/(x)+x的零点个数即为函数/(尤)=1的图像和直线y=-x的交点

——,x>0

的个数，

故答案为：2

132痴兀

,3

【分析】根据条件，求圆锥的母线长和高，再利用圆锥的体积公式即可求出结果.

【详解】设圆锥的母线长为/,则2亚兀=/兀，得/=2四，所以圆锥的高为人/=7=遍,

故圆锥的体积为V=—Sh=-7i(V2)2x&=2"式.

333

故答案为：亚.

3

【分析】利用基本不等式可求得盯通过配凑即可得出结果.

【详解】由4%2+3?+砂=1可得4%2+y2+xy=1>4xy+xy=5xy,

答案第7页，共13页

可得切工不；

■,\27738

而(2x+y)=4x+y+4xy=1+3xy<1+—=—,

所以(2x+y『wg,^-^.<2x+y<^-;

当且仅当了=2x,也即x=10,y=®时，上式右边等号成立；

105

此时2x+y的最大值为亚.

5

故答案为：巫.

5

15.⑴6“=2"-〃-3

“27n

(2)7；=2,,+1-----2

22

【分析】(1)先根据题意及等差数列的通项公式计算出数列｛%｝的通项公式，再根据等比数

列的通项公式计算出数列｛4+b„]的通项公式，即可计算出数列｛b„｝的通项公式；

(2)根据数列也,｝的通项公式的特点运用分组求和法，以及等差数列和等比数列的求和公

式即可计算出前〃项和I.

【详解】(1)由题意，可得。"=4+("l)xl="+3,

故a,,=〃+3,〃eN*,

•・,数歹！J｛4+，｝是公比为2的等比数列，且为+4=4-2=2,

=2-2"-1=2",

bn=2"-an=2"-n-3,〃eN*.

(2)由题意及(1),可得”=2"-(〃+3),

则/=bl+b2+b3+---+bn

=(2'-4)+(22-5)+(23-6)+---+[2"-(w+3)]

=(2'+22+23+---+2")-[4+5+6+---+(n+3)]

2(1-2")(n+7)n„n27n

=------------=n2+1--------zn.

1-2222

16.(1)单调增区间为(1,+8),单调减区间为(0,1).

答案第8页，共13页

(2)证明见解析

【分析】(1)根据广⑴=0得到。，再求导得到其单调区间；

(2)转化为证明2》-欣--1<0,再设新函数为(x)=2x-lnx-4-1,多次求导得到其

单调性即可证明.

【详解】(1)因为函数f(x)=QTnx在x=l处的切线垂直于y轴，所以尸(1)=0.

由/(x)=ax-In尤得,则/''(1)=a—；=0na=1,

贝IJ/(x)=x—hw,==

xx

当xe(0,l)时，r(x)<0,此时/(x)单调递减;

当xe(l,+8)时,r(x)>0,此时/(x)单调递增;

则/(x)的单调增区间为(1,+8),单调减区间为(01).

(2)/(x)<eA-1-x+1,BP%-Inx<ex-1-x+1>

即2x-]nx-e^-1-1<0,设"(x)=2x-]nx-e''-1,

则〃(x)=2—1—e'T=2xre\一,g(x)=2x-xex'-1,

XX

则g'(x)=2-(尸+xei),

再设9(x)=xei,则"(x)=e，T(x+l),因为尤>1,贝(Id(x)>0恒成立，

则°(x)在(1,+s)上单调递增，则易知g'(x)=2-(e1+xei)在(1,+动上单调递减，

则g'(x)<g'⑴=0，贝!|g(x)=2x-xe'T-1在(1,+oo)上单调递减，

则g(x)<g⑴=0，贝！I〃(力<0在(1,+8)恒成立，

贝lj<%(1)=0,gpf(x)<ex-1-x+1

7

17.(1)—；

v710

(2)分布列答案见解析，数学期望：若109

答案第9页，共13页

【分析】（1）依题意，利用古典概型的公式计算求解；

（2）利用概率的乘法计算每一个随机变量取值的概率，再求数学期望.

【详解】（1）设某箱电子元件有一个次品能被直接购买为事件4

r37

则尸⑷大方

（2）X可能取值为1,2,3,

则尸（门）=＞：；尸（2）木14，尸（皿）哈（/

故X的分布列是

_+3x^—

5454545

18.（1）证明见解析

⑵J

⑶g

【分析】（1）先利用面面平行的判定定理得出MEG//平面尸NO,再利用面面平行的性质定

理即可得证

（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面/FG与平面尸8C法向量，利用向量夹角公式可

求解；

（3）设西=2•岳=（2&,0,22）,得至!!而=（2世2-2方,0,2/1）,根据向量而与方,与共

面，结合向量共面定理求出X,得到。坐标，再用两点间距离公式结算即可.

【详解】（1）证明：取线段48的中点M,连接ME、MG,

因为点E为线段CD的中点，所以MEUAD,

又平面尸4D,/Du平面尸4D,所以MEV/平面P/D,

因为AP/3中，点G为线段P8的中点，点M为线段的中点，

所以MG//P/,又平面尸4D,4Pu平面尸/。，

所以"G〃平面尸4D,又"£口/6=屈，且MGu平面MEG,MEu平面MEG,

答案第10页，共13页

所以平面MEG//平面尸4D,又£Gu平面MEG,

所以EG//平面.

(2)设平面/FG与平面P8c夹角为6,连接AD和/C交于点。，

过点O作直线。石垂直于平面/BCD,如图，以O为坐标原点，以向量砺，而为X、八

z轴的正方向建立空间直角坐标系，

求得关键点坐标，A(y/3,0,0),C(-V3,0,0),5(0,1,0),D(01,0),P(/3,0,2),吟J」)

设平面AFG的法向量为4=(xl,yl,zt),AF=(-^-，―,1),NG=C^g,1；,

x

nx-AF=—\~2^+?i=0

,取々=（2,0,百）,

nxLAG

ncAG=-

设平面PBC的法向量为点=(%,%/2),数=(-/-1,0),而=(8-1,2),

―»»_,»I

出J_BP%•BP=V3X-y+2Z=0一厂厂

则二一,即」一:99一9,取％=(1,-6,-6)，

n2±BC[%•BC=-y]3x2-y2=0

则cos。=1cos忌晨〉1=1,即平面AFG与平面PBC夹角的余弦值为3.

(3)设函=4・屈=(2例,0,22),

贝U0(2闻-73,0,22),故而=(2®-273,0,22),

依题意可得向量而与万?，前共面，

所以存在实数机，“，使得(2信-26,0,2/1)=加(二^,[，1)+"(当(，1：,

m+n=4-4A

即，加=",解得2=1，则2（母吗.且尸（后0,2）.

m+n=2A

答案第11页，共13页

19.(1)。=1；(2)b>\.

【分析】(1)先对函数求导，得到/''(切=-二(》-1乂依+1-0),分别讨论a=0,a>0两

种情况，根据导数的方法判定函数单调性，得出极值，根据题中条件，即可得出结果；

(2)令g(a)=e-"(无2+1)。+证/根据题中条件，将不等式恒成立问题转化为

g(a)Wbln(%+1)对Va£(-oo,0]恒成立,等价于疵一、(61n(x+1),对％w[0,+8)恒成立,先

讨论6«0时，求得>61n(x+l),不满足题意；再讨论6>